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ここでは、「その５」に準じて「その２」で出した式を、リーマン・ゼータの極ζ（1）を含む美しい形に全面的に書き換えて
で美しい形にします。ここでは＜作用素別定理と統一的法則性の結合 その１＞を全面的に書き換えていくわけですが、
最終的に到達する式を先に書いておきましょう。ここで導いた式は、次のものです。
e^(-x)∫0～x e^x・cosx/sinx ｄx
＝2［｛1/(2^2+1)・(-2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(-4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(-6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(-8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛-(log2)/2 + ζ(1)/2 - ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 - ・・・｝］ --①
これも極ζ(1)まで含んだ不思議な式となっています。
上は次の奇数ゼータの中心母等式②に重回積分を重ねた一連の式を足し合わせ、それに作用素の定理（下の
定理４）を適用すると出てきます。
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + sin8x + ・・・・） ------②
「その２」では、②を１回積分した式を次のような形で表現していました。
log(2sinx)＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・)
もちろん、これは正しいのですが、次のように∫を残した形で書いておく方がより美しい形にできると気付いたの
です。
∫cosx/sinx＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・) + 2｛1/2 + 1/4 +1/6 + 1/8 + ・・・・｝
＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・) + ζ(1) - log2 -------③
この式に延々と重回積分を重ねていけばよいわけですが、この辺は、「その５」での議論と同じです。
以下で①の導出を示しますが、前準備として、定理４をかかげておきましょう。
（∫-∫^2+∫^3-・・・）Ｇ（x）とは、つまり、∫Ｇ（x）dx-∫^2Ｇ（x）dxdx+∫^3Ｇ（x）dxdxdx-・・・のことですが、この定理
は、作用素（∫-∫^2+∫^3 -・・・）が作用素e^(-x)∫e^xに等しいという面白い定理です。
なお∫^2は２回積分∫∫・・dxdxを、∫^3は３回積分∫∫∫・・dxdxdxを表しています。
なおこの定理はe^xに関する公式の発見 その３ で私が見つけていたものですが、証明などはそちらをご覧ください。
以下で、①式の導出過程を示します。
［①式の導出］
「その４」と類似の議論を行います。
まずもう一度、奇数ゼータの中心母等式を書きますと、次のようになります。
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + sin8x + ・・・・） ------②
この②をひたすら重回積分した式を書いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
偶数回積分の式には、両辺に-1を掛けています。
１回積分
∫cosx/sinx＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・) + ζ(1) - log2
2回積分
-∫∫cosx/sinx＝2(sin2x/2^2 + sin4x/4^2 + sin6x/6^2 + ・・・) - ｛ζ(1) - log2｝x
3回積分
∫∫∫cosx/sinx＝2(cos2x/2^3 + cos4x/4^3 + cos6x/6^3 + ・・・)
- ζ(3)/2^2 + ｛ζ(1) - log2｝x^2/2！
4回積分
-∫∫∫∫cosx/sinx＝-2(sin2x/2^4 + sin4x/4^4 + sin6x/6^4 + ・・・)
+ ζ(3)/2^2・x - ｛ζ(1) - log2｝x^3/3！
5回積分
∫∫∫∫∫cosx/sinx＝-2(cos2x/2^5 + cos4x/4^5 + cos6x/6^5 + ・・・)
+ ζ(5)/2^4 - ζ(3)/2^2・x^2/2！+ ｛ζ(1) - log2｝x^4/4！
6回積分
-∫∫∫∫∫∫cosx/sinx＝2(sin2x/2^6 + sin4x/4^6 + sin6x/6^6 + ・・・)
- ζ(5)/2^4 ・x + ζ(3)/2^2・x^3/3！- ｛ζ(1) - log2｝x^5/5！
7回積分
∫∫∫∫∫∫∫cosx/sinx＝2(cos2x/2^7 + cos4x/4^7 + cos6x/6^7 + ・・・)
- ζ(7)/2^6 + ζ(5)/2^4 ・x^2/2！ - ζ(3)/2^2・x^4/4！ + ｛ζ(1) - log2｝x^6/6！
8回積分
-∫∫∫∫∫∫∫∫cosx/sinx＝-2(sin2x/2^8 + sin4x/4^8 + sin6x/6^8 + ・・・)
+ ζ(7)/2^6 ・x - ζ(5)/2^4 ・x^3/3！ + ζ(3)/2^2・x^5/5！- ｛ζ(1) - log2｝x^7/7！
・
・
と、このように延々と続いていきます。
さて、上を縦に全部足し合わせて整理すると（途中は略しましたが）、次のようになります。
（∫-∫^2 +∫^3-∫^4+・・・）cosx/sinx ｄx
＝2［｛1/(2^2+1)・(-2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(-4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(-6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(-8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛-(log2)/2 + ζ(1)/2 - ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 + ・・・｝］ ----③
さて、この③の左辺に、上の「定理４」を適用すると、次のようになります。
（∫-∫^2+∫^3-∫^4・・・）cosx/sinx ｄx＝e^(-x)∫0～x e^x・cosx/sinx ｄx -----④
よって、この③と④から、次の目標の①が出ます。
