|
∑(2n-1)!!/(n^k・(2n)!!)を調べた。
ここではフーリエシステムを用いて、∑(2n-1)!!/(n^k・(2n)!!) の積分表示を求めよう。すなわち、次のものである。
1!!/(1^1・2!!) + 3!!/(2^1・4!!) + 5!!/(3^1・6!!) + ・・・ ----①
1!!/(1^2・2!!) + 3!!/(2^2・4!!) + 5!!/(3^2・6!!) + ・・・ ----②
1!!/(1^3・2!!) + 3!!/(2^3・4!!) + 5!!/(3^3・6!!) + ・・・ ----③
・
・
①を直接的に求める公式は存在するが、他は手持ちの公式集にはないようである。
k＝1，2，3の場合を求めることにしよう。
その際、フーリエ級数の公式
∑｛(2n-1)!!/(2n)!!｝sin(nx)＝sin((π-x)/4)/√(2sin(x/2)) (0 < x < 2π)
∑｛(2n-1)!!/(2n)!!｝cos(nx)＝cos((π-x)/4)/√(2sin(x/2)) - 1 (0 < x < 2π)
を利用することになる。
なお、!!記号は、(2n)!!＝2n(2n-2)・・4・2、また(2n-1)!!＝(2n-1)(2n-3)(2n-5)・・3・1である。
まず①から。
1!!/(1・2!!) + 3!!/(2・4!!) + 5!!/(3・6!!) + ・・・ ----①
を導出する。
[∑(2n-1)!!/(n・(2n)!!)導出]
①の形から、関数（コサイン級数）
ｆ(x)＝cosx・1!!/(1・2!!) + cos2x・3!!/(2・4!!) + cos3x・5!!/(3・6!!) + ・・・ ----②
を考える。周期は2πである。
フーリエ級数の直交性を用いて、
1!!/(1・2!!)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
3!!/(2・4!!)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
5!!/(3・6!!)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1!!/(1・2!!)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/2!! + sin2x・3!!/4!! + sin3x・5!!/6!! + ・・・)(sinx/1) dx
3!!/(2・4!!)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/2!! + sin2x・3!!/4!! + sin3x・5!!/6!! + ・・・)(sin2x/2) dx
5!!/(3・6!!)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/2!! + sin2x・3!!/4!! + sin3x・5!!/6!! + ・・・)(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1!!/(1・2!!) + 3!!/(2・4!!) + 5!!/(3・6!!) + ・・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/2!! + sin2x・3!!/4!! + sin3x・5!!/6!! + ・・・)(sinx/1+sin2x/2+sin3x/3+・・) dx ----③
ここでフーリエ級数の公式
sinx・1!!/2!! + sin2x・3!!/4!! + sin3x・5!!/6!! + ・・・＝sin((π-x)/4)/√(2sin(x/2)) (0<x<2π)
sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + ・・＝(π-x)/2 (0<x<2π)
を③に代入して、整理すると、
1!!/(1・2!!) + 3!!/(2・4!!) + 5!!/(3・6!!) + ・・・＝(1/π)∫(0～π) (π-x)sin((π-x)/4)/√(2sin(x/2)) dx ----④
となる。
右辺を計算するとどうなるか？ 「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）p.50に次の公式が載っている。
1!!/(2・2!!) + 3!!/(4・4!!) + 5!!/(6・6!!) + ・・・＝log2
すなわち、
1!!/(2・2!!) + 3!!/(2・4!!) + 5!!/(3・6!!) + ・・・＝2・log2
である。
つまり④右辺は、
(1/π)∫(0～π) (π-x)sin((π-x)/4)/√(2sin(x/2)) dx＝2・log2
となるのである。
[終わり]
次に
1!!/(1^2・2!!) + 3!!/(2^2・4!!) + 5!!/(3^2・6!!) + ・・・ ----①
を導出する。
[∑(2n-1)!!/(n^2・(2n)!!)導出]
①の形から、関数（コサイン級数）
ｆ(x)＝cosx・1!!/(1^2・2!!) + cos2x・3!!/(2^2・4!!) + cos3x・5!!/(3^2・6!!) + ・・・ ----②
を考える。周期は2πである。
フーリエ級数の直交性を用いて、
1!!/(1^2・2!!)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
3!!/(2^2・4!!)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
5!!/(3^2・6!!)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1!!/(1^2・2!!)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/1・2!! + sin2x・3!!/2・4!! + sin3x・5!!/3・6!! + ・・・)(sinx/1) dx
3!!/(2^2・4!!)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/1・2!! + sin2x・3!!/2・4!! + sin3x・5!!/3・6!! + ・・・)(sin2x/2) dx
