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LB(s)値をL(s)で表した。LB(2)、LB(4)、LB(6)、LB(8)を求めた。
LB(1)、LB(3)、LB(5)、LB(7)を求めた。ディリクレの類数公式との比較。
＜ ディリクレの類数公式との比較 ＞
＜ 全てをまとめる ＞
2007/11/25 ＜ LB(s) をL(s)で表現する ＞ Sin-L(s)型[ s=2, 4, 6， 2π/3代入，πテイラー］ この「ロニオス彗星」でテイラーシステム変形例をはじめて考察し、「その１」と「その２」で興味深い結果を得た。 「その１」では、 ｆ(x)＝(sinx)/1^s - (sin3x)/3^s + (sin5x)/5^s - (sin7x)/7^s +・・・ -----Ａ という母関数を調べ、「その２」では、 ｆ(x)＝(cosx)/1^s - (cos3x)/3^s + (cos5x)/5^s - (cos7x)/7^s +・・・ -----B を調べた。 「その１」ではＡ式でπ/2代入を行ってζ(ｓ)をL(s)で表現し、「その２」ではＢ式でπ/2代入を行ってL(s)をL(s)で表現し
たのであった。どちらも右辺をL(s)で表現できたという面白い結果が得られたのであった。そこではπ/2代入を行った
わけであるが、
では、2π/3を代入したらどうなるのだろうか？ と思った。 今回Ａ式でそれを行ったところ、非常に面白い結果が得られた。 なんと、LB(s)ゼータが出現したのである！ LB(s)は、 LB(s)＝(1 -1/5^s - 1/7^s + 1/11^s) + (1/13^s -1/17^s - 1/19^s + 1/23^s) + ・・・
で定義されるゼータ関数である。これはディリクレのＬ関数L(χ,s)
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s +χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + ・・・ の一種であり、厳密に表現すれば、LB(s)は mod 12に対応したディリクレ指標χ(a)をもち、 「a≡1 or 11 mod 12-->χ(a)＝1、 a≡5 or 7 mod 12 -->χ(a)＝-1、 それ以外のaではχ(a)＝0」という χ(a)に対応したL(χ,s)となる。（LBという呼称は、私が勝手につけたものなので注意いただきたい。） LB(s)は実２次体Q(√3)に対応するゼータでもある。 なお、LB(s)は以前「火星 その６」の＜π/6代入＞や、「土星 その２」の＜π/6代入＞でも出たものであり、それら
の結果から類推すると、
ｆ(x)＝(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s + (cos4x)/4^s +・・・
というコサインの母関数（通常のテイラーシステム）に kπ/6を代入した場合にLB(s)が出現するはずであるが、今回、 ｆ(x)＝(sinx)/1^s - (sin3x)/3^s + (sin5x)/5^s - (sin7x)/7^s +・・・ という形のサインのL(s)型母関数（テイラーシステム変形例）に2π/3を代入してLB(s)が現れたのが、非常に面白い点
なのである。裏側に深い構造が潜んでいることが予見される。また別の洞窟が見つかったといえようか。
テイラーシステムは本筋方向だけでもまだまだいくらでも調べることがあるのであるが、変形例の方向にも広大な領域
が広がっているのである。ではさっそく。
2007/11/25 ＜ LB(2n) をL(s)で表現する ＞ Sin-L(s)型[ s=2, 4, 6， 2π/3代入，πテイラー］ 今回はサインのＡ式のほうを調べた。Ａ式の形がL(s)の形と似ているので（ディリクレ指標χ(ａ)は一緒！）、条件は Sin-L(s)型[ s=2， 2π/3代入，πテイラー］ などと書くことにする。 LB(2)、LB(4)、LB(6)を求めていく。 ［LB(2)導出］ Sin-L(s)型[ s=2， 2π/3代入，πテイラー］ ｆ(x)＝(sinx)/1^2 - (sin3x)/3^2 + (sin5x)/5^2 - (sin7x)/7^2 +・・・ ------①
