スワン彗星　その４

2008/7/20　　　　　　　　 ＜∑1/(n^k・(n^2+1))を求める＞

　以前、佐藤郁郎氏から、「数論Ⅰフェルマーの夢」（加藤・黒川・斉藤著、岩波書店）のp.93にゼータの香り漂う式が

出ているが、それがテイラーシステムから出ないか？という質問を受けていた。それは例えば、次のものである。

　1/(1^2+1)＋1/(2^2+1)＋1/(3^2+1)＋・・＝(π/2)｛(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)｝-1/2　　　 ----①

「ゼータの香り漂う式」という表現は本に出ているものだが、こんなにセンスのよいネーミングを考えだされたのは、

おそらく言語感覚抜群の加藤和也さんだろうと思われる。

(本では∑が整数全体の和となっており①とは表記が異なるが、①は自然数全体の和でとっているだけであり本質的に同じものである)

そのときは、私は、この式は「数学公式　Ⅱ」（一松他著、岩波書店）p48にある公式
　∑1/(n^2+a^2)＝-1/(2a^2) + (π/(2a))coth(aπ)
からすぐ出るので、と佐藤氏に答え、それで終わってしまった。ちなみにテイラーシステムから①は出ない。

また①の本の導出方法は本質的なもの（構造的なもの）を感じさせるものではなかった。

　今回①が気になり調べていたら、フーリエシステムを用いて①をさらに拡張する形で次のような式（①は上と同じ）の値

　1/(1^2+1)＋1/(2^2+1)＋1/(3^2+1)＋・・　　　 ----①

　1/(1(1^2+1))＋1/(2(2^2+1))＋1/(3(3^2+1))＋・・　　　 ----②

　1/(1^2・(1^2+1))＋1/(2^2・(2^2+1))＋1/(3^2・(3^2+1))＋・・　　　　 ----③

「数学公式　Ⅱ」には①がすぐに出る公式はいくつかあるが、②、③はないようである。フーリエシステムを用いるとこれら

を求めることができる。上記式を次のように変形してみよう。

　1/(1^2+1)＋1/(2^2+1)＋1/(3^2+1)＋・・　　　 ----①

　1/(1^3+1)＋1/(2^3+2)＋1/(3^3+3)＋・・　　　 ----②

　1/(1^4+1^2)＋1/(2^4+2^2)＋1/(3^4+3^2)＋・・　 ----③

　この形から、①や③は偶数ゼータζ(2n)とよく似ており、一方、②は奇数ゼータζ(2n+1)と似ているのでは

　その直観は正しいということを以下で示していく。まずは①から。

2008/7/20　　　　　　　　　　　＜∑1/(n^2+1)を求める＞

　1/(1^2+1)＋1/(2^2+1)＋1/(3^2+1)＋・・＝(π/2)｛(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)｝-1/2　　　 ----①

　ｆ(x)＝cosx/(1^2+1)＋cos2x/(2^2+1)＋cos3x/(3^2+1)＋・・　　 -----②

これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。

　1/(1^2+1)＝(2/π)∫(0～π) (1sinx/(1^2+1)＋2sin2x/(2^2+1)＋3sin3x/(3^2+1)＋・・)・(sinx/1) dx

　1/(2^2+1)＝(2/π)∫(0～π) (1sinx/(1^2+1)＋2sin2x/(2^2+1)＋3sin3x/(3^2+1)＋・・)・(sin2x/2) dx

　1/(3^2+1)＝(2/π)∫(0～π) (1sinx/(1^2+1)＋2sin2x/(2^2+1)＋3sin3x/(3^2+1)＋・・)・(sin3x/3) dx

　＝(2/π)∫(0～π) (1sinx/(1^2+1)＋2sin2x/(2^2+1)＋3sin3x/(3^2+1)＋・・)・(sinx/1+sin2x/2+・・) dx　　　　 ----③

　1sinx/(1^2+1)＋2sin2x/(2^2+1)＋3sin3x/(3^2+1)＋・・＝(π/2)（sinh(π-x)/sinhπ）　　(0<x<2π)　　---④

　sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + ・・＝(π-x)/2 　　　(0<x<2π)

　1sinx/(1^2+a^2)＋2sin2x/(2^2+a^2)＋3sin3x/(3^2+a^2)＋・・＝(π/2)（sinh(a(π-x))/sinh(aπ)）　　(0<x<2π)　

