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∑(2n-1)!!/((2n)!!・(2n+1)^k)を調べた。
ここでは∑(2n-1)!!/((2n)!!・(2n+1)^k) の積分表示を求めたい。次のものである。
(-1)!!/(0!!・1^k) + 1!!/(2!!・3^k) + 3!!/(4!!・5^k) + ・・・ ----①
フーリエシステムを用いて、k＝2，3の場合を求めることにする。その際、フーリエ級数の公式
∑｛(2n-1)!!/(2n)!!｝sin(2n+1)x＝sin(x/2+π/4)/√(2sinx) (0 < x < π)
∑｛(2n-1)!!/((2n+1)(2n)!!)｝cos(2n+1)x＝arcsin(cos(x/2)-sin(x/2)) (0 <=x<=π）
を（他の公式とともに）利用することになる。
なお、!!記号は、(2n)!!＝2n(2n-2)・・4・2， (2n-1)!!＝(2n-1)(2n-3)(2n-5)・・3・1である。また0!!＝（-1）!!＝1。
arcsinは、アークsinである。
まず ｋ＝3の
(-1)!!/(0!!・1^3) + 1!!/(2!!・3^3) + 3!!/(4!!・5^3) + ・・・
から求めよう。
(-1)!!/(0!!・1^3) + 1!!/(2!!・3^3) + 3!!/(4!!・5^3) + ・・・ ----①
の積分表示を導出する。
[∑(2n-1)!!/((2n)!!・(2n+1)^3)導出]
①の形から、関数（コサイン級数）
ｆ(x)＝cosx・(-1)!!/(0!!・1^3) + cos3x・1!!/(2!!・3^3) + cos5x・3!!/(4!!・5^3) + ・・・ ----②
を考える。周期は2πである。
フーリエ級数の直交性を用いて、
(-1)!!/(0!!・1^3)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
1!!/(2!!・3^3)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
3!!/(4!!・5^3)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos5x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
(-1)!!/(0!!・1^3)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・(-1)!!/(0!!・1^2) + sin3x・1!!/(2!!・3^2) + sin5x・3!!/(4!!・5^2) + ・・・)(sinx/1) dx
1!!/(2!!・3^3)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・(-1)!!/(0!!・1^2) + sin3x・1!!/(2!!・3^2) + sin5x・3!!/(4!!・5^2) + ・・・)(sin3x/3) dx
3!!/(4!!・5^3)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・(-1)!!/(0!!・1^2) + sin3x・1!!/(2!!・3^2) + sin5x・3!!/(4!!・5^2) + ・・・)(sin5x/5) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
(-1)!!/(0!!・1^3) + 1!!/(2!!・3^3) + 3!!/(4!!・5^3) + ・・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx・(-1)!!/(0!!・1^2) + sin3x・1!!/(2!!・3^2) + sin5x・3!!/(4!!・5^2) + ・・・)(sinx/1+sin3x/3+・・) dx
Sin-Cos移動の法則より（右辺を部分積分して）
(-1)!!/(0!!・1^3) + 1!!/(2!!・3^3) + 3!!/(4!!・5^3) + ・・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx・(-1)!!/(0!!・1) + cos3x・1!!/(2!!・3) + cos5x・3!!/(4!!・5) + ・・・)(cosx/1^2+cos3x/3^2+・・) dx --③
ここでフーリエ級数の公式
∑｛(2n-1)!!/((2n+1)(2n)!!)｝cos(2n+1)x＝arcsin(cos(x/2)-sin(x/2)) (0 <=x<=π)
cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 + ・・＝π(π-2x)/8 (0 <=x<=π)
を③に代入して、整理すると、
(-1)!!/(0!!・1^3) + 1!!/(2!!・3^3) + 3!!/(4!!・5^3) + ・・・＝∫(0～π) (π/4-x/2)arcsin(cos(x/2)-sin(x/2)) dx ----④
となる。
左辺の積分表示が求まった。
[終わり]
④の検証においては左辺のExcel数値計算の結果と、右辺の定積分の値が一致することで確認した。（その際、定積分
を計算できるフリーの計算ソフトBearGraphを用いた）
次にｋ＝2の場合、つまり
(-1)!!/(0!!・1^2) + 1!!/(2!!・3^2) + 3!!/(4!!・5^2) + ・・・ ----①
の積分表示を導出する。
[∑(2n-1)!!/((2n)!!・(2n+1)^2)導出]
①の形から、関数（サイン級数）
ｆ(x)＝sinx・(-1)!!/(0!!・1^2) + sin3x・1!!/(2!!・3^2) + sin5x・3!!/(4!!・5^2) + ・・・ ----②
を考える。周期は2πである。
フーリエ級数の直交性を用いて、
(-1)!!/(0!!・1^2)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sinx dx
1!!/(2!!・3^2)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin3x dx
3!!/(4!!・5^2)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin5x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
(-1)!!/(0!!・1^2)＝(2/π)∫(0～π) (cosx・(-1)!!/(0!!・1) + cos3x・1!!/(2!!・3) + cos5x・3!!/(4!!・5) + ・・・)(cosx/1) dx
1!!/(2!!・3^2)＝(2/π)∫(0～π) (cosx・(-1)!!/(0!!・1) + cos3x・1!!/(2!!・3) + cos5x・3!!/(4!!・5) + ・・・)(cos3x/3) dx
3!!/(4!!・5^2)＝(2/π)∫(0～π) (cosx・(-1)!!/(0!!・1) + cos3x・1!!/(2!!・3) + cos5x・3!!/(4!!・5) + ・・・)(cos5x/5) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
(-1)!!/(0!!・1^2) + 1!!/(2!!・3^2) + 3!!/(4!!・5^2) + ・・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx・(-1)!!/(0!!・1) + cos3x・1!!/(2!!・3) + cos5x・3!!/(4!!・5) + ・・・)(cosx/1+cos3x/3+・・) dx ---③
ここでフーリエ級数の公式
∑｛(2n-1)!!/((2n+1)(2n)!!)｝cos(2n+1)x＝arcsin(cos(x/2)-sin(x/2)) (0 <=x<=π)
cosx/1 + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・＝(1/2)log｜cot(x/2)｜ (0 < x <2π，xはπでない)
を③に代入して、整理すると、
(-1)!!/(0!!・1^2) + 1!!/(2!!・3^2) + 3!!/(4!!・5^2) + ・・・
＝(1/π)∫(0～π) arcsin(cos(x/2)-sin(x/2))・log｜cot(x/2)｜dx ----④
となる。
左辺の積分表示が求まった。
[終わり]
一つ上の結果と合わせて、まとめる。
この結果から、偶数ゼータζ(2n)の性質を引き継いでいるのは^3の方であり、上方の^2は奇数ゼータζ(2n+1)の性質
をもつと考えられる。
事実、∑(2n-1)!!/((2n)!!・(2n+1)^4)を求めようとすると、非常な困難に見舞われる。
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