という母関数を考える。①でx=2π/3を代入すると
ｆ(2π/3)＝(√3/2)/1^2 - (√3/2)/5^2 - (√3/2)/7^2 + (√3/2)/11^2 +・・・ ＝(√3/2)｛(1/1^2 - 1/5^2 - 1/7^2 + 1/11^2) + (1/13^2 - 1/17^2 - 1/19^2 + 1/23^2) +・・・｝ ＝(√3/2)LB(2) -------② となりLB(2)が現れた。 次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、次のようになる。 f(x)＝-L(1)・(x-π)^1 /1！+ L(-1)・(x-π)^3 /3！ - L(-3)・(x-π)^5 /5！+ L(-5)・(x-π)^7 /7！ - L(-7)・(x-π)^9 /9！+ L(-9)・(x-π)^11 /11！ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③ ここでL(-1)，L(-3)，L(-5)，L(-7)，L(-9)，・・はすべて0 なので、③は次となる。 f(x)＝-L(1)・(x-π)^1 /1！
ｘに2π/3を代入して
f(2π/3)＝L(1)・(π/3)^1 /1！ -----④
念のための注意だが、右辺に出たL(s)はもちろん
L(s)＝1 - 1/3^s + 2/5^s - 1/7^s + ・・・
のL(s)である。
②と④は等しいので、次が成り立つ。 (√3/2)LB(2)＝L(1)・(π/3)^1 /1！ ----⑤ ここで、L(1)はL(s)＝1-1/3^s+1/5^s-1/7^s+ ・・・のL(s)のs＝1のものである。 LB(2)がL(1)で表現できた。L(1)＝π/4であるから⑤より、 LB(2)＝π^2/(6√3) ------⑥ となる。 ⑥（⑤）を検証しておこう。LB(s)ゼータの特殊値はζ(ｓ)やL(s)のように有名ではないので、LB(s)の値をまずExcelＶＢＡ プログラムで直接数値的に計算した。数千項も計算すれば十分であるが、 LB(2)＝(1/1^2 - 1/5^2 - 1/7^2 + 1/11^2) + (1/13^2 - 1/17^2 - 1/19^2 + 1/23^2) +・・・ の４万項分の結果を記す。 LB(2)＝0.9497703126・・・ ------⑦ となった。 ⑥右辺を電卓で計算すると、⑦と一致するのでＯＫである。⑥（⑤）は正しい式であることがわかった。 次にLB(4)を求める。 ［LB(4)導出］ Sin-L(s)型[ s=4 ， 2π/3代入，πテイラー］ ｆ(x)＝(sinx)/1^4 - (sin3x)/3^4 + (sin5x)/5^4 - (sin7x)/7^4 +・・・ ------①
という母関数を考える。①でx=2π/3を代入すると
ｆ(2π/3)＝(√3/2)/1^4 - (√3/2)/5^4 - (√3/2)/7^4 + (√3/2)/11^4 +・・・ ＝(√3/2)｛(1/1^4 - 1/5^4 - 1/7^4 + 1/11^4) + (1/13^4 - 1/17^4 - 1/19^4 + 1/23^4) +・・・｝ ＝(√3/2)LB(4) -------②
となりLB(4)が現れた。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝-L(3)・(x-π)^1 /1！+ L(1)・(x-π)^3 /3！
- L(-1)・(x-π)^5 /5！+ L(-3)・(x-π)^7 /7！ - L(-5)・(x-π)^9 /9！+ L(-7)・(x-π)^11 /11！ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------③ ここでL(-1)，L(-3)，L(-5)，L(-7)，・・はすべて0 なので、③は次となる。 f(x)＝-L(3)・(x-π)^1 /1！+ L(1)・(x-π)^3 /3！ ｘに2π/3を代入して f(2π/3)＝L(3)・(π/3)^1 /1！- L(1)・(π/3)^3 /3！ ------④
②と④は等しいので、次が成り立つ。