e^(-x)∫0～x e^x・cosx/sinx ｄx
＝2［｛1/(2^2+1)・(-2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(-4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(-6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(-8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛-(log2)/2 + ζ(1)/2 - ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 +・・・｝］
上は、e^x・cosx/sinxを無限級数に展開したときの収束半径がπであることから、0 ＝< |ｘ| < πで成り立ちます。
このように①式が導けました。
導出終わり。
また、同じことですが、①式は両辺をe^(-x)で割って、もちろん次のように書くこともできます。
∫0～x e^x・cosx/sinx ｄx
＝2［e^x｛1/(2^2+1)・(-2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(-4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(-6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(-8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｛-(log2)/2 + ζ(1)/2 - ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 +・・・｝］ ---①
まとめておきます。
註：左辺は、もちろん、e^(-x)∫0～x e^x・cotx ｄxでもOKです。
一つ上での等式1B-2（次式）でいくつかの具体的な計算を見てみましょう。
e^(-x)∫0～x e^x・cosx/sinx ｄx
＝2［｛1/(2^2+1)・(-2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(-4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(-6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(-8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛-(log2)/2 + ζ(1)/2 - ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 +・・・｝］
（ 0 ＝< |ｘ| < π ）
例えば、x＝0を代入すればどうなるでしょうか。左辺の積分項は消え、右辺から次のような式が出ます。
-log2/2 + ζ(1)/2 - ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ・・・
＝2/(2^2+1) + 4/(4^2+1) + 6/(6^2+1) + 8/(8^2+1) + ・・・ ---①
じつは、この式は＜等式１-2での具体的計算＞で導いた式と一致しています。面白いものですね。
次に、x＝π/2を代入すれば、どうなるでしょうか。
e^(-π/2)∫0～π/2 e^x・cosx/sinxｄx
＝2[｛2/(2^2+1) - 4/(4^2+1) + 6/(6^2+1) - 8/(8^2+1) + ・・・｝
+ e^(-π/2)・｛-(log2)/2 + ζ(1)/2 - ζ(3)/2^3 + ζ（5）/2^5 - ζ(7)/2^7 + ・・・｝]
となりますが、右辺をさらに変形することで、次のようにできます。
e^(-π/2)∫0～π/2 e^x・cosx/sinxｄx
＝｛log2 - (1-1/2^2)ζ(3)/2^2 + (1-1/2^4)ζ（5）/2^4 - (1-1/2^6)ζ(7)/2^6 + ・・・｝
+ e^(-π/2)・｛-log2 + ζ(1) - ζ(3)/2^2 + ζ（5）/2^4 - ζ(7)/2^6 + ・・・｝
あるいは、両辺をe^(-π/2)で割れば、次のようになります。
∫0～π/2 e^x・cosx/sinxｄx
＝e^(π/2)・｛log2 - (1-1/2^2)ζ(3)/2^2 + (1-1/2^4)ζ（5）/2^4 - (1-1/2^6)ζ(7)/2^6 + ・・・｝
+ ｛-log2 + ζ(1) - ζ(3)/2^2 + ζ（5）/2^4 - ζ(7)/2^6 + ・・・｝
この式は、関数 e^x・cosx/sinxを0～π/2の範囲で積分すれば奇数ゼータの無限和が出現することを表していると
いえるでしょう。
次に、偶数Ｌ関数の中心母等式（次①式）も上と同様に書き換えていきましょう。
すなわち、「その２」ので＜作用素別定理と統一的法則性の結合 その２＞で等式2Bを導きましたが、これをもっと
シンプルで美しい形にするのです。
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・） ----①
結論からいえば、次のような興味深い式がでます。
e^(-x)∫0～x e^x・(1/sinx)ｄx
＝2［｛1/2・(-cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(-3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(-5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(-7cos7x+sin7x) + ・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) +・・｝］---②
②の導出過程を示します。
［導出方法］
もう一度、偶数Ｌ関数の中心母等式を書きます（これに関する詳細はその１２参照）。
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・） ----②
この②をひたすら重回積分した式を書いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
偶数回積分の式には、両辺に-1を掛けています。
１回積分
∫1/sinx＝-2(cosx + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・・) + 2(1 + 1/3 + 1/5 + 1/7・・・・)
＝-2(cosx + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・・) + ζ(1) + log2 --------③
