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交代的なCos級数を用いたフーリエシステムを使用し、ζ(2)、ζ(3)、ζ(4)、ζ(5)を求めた。
「ホームズ彗星」では、通常のCos級数、Sin級数を用いてフーリエシステムを用いてリーマン・ゼータζ(ｓ)の特殊値を
求めた。
この「スワン彗星」では、+-が交互に出る交代的なCos級数を用いてζ(ｓ)の値を求めることにする。
まずは、ζ(2)から。
[ζ(2)導出]
まず
1/1^2 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ・・
＝1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ・・ - (2/2^2 + 2/4^2 + ・・)
＝1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ・・ - 2/2^2・(1/1^2 + 1/2^2 + ・・)
＝ζ(2) - 1/2^1・ζ(2)
＝(1-1/2^1)ζ(2)
である。すなわち、
1/1^2 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ・・＝(1-1/2^1)ζ(2) ------①
さて、上式の形に着目してフーリエ級数
ｆ(x)＝cosx/1^2 - cos2x/2^2 + cos3x/3^2 - cos4x/4^2 + ・・・ ----②
を考える。今後、このような級数を、便宜上、”交代Cos級数”と呼ぶことがある。
右辺の係数1/1^2，-1/2^2，1/3^2，-1/4^2・・が①左辺の各項になっていることに着目する。
コサイン級数の直交性を用いると、②より
1/1^2＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
-1/2^2＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/3^2＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
-1/4^2＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos4x dx
・
・
となる。さらに、これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算より次となる。
1/1^2＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1 - sin2x/2 + sin3x/3 - sin4x/4 + ・・)(sinx/1) dx
-1/2^2＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1 - sin2x/2 + sin3x/3 - sin4x/4 + ・・)(sin2x/2) dx
1/3^2＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1 - sin2x/2 + sin3x/3 - sin4x/4 + ・・)(sin3x/3) dx
-1/4^2＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1 - sin2x/2 + sin3x/3 - sin4x/4 + ・・)(sin4x/4) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、左辺は①を利用して
(1-1/2^1)ζ(2)＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1-sin2x/2+sin3x/3-sin4x/4+ ・・)(sinx/1+sin2x/2+sin3x/3+ ・・) dx ----③
③に次のフーリエ級数の公式（例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）を参照）
sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・＝π/2 - x/2 (0 <x< 2π)
sinx/1 - sin2x/2 + sin3x/3 - sin4x/4 + ・・＝x/2 (-π <x<π)
を代入して
(1-1/2^1)ζ(2)＝(2/π)∫(0～π) (x/2)(π/2 - x/2) dx
計算して、ζ(2)＝π^2/6 を得る。
[終わり]
次にζ(3)を求める。
[ζ(3)導出]
まず
1/1^3 - 1/2^3 + 1/3^3 - 1/4^3 + ・・
＝1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + ・・ - (2/2^3 + 2/4^3 + ・・)
＝1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + ・・ - 2/2^3・(1/1^3 + 1/2^3 + ・・)
＝ζ(3) - 1/2^2・ζ(3)
＝(1-1/2^2)ζ(3)
である。
1/1^3 - 1/2^3 + 1/3^3 - 1/4^3 + ・・＝(1-1/2^2)ζ(3) ------①
一般に
1/1^s - 1/2^s + 1/3^s - 1/4^s + ・・＝(1-1/2^(s-1))ζ(s)
という公式が成り立つ。
さて、①の形に着目してフーリエ級数
ｆ(x)＝cosx/1^3 - cos2x/2^3 + cos3x/3^3 - cos4x/4^3 + ・・・ ----②
を考える。
コサイン級数の直交性を用いると、②より
1/1^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
-1/2^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/3^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
-1/4^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos4x dx