(√3/2)LB(4)＝L(3)・(π/3)^1 /1！- L(1)・(π/3)^3 /3！ ------⑤ LB(4)がL(3)、L(1)で表現できた。L(3)＝π^3/32、L(1)＝π/4であるから⑤より、 LB(4)＝23π^4/(1296√3) ------⑥ となる。 ⑥（⑤）を検証しておこう。まずExcelＶＢＡプログラムで直接数値的にLB(4)を計算した。 LB(4)＝(1/1^4 - 1/5^4 - 1/7^4 + 1/11^4) + (1/13^4 - 1/17^4 - 1/19^4 + 1/23^4) +・・・ の４千項分（それで十分）の結果を記す。 LB(4)＝0.998071599・・・ ------⑦ となった。 ⑥右辺を電卓で計算すると⑦と一致するのでＯＫである。⑥(⑤)は正しい式であることがわかる。 次にLB(6)を求める。 ［LB(6)導出］ Sin-L(s)型[ s=6 ， 2π/3代入，πテイラー］ ｆ(x)＝(sinx)/1^6 - (sin3x)/3^6 + (sin5x)/5^6 - (sin7x)/7^6 +・・・ ------①
という母関数を考える。①でx=2π/3を代入すると
ｆ(2π/3)＝(√3/2)/1^6 - (√3/2)/5^6 - (√3/2)/7^6 + (√3/2)/11^6 +・・・ ＝(√3/2)｛(1/1^6 - 1/5^6 - 1/7^6 + 1/11^6) + (1/13^6 - 1/17^6 - 1/19^6 + 1/23^6) +・・・｝ ＝(√3/2)LB(6) -------②
となりLB(6)が現れた。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝-L(5)・(x-π)^1 /1！+ L(3)・(x-π)^3 /3！ - L(1)・(x-π)^5 /5！+ L(-1)・(x-π)^7 /7！ - L(-3)・(x-π)^9 /9！+ L(-5)・(x-π)^11 /11！ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------③
ここでL(-1)，L(-3)，L(-5)，L(-7)，・・はすべて0 なので、③は次となる。
f(x)＝-L(5)・(x-π)^1 /1！+ L(3)・(x-π)^3 /3！- L(1)・(x-π)^5 /5！ ｘに2π/3を代入して f(2π/3)＝L(5)・(π/3)^1 /1！- L(3)・(π/3)^3 /3！+ L(1)・(π/3)^5 /5！ ------④ ②と④は等しいので次が成り立つ。
(√3/2)LB(6)＝L(5)・(π/3)^1 /1！- L(3)・(π/3)^3 /3！+ L(1)・(π/3)^5 /5！ ------⑤
LB(6)がL(5)、L(3)、L(1)で表現できた。L(5)＝5π^5/1536、L(3)＝π^3/32、L(1)＝π/4である ⑤を検証しておこう。まずExcelＶＢＡプログラムで直接数値的にLB(6)を計算した。 LB(6)＝(1/1^6 - 1/5^6 - 1/7^6 + 1/11^6) + (1/13^6 - 1/17^6 - 1/19^6 + 1/23^6) +・・・ の４千項分（それで十分）の結果を記す。 LB(6)＝0.9999282178・・・ ------⑥ となった。 ⑤からL(5)、L(3)、L(1)値を利用してLB(6)を電卓で計算すると⑥と一致するのでＯＫである。⑤式は正しいとわかる。 以上。
以上のLB(2)、LB(4)、LB(6)の結果から、きれいな規則で式が成り立っていることがわかる。
以降のLB(8)、LB(10)、・・も同様の形で導出されていく。LB(8)だけ記すと、次のようになる。
(√3/2)LB(8)＝L(7)・(π/3)^1 /1！- L(5)・(π/3)^3 /3！+ L(3)・(π/3)^5 /5！ - L(1)・(π/3)^7 /7！
ここで、L(7)＝61π^7/184320、L(5)＝5π^5/1536、L(3)＝π^3/32、L(1)＝π/4である
LB(8)も含めてまとめておく。
次にLB(1)、LB(3)、LB(5)を求めていくことにする。
では、現代数学で不明とされるLB(7)、LB(5)、LB(3)、LB(1)をこの順に求めていく。
次にLB(7)を求める。
