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∑1/(n^k・e^(nπ))を調べた。
ここでは∑1/(n^k・e^(nπ))の積分表示を求めることにする。次のものである。
1/(1^k・e^(π)) + 1/(2^k・e^(2π)) + 1/(3^k・e^(3π)) +・・ ----①
フーリエシステムを用いて求めていくが、その際、フーリエ級数の公式
sinx/(cosh(a)-cosx)＝2∑sin(nx)/e^(an) (-π<= x<=π， a>0)
sinh(a)/(cosh(a)-cosx)＝1 + 2∑cos(nx)/e^(an) (-π<= x<=π， a>0)
を（他の公式とともに）利用することになる。∑はn＝1～∞の和。（この公式は、例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、
岩波書店）p.250を参照）
①のk＝1，2，3，4の場合、すなわち、次を順に求めていく。
1/(1・e^(π)) + 1/(2・e^(2π)) + 1/(3・e^(3π)) +・・
1/(1^2・e^(π)) + 1/(2^2・e^(2π)) + 1/(3^2・e^(3π)) +・・
1/(1^3・e^(π)) + 1/(2^3・e^(2π)) + 1/(3^3・e^(3π)) +・・
1/(1^4・e^(π)) + 1/(2^4・e^(2π)) + 1/(3^4・e^(3π)) +・・
まずは、k＝1の場合から。
k＝1の場合、すなわち、
1/(1・e^(π)) + 1/(2・e^(2π)) + 1/(3・e^(3π)) +・・ ----①
の積分表示を導出する。
[∑1/(n・e^(nπ))導出]
①の形から、関数（コサイン級数）
ｆ(x)＝cosx/(1・e^(π)) + cos2x/(2・e^(2π)) + cos3x/(3・e^(3π)) + ・・・ ----②
を考える。周期は2πである。
フーリエ級数の性質より、
1/(1・e^(π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
1/(2・e^(2π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/(3・e^(3π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/(1・e^(π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/e^(π) + sin2x/e^(2π) + sin3x/e^(3π) + ・・・)(sinx/1) dx
1/(2・e^(2π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/e^(π) + sin2x/e^(2π) + sin3x/e^(3π) + ・・・)(sin2x/2) dx
1/(3・e^(3π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/e^(π) + sin2x/e^(2π) + sin3x/e^(3π) + ・・・)(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/(1・e^(π)) + 1/(2・e^(2π)) + 1/(3・e^(3π)) +・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/e^(π) + sin2x/e^(2π) + sin3x/e^(3π) + ・・・)(sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3+ ・・) dx ---③
ここでフーリエ級数の公式
sinx/(cosh(a)-cosx)＝2｛sinx/e^(a) + sin2x/e^(2a) + sin3x/e^(3a) + ・・｝ (-π<= x<=π， a>0)
sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + ・・＝(π-x)/2 (0 <x<2π)
でa＝πとして③に用いて、整理すると、
1/(1・e^(π)) + 1/(2・e^(2π)) + 1/(3・e^(3π)) +・・＝(1/2)∫(0～π) (1-x/π)・sinx/(coshπ-cosx) dx ----④
となる。
左辺の積分表示が求まった。
[終わり]
④の検証においては左辺のExcel数値計算の結果と、右辺の定積分の値が一致することで確認した。（その際、定積分
を計算できるフリーの計算ソフトBearGraphを用いた）
k＝2の場合、
1/(1^2・e^(π)) + 1/(2^2・e^(2π)) + 1/(3^2・e^(3π)) +・・ ----①
の積分表示を導出する。
[∑1/(n・e^(nπ))導出]
①の形から、関数（コサイン級数）
ｆ(x)＝cosx/(1^2・e^(π)) + cos2x/(2^2・e^(2π)) + cos3x/(3^2・e^(3π)) + ・・・ ----②
を考える。周期は2πである。
フーリエ級数の性質より、
1/(1^2・e^(π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
1/(2^2・e^(2π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/(3^2・e^(3π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/(1^2・e^(π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1・e^(π)) + sin2x/(2・e^(2π)) + sin3x/(3・e^(3π)) + ・・・)(sinx/1) dx
