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私が１年ほど前に見つけていた”ある定理”と統一的法則性を結びつけることにより、種々の面白い結果が得られま
したのでご報告します。
１年ほど前に私は作用素（演算子）に関して、いつかの定理を見出していました。
そして今回、その定理と統一的法則性を結びつけることで面白い式を出すことができました。
その定理とは、e^xに関する公式の発見 その３ で見つけていた次のものです。
（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x）とは、つまり、∫Ｇ（x）dx+∫^2Ｇ（x）dxdx+∫^3Ｇ（x）dxdxdx+・・・のことですが、この定理
は、作用素（∫+∫^2+∫^3+・・・）が、作用素e^x∫e^(-x)に等しいということを言った面白い定理です。
なお∫^2は２回積分∫∫・・dxdxを、∫^3は３回積分∫∫∫・・dxdxdxを表しています。
私は、作用素（∫+∫^2+∫^3+・・・）を”無限演算子”と名付けていました。
じつは、この定理は、ゼータの統一的法則性と相性がいいのです。なぜ相性がいいのか？
統一的法則性は、重回積分の規則でした。また、上の定理は、重回積分に関する定理。よって、必然的に相性が
よくなるわけです。
私は、統一的法則性を見つけてしばらくした後、それとこの定理が結びつくのではないか・・と漠然と考えていま
した。
今回、この二つを結びつけることで、面白い等式を出すことができました。
結論から書くと、その等式とは次のものです。
e^x∫0～x e^(-x)log(2sinx)ｄx
＝2［｛1/(2^2+1)・(cos2x/2 - sin2x) + 1/(4^2+1)・(cos4x/4 - sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(cos6x/6 - sin6x) + 1/(8^2+1)・(cos8x/8 - sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾x｛-ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 - ・・・｝］ ---①
面白い式でしょう？
意味は、「e^(-x)log(2sinx)という関数を0～xで一回積分してe^xをかけたら右辺になる」というのです。
右辺は「三角関数のきれいな無限和」と「奇数ゼータ値の無限和にｅ^xがかかった関数」の和となっています。
数学で重要なものがかなり含まれている不思議な式ですね。
さて、①式をどうやって導いたかですが、上の「定理３」と「統一的法則性」を組み合わせて導きました。
その導出過程を次に示します。
［①式の導出］
まずゼータ関数の・・ その１１の議論を利用します。ただ、そこでは「偶数ゼータの無限和」の形まで推し進め
ましたがここでは重回積分の形で止めておくこと、また「その１１」では偶数回積分を無視しましたがここではそれ
も含めて考察することが若干違っています（本質は同じですが）。
さてまず、奇数ゼータの中心母等式を書きますと、次のようになります。
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + sin8x + ・・・・） ------②
この②をひたすら重回積分した式を書いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
１回積分
log(2sinx)＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・)
2回積分
∫log(2sinx)＝-2(sin2x/2^2 + sin4x/4^2 + sin6x/6^2 + ・・・)
3回積分
∫∫log(2sinx)＝2(cos2x/2^3 + cos4x/4^3 + cos6x/6^3 + ・・・) - ζ(3)/2^2
4回積分
∫∫∫log(2sinx)＝2(sin2x/2^4 + sin4x/4^4 + sin6x/6^4 + ・・・) - ζ(3)/2^2・x/1！
5回積分
∫∫∫∫log(2sinx)＝-2(cos2x/2^5 + cos4x/4^5 + cos6x/6^5 + ・・・) + ζ(5)/2^4 - ζ(3)/2^2・x^2/2！
6回積分
∫∫∫∫∫log(2sinx)
＝-2(sin2x/2^6 + sin4x/4^6 + sin6x/6^6 + ・・・) + ζ(5)/2^4 ・x/1！ - ζ(3)/2^2・x^3/3！
7回積分
∫∫∫∫∫∫log(2sinx)
＝2(cos2x/2^7 + cos4x/4^7 + cos6x/6^7 + ・・・) - ζ(7)/2^6 + ζ(5)/2^4 ・x^2/2！ - ζ(3)/2^2・x^4/4！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2sinx)
＝2(sin2x/2^8 + sin4x/4^8 + sin6x/6^8 + ・・・) - ζ(7)/2^6 ・x/1！ + ζ(5)/2^4 ・x^3/3！ - ζ(3)/2^2・x^5/5！
