ここでは、「その１」と「その２」で得た式を組み合わせて、双曲線関数、奇数ゼータの無限和、偶数L関数の

無限和が混在した様々な式を導きます。

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2004/2/28　　　　　　　　　　　　　＜はじめに６式の列挙＞

　まずはじめに、「その１」、「その２」で出した式（xにπ/2を代入したもの）を列挙しておきましょう。

［等式1から導出された式］ 　∫0〜π/2 e^(-x)log(2sinx)ｄx 　　＝e^(-π/2)｛-1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) + 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5) 　　　　　　　　　　　　　- 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) + 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ ｛-ζ(3)/2^2 + ζ（5）/2^4 - ζ(7)/2^6 + ζ（9）/2^8 - ・・・｝ ［等式1Bから導出された式］ 　∫0〜π/2 e^xlog(2sinx)ｄx 　　＝e^(π/2)｛1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) - 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5) 　　　　　　　　　　　　　+ 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) - 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝ 　　　　　　　　　　　　　　　+ ｛ζ(3)/2^2 - ζ（5）/2^4 + ζ(7)/2^6 - ζ（9）/2^8 + ・・・｝ ［等式2から導出された式］ ∫0〜π/2 e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx 　　＝2［ｅ＾(-π/2)｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ 　　　　　　　　　+ ｛(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・｝]　 ［等式2Bから導出された式］ 　∫0〜π/2 e^xlog｛cot(x/2)｝ｄx 　　＝2［ｅ＾(π/2)｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ 　　　+ ｛-(1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + (1-1/2^9)ζ(9) - ・・｝] ［等式3から導出された式］ 　∫0〜π/2 e^(-x)log｛2cos(x/2)｝ｄx 　＝e＾(-π/2)｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ 　+ e＾(-π/2)｛-(1-1/2^2)ζ(3)/2^3+(1-1/2^4)ζ(5)/2^5-(1-1/2^6)ζ(7)/2^7+(1-1/2^8)ζ(9)/2^9-・・｝ 　+ ｛(1-1/2^2)ζ(3) - (1-1/2^4)ζ(5) + (1-1/2^6)ζ(7) - (1-1/2^8)ζ(9) + ・・｝　 ［等式3Ｂから導出された式］ 　∫0〜π/2 e^xlog｛2cos(x/2)｝ｄx 　＝e＾(π/2)｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ 　+ e＾(π/2)｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^3-(1-1/2^4)ζ(5)/2^5+(1-1/2^6)ζ(7)/2^7-(1-1/2^8)ζ(9)/2^9+・・｝ 　+ ｛-(1-1/2^2)ζ(3) + (1-1/2^4)ζ(5) - (1-1/2^6)ζ(7) + (1-1/2^8)ζ(9) - ・・｝

　次に、これらを組み合わせてみましょう。

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2004/2/28　　　　　　　　　　＜等式１と等式１Ｂから導かれる式＞

　まず上の等式１関連の２式を書きます。

　　＝e^(-π/2)｛-1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) + 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5)

　　　　　　　　　　　　　- 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) + 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝

　∫0〜π/2 e^xlog(2sinx)ｄx

　　＝e^(π/2)｛1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) - 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5)

　　　　　　　　　　　　　+ 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) - 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝

　　　　　　　　　　　　　　　+ ｛ζ(3)/2^2 - ζ（5）/2^4 + ζ(7)/2^6 - ζ（9）/2^8 + ・・・｝　---�A

　さて、�@と�Aの２式を辺々足して２で割ってみましょう。

　∫0〜π/2 ｛e^x+e^(-x)｝/2・log(2sinx) ｄx

　　　　　　＝｛e^(π/2)-e^(-π/2)｝/2・｛1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) - 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) - 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝

　　ここで、coshx＝(e^x + e^(-x))/2，sinhx＝(e^x - e^(-x))/2ですから、上は次のように書けます。

　∫0〜π/2 coshx・log(2sinx) ｄx

　　　　　　＝sinh(π/2)・｛1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) - 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) - 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝　---�B