［LB(7)導出］ Sin-L(s)型[ s=7 ， 2π/3代入，πテイラー］ ｆ(x)＝(sinx)/1^7 - (sin3x)/3^7 + (sin5x)/5^7 - (sin7x)/7^7 +・・・ ------①
という母関数を考える。①でx=2π/3を代入すると
ｆ(2π/3)＝(√3/2)/1^7 - (√3/2)/5^7 - (√3/2)/7^7 + (√3/2)/11^7 +・・・ ＝(√3/2)｛(1/1^7 - 1/5^7 - 1/7^7 + 1/11^7) + (1/13^7 - 1/17^7 - 1/19^7 + 1/23^7) +・・・｝ ＝(√3/2)LB(7) -------②
となりLB(7)が現れた。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝-L(6)・(x-π)^1 /1！+ L(4)・(x-π)^3 /3！ - L(2)・(x-π)^5 /5！+ L(0)・(x-π)^7 /7！ - L(-2)・(x-π)^9 /9！+ L(-4)・(x-π)^11 /11！
- L(-6)・(x-π)^13 /13！+ L(-8)・(x-π)^15 /15！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------③
さて、ここでL(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
を利用するとL(-2)，L(-4)，L(-6)，・・は、
L(-2)＝-2！・(π/2)^3・L(3)
L(-4)＝4！・(π/2)^5・L(5)
L(-6)＝-6！・(π/2)^7・L(7)
L(-8)＝8！・(π/2)^9・L(9)
L(-10)＝-10！・(π/2)^11・L(11)
・
・
となるから、③は次のように書き換えられる。
f(x)＝-L(6)・(x-π)^1 /1！+ L(4)・(x-π)^3 /3！
- L(2)・(x-π)^5 /5！+ L(0)・(x-π)^7 /7！ + ｛2！・(π/2)^3・L(3)｝・(x-π)^9 /9！+ ｛4！・(π/2)^5・L(5)｝・(x-π)^11 /11！
+ ｛6！・(π/2)^7・L(7)｝・(x-π)^13 /13！+ ｛8！・(π/2)^9・L(9)｝・(x-π)^15 /15！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・･･･・・・・・・・・・・・・・・・・
xに2π/3を代入して、整理すれば次を得る。
f(2π/3)＝L(6)・(π/3)^1 /1！- L(4)・(π/3)^3 /3！+ L(2)・(π/3)^5 /5！- L(0)・(π/3)^7 /7！
- (π/2)^6｛(2！/9！)(2/3)^9・L(3) + (4！/11！)(2/3)^11・L(5) + (6！/13！)(2/3)^13・L(7) +・・・｝ ----④
②と④は等しいので次が成り立つ。
(√3/2)LB(7)
＝L(6)・(π/3)^1 /1！- L(4)・(π/3)^3 /3！+ L(2)・(π/3)^5 /5！- L(0)・(π/3)^7 /7！
- (π/2)^6｛(2！/9！)(2/3)^9・L(3) + (4！/11！)(2/3)^11・L(5)
+ (6！/13！)(2/3)^13・L(7) + (8！/15！)(2/3)^15・L(9)
+ ････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ ------⑤
LB(6)がL(6)、L(4)、L(2)、L(0)と［L(2n+1)の無限和］で表現できた。 ⑤を検証しておこう。まずExcelＶＢＡプログラムでまず直接数値的にLB(7)を計算した。 LB(7)＝(1/1^7 - 1/5^7 - 1/7^7 + 1/11^7) + (1/13^7 - 1/17^7 - 1/19^7 + 1/23^7) +・・・ の４百項分（それで十分）の結果を記す。 LB(7)＝0.99998605・・・ となった。 よって、⑤の左辺＝0.866013322・・ ------⑥
これが目標である。
さて、右辺を見ると、
⑤右辺の１項まで＝1.045820719・・・
⑤右辺の３項まで＝0.866152529・・・
⑤右辺の５項まで＝0.866013436・・・