・
・
と、このように延々と続いていきます。
ここで、もちろんζ(s)はリーマン・ゼータ関数で次のものです。
ζ(s)＝1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ・・・
さて、上の2回積分以降の式を縦に全部足し合わせていくと、次のようになります。（途中略しましたが）
（∫+∫^2+∫^3+・・・）log(2sinx)
＝2［｛1/(2^2+1)(cos2x/2 - sin2x) + 1/(4^2+1)(cos4x/4 - sin4x)
+ 1/(6^2+1)(cos6x/6 - sin6x) + 1/(8^2+1)(cos8x/8 - sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾x｛-ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 - ・・・｝］ -----③
さて、この③の左辺に、「定理３」を適用すると、次のようになります。
（∫+∫^2+∫^3+・・・）log(2sinx)＝e^x∫0～x e^(-x)log(2sinx)ｄx --------④
よって、この③と④から、目標の次の式が出ます。
e^x∫0～x e^(-x)log(2sinx)ｄx
＝2［｛1/(2^2+1)・(cos2x/2 - sin2x) + 1/(4^2+1)・(cos4x/4 - sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(cos6x/6 - sin6x) + 1/(8^2+1)・(cos8x/8 - sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾x｛-ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 - ・・・｝］ ---①
上は、log(2sinx)を無限級数に展開したときの収束半径がπであることから、0 ＝< |ｘ| < πで成り立ちます。
このように①式が導けました。
導出終わり。
また、同じことですが、①式は両辺をe^xで割って、もちろん次のように書くこともできます。
∫0～x e^(-x)log(2sinx)ｄx
＝2［ｅ＾(-x)｛1/(2^2+1)・(cos2x/2 - sin2x) + 1/(4^2+1)・(cos4x/4 - sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(cos6x/6 - sin6x) + 1/(8^2+1)・(cos8x/8 - sin8x) +・・・｝
+ ｛-ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 - ・・・｝］ ---⑤
註：言わずもがなの注意ですが、①や⑤の右辺のｘに対応するのは左辺では∫0～x のｘであり、e^(-x)log(2sinx)dxはe^(-t)log(2sint)dt の
ように表現してもよいのです。
最後に、等式１としてまとめておきます。
一つ上で見た式（次式）で少し遊んでみましょう。
e^x∫0～x e^(-x)log(2sinx)ｄx
＝2［｛1/(2^2+1)・(cos2x/2 - sin2x) + 1/(4^2+1)・(cos4x/4 - sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(cos6x/6 - sin6x) + 1/(8^2+1)・(cos8x/8 - sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾x｛-ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 - ・・・｝］
（ 0 ＝< |ｘ| < π ）
例えば、x＝0を代入すれば、どうなるでしょうか。左辺の積分項は消え、右辺から次のような式が出ます。
ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・
＝1/｛2(2^2+1)｝ + 1/｛4(4^2+1)｝ + 1/｛6(6^2+1)｝ + 1/｛8(8^2+1)｝ + ・・・ ---①
面白い式が出てきました。
この式の正しさは、数値計算に頼らずとも、じつは簡単に検証することができます。
右辺から左辺を高校程度の数学で導けるのですが、ちょっと考えてみてください。
2004/2/9追記
①式はSugimoto氏が先に導いておられました。氏のサイトの「奇数に対応する母関数」にありました。
これまたそこで示されているのは、一つ上の私のとはまったく違う方法が用いられているように見えます。
お互い別ルートで山に登っていたのですね。面白いことです。
次に、x＝π/2を代入すれば、どうなるでしょうか
これは、まず
e^(π/2)∫0～π/2 e^(-x)log(2sinx)ｄx