面白い式です。

なおcoshxやsinhxは双曲線関数であり、それぞれハイパボリック・コサイン、ハイパボリック・サインと読みます。

次に、�Aから�@を引いて２で割ってみましょう。計算すると、

　∫0〜π/2 ｛e^x-e^(-x)｝/2・log(2sinx) ｄx

　　　　　　＝｛e^(π/2)+e^(-π/2)｝/2・｛1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) - 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) - 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝

　　　　　　　　　　　　　　　+ ｛ζ(3)/2^2 - ζ（5）/2^4 + ζ(7)/2^6 - ζ（9）/2^8 + ・・・｝

よって、

　∫0〜π/2 sinhx・log(2sinx) ｄx

　　　　　　＝cosh(π/2)・｛1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) - 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) - 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝

　　　　　　　　　　　　　　　+ ｛ζ(3)/2^2 - ζ（5）/2^4 + ζ(7)/2^6 - ζ（9）/2^8 + ・・・｝　　　---�D

これまた面白い式が導かれました。

ここで得た�Bと�Dをまとめておきましょう。

∫0〜π/2 coshx・log(2sinx) ｄx 　　　＝sinh(π/2)・｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^2 - (1-1/2^4)ζ(5)/2^4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ (1-1/2^6)ζ(7)2^6 - (1-1/2^8)ζ(9)/2^8 + ・・・｝　 　∫0〜π/2 sinhx・log(2sinx) ｄx 　　　　　　＝cosh(π/2)・｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^2 - (1-1/2^4)ζ(5)/2^4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ (1-1/2^6)ζ(7)/2^6 - (1-1/2^8)ζ(9)/2^8 + ・・・｝ 　　　　　　　　　　　　　　　+ ｛ζ(3)/2^2 - ζ（5）/2^4 + ζ(7)/2^6 - ζ（9）/2^8 + ・・・｝

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2004/2/28　　　　　　　　　　＜等式２と等式２Ｂから導かれる式＞

　次に、まず冒頭の等式２関連の２式を書きます。

∫0〜π/2 e^(-x)log｛cot(x/2)｝ｄx

　　＝2［ｅ＾(-π/2)｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝
　　　　　　　　　+ ｛(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・｝]　---�@

［等式2Bから導出された式］

（�@＋�A）/2を実行して、

∫0〜π/2 ｛e^x+e^(-x)｝/2・log｛cot(x/2)｝ｄx

　　　　＝｛ｅ＾(π/2)+ｅ＾(-π/2)｝・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝

よって、

∫0〜π/2 coshx・log｛cot(x/2)｝ｄx

　　　　＝2cosh(π/2)・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ ---�B

これも美しく調和に満ちた式です。

次に（�A-�@）/2を実行して、

∫0〜π/2 ｛e^x-e^(-x)｝/2・log｛cot(x/2)｝ｄx

　　　　＝｛ｅ＾(π/2)-ｅ＾(-π/2)｝・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝

　　　　　　　　　+ 2｛-(1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + (1-1/2^9)ζ(9) - ・・｝

よって、

∫0〜π/2 sinhx・log｛cot(x/2)｝ｄx

　　　　＝2sinh(π/2)・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝

　　　　　　+ 2｛-(1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + (1-1/2^9)ζ(9) - ・・｝ ---�C

　�Bとは対称的な感じの式となっています。

ここで得た�Bと�Cをまとめておきましょう。

∫0〜π/2 coshx・log｛cot(x/2)｝ｄx 　　　　＝2cosh(π/2)・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ ∫0〜π/2 sinhx・log｛cot(x/2)｝ｄx 　　　　＝2sinh(π/2)・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ 　　　　　　　　+ 2｛-(1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + (1-1/2^9)ζ(9) - ・・｝

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2004/2/28　　　　　　　　　　＜等式３と等式３Ｂから導かれる式＞

