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L(2)、L(3)を求めた。
フーリエシステムを用いて、L(s)の値をいくか求めよう。
L(s)は、ディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種のゼータで、
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
で定義される。L(s)は、リーマン・ゼータζ(ｓ)と兄弟分の関係にあるものである。
ちなみにζ(ｓ)もL(χ,s)の一種のゼータである。
s＝1での
L(1)＝1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ・・・＝π/4
はライプニッツの公式として有名である。
L(2)から求めたい。L(2n)はこれは奇数ゼータζ(2n+1)と同様、現代数学でも正体がつかみきれていないものである。
[L(2)導出]
L(2)＝1/1^2 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 +・・ ----①
①の形に着目して、関数（サイン級数）
ｆ(x)＝sinx/1^2 - sin3x/3^2 + sin5x/5^2 - sin7x/7^2 +・・ -----②
を考える。周期は2πである。
フーリエ級数の直交性を用いて、
1/1^2＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sinx dx
-1/3^2＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin3x dx
1/5^2＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin5x dx
・
・
さらに、これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/1^2＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1 - cos3x/3 + cos5x/5 - ・・)・(cosx/1) dx
-1/3^2＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1 - cos3x/3 + cos5x/5 - ・・)・(cos3x/3) dx
1/5^2＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1 - cos3x/3 + cos5x/5 - ・・)・(cos5x/5) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、左辺は①から
L(2)＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1 - cos3x/3 + cos5x/5 - ・・)・(cosx/1 + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・) dx ----③
ここでフーリエ級数の公式
cosx/1 - cos3x/3 + cos5x/5 - cos7x/7 + ・・＝π/4(-π/2<x<π/2)、0（ｘ＝π/2）、-π/4(π/2<x<3π/2) ----④
cosx/1 + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・＝(ｌog|cot(x/2)|)/2 (0 <x< 2π、ただしxはπでない)
を用いて③を計算していく。（この公式は、例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）を参照）
③の積分範囲0～πと、④の場合分けに注意しながら計算していく。
L(2)＝(2/π)｛∫(0～π/2) (π/4）(ｌog|cot(x/2)|)/2 dx +∫(π/2～π) (-π/4）(ｌog|cot(x/2)|)/2 dx｝
＝(1/4)｛∫(0～π/2) ｌog|cot(x/2)| dx - ∫(π/2～π) ｌog|cot(x/2)| dx｝
＝(1/4)｛-∫(0～π/2) ｌog|tan(x/2)| dx+ ∫(0～π/2) ｌog|tan(x/2+π/4)| dx｝
＝(1/4)∫(0～π/2) ｌog|(tan(x/2+π/4)/tan(x/2)| dx
すなわち、
L(2)＝(1/4)∫(0～π/2) ｌog|(tan(x/2+π/4))/tan(x/2)| dx ----⑤
と求まった。
[終わり]
⑤は、定積分の値が計算できるフリーの計算ソフトBearGraphで数値的にも検証済み。
次にL(3)を求める。これは、L(3)＝π^3/32と正体が分かっているものである。
[L(3)導出]
L(3)＝1/1^3 - 1/3^3 + 1/5^3 - 1/7^3 +・・ ----①
①の形に着目して、関数（コサイン級数）
ｆ(x)＝cosx/1^3 - cos3x/3^3 + cos5x/5^3 - cos7x/7^3 +・・ -----②
を考える。周期は2πである。
フーリエ級数の直交性を用いて、
1/1^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
-1/3^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
1/5^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos5x dx
・
・
さらに、これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/1^3＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^2 - sin3x/3^2 + sin5x/5^2 - ・・)・(sinx/1) dx
-1/3^3＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^2 - sin3x/3^2 + sin5x/5^2 - ・・)・(sin3x/3) dx
1/5^3＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^2 - sin3x/3^2 + sin5x/5^2 - ・・)・(sin5x/5) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、左辺は①から
L(3)＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^2 - sin3x/3^2 + sin5x/5^2 - ・・)・(sinx/1 + sin3x/3 + sin5x/5 + ・・) dx ----③
ここでフーリエ級数の公式
sinx/1^2 - sin3x/3^2 + sin5x/5^2 - ・・＝πx/4 (-π/2<＝x<＝π/2)、 π(π-x)/4 (π/2<＝x<＝3π/2) ---④
sinx/1 + sin3x/3 + sin5x/5 + ・・＝π/4 (0<x<π)、0 （ｘ＝π）、-π/4 (π<x<2π)
を用いて③を計算していく。③の積分範囲0～πと、④の場合分けに注意して計算する。
L(3)＝(2/π)｛∫(0～π/2) (πx/4）(π/4) dx +∫(π/2～π) (π(π-x)/4)(π/4) dx｝
右辺は簡単に計算できて、
L(3)＝π^3/32
と出る。
[終わり]
フーリエシステムはさまざまなパターンが可能である。
（私もまたすべては把握できていないのだが、思いついたところから、紹介している）
一つ上ではCos級数で出したが、ここではSin級数でL(3)を出してみよう。上記二つとは違ったひねりが加わる。
[L(3)導出]
L(3)＝1/1^3 - 1/3^3 + 1/5^3 - 1/7^3 +・・ ----①
関数（サイン級数）
ｆ(x)＝sinx/1^3 + sin3x/3^3 + sin5x/5^3 + sin7x/7^3 +・・ -----②
を考える。周期は2πである。各項の符号がすべて＋である点に注目！
フーリエ級数の直交性を用いて、
1/1^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sinx dx
-1/3^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・(-sin3x) dx
1/5^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin5x dx
-1/7^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・(-sin7x) dx
・
・
２番目、４番目でそれぞれ-sin3x、-sin7xを掛けた点が工夫（ひねり）である。
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/1^3＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 + ・・)・(cosx/1) dx
-1/3^3＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 + ・・)・(-cos3x/3) dx
1/5^3＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 + ・・)・(cos5x/5) dx
-1/7^3＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 + ・・)・(-cos7x/7) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、左辺は①から
L(3)＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 + ・・)・(cosx/1 - cos3x/3 + cos5x/5 - ・・) dx ----③
ここでフーリエ級数の公式
cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 + ・・＝π(π+2x)/8 (-π<＝x<＝0)、 π(π-2x)/8 (0<＝x<＝π) ---④
cosx/1 - cos3x/3 + cos5x/5 - ・・＝π/4 (-π/2<x<π/2)、0 （ｘ＝π/2）、-π/4 (π/2<x<3π/2) ----⑤
を用いて③を計算していく。③の積分範囲0～πと、④、⑤の場合分けに注意して計算する。
L(3)＝(2/π)｛∫(0～π/2) (π(π-2x）/8)(π/4) dx +∫(π/2～π) (π(π-2x）/8）(-π/4) dx｝
右辺は簡単に計算できて、
L(3)＝π^3/32
と出る。
[終わり]
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