このように急激に⑥に収束していく。
次にLB(5)を求める。
［LB(5)導出］ Sin-L(s)型[ s=5 ， 2π/3代入，πテイラー］ ｆ(x)＝(sinx)/1^5 - (sin3x)/3^5 + (sin5x)/5^5 - (sin7x)/7^5 +・・・ ------①
という母関数を考える。①でx=2π/3を代入すると
ｆ(2π/3)＝(√3/2)/1^5 - (√3/2)/5^5 - (√3/2)/7^5 + (√3/2)/11^5 +・・・ ＝(√3/2)｛(1/1^5 - 1/5^5 - 1/7^5 + 1/11^5) + (1/13^5 - 1/17^5 - 1/19^5 + 1/23^5) +・・・｝ ＝(√3/2)LB(5) -------②
となりLB(5)が現れた。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝-L(4)・(x-π)^1 /1！+ L(2)・(x-π)^3 /3！ - L(0)・(x-π)^5 /5！+ L(-2)・(x-π)^7 /7！ - L(-4)・(x-π)^9 /9！+ L(-6)・(x-π)^11 /11！
- L(-8)・(x-π)^13 /13！+ L(-10)・(x-π)^15 /15！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------③
さて、ここでL(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
を利用するとL(-2)，L(-4)，L(-6)，・・は、
L(-2)＝-2！・(π/2)^3・L(3)
L(-4)＝4！・(π/2)^5・L(5)
L(-6)＝-6！・(π/2)^7・L(7)
L(-8)＝8！・(π/2)^9・L(9)
L(-10)＝-10！・(π/2)^11・L(11)
・
・
となるから、③は次のように書き換えられる。
f(x)＝-L(4)・(x-π)^1 /1！+ L(2)・(x-π)^3 /3！
- L(0)・(x-π)^5 /5！+ ｛-2！・(π/2)^3・L(3)｝・(x-π)^7 /7！ - ｛4！・(π/2)^5・L(5)｝・(x-π)^9 /9！+ ｛-6！・(π/2)^7・L(7)｝・(x-π)^11 /11！
- ｛8！・(π/2)^9・L(9)｝・(x-π)^13 /13！+ ｛-10！・(π/2)^11・L(11)｝・(x-π)^15 /15！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
xに2π/3を代入して、整理すれば次を得る。
f(2π/3)＝L(4)・(π/3)^1 /1！- L(2)・(π/3)^3 /3！+ L(0)・(π/3)^5 /5！
+ (π/2)^4｛(2！/7！)(2/3)^7・L(3) + (4！/9！)(2/3)^9・L(5) + (6！/11！)(2/3)^11・L(7) +・・・｝ ----④
②と④は等しいので次が成り立つ。
(√3/2)LB(5)
＝L(4)・(π/3)^1 /1！- L(2)・(π/3)^3 /3！+ L(0)・(π/3)^5 /5！
+ (π/2)^4｛(2！/7！)(2/3)^7・L(3) + (4！/9！)(2/3)^9・L(5)
+ (6！/11！)(2/3)^11・L(7) + (8！/13！)(2/3)^13・L(9)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑤
LB(5)がL(4)、L(2)、L(0)と［L(2n+1)の無限和］で表現できた。 ⑤を検証しておこう。まずExcelＶＢＡプログラムでまず直接数値的にLB(5)を計算した。 LB(5)＝(1/1^5 - 1/5^5 - 1/7^5 + 1/11^5) + (1/13^5 - 1/17^5 - 1/19^5 + 1/23^5) +・・・ の４百項分（それで十分）の結果を記す。 LB(5)＝0.999628493・・・ となった。 よって、⑤の左辺＝0.865703669・・ ------⑥
これが目標である。
さて、⑤の右辺を見ると、
⑤右辺の１項まで＝1.035620312・・・
⑤右辺の３項まで＝0.865554707・・・