　次に、まず冒頭の等式３関連の２式を書きます。

［等式3から導出された式］

　∫0〜π/2 e^(-x)log｛2cos(x/2)｝ｄx

　＝e＾(-π/2)｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝

　+ e＾(-π/2)｛-(1-1/2^2)ζ(3)/2^3+(1-1/2^4)ζ(5)/2^5-(1-1/2^6)ζ(7)/2^7+(1-1/2^8)ζ(9)/2^9-・・｝

　+ ｛(1-1/2^2)ζ(3) - (1-1/2^4)ζ(5) + (1-1/2^6)ζ(7) - (1-1/2^8)ζ(9) + ・・｝　　　　　　　　　---�@

　∫0〜π/2 e^xlog｛2cos(x/2)｝ｄx

　＝e＾(π/2)｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝

　+ e＾(π/2)｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^3-(1-1/2^4)ζ(5)/2^5+(1-1/2^6)ζ(7)/2^7-(1-1/2^8)ζ(9)/2^9+・・｝

　+ ｛-(1-1/2^2)ζ(3) + (1-1/2^4)ζ(5) - (1-1/2^6)ζ(7) + (1-1/2^8)ζ(9) - ・・｝　　　　　　　　---�A

（�@＋�A）/2を実行して、

　∫0〜π/2 ｛e^x+e^(-x)｝/2・log｛2cos(x/2)｝ｄx

　＝｛ｅ＾(π/2)+ｅ＾(-π/2)｝/2・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝

　+ ｛ｅ＾(π/2)-ｅ＾(-π/2)｝/2・｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^3 - (1-1/2^4)ζ(5)/2^5 + (1-1/2^6)ζ(7)/2^7- ・・｝

よって、

　∫0〜π/2 coshx・log｛2cos(x/2)｝ｄx

　＝cosh(π/2)・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝

　　　　　+ sinh(π/2)・｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^3 - (1-1/2^4)ζ(5)/2^5 + (1-1/2^6)ζ(7)/2^7- ・・｝　　---�B

　面白いですね。奇数ゼータ無限和と偶数L関数無限和が混在しています。

次に（�A-�@）/2を実行して、

　∫0〜π/2 ｛e^x-e^(-x)｝/2・log｛2cos(x/2)｝ｄx

　＝｛ｅ＾(π/2)-ｅ＾(-π/2)｝/2・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝

　　　+ ｛ｅ＾(π/2)+ｅ＾(-π/2)｝/2・｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^3-(1-1/2^4)ζ(5)/2^5+(1-1/2^6)ζ(7)/2^7- ・・｝

　　　+ ｛-(1-1/2^2)ζ(3) + (1-1/2^4)ζ(5) - (1-1/2^6)ζ(7) + (1-1/2^8)ζ(9) - ・・｝

よって、

　∫0〜π/2 sinhx・log｛2cos(x/2)｝ｄx

　＝sinh(π/2)・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝

　　　+ cosh(π/2)・｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^3-(1-1/2^4)ζ(5)/2^5+(1-1/2^6)ζ(7)/2^7- ・・｝

　　　+ ｛-(1-1/2^2)ζ(3) + (1-1/2^4)ζ(5) - (1-1/2^6)ζ(7) + (1-1/2^8)ζ(9) - ・・｝　　　　---�C

　�Bとは対称的な感じの式が出ました。

ここで得た�Bと�Cをまとめておきましょう。

∫0〜π/2 coshx・log｛2cos(x/2)｝ｄx 　＝cosh(π/2)・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ 　　　　　+ sinh(π/2)・｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^3-(1-1/2^4)ζ(5)/2^5+(1-1/2^6)ζ(7)/2^7-+ ・・｝ 　∫0〜π/2 sinhx・log｛2cos(x/2)｝ｄx 　＝sinh(π/2)・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ 　　　+ cosh(π/2)・｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^3-(1-1/2^4)ζ(5)/2^5+(1-1/2^6)ζ(7)/2^7- ・・｝ 　　　+ ｛-(1-1/2^2)ζ(3) + (1-1/2^4)ζ(5) - (1-1/2^6)ζ(7) + (1-1/2^8)ζ(9) - ・・｝

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