＝2[｛1/(2^2+1)・(-1/2) + 1/(4^2+1)・(1/4) + 1/(6^2+1)・(-1/6) + 1/(8^2+1)・(1/8) + ・・・｝
+ e^(π/2)・｛-ζ(3)/2^3 + ζ（5）/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ（9）/2^9 - ・・・｝]
となりますが、右辺の数値の並びを変形することで、さらに次のような形にできます。
e^(π/2)∫0～π/2 e^(-x)log(2sinx)ｄx
＝｛-1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) + 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5)
- 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) + 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝
+ e^(π/2)｛-ζ(3)/2^2 + ζ（5）/2^4 - ζ(7)/2^6 + ζ（9）/2^8 - ・・・｝
あるいは、両辺をe^(π/2)で割れば、次のようになります。
∫0～π/2 e^(-x)log(2sinx)ｄx
＝e^(-π/2)｛-1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) + 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5)
- 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) + 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝
+ ｛-ζ(3)/2^2 + ζ（5）/2^4 - ζ(7)/2^6 + ζ（9）/2^8 - ・・・｝
この式は結局なにを示しているかというと、e^(-x)log(2sinx)という関数を0～π/2の範囲で積分すれば
右辺のように奇数ゼータの無限和になる・・ということを表しています。
「ゼータ関数のいくつかの点について」シリーズでは、偶数ゼータの無限和ばかり見ていたので、奇数ゼータの
無限和はとても新鮮にうつります。
数学愛好家のSugimoto氏が氏のサイトで次のような式を示されています。
これは、私の「ゼータ関数の・・」のその５でも紹介したものですが、とにかく綺麗な式です。
(1/2)log(π/2)＝ ζ（2）/(2・2^2) + ζ（4）/(4・2^4) + ζ（6）/(6・2^6) + ・・・ ----①
Sugimoto氏は、この式をガンマ関数を用いて導いておられますが、ひょんなことから、別の方法で①式を
出す方法を見つけましたので、それを紹介します。全く簡単です。
［①の導出方法］
また、「いくつかの点」シリーズのその３で出した次の式を書きます。
log（πx/sinπx）＝2｛ζ(2)/2・x^2+ ζ(4)/4・x^4 + ζ(6)/6・x^6 + ・・・ ｝ ----②
( 0 < x < 1 ）
上にx=1/2を代入すると、いきなり目的の①式が出てしまいます。
(1/2)log(π/2)＝ ζ（2）/(2・2^2) + ζ（4）/(4・2^4) + ζ（6）/(6・2^6) + ・・・
導出終わり。
この方法はガンマ関数が登場しない分、初等的な方法であろうと思われます。頂上は同じでありルートがちがっ
ているだけですから、これら二つの方法も根っこのところでは関係しているにちがいありませんが、とにもかくにも別
ルートが見つかったわけです。
数学研究の上で別の登山ルートが見つかるのはとても嬉しいことの一つです。
なお、②式の初等的な証明は、こちらをご覧ください。
冒頭では、奇数ゼータの中心母等式の重回積分（統一的法則性）の結果と、作用素の定理を結合させて、
面白い等式を導きました。
次に「偶数Ｌ関数の中心母等式ではどうなるのか？」と考えるのは全く自然であり、ここでは、それを考えて
みます。
結論からいえば、次のような興味深い式がでます。
e^x∫0～x e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx
＝2［｛Ｌ（0)sinx - Ｌ(0)cosx + sin3x/(3^2+1) - cos3x/3(3^2+1)
+ sin5x/(5^2+1) - cos5x/5(5^2+1) + sin7x/(7^2+1) - cos7x /7(7^2+1) + ・・・｝
+ ｅ＾x｛(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・｝］ ---①
以下で、この式を導きます。
［導出方法］
さて、まず偶数Ｌ関数の中心母等式を書きますと、次のようになります。（その１２参照）
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・） ----②
この②をひたすら重回積分した式を書いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