・
・
となる。さらに、これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算より次となる。
1/1^3＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^2 - sin2x/2^2 + sin3x/3^2 - sin4x/4^2 + ・・)(sinx/1) dx
-1/2^3＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^2 - sin2x/2^2 + sin3x/3^2 - sin4x/4^2 + ・・)(sin2x/2) dx
1/3^3＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^2 - sin2x/2^2 + sin3x/3^2 - sin4x/4^2 + ・・)(sin3x/3) dx
-1/4^3＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^2 - sin2x/2^2 + sin3x/3^2 - sin4x/4^2 + ・・)(sin4x/4) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、左辺は①を利用して
(1-1/2^2)ζ(3)
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^2 - sin2x/2^2 + sin3x/3^2 - sin4x/4^2 + ・・)(sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + ・・) dx ---③
これにSin-Cos移動の法則を適用すると、次のようになる。
(1-1/2^2)ζ(3)
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1 - cos2x/2 + cos3x/3 - cos4x/4 + ・・)(cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + ・・) dx ---④
④に次のフーリエ級数の公式
cosx/1 - cos2x/2 + cos3x/3 - cos4x/4 + ・・＝log(2cos(x/2)) (-π<x< π)
cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・＝(x-π^2)/4 - π^2/12 (0 <=x<=2π)
を代入して
(1-1/2^2)ζ(3)＝(1/π)∫(0～π) ((x-π^2)/2-π^2/6) ・log(2cos(x/2))dx
を得る。式の正しさは、フリーの計算ソフトBearGraphで数値的にも検証済み。
[終わり]
次にζ(4)を求める。
[ζ(4)導出]
まず
1/1^4 - 1/2^4 + 1/3^4 - 1/4^4 + ・・
＝1/1^4 + 1/2^4 + 1/3^4 + 1/4^4 + ・・ - (2/2^4 + 2/4^4 + ・・)
＝1/1^4 + 1/2^4 + 1/3^4 + 1/4^4 + ・・ - 2/2^4・(1/1^4 + 1/2^4 + ・・)
＝ζ(4) - 1/2^3・ζ(4)
＝(1-1/2^3)ζ(4)
である。
1/1^4 - 1/2^4 + 1/3^4 - 1/4^4 + ・・＝(1-1/2^3)ζ(4) ------①
一般に
1/1^s - 1/2^s + 1/3^s - 1/4^s + ・・＝(1-1/2^(s-1))ζ(s)
という公式が成り立つ。
さて、①の形に着目してフーリエ級数
ｆ(x)＝cosx/1^4 - cos2x/2^4 + cos3x/3^4 - cos4x/4^4 + ・・・ ----②
を考える。
コサイン級数の直交性を用いると、②より
1/1^4＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
-1/2^4＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/3^4＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
-1/4^4＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos4x dx
・
・
となる。さらに、これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算より次となる。
1/1^4＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^3 - sin2x/2^3 + sin3x/3^3 - sin4x/4^3 + ・・)(sinx/1) dx
-1/2^4＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^3 - sin2x/2^3 + sin3x/3^3 - sin4x/4^3 + ・・)(sin2x/2) dx
1/3^4＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^3 - sin2x/2^3 + sin3x/3^3 - sin4x/4^3 + ・・)(sin3x/3) dx
-1/4^4＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^3 - sin2x/2^3 + sin3x/3^3 - sin4x/4^3 + ・・)(sin4x/4) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、左辺は①を利用して
(1-1/2^3)ζ(4)
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^3 - sin2x/2^3 + sin3x/3^3 - sin4x/4^3 + ・・)(sinx/1 + sin2x/2 + ・・) dx ---③
これにSin-Cos移動の法則を適用すると、次のようになる。
(1-1/2^3)ζ(4)