1/(2^2・e^(2π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1・e^(π)) + sin2x/(2・e^(2π)) + sin3x/(3・e^(3π)) + ・・・)(sin2x/2) dx
1/(3^2・e^(3π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1・e^(π)) + sin2x/(2・e^(2π)) + sin3x/(3・e^(3π)) + ・・・)(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/(1^2・e^(π)) + 1/(2^2・e^(2π)) + 1/(3^2・e^(3π)) +・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1・e^(π)) + sin2x/(2・e^(2π)) + sin3x/(3・e^(3π)) + ・・・)(sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 +・・) dx
Sin-Cos移動の法則（部分積分）より、右辺は次のように変形できる。
1/(1^2・e^(π)) + 1/(2^2・e^(2π)) + 1/(3^2・e^(3π)) +・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/e^(π) + cos2x/e^(2π) + cos3x/e^(3π) +・・)(cosx/1^2+cos2x/2^2+cos3x/3^2 ・・) dx ---③
ここでフーリエ級数の公式
sinh(a)/(cosh(a)-cosx)＝1 + 2｛cosx/e^(a) + cos2x/e^(2a) + cos3x/e^(3a) + ・・｝ (-π<= x<=π， a>0)
cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + ・・＝(π-x)^2/4 -π^2/12 (0 <=x<=2π)
でa＝πとしたものを③に用いて、整理すると、
1/(1^2・e^(π)) + 1/(2^2・e^(2π)) + 1/(3^2・e^(3π)) +・・
＝∫(0～π) ｛(x-π)^2/(4π) -π/12｝｛sinhπ/(coshπ-cosx) - 1｝ dx ----④
となる。
左辺の積分表示が求まった。
[終わり]
④の検証においては左辺のExcel数値計算の結果と、右辺の定積分の値が一致することで確認した。
k＝3の場合、
1/(1^3・e^(π)) + 1/(2^3・e^(2π)) + 1/(3^3・e^(3π)) +・・ ----①
の積分表示を導出する。
[∑1/(n・e^(nπ))導出]
①の形から、関数（コサイン級数）
ｆ(x)＝cosx/(1^3・e^(π)) + cos2x/(2^3・e^(2π)) + cos3x/(3^3・e^(3π)) + ・・・ ----②
を考える。周期は2πである。
フーリエ級数の性質より、
1/(1^3・e^(π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
1/(2^3・e^(2π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/(3^3・e^(3π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/(1^3・e^(π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^2・e^(π)) + sin2x/(2^2・e^(2π)) + sin3x/(3^2・e^(3π)) + ・・・)(sinx/1) dx
1/(2^3・e^(2π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^2・e^(π)) + sin2x/(2^2・e^(2π)) + sin3x/(3^2・e^(3π)) + ・・・)(sin2x/2) dx
1/(3^3・e^(3π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^2・e^(π)) + sin2x/(2^2・e^(2π)) + sin3x/(3^2・e^(3π)) + ・・・)(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/(1^3・e^(π)) + 1/(2^3・e^(2π)) + 1/(3^3・e^(3π)) +・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^2・e^(π)) + sin2x/(2^2・e^(2π)) + sin3x/(3^2・e^(3π)) + ・・・)(sinx/1 + sin2x/2 + ・・) dx
Sin-Cos移動の法則（部分積分）より、右辺は次のように次々と機械的に変形できる。
1/(1^3・e^(π)) + 1/(2^3・e^(2π)) + 1/(3^3・e^(3π)) +・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1・e^(π)) + cos2x/(2・e^(2π)) + cos3x/(3・e^(3π)) +・・)(cosx/1^2 + cos2x/2^2 + ・・) dx
1/(1^3・e^(π)) + 1/(2^3・e^(2π)) + 1/(3^3・e^(3π)) +・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/e^(π) + sin2x/e^(2π) + sin3x/e^(3π) +・・)(sinx/1^3 + sin2x/2^3 + ・・) dx ----③
ここでフーリエ級数の公式