１回積分
1/2・log(cot(x/2))＝cosx + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・・
2回積分
1/2∫log(cot(x/2))＝sinx + sin3x/3^2 + sin5x/5^2 + ・・・
3回積分
1/2∫∫log(cot(x/2))＝-(cosx + cos3x/3^3 + cos5x/5^3 + ・・・) + (1-1/2^3)ζ(3)
4回積分
1/2∫∫∫log(cot(x/2))＝-(sinx + sin3x/3^4 + sin5x/5^4 + ・・・) + (1-1/2^3)ζ(3)x/1！
5回積分
1/2∫∫∫∫log(cot(x/2))＝(cosx + cos3x/3^5 + cos5x/5^5 + ・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)x^2/2！- (1-1/2^5)ζ(5)
6回積分
1/2∫∫∫∫∫log(cot(x/2))＝(sinx + sin3x/3^6 + sin5x/5^6 + ・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)x^3/3！- (1-1/2^5)ζ(5)x/1！
7回積分
1/2∫∫∫∫∫∫log(cot(x/2))＝-(cosx + cos3x/3^7 + cos5x/5^7 + ・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)x^4/4！- (1-1/2^5)ζ(5)x^2/2！+ (1-1/2^7)ζ(7)
8回積分
1/2∫∫∫∫∫∫∫log(cot(x/2))＝-(sinx + sin3x/3^8 + sin5x/5^8 + ・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)x^5/5！- (1-1/2^5)ζ(5)x^3/3！+ (1-1/2^7)ζ(7)x/1！
9回積分
1/2∫∫∫∫∫∫∫∫log(cot(x/2))
＝(cosx + cos3x/3^9 + cos5x/5^9 + ・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)x^6/6！- (1-1/2^5)ζ(5)x^4/4！+ (1-1/2^7)ζ(7)x^2/2！- (1-1/2^9)ζ(9)
・
・
さて、2回積分以降の縦に全部足し合わせていくと次のようになります。（途中略しましたが）
1/2・（∫+∫^2+∫^3+・・・）log(cot(x/2))
＝｛1/(1^2+1)・sinx - 1/1(1^2+1)・cosx + 1/(3^2+1)・sin3x - 1/3(3^2+1)・cos3x
+ 1/(5^2+1)・sin5x - 1/5(5^2+1)・cos5x + 1/(7^2+1)・cos7x - 1/7(7^2+1)・sin7x +・・・｝
+ ｅ＾x｛(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・｝---③
さて、この③の左辺に、「定理３」（冒頭参照）を適用すると、次のようになります。
1/2・（∫+∫^2+∫^3+・・・）log｛cot(x/2)｝＝1/2・e^x∫0～x e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx --------④
よって、この③と④から、目標の次の式が出ます。
e^x∫0～x e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx
＝2［｛(1-1+1-1+・・)sinx - (1-1+1-1+・・)cosx + sin3x/(3^2+1) - cos3x/3(3^2+1)
+ sin5x/(5^2+1) - cos5x/5(5^2+1) + sin7x/(7^2+1) - cos7x /7(7^2+1) + ・・・｝
+ ｅ＾x｛(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・｝］ ---①
なお、log｛cot(x/2)｝をべき級数展開すると、次のようになります。
log｛cot(x/2)｝
＝｛-1+2/2^2｝ζ（2）(x/π)^2 + ｛-1+2/2^4｝ζ（4）(x/π)^4/2 +｛-1+2/2^6｝ζ（6）(x/π)^6/3 + ・・・
この式の収束半径と冒頭の定理から、①は0 ＝< |ｘ| < πの範囲で成立します。
すなわち、
e^x∫0～x e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx
＝2［｛Ｌ（0)sinx - Ｌ(0)cosx + sin3x/(3^2+1) - cos3x/3(3^2+1)
+ sin5x/(5^2+1) - cos5x/5(5^2+1) + sin7x/(7^2+1) - cos7x /7(7^2+1) + ・・・｝
+ ｅ＾x｛(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・｝］ ---①