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1^2 - cos2x/2^2 + cos3x/3^2 - cos4x/4^2 + ・・)(cosx/1^2 + cos2x/2^2 + ・・) dx ---④
④に、もう一度、Sin-Cos移動の法則を適用すると、
(1-1/2^3)ζ(4)
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1 - sin2x/2 + sin3x/3 - sin4x/4 + ・・)(sinx/1^3 + sin2x/2^3 + ・・) dx ----⑤
③、④、⑤の異なる表示が得られた。
例えば、③に次のフーリエ級数の公式
sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・＝π/2 - x/2 (0 <x< 2π)
sinx/1^3 - sin2x/2^3 + sin3x/3^3 - sin4x/4^3 + ・・＝x(π^2-x^2)/12 (-π <＝x<＝π)
を代入して
(1-1/2^3)ζ(4)
＝(2/π)∫(0～π) (x(π^2-x^2)/12)(π/2 - x/2) dx
となり、これを計算すると、ζ(4)＝π^4/90となる。他の２式（④、⑤）でも同様の結果となる。
[終わり]
次にζ(5)を求める。
[ζ(5)導出]
公式
1/1^s - 1/2^s + 1/3^s - 1/4^s + ・・＝(1-1/2^(s-1))ζ(s)
より、
1/1^5 - 1/2^5 + 1/3^5 - 1/4^5 + ・・＝(1-1/2^4)ζ(5) ------①
さて、①の形に着目してフーリエ級数
ｆ(x)＝cosx/1^5 - cos2x/2^5 + cos3x/3^5 - cos4x/4^5 + ・・・ ----②
を考える。
コサイン級数の直交性を用いると、②より
1/1^5＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
-1/2^5＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/3^5＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
-1/4^5＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos4x dx
・
・
となる。さらに、これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算より次となる。
1/1^5＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^4 - sin2x/2^4 + sin3x/3^4 - sin4x/4^4 + ・・)(sinx/1) dx
-1/2^5＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^4 - sin2x/2^4 + sin3x/3^4 - sin4x/4^4 + ・・)(sin2x/2) dx
1/3^5＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^4 - sin2x/2^4 + sin3x/3^4 - sin4x/4^4 + ・・)(sin3x/3) dx
-1/4^5＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^4 - sin2x/2^4 + sin3x/3^4 - sin4x/4^4 + ・・)(sin4x/4) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、左辺は①を利用して
(1-1/2^4)ζ(5)
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^4 - sin2x/2^4 + sin3x/3^4 - sin4x/4^4 + ・・)(sinx/1 + sin2x/2 + ・・) dx ---③
これにSin-Cos移動の法則を適用すると、次のようになる。
(1-1/2^4)ζ(5)
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1^3 - cos2x/2^3 + cos3x/3^3 - cos4x/4^3 + ・・)(cosx/1^2 + cos2x/2^2 + ・・) dx ---④
④に、もう一度、Sin-Cos移動の法則を適用すると、
(1-1/2^4)ζ(5)
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^2 - sin2x/2^2 + sin3x/3^2 - sin4x/4^2 + ・・)(sinx/1^3 + sin2x/2^3 + ・・) dx ----⑤
(1-1/2^4)ζ(5)
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/1 - cos2x/2 + cos3x/3 - cos4x/4 + ・・)(cosx/1^4 + cos2x/2^4 + ・・) dx ---⑥
③、④、⑤、⑥の異なる表示が得られた。
例えば、⑥に次のフーリエ級数の公式
cosx/1 - cos2x/2 + cos3x/3 - cos4x/4 + ・・＝log(2cos(x/2)) (-π<x< π)
cosx/1^4 + cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + cos4x/4^4 + ・・＝｛2π^2・(x-π)^2 - (x-π)^4 - 7π^4/15｝/48
(0 <=x<=2π)
を代入して、整理すると、
(1-1/2^4)ζ(5)＝(1/(24π))∫(0～π) ｛2π^2・(x-π)^2-(x-π)^4-7π^4/15｝log(2cos(x/2)) dx
を得る。式の正しさは、フリーの計算ソフトBearGraphで数値的にも検証済み。
[終わり]
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