5!!/(3^2・6!!)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/1・2!! + sin2x・3!!/2・4!! + sin3x・5!!/3・6!! + ・・・)(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1!!/(1^2・2!!) + 3!!/(2^2・4!!) + 5!!/(3^2・6!!) + ・・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/(1・2!!) + sin2x・3!!/(2・4!!) + sin3x・5!!/(3・6!!) + ・・・)(sinx/1+sin2x/2+sin3x/3+・・) dx
Sin-Cos移動の法則より、さらに次のように変形できる。
1!!/(1^2・2!!) + 3!!/(2^2・4!!) + 5!!/(3^2・6!!) + ・・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx・1!!/2!! + cos2x・3!!/4!! + cos3x・5!!/6!! + ・・・)(cosx/1^2+cos2x/2^2+cos3x/3^2+・・) dx ---③
ここでフーリエ級数の公式
cosx・1!!/2!! + cos2x・3!!/4!! + cos3x・5!!/6!! + ・・・＝cos((π-x)/4)/√(2sin(x/2)) - 1 (0<x<2π)
cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + ・・＝(x-π)^2/4 - π^2/12 (0<＝x<＝2π)
を③に代入して、整理すると、
1!!/(1^2・2!!) + 3!!/(2^2・4!!) + 5!!/(3^2・6!!) + ・・・
＝∫(0～π) ｛(x-π)^2/(2π)-π/6｝｛cos((π-x)/4)/√(2sin(x/2))-1｝ dx
となる。
[終わり]
次に
1!!/(1^3・2!!) + 3!!/(2^3・4!!) + 5!!/(3^3・6!!) + ・・・ ----①
を導出する。
[∑(2n-1)!!/(n^3・(2n)!!)導出]
①の形から、関数（コサイン級数）
ｆ(x)＝cosx・1!!/(1^3・2!!) + cos2x・3!!/(2^3・4!!) + cos3x・5!!/(3^3・6!!) + ・・・ ----②
を考える。周期は2πである。
フーリエ級数の直交性を用いて、
1!!/(1^3・2!!)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
3!!/(2^3・4!!)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
5!!/(3^3・6!!)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1!!/(1^3・2!!)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/(1^2・2!!) + sin2x・3!!/(2^2・4!!) + sin3x・5!!/(3^2・6!!) + ・・・)(sinx/1) dx
3!!/(2^3・4!!)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/(1^2・2!!) + sin2x・3!!/(2^2・4!!) + sin3x・5!!/(3^2・6!!) + ・・・)(sin2x/2) dx
5!!/(3^3・6!!)＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/(1^2・2!!) + sin2x・3!!/(2^2・4!!) + sin3x・5!!/(3^2・6!!) + ・・・)(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1!!/(1^3・2!!) + 3!!/(2^3・4!!) + 5!!/(3^3・6!!) + ・・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/(1^2・2!!) + sin2x・3!!/(2^2・4!!) + sin3x・5!!/(3^2・6!!) + ・・・)(sinx/1+sin2x/2+sin3x/3+・・) dx
Sin-Cos移動の法則より、上はさらに次のように二つに変形できる。
1!!/(1^3・2!!) + 3!!/(2^3・4!!) + 5!!/(3^3・6!!) + ・・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx・1!!/(1・2!!) + cos2x・3!!/(2・4!!) + cos3x・5!!/(3・6!!) + ・・・)(cosx/1^2+cos2x/2^2+・・) dx
1!!/(1^3・2!!) + 3!!/(2^3・4!!) + 5!!/(3^3・6!!) + ・・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx・1!!/2!! + sin2x・3!!/4!! + sin3x・5!!/6!! + ・・・)(sinx/1^3+sin2x/2^3+・・) dx ----③
ここでフーリエ級数の公式
sinx・1!!/2!! + sin2x・3!!/4!! + sin3x・5!!/6!! + ・・・＝sin((π-x)/4)/√(2sin(x/2)) (0<x<2π)
sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + ・・＝｛π^3-π^2x+(x-π)^3｝/12 (0<＝x<＝2π)
を③に代入して、整理すると、
1!!/(1^3・2!!) + 3!!/(2^3・4!!) + 5!!/(3^3・6!!) + ・・・
＝(1/(6√2π))∫(0～π) ｛π^3-π^2x+(x-π)^3｝sin((π-x)/4)/√sin(x/2) dx ----④
となる。
[終わり]
④の正しさは、定積分の値が計算できるフリーの計算ソフトBearGraphで検証済み。
三つをまとめて表示する。
|