　＝(2/π)∫(0～π) ｛(π/2)（sinh(π-x)/sinhπ｝((π-x)/2) dx　　 ----⑤

　＝(π/2)｛(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)｝-1/2　　　　　　　　　　　　　　　----⑥

結局、∑1/(n^2+1)は、⑤の積分が簡単に計算できるから、⑥のようなきっちりした数が出るのである。

すなわち、偶数ゼータζ(2n)が求まるのと同じことが起こっているのである。

なお、ハイパボリック・サインsinhxとは、もちろん sinhx＝(e^x-e^(-x))/2である。

　では、　1/(1(1^2+1))＋1/(2(2^2+1))＋1/(3(3^2+1))＋・・ではどうだろうか？

これは奇数ゼータと同じ現象が生じ、そのためきっちりとは出ず積分表示の形でしか求まらない。次に見る。

2008/7/20　　　　　　　　　　　＜∑1/(n(n^2+1))を求める＞

　ｆ(x)＝sinx/(1(1^2+1))＋sin2x/(2(2^2+1))＋sin3x/(3(3^2+1))＋・・　　 -----②

を考える。周期は2πである。（一つ上ではコサイン級数を考えたが、今度はサイン級数！）

これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。

　1/(1(1^2+1))＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2+1)＋cos2x/(2^2+1)＋cos3x/(3^2+1)＋・・)・(cosx/1) dx

　1/(2(2^2+1))＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2+1)＋cos2x/(2^2+1)＋cos3x/(3^2+1)＋・・)・(cos2x/2) dx

　1/(3(3^2+1))＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2+1)＋cos2x/(2^2+1)＋cos3x/(3^2+1)＋・・)・(cos3x/3) dx

　＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2+1)＋cos2x/(2^2+1)＋cos3x/(3^2+1)＋・・)・(cosx/1+cos2x/2+・・) dx　　　　 ----③

　cosx/(1^2+1)＋cos2x/(2^2+1)＋cos3x/(3^2+1)＋・・＝(π/2)（cosh(π-x)/sinhπ） - 1/2　(0<＝x<＝2π)　---④

　cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・＝-log(2sin(x/2)) 　　　(0<x<2π)

　　　　　　　　　　　＝(π/(2a))（cosh(a(π-x))/sinh(aπ)）-1/(2a^2) (0<x<2π)　

　フーリエ級数の公式を③に代入して、整理すると、

　1/(1(1^2+1))＋1/(2(2^2+1))＋1/(3(3^2+1))＋・・＝∫(0～π) ｛1/π-（cosh(π-x)/sinhπ）｝log(2sin(x/2)) dx　　 ----⑤

　⑤からわかる通り、奇数ゼータと同じように積分内にlog(三角関数)が出現している。これが出るために、きっちり

した数としては求まらないということになる。

∑1/(n(n^2+1))の積分表示

1/(n(n^2+1))型のsin級数から導出

　　1/(1(1^2+1))＋1/(2(2^2+1))＋1/(3(3^2+1))＋・・＝∫(0～π) ｛1/π-（cosh(π-x)/sinhπ）｝log(2sin(x/2)) dx

　以上では、∑1/(n^k・(n^2+1))のk＝0と１の場合を調べた。k＝2以降は省略するが、

　1/(1^k・(1^2+1))＋1/(2^k・(2^2+1))＋1/(3^k・(3^2+1))＋・・

という数の場合にもζ(ｓ)の状況と同じようなことになっているのは非常に興味深いことである。

　フーリエシステムを使うと、このような深いことがわかる。

2008/7/21　　　　　　　　 ＜ラマヌジャン式のフーリエシステムによる考察＞

　「数学の夢」（黒川信重著、岩波書店）にラマヌジャン（1887-1920）が導いた式が書かれている。

　　∑(n＝1～∞) n^1/(e^(2πn)-1)＝1/24 - 1/(8π)　　　　 ----①

　　∑(n＝1～∞) n^3/(e^(2πn)-1)＝(1/80)(ω/π)^4 - 1/240　　　 ----②

　　∑(n＝1～∞) n^5/(e^(2πn)-1)＝1/504　　　　　　 ----③

この三つであるが、なんとも神秘的で美しいものである。ラマヌジャンは、このような不思議な式を次々に導いていった

天才であった。イギリスへ渡ってハーディらと共同研究した話は有名である。

（①では、意図的にn^1の”^1”をつけた。指数はわざと色をつけた。）

　式の美しさを味わってもらうために、∑を外した形でも書いておく。

　1^1/(e^(2π)-1) + 2^1/(e^(4π)-1) + 3^1/(e^(6π)-1) + ・・＝1/24 - 1/(8π)　　　　 ----①

　1^3/(e^(2π)-1) + 2^3/(e^(4π)-1) + 3^3/(e^(6π)-1) + ・・＝(1/80)(ω/π)^4 - 1/240　　　　 ----②