2回積分
-∫∫1/sinx＝2(sinx + sin3x/3^2 + sin5x/5^2 + ・・・) - ｛ζ(1) + log2｝x
3回積分
∫∫∫1/sinx＝2(cosx + cos3x/3^3 + cos5x/5^3 + ・・・) - 2(1-1/2^3)ζ(3) + ｛ζ(1) + log2｝x^2/2！
4回積分
-∫∫∫∫1/sinx＝-2(sinx + sin3x/3^4 + sin5x/5^4 + ・・・) + 2(1-1/2^3)ζ(3)x - ｛ζ(1) + log2｝x^3/3！
5回積分
∫∫∫∫∫1/sinx＝-2(cosx + cos3x/3^5 + cos5x/5^5 + ・・・)
+ 2(1-1/2^5)ζ(5) - 2(1-1/2^3)ζ(3)x^2/2！ + ｛ζ(1) + log2｝x^4/4！
6回積分
-∫∫∫∫∫∫1/sinx＝2(sinx + sin3x/3^6 + sin5x/5^6 + ・・・)
- 2(1-1/2^5)ζ(5)x + 2(1-1/2^3)ζ(3)x^3/3！ - ｛ζ(1) + log2｝x^5/5！
7回積分
∫∫∫∫∫∫∫1/sinx＝2(cosx + cos3x/3^7 + cos5x/5^7 + ・・・)
-2 (1-1/2^7)ζ(7) + 2(1-1/2^5)ζ(5)x^2/2！ - 2(1-1/2^3)ζ(3)x^4/4！ + ｛ζ(1) + log2｝x^6/6！
8回積分
-∫∫∫∫∫∫∫∫1/sinx＝-2(sinx + sin3x/3^8 + sin5x/5^8 + ・・・)
+ 2(1-1/2^7)ζ(7)x - 2(1-1/2^5)ζ(5)x^3/3！ + 2(1-1/2^3)ζ(3)x^5/5！ - ｛ζ(1) + log2｝x^7/7！
・
・
と、このようになります。
上の③で、ζ(1) + log2となっているのが不思議に思われるかと思いますが、
ζ(1) + log2＝2(1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ・・・・) が成立することから③が言えるのですが、この辺の詳細は、
「いくつかの点」シリーズの「その１２」の＜偶数Ｌ関数の統一的法則性 （別形式）＞を参照ください。
さて、上を縦に全部足し合わせ整理すると次のようになります。
(∫-∫^2+∫^3-∫^4+ ・・・)(1/sinx)dx
＝2［｛Ｌ（0)(-cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(-3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(-5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(-7cos7x+sin7x) + ・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) +・・｝］---④
ここで∫∫＝∫^2、∫∫∫＝∫^3、・・としています。
さて、この左辺に「定理４」（冒頭参照）を適用すると、次のようになります。
（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・）(1/sinx)＝e^(-x)∫0～x e^x・(1/sinx)ｄx --------⑤
よって、少し④を整理し、④と⑤から目標の次式が出ます。
e^(-x)∫0～x e^x・(1/sinx)ｄx
＝2［｛Ｌ（0)(-cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(-3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(-5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(-7cos7x+sin7x) + ・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) +・・｝］---②
e^x・(1/sinx)の収束半径がπであることと冒頭の定理から、②は0 ＝< |ｘ| < πの範囲で成立します。
このように②式が導けました。
導出終わり。
まとめておきます。L(0)＝1/2ですから、それに置き換えて書きました。
一つ上での等式2B-2（次式）でいくつかの具体的な計算を見てみましょう。
e^(-x)∫0～x e^x・(1/sinx)ｄx
＝2［｛1/2・(-cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(-3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(-5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(-7cos7x+sin7x) + ・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) +・・｝］
（ 0 ＝< |ｘ| < π ）
例えば、x＝0を代入すればどうなるでしょうか。左辺の積分項は消え、右辺から次のような式が出ます。
1/2はL(0)でしたので、L(0)で置き換えています。
log2/2 + (1-1/2)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + ・・・
＝L(0) + 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) + 9/(9^2+1) + ・・・
じつは、この式は＜等式2-2での具体的計算＞で導いた式と一致しています。面白いものですね。
次に、x＝π/2を代入すれば、どうなるでしょうか。
e＾(-π/2)∫0～π/2 e^x・(1/sinx)ｄx ＝2［｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ + ｅ＾(-π/2)｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + ・・・｝]
あるいは、両辺をe^(-π/2)で割れば次のようになります。
∫0～π/2 e^x・(1/sinx)ｄx
＝2［ｅ＾(π/2)｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ + ｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + ・・・｝]
この式は、e^x・1/sinxという関数を0～π/2の範囲で積分すれば奇数ゼータと偶数L関数の無限和が出現する
という面白いことを語っています。
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