（ 0 ＝< |ｘ| < π ）
このように①式が導けました。
導出終わり。
最後に、Ｌ（0)＝1/2で置きかえ、等式2としてまとめておきます。
一つ上で導いた式（次式）の具体的な計算を見てみましょう。
e^x∫0～x e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx
＝2［｛sinx/2 - cosx/2 + sin3x/(3^2+1) - cos3x/3(3^2+1)
+ sin5x/(5^2+1) - cos5x/5(5^2+1) + sin7x/(7^2+1) - cos7x /7(7^2+1) + ・・・｝
+ ｅ＾x｛(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・｝］
（ 0 ＝< |ｘ| < π ）
例えば、x＝0を代入してみましょう。左辺の積分項は消え、次の式が出ます。
(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・
＝1/1(1^2+1) + 1/3(3^2+1) + 1/5(5^2+1) + 1 /7(7^2+1) + ・・・
この式の正しさは、数値計算に頼らずとも、じつは別方向から簡単に検証することができます。
右辺から左辺を高校程度の数学で導けるのですが、考えてみてください。
次に、x＝π/2を代入してみましょう。
e＾(π/2)∫0～π/2 e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx ＝2［｛1/2 - 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) - 1/(7^2+1) + ・・・｝ + ｅ＾(π/2)｛(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・｝] ----①
という式が出ますが、右辺の1/2 - 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) - 1/(7^2+1) + ・・・をさらに変形して
まとめていくと、①は次のようになります。 e＾(π/2)∫0～π/2 e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx ＝2［｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ + ｅ＾(π/2)｛(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・｝] ---② 不思議な式です。 数学で重要なものがかなり含まれています。π、e、sin、cos、自然対数log、偶数L関数と奇数ゼータ、積分、
無限級数・・が出てきます。
②は両辺をe＾(π/2)で割って、もちろん次のようにも表せます。 ∫0～π/2 e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx
＝2［ｅ＾(-π/2)｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝
+ ｛(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・｝] ---③ この③は、結局、 e^(-x)log｛cot(x/2)｝という関数を0～π/2で定積分すると右辺のようになる、ということを 示していますが、別の表現をすれば、 e^(-x)・log｛cot(x/2)｝に積分(0～π/2)を作用させると、次々に偶数L関数と
奇数ゼータが生み出されていくことを表しているともいえます。
整理する意味で、等式１から導いた同類の式と一緒に並べて書いておきましょう。
2004/2/13 ＜∫0～π/2 e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx と∫0～π/2 log｛cot(x/2)｝ｄx を比べる＞
一つ上では、∫0～π/2 e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx の値を見ましたが、それと被積分関数に e^(-x)のない ∫0～π/2 log｛cot(x/2)｝ｄxとを比べたらどう違っているのか？と思いました。 「ゼータ関数の・・のその１２」の偶数Ｌ関数の・・で抽象的に示したように、じつは、∫0～π/2 log｛cot(x/2)｝ｄx
を計算するとＬ(2)が出てきます。 簡単ですから、ここで示しておきましょう。
「その１２」でも見た次の式を出発点とします。
