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「その３」で導いた式をさらに変形し、ゼータの調和を好む性質を調べます。
まず「その３」の＜等式１と等式１Ｂから導かれる式＞で出していた次の式に注目してみましょう。
∫0～π/2 coshx・log(2sinx) ｄx
＝sinh(π/2)・｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^2 - (1-1/2^4)ζ(5)/2^4
+ (1-1/2^6)ζ(7)2^6 - (1-1/2^8)ζ(9)/2^8 + ・・・｝ ----①
ここで、coshx＝(e^x + e^(-x))/2、sinhx＝(e^x - e^(-x))/2です。
さて、この右辺を変形していきましょう。
「いくつかの点」シリーズのその３の＜πx/sinhπx と πx/sinπx の２式を追加＞で導いていた次式を用い
ます。
πx/sinh(πx)＝ 2｛(1-2^1)ζ(0)x^0 - (1-2^(-1))ζ(2) x^2 + (1-2^(-3))ζ(4)x^4 - (1-2^(-5))ζ(6)x^6 +・・・ ｝ ----②
( 0 < |x| < 1 ）
この式にx＝1/2を代入して、
sinh(π/2)＝(π/4)/｛(1-2)ζ(0) - (1-2^(-1))ζ(2)/2^2 + (1-2^(-3))ζ(4) /2^4 - (1-2^(-5))ζ(6)/2^6 +・・・｝
よって、これを①の右辺に代入して整理すると次式が出ます。
∫0～π/2 coshx・log(2sinx) ｄx
＝(π/2)｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^3 - (1-1/2^4)ζ(5)/2^5+ (1-1/2^6)ζ(7)2^7 - (1-1/2^8)ζ(9)/2^9+・・・｝
×｛(1-2)ζ(0) - (1-1/2)ζ(2)/2^2 + (1-1/2^3)ζ(4) /2^4 - (1-1/2^5)ζ(6)/2^6 +・・・｝^(-1)
右辺の調和が見事だと思います。極ζ(1)=∞を除く全てのリーマン・ゼータ特殊値が出ています。
左辺の三角関数（類似物）がゼータを生み出している式と読めるでしょう。
この式などを見ると、「いくつかの点」シリーズのまとめの最後で表現した
「三角関数のある所、ゼータ関数あり！」
という言葉を思い出してしまいます。
次に「その３」の＜等式２と等式２Ｂから導かれる式＞で出していた次の式に注目してみましょう。
∫0～π/2 coshx・log｛cot(x/2)｝ｄx
＝2cosh(π/2)・｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ ---①
さて、この右辺の変形をする前に、次の式を出しました。
＝ 2｛x/(1+x^2) + (L(1)-1)x - (L(3)-1)x^3 + (L(5)-1)x^5 - (L(7)-1)x^7 + ・・・ ｝ ----②
( 0 < |x| < 3 ）
この式は、「いくつかの点」シリーズのその３でπx/sinh(πx)の場合を導いたのと同様の方法で導けます。
そこでは(πx/2)/cosh(πx/2)の式は出していなかったのですが、πx/sinh(πx)の場合と同様の方法を
用いて今回次の部分分数展開(*)を利用して導きました。
sechx＝4π｛1/(π^2+4x^2) - 3/(9π^2+4x^2) + 5/(25π^2+4x^2) - 7/(49π^2+4x^2)+ ・・・・｝ ----③
ここで、sechx＝1/coshx＝2/(e^x + e^(-x)) です。
③の右辺の各項をひたすらテイラー展開していき、それらをまとめあげれば②が得られます。
さて、②でx＝1を代入すると、
2cosh(π/2)＝(π/2)/｛1/2 + (L(1)-1) - (L(3)-1) + (L(5)-1) - (L(7)-1) + ・・・ ｝ ----④
これを①に代入して整理すると、
∫0～π/2 coshx・log｛cot(x/2)｝ｄx
＝(π/2)｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝
× ｛1/2 + (L(1)-1) - (L(3)-1) + (L(5)-1) - (L(7)-1) + ・・・ ｝^(-1)
この式は、左辺の三角関数（類似物）がＬ関数を生み出している式と読めるでしょう。
一つ上で出したものと対比的な式といえるかもしれません。
(*)「マグロウヒル数学公式・数表ハンドブック」(Murray R. Spiegel著、氏家勝巳訳、オーム社)
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