　1^5/(e^(2π)-1) + 2^5/(e^(4π)-1) + 3^5/(e^(6π)-1) + ・・＝1/504　　　　　　 ----③

　かなり前この式をはじめて見たときは、その天国的な美しさに圧倒されるばかりであった。

いったいどうやって導いたのか？　導出方法など思いもよらないものであった。黒川氏の本では、保型形式を使って証明

するとある。概略だけ書いてあり、詳しいことは書かれていない。③->①->②の順に難しくなるとある。

とにかく導出は難しいようである。以上のようなことだから私は実際の導出方法は知らない。

　なお、ωは、レムニスケートの周長に関係し、ω＝2∫(0～1) dr/√(1-r^4)＝2.622057・・　であり、または

ω＝(Γ(1/4))^2・2^(-3/2)・π^(-1/2)とも表現できる。Γ(s)はガンマ関数。

　さて、ここでラマヌジャンの式を紹介したのは、これがフーリエシステムと密接に関係していることがいえそうだから

　「ホームズ彗星」と「スワン彗星」で見てきた通り、フーリエシステムは広範な応用をもち、構造的、本質的な面をあぶり

　”あること”が分かれば、フーリエシステムを使って、このラマヌジャンの式を導出できるのである。

　［2］黒川氏が、なぜ上記三式で奇数のn^1、n^3、n^5の場合の式しか書いていないのか？

　そんなこともフーリエシステムの視点で見れば、わかってくるのである。

　n^1、n^3、n^5の場合だけが書いてあるのは、偶数ゼータζ(2n)の場合ように、積分計算がうまくできて、きっちりと

値が求まるからである。（①、②、③の右辺を見られたい！）

　n^2、n^4、n^6の場合は、奇数ゼータζ(2n+1)と同じように、積分計算がうまくできないのである。結局、この指数が

偶数の場合は、現代数学でもよくわかっていない、といえる。積分表示は分かっているのであろうか。

2008/7/21　　　 ＜ラマヌジャン式①∑ n^1/(e^(2πn)-1)へのアプローチ＞

　1/(e^(2π)-1) + 2/(e^(4π)-1) + 3/(e^(6π)-1) + ・・＝1/24 - 1/(8π)　　　　 ----①

へのフーリエシステムを用いたアプローチ（導出の試み）を考える。

　ｆ(x)＝1cosx/(e^(2π)-1) + 2cos2x/(e^(4π)-1) + 3cos3x/(e^(6π)-1) + ・・　　　 ----②

これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。

　1/(e^(2π)-1)＝(2/π)∫(0～π) (1^2sinx/(e^(2π)-1) + 2^2sin2x/(e^(4π)-1) + ・・)・(sinx/1) dx

　2/(e^(4π)-1)＝(2/π)∫(0～π) (1^2sinx/(e^(2π)-1) + 2^2sin2x/(e^(4π)-1) + ・・)・(sin2x/2) dx

　3/(e^(6π)-1)＝(2/π)∫(0～π) (1^2sinx/(e^(2π)-1) + 2^2sin2x/(e^(4π)-1) + ・・)・(sin3x/3) dx

　＝(2/π)∫(0～π) (1^2sinx/(e^(2π)-1) + 2^2sin2x/(e^(4π)-1) + ・・)・(sinx/1 + sin2x/2 + ・・) dx　　　　 ----③

　sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + ・・＝(π-x)/2 　　　(0<x<2π)　　　 ----④

　g(x)＝1^2sinx/(e^(2π)-1) + 2^2sin2x/(e^(4π)-1) + 3^2sin3x/(e^(6π)-1) + ・・　　　 ----⑤

の右辺のフーリエ級数を与える関数g(x)の正体が分かれば、それと④を、③に代入することにより、

1/(e^(2π)-1) + 2/(e^(4π)-1) + 3/(e^(6π)-1) + ・・＝(2/π)∫(0～π) g(x)((π-x)/2) dx　　　　 ----⑥

