|
ζ(ｓ)をL(s)の無限和で表すことができた。ζ(2)、ζ(4)、ζ(6)、ζ(8)とζ(3)、ζ(5)、ζ(7)の導出。
一般式も掲げた。ζ(-1)、ζ(-3)、・・などの不成立を調べた。
＜ ζ(s)をL(s)で表現する ＞
＜ ζ(2)～ζ(7)をまとめて表示 ＞
＜ 一般式 ＞
テイラーシステムは、
ｆ1(x)＝(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s +・・・
や
ｆ2(x)＝(sinx)/1^s + (sin2x)/2^s + (sin3x)/3^s +・・・
という母関数を使ってL(χ,s)ゼータの値を自由自在に非常に簡単に出す方法であり、これまで多くの具体例を示してきた。
そのシステムの中で予想L-4という規則（数年前に発見した）、つまり
(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s +・・・ からは、実２次体ゼータが出る
(sinx)/1^s + (sin2x)/2^s + (sin3x)/3^s +・・・ からは、虚２次体ゼータが出る
という美しい事実と、f1(x)やf2(x)にどんなｘを代入すればどんな種類のゼータが出てくるかがわかるという規則性も利用
している。
すなわち、「テイラーシステム＋予想L-4」という組み合わせで、ディリクレのＬ関数L(χ,s)の値がまったく簡単に出せる
のである。 L(χ,s)はもちろんζ(ｓ)やL(s)を包含する。
さて、テイラーシステムを変形することで、また違った面白い結果を得ることができたので報告する。
「百武彗星」でのシステム発見以来、ゼータが「ゼータ無限和（or有限個）」で表現された場合、右辺はリーマン・ゼータ
ζ(ｓ)が基調になっていた。
私は、
右辺をζ(ｓ)以外の別のゼータ群（L(s)など）で表現できないだろうか？
と思っていたのだが、それに成功した。
右辺をL(s)基調とするには、
ｆ(x)＝(sinx)/1^s - (sin3x)/3^s + (sin5x)/5^s - (sin7x)/7^s +・・・ -----Ａ
という母関数を使えばよいとわかった。
これを使えば、ζ(s)を「L(s)の無限和または有限和」で表現できるのである。
Ａの形が、L(s)の形と似ているので（ディリクレ指標χ(ａ)は一緒！）、条件は
Sin-L(s)型[ s=2， π/2代入，πテイラー］
などと書くことにする。
まず簡単なζ(2)、ζ(4)、ζ(6)から求めていく。
［ζ(2)導出］ Sin-L(s)型[ s=2， π/2代入，πテイラー］
ｆ(x)＝(sinx)/1^2 - (sin3x)/3^2 + (sin5x)/5^2 - (sin7x)/7^2 +・・・ ------①
という母関数を考える。①でx=π/2を代入すると
ｆ(π/2)＝1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 +・・・
＝(1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 +1/5^2 + 1/6^2 +・・・) - (1/2^2+1/4^2+1/6^2+・・・)
＝ζ(2) - 1/2^2(1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・)
＝ζ(2) - 1/2^2ζ(2)
＝(1 - 1/2^2)ζ(2) ------②
となりζ（2）が現れた。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝-L(1)・(x-π)^1 /1！+ L(-1)・(x-π)^3 /3！
- L(-3)・(x-π)^5 /5！+ L(-5)・(x-π)^7 /7！
- L(-7)・(x-π)^9 /9！+ L(-9)・(x-π)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③
ここでL(-1)，L(-3)，L(-5)，L(-7)，L(-9)，・・はすべて0 なので、③は次となる。
f(x)＝-L(1)・(x-π)^1 /1！ -----④
ｘにπ/2を代入して
f(π/2)＝L(1)・(π/2)^1 /1！ ------⑤
②と⑤は等しいので、次が成り立つ。
(1 - 1/2^2)ζ(2)＝L(1)・(π/2)^1 /1！
ζ(2)がL(1)で表現できた。 ζ(2)＝π^2/6、L(1)＝π/4である。成り立っていることを確認されたい。
次にζ(4)を求める。
［ζ(4)、ζ(6)導出］ Sin-L(s)型[ s=4, 6， π/2代入，πテイラー］
ｆ(x)＝(sinx)/1^4 - (sin3x)/3^4 + (sin5x)/5^4 - (sin7x)/7^4 +・・・ ------⑥
という母関数を考える。①でx=π/2を代入すると
ｆ(π/2)＝1/1^4 + 1/3^4 + 1/5^4 + 1/7^4 +・・・