sinx/(cosh(a)-cosx)＝2｛sinx/e^(a) + sin2x/e^(2a) + sin3x/e^(3a) + ・・｝ (-π<= x<=π， a>0)
sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + ・・＝｛π^3-π^2・x+(x-π)^3｝/12 (0 <=x<=2π)
でa＝πとしたものを③に用いて、整理すると、
1/(1^3・e^(π)) + 1/(2^3・e^(2π)) + 1/(3^3・e^(3π)) +・・
＝(1/(12π))∫(0～π) ｛π^3-π^2・x+(x-π)^3｝sinx/(coshπ-cosx) dx ----④
となる。
左辺の積分表示が求まった。
[終わり]
④の検証においては左辺のExcel数値計算の結果と、右辺の定積分の値が一致することで確認した。
k＝4の場合、
1/(1^4・e^(π)) + 1/(2^4・e^(2π)) + 1/(3^4・e^(3π)) +・・ ----①
の積分表示を導出する。
[∑1/(n・e^(nπ))導出]
①の形から、関数（コサイン級数）
ｆ(x)＝cosx/(1^4・e^(π)) + cos2x/(2^4・e^(2π)) + cos3x/(3^4・e^(3π)) + ・・・ ----②
を考える。周期は2πである。
フーリエ級数の性質より、
1/(1^4・e^(π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
1/(2^4・e^(2π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/(3^4・e^(3π))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/(1^4・e^(π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^3・e^(π)) + sin2x/(2^3・e^(2π)) + sin3x/(3^3・e^(3π)) + ・・・)(sinx/1) dx
1/(2^4・e^(2π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^3・e^(π)) + sin2x/(2^3・e^(2π)) + sin3x/(3^3・e^(3π)) + ・・・)(sin2x/2) dx
1/(3^4・e^(3π))＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^3・e^(π)) + sin2x/(2^3・e^(2π)) + sin3x/(3^3・e^(3π)) + ・・・)(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/(1^4・e^(π)) + 1/(2^4・e^(2π)) + 1/(3^4・e^(3π)) +・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^3・e^(π)) + sin2x/(2^3・e^(2π)) + sin3x/(3^3・e^(3π)) + ・・・)(sinx/1 + sin2x/2 + ・・) dx
Sin-Cos移動の法則（部分積分）より、右辺は次のように次々と機械的に変形できる。
1/(1^4・e^(π)) + 1/(2^4・e^(2π)) + 1/(3^4・e^(3π)) +・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2・e^(π)) + cos2x/(2^2・e^(2π)) + cos3x/(3^2・e^(3π)) +・・)(cosx/1^2 + cos2x/2^2 + ・・) dx
1/(1^4・e^(π)) + 1/(2^4・e^(2π)) + 1/(3^4・e^(3π)) +・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^1・e^(π)) + sin2x/(2^1・e^(2π)) + sin3x/(3^1・e^(3π)) + ・・・)(sinx/1^3 + sin2x/2^3 + ・・) dx
1/(1^4・e^(π)) + 1/(2^4・e^(2π)) + 1/(3^4・e^(3π)) +・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/e^(π) + cos2x/e^(2π) + cos3x/e^(3π) +・・)(cosx/1^4 + cos2x/2^4 + ・・) dx ----③
このSin-Cos移動の法則の美しい流れを味わっていただきたい。まったく機械的な変形でOKなのである！
ここでフーリエ級数の公式
sinh(a)/(cosh(a)-cosx)＝1 + 2｛cosx/e^(a) + cos2x/e^(2a) + cos3x/e^(3a) + ・・｝ (-π<= x<=π， a>0)
cosx/1^4 + cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + ・・＝｛2π^2(π-x)^2 -(x-π)^4-7π^4/15｝/48 (0 <=x<=2π)
でa＝πとしたものを③に用いて、整理すると、
1/(1^4・e^(π)) + 1/(2^4・e^(2π)) + 1/(3^4・e^(3π)) +・・
＝(1/(48π))∫(0～π) ｛2π^2(π-x)^2 -(x-π)^4-7π^4/15)｝｛sinhπ/(coshπ-cosx) -1｝dx ----④
となる。
左辺の積分表示が求まった。
[終わり]
④の検証においては左辺のExcel数値計算の結果と、右辺の定積分の値が一致することで確認した。（その際、定積分
を計算できるフリーの計算ソフトBearGraphを用いた）
この頁のすべての場合をまとめておく。
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