1/2・log(cot(x/2)) ＝cosx + cos3x/3 cos5x/5 + cos7x/7 + ・・・ 両辺を0～xまで積分して、 1/2・∫0～xlog(cot(x/2)) ＝［sinx + sin3x/3^2 + sin5x/5^2 + sin7x/7^2 + ・・・］0～x ＝sinx + sin3x/3^2 + sin5x/5^2 + sin7x/7^2 + ・・・ よって、 ∫0～xlog(cot(x/2)) ＝2(sinx + sin3x/3^2 + sin5x/5^2 + sin7x/7^2 + ・・・) xにπ/2を代入して、 ∫0～π/2log(cot(x/2)) ＝2(1 - 1/3^2 + 1/5^2 -1/7^2 + ・・・)＝2L(2) このように求まりました。
もちろん、上でのL(s)はディリクレのL関数L(χ , s)の一種の
Ｌ（s）＝1/1^s - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
です。ちなみに、ζ(s)もL(χ , s)の一種です。
さて、この∫0～π/2log(cot(x/2)) と一つ上での∫0～π/2 e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx の結果とを比べてみま しょう。
面白い結果だと思いませんか。 log(cot(x/2)) にたった一つe^(-x)がかかると、②のようになるのです。 ①の右辺は、L(2)がたった一個です。②は、n＝2以上の全ての偶数L関数と、n＝3以上の全ての奇数ゼータ が現れている。e^(-x)が掛かるか掛からないかで、こんなに違ってくるのです。 底知れぬ深さを感じます。
上で、奇数ゼータの中心母等式から等式１を、偶数L関数の中心母等式から等式２を導きました。
次に、「ゼータ関数のいくつかの・・」シリーズの「その１３」で見た奇数ゼータと偶数Ｌ関数の融合した式ではどう
なるのか？と思い、計算しました。するとまた別の面白い式が出ましたので、報告します。
（ただし、次の①式は、上のその１、その２で用いた式から出ますので、本質的にはその１、その２で議論は尽きて
いますが、念のため、次の①式での考察も行います。）
奇数ゼータと偶数Ｌ関数の母体を両方ふくんだ式は次の①でした。
簡単にいうと、左辺の(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + ・・・・）は偶数Ｌ関数の生成母体、右辺は奇数ゼータの
生成母体です。詳しくは「その１３」をご覧ください。
(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + ・・・）cosx＝(sin2x + sin4x + sin6x + sin8x + ・・・・・） ------①
等式１と等式２でやったのと全く同様の手法で出ますので結論だけ書きますが、①に重回積分を行ったものに、
冒頭の私の定理を結合させると、次のような式が出ます。
e^x∫0～x e^(-x)log｛2cos(x/2)｝ｄx
＝2｛sinx/2 - cosx/2 + sin3x/(3^2+1) - cos3x/3(3^2+1)
+ sin5x/(5^2+1) - cos5x/5(5^2+1) + sin7x/(7^2+1) - cos7x /7(7^2+1) + ・・・｝
+ ｛-sinx/2 + cosx/2 - sin2x/(2^2+1) + cos2x/2(2^2+1)
- sin3x/(3^2+1) + cos3x/3(3^2+1) - sin4x/(4^2+1) + cos4x /4(4^2+1) + ・・・｝
+ ｅ＾x｛(1-1/2^2)ζ(3) - (1-1/2^4)ζ(5) + (1-1/2^6)ζ(7) - (1-1/2^8)ζ(9) + ・・｝
（ 0 ＝< |ｘ| < π ）
等式１と等式２の場合と似たような式が出ましたが、右辺はまったく秩序だった形をしています（あえて右辺の
第１番目の項群と第２番目の項群はまとめていません）。
これに、x＝0を代入してみましょう。左辺の積分項は消え、次の式が出ます。
(1-1/2^2)ζ(3) - (1-1/2^4)ζ(5) + (1-1/2^6)ζ(7) - (1-1/2^8)ζ(9) + ・・
＝1/2 - 1/2(1^2+1) + 1/3(3^2+1) - 1/4(4^2+1) + 1/5(5^2+1) - ・・・
この式の正しさは、数値計算に頼らずとも、別方向からも簡単に検証することができます。
右辺から左辺を全く初等的に導けるのですが、考えてみてください。
次に、x＝π/2を代入してみましょう。
e＾(π/2)∫0～π/2 e^(-x)log｛2cos(x/2)｝ｄx
＝｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝
+ e＾(π/2)｛(1-1/2^2)ζ(3) - (1-1/2^4)ζ(5) + (1-1/2^6)ζ(7) - (1-1/2^8)ζ(9) + ・・｝
+ ｛-(1-1/2^2)ζ(3)/2^3 + (1-1/2^4)ζ(5)/2^5 - (1-1/2^6)ζ(7)/2^7 + (1-1/2^8)ζ(9)/2^9 - ・・｝
こういう式が出てきました。右辺は面白い形をしていますね。
このページでは、等式１～３の３パターンの式を導きました。最後に、整理する意味で、まとめておきます。
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