として右辺を計算すればよい。すると①右辺の値が出る。

　そのようなg(x)は存在するのだろうか？答えはYes。確実に存在する。なぜなら、①で

　1/(e^(2π)-1) + 2/(e^(4π)-1) + 3/(e^(6π)-1) + ・・＝1/24 - 1/(8π)　　　　 ----①

と現代数学で既に右辺が求まっているからである。

しかもg(x)は⑥の積分計算が容易に実行でき、きっちりした数として求まるようなよい関数であるはずである。

　以上がフーリエシステムによるアプローチである。フーリエシステムが本質的な視点を提供していることを理解いただ

　「よい関数」の反対の「悪い関数」とはlog（三角関数）のような形をした関数、あるいはそれに類似したものであることは

　アプローチで出たg(x)が実際に知られているのかどうかはわからない。私の手持ちの公式集にないだけなのか、

あるいは、どこかに書かれているのか。もし、まだ求められていないならば、それを導出することは非常に重要という

　g(x)＝1^2sinx/(e^(2π)-1) + 2^2sin2x/(e^(4π)-1) + 3^2sin3x/(e^(6π)-1) + ・・　

　このサイン級数を与えるg(x)はどんな姿をしているのだろうか？

　上では、コサイン級数を出発点とした。次にみる∑n^2/(e^(2πn)-1)でも合わせてコサイン級数を

出発点にする。出発点の三角関数を合わせることで、見通しのよい議論が行えるからである。

2008/7/21　　＜現代数学で不明とされる？∑n^2/(e^(2πn)-1)へのアプローチ＞

では、次に現代数学で不明とされる？黒川氏も書かなかった

　1^2/(e^(2π)-1) + 2^2/(e^(4π)-1) + 3^2/(e^(6π)-1) + ・・＝？？　　　　 ----①

　ｆ(x)＝1^2cosx/(e^(2π)-1) + 2^2cos2x/(e^(4π)-1) + 3^2cos3x/(e^(6π)-1) + ・・　　 ----②

これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。

　1^2/(e^(2π)-1)＝(2/π)∫(0～π) (1^3sinx/(e^(2π)-1) + 2^3sin2x/(e^(4π)-1) + ・・)・(sinx/1) dx

　2^2/(e^(4π)-1)＝(2/π)∫(0～π) (1^3sinx/(e^(2π)-1) + 2^3sin2x/(e^(4π)-1) + ・・)・(sin2x/2) dx

　3^2/(e^(6π)-1)＝(2/π)∫(0～π) (1^3sinx/(e^(2π)-1) + 2^3sin2x/(e^(4π)-1) + ・・)・(sin3x/3) dx

　＝(2/π)∫(0～π) (1^3sinx/(e^(2π)-1) + 2^3sin2x/(e^(4π)-1) + ・・)・(sinx/1 + sin2x/2 + ・・) dx　　　　 ----③

右辺の∫内に着目しよう。ここでフーリエ級数の公式

　sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + ・・＝(π-x)/2 　　　(0<x<2π)　　　 ----④

　1^3sinx/(e^(2π)-1) + 2^3sin2x/(e^(4π)-1) + 3^3sin3x/(e^(6π)-1) + ・・　　　 ----⑤

を与える関数g(x)の正体が分かっていれば、それと④を③に代入することにより、

1^2/(e^(2π)-1) + 2^2/(e^(4π)-1) + 3^2/(e^(6π)-1) + ・・＝(2/π)∫(0～π) g(x)((π-x)/2) dx　　　　 ----③

として右辺を計算すればよい。しかし①右辺は？？である。

ということは・・、g(x)は存在はしても、積分計算してもきっちりとした値として求まるよい関数ではなく、log(三角関数)とか

あるいは∫記号が混じったようないびつな形をした悪い関数となるはずである。

　この議論から、∑n^2/(e^(2πn)-1) の場合は、ζ(2n+1)やL(2n)の場合と同様のことになっていることがわかるで

あろう。「あること」とは「g(x)の正体がわかる」ことであることも、これで明確になったと思われる。

　∑n^3/(e^(2πn)-1) の場合-->途中のg(x)はよい関数

　∑n^4/(e^(2πn)-1) の場合-->途中のg(x)は悪い関数

　∑n^5/(e^(2πn)-1) の場合-->途中のg(x)はよい関数

　∑n^6/(e^(2πn)-1) の場合-->途中のg(x)は悪い関数

　フーリエシステムの視点からラマヌジャン式を見ると深い構造が見えてくる、といえるだろう。