＝(1/1^4 + 1/2^4 + 1/3^4 + 1/4^4 +1/5^4 + 1/6^4 +・・・) - (1/2^4+1/4^4+1/6^4+・・・)
＝ζ(4) - 1/2^4(1/1^4+1/2^4+1/3^4+・・・)
＝ζ(4) - 1/2^4ζ(4)
＝(1 - 1/2^4)ζ(4) ------⑦
となりζ（4）が現れた。
次に、⑥の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝-L(3)・(x-π)^1 /1！+ L(1)・(x-π)^3 /3！
- L(-1)・(x-π)^5 /5！+ L(-3)・(x-π)^7 /7！
- L(-5)・(x-π)^9 /9！+ L(-7)・(x-π)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------⑧
ここでL(-1)，L(-3)，L(-5)，L(-7)，・・はすべて0 なので、⑦は次となる。
f(x)＝-L(3)・(x-π)^1 /1！+ L(1)・(x-π)^3 /3！ -----⑨
ｘにπ/2を代入して
f(π/2)＝L(3)・(π/2)^1 /1！- L(1)・(π/2)^3 /3！ ------⑩
⑦と⑩は等しいので、次が成り立つ。
(1 - 1/2^4)ζ(4)＝L(3)(π/2)^1 /1！- L(1)(π/2)^3 /3！
ζ(2)がL(1)、L(3)で表現できた。 ζ(4)＝π^4/90、L(3)＝π^3/32、L(1)＝π/4である。
きちんと成り立っていることを確認していただきたい。
まったく同様にして、ζ(6)やζ(8)も簡単に出る。結果だけ書く。
(1 - 1/2^6)ζ(6)＝L(5)(π/2)^1 /1！- L(3)(π/2)^3 /3！ + L(1)(π/2)^5 /5！
(1 - 1/2^8)ζ(8)＝L(7)(π/2)^1 /1！- L(5)(π/2)^3 /3！ + L(3)(π/2)^5 /5！- L(1)(π/2)^7 /7！
ここでζ(8)＝π^8/9450、ζ(6)＝π^6/945、ζ(4)＝π^4/90、ζ(2)＝π^2/6
L(7)＝61π^7/184320、L(5)＝5π^5/1536、L(3)＝π^3/32、L(1)＝π/4である。
もちろん、これ以降ζ(10)、ζ(12)・・も全く同様に出していくことができる。
以上。
まとめておく。
きれいなものです。
次は、いよいよζ(3)、ζ(5)、ζ(7)を導出することにする。
ζ(3)をまず求める。条件はSin-L(s)型[ s=3， π/2代入，πテイラー］である。
［ζ(3)導出］ Sin-L(s)型[ s=3， π/2代入，πテイラー］
ｆ(x)＝(sinx)/1^3 - (sin3x)/3^3 + (sin5x)/5^3 - (sin7x)/7^3 +・・・ ------①
という母関数を考える。①でx=π/2を代入すると
ｆ(π/2)＝1/1^3 + 1/3^3 + 1/5^3 + 1/7^3 +・・・
＝(1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 +1/5^3 + 1/6^3 +・・・) - (1/2^3+1/4^3+1/6^3+・・・)
＝ζ(2) - 1/2^3(1/1^3+1/2^3+1/3^3+・・・)
＝ζ(2) - 1/2^3ζ(3)
＝(1 - 1/2^3)ζ(3) ------②
となりζ（3）が現れた。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝-L(2)・(x-π)^1 /1！+ L(0)・(x-π)^3 /3！
- L(-2)・(x-π)^5 /5！+ L(-4)・(x-π)^7 /7！
- L(-6)・(x-π)^9 /9！+ L(-8)・(x-π)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③
ここで、L(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
より、
L(-2)＝-2！・(2/π)^3・L(3)
L(-4)＝4！・(2/π)^5・L(5)
L(-6)＝-6！・(2/π)^7・L(7)
L(-8)＝8！・(2/π)^9・L(9)
L(-10)＝-10！・(2/π)^11・L(11)
・
・
となるから、③は次のようになる。
f(x)＝-L(2)・(x-π)^1 /1！+ L(0)・(x-π)^3 /3！
+ 2！・(2/π)^3・L(3)・(x-π)^5 /5！+ 4！・(2/π)^5・L(5)・(x-π)^7 /7！
+ 6！・(2/π)^7・L(7)・(x-π)^9 /9！+ 8！・(2/π)^9・L(9)・(x-π)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここでxにπ/2を代入して、整理すると次となる。
ｆ(π/2)＝L(2)(π/2)^1 /1！- L(0)(π/2)^3 /3！
- (π/2)^2［(2！/5！)L(3) + (4！/7！）L(5) + (6！/9！)L(7) + (8！/11！)L(9) + ・・・ ］ -----④
②と④は等しいので、次が成り立つ。
(1 - 1/2^3)ζ(3)
＝L(2)(π/2)^1 /1！- L(0)(π/2)^3 /3！
- (π/2)^2｛(2！/5！)L(3) + (4！/7！）L(5) + (6！/9！)L(7) + (8！/11！)L(9) + ・・・｝ ---⑤
ζ(3)がL(s)の無限和で表現できた。
以上。
収束を検証しておこう。まずζ(3)＝1.20205690・・であるから、
⑤左辺＝1.0517997・・・ -----⑥
となる。
次に⑤右辺を計算した。
L(2)＝0.91596559・・、L(0)＝1/2、L(7)＝61π^7/184320、L(5)＝5π^5/1536、L(3)＝π^3/32、L(1)＝π/4などを
用いて、１０項目以降のL(s)は1とした。
その結果、
⑤右辺の２項まで＝1.1158133・・・ ⑤右辺の６項まで＝1.0568769・・・ ⑤右辺の１２項まで＝1.0529647・・・
と⑥に収束していく。
ζ(5)、ζ(7)も同様にしてすぐに求まり、次のようになる。
(1 - 1/2^5)ζ(5)
＝L(4)(π/2)^1 /1！- L(2)(π/2)^3 /3！+ L(0)(π/2)^5 /5！
+ (π/2)^4｛(2！/7！)L(3) + (4！/9！）L(5) + (6！/11！)L(7) + (8！/13！)L(9) + ・・・｝
(1 - 1/2^7)ζ(7)
＝L(6)(π/2)^1 /1！- L(4)(π/2)^3 /3！+ L(2)(π/2)^5 /5！- L(0)(π/2)^7 /7！
- (π/2)^6｛(2！/9！)L(3) + (4！/11！）L(5) + (6！/13！)L(7) + (8！/15！)L(9) + ・・・｝
三つをまとめておく。
すっきりしていて美しいものです。
これまでは右辺がζ(ｓ)の無限和となる場合がほとんどだったので、右辺がL(s)ばかりであるのはとても面白い。
ζ(2)～ζ(7)をまとめて表示しておく。
規則性を味わっていただきたい。
ζ(3)、ζ(5)、・・やL(2)、L(4)、・・は現代数学で不明とされるものであり、ζ(2)、ζ(4)、・・・やL(1)、L(3)、L(5)は現代
数学で正体が判明しているものである。
テイラーシステムの観点から見ると、ζ(2n)やL(3n+1)以外ではζ(ｓ)やL(s)はどうしても「ゼータの無限和」という
形にならざるを得ないようである（ここでζ(ｓ)ではs>1、L(s)ではs>0)。
私に言わせれば、ζ(2)やζ(6)でζ(2)＝π^2/6、ζ(4)＝π^4/90 などときっちり値が求まるのは、ある幸運が
あるおかげである。その幸運とは、自明な零点にあたるという幸運であるが、それはテイラーシステムの計算
過程を見てもらえればわかるであろう。
オイラーがまず最初に1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・の値を求めるのに狂ったのは、じつに幸運なことであった。
追記2007/11/6
「ゼータ関数のいくつかの点について その１３」で私は４年近く前に、次のような式を導出していた。
ζ(0)＝-2/π・L(1)
ζ（2)＝11π/12・L(1) - 2/π・L(3) ζ(4)＝-127π^3/2880・L(1) + 11π/12・L(3) - 2/π・L(5) ・ ・ 上で出した式（再掲します）と比べると、またすこし違った”構造”をしている。
４前の式はかなり単発的に出したもので、導出過程にテイラーシステムほどの構造的な美しさはないのであるが、
それでも一寸気になる。
ζ(3)、ζ(5)・・で「L(s)の無限和」となる形は、当サイトでは本頁がはじめてである（はず）。
本頁での、Sin-L(s)型[ s=s， π/2代入，πテイラー］の条件による一般式を掲げておこう。
思って調べてみたが、これがだめであった。例えば、ζ(3)＝AL(4)+ＢL(6)+・・・と出たかと思ったらと、これがなんと
収束しない式となるのである！詳細は略すが、興味ある読者はいろいろ実験していただきたい。
本頁は、テイラーシステムの変形例といえるが、本筋から外れているところではいろいろと特異的なことが起こるようで
ある。
一般式で下の方ζ(0)、ζ(-1)、ζ(-2)、ζ(-3)、ζ(-4)、・・はどうだろうか？きちんと出るのだろうか？
すこし調べると、s＝0では式は成り立つが、ζ(0)の具体的な値は求まらない。
s＝-2、-4、-6、・・では式は成り立ち、ζ(-2)＝ζ(-4)＝ζ(-6)＝・・・＝0となりＯＫである。
s＝-1、-3、-5、・・では式は成り立たず、ζ(-1)、ζ(-3)、ζ(-5)、・・は求まらないことになる。
テイラーシステムの変形例では特異的なことが起こっている。
|