⑤右辺の５項まで＝0.865702147・・・
このように急速に⑥に収束していく。
以上。
さらに、全く同様にして、LB(3)とLB(1)を出すと、次のようになる。
(√3/2)LB(3)
＝L(2)・(π/3)^1 /1！- L(0)・(π/3)^3 /3！
- (π/2)^2｛(2！/5！)(2/3)^5・L(3) + (4！/7！)(2/3)^7・L(5)
+ (6！/9！)(2/3)^9・L(7) + (8！/11！)(2/3)^11・L(9)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
(√3/2)LB(1)
＝ L(0)・(π/3)^1 /1！
+ ｛(2！/3！)(2/3)^3・L(3) + (4！/5！)(2/3)^5・L(5)
+ (6！/7！)(2/3)^7・L(7) + (8！/9！)(2/3)^9・L(9)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
これらも確実に収束する。
以上。
以上きれいな規則で式が成り立っていることがわかる。まとめておく。
美しい規則性が出ていることがわかる。
求めた結果と、ディリクレの類数公式との比較をしましょう。
ディリクレのＬ関数L(χ,s)でのs＝1の値L(χ,1)を求める公式が、ディリクレの類数公式というものです。
「海王星 その１」や「「ウェスト彗星 その１」でも、その公式を見ましたが、再度見ておきましょう。「ウェスト彗星」の
ものを書きます。
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実２次体と虚２次体にはそれぞれ「ディリクレの類数公式」というものがあり、２次体Q(√m)とL(χ,s)の関係において
重要である。Kを２次体とすると、次が成り立つ。
Kが実２次体なら、---> L(χ，1)＝h・logε・2/√N ------Ａ
Kが虚２次体なら、---> L(χ，1)＝h・2π/(w√N) ------Ｂ
これらをディリクレの類数公式という。
ここで h はKの類数、L(χ，1)はKに対応したL(χ,s)のs＝1での特殊値。ε は実２次体Kの基本単数であり、w はKに
含まれる１のべき根の個数。N は Kの導手でありこれは「ゼータ惑星」でもよく出てきた。
類数や単数の意味については、雑誌「数学のたのしみ No.17」で加藤和也さんの解説や数学書を参考にされたい。
****************************
ゼータ関数は、不思議なことに環や体の理論とも関係していて、解析的なL(χ,s)の値が、体や環の値と関係して
いることをＡ式やＢ式は示しています。
Ａ式は、実２次体の類数hと基本単数εと導出Ｎがわかれば、L(χ,s)のs＝1での値L(χ,1)が分かってしまうことを
意味しています。
Ｂ式は、虚２次体の類数hと、体に含まれる１のべき根の個数wと、導出Ｎがわかれば、L(χ,1)が分かることを意味
します。
「s＝1の値しかわからないなんてつまんない！」と思われるかもしれませんが、ゼータの値を求めることは、昔から
非常な難問であり、s＝1だけでも一般的なL(χ,s)ゼータで求まるのですから、たいへんなことなのです。
さて、今回のLB(s)は、
LB(s)＝(1 -1/5^s - 1/7^s + 1/11^s) + (1/13^s -1/17^s - 1/19^s + 1/23^s) + ・・・
というL(χ,s)の一種のゼータですが、これは実２次体Q(√3)に対応するゼータですから、Ａ式を使ってそのLB(1)を求める
ことができます。
実２次体Q(√3)の類数hと基本単数εと導出Ｎは、h＝1、ε＝2+√3、N＝12であることが知られています。
Ａ式より、
LB(1)＝h・logε・2/√N＝｛1・log(2+√3)・2｝/(√12)＝log(2+√3)/√3
となります。
LB(1)＝log(2+√3)/√3 ------①
とわかりました。
さて、上では、テイラーシステムによってもLB(1)を求めたことを思い出してください。次です。
(√3/2)LB(1)
＝ L(0)・(π/3)^1 /1！
+ (π/2)^0｛(2！/3！)(2/3)^3・L(3) + (4！/5！)(2/3)^5・L(5)
+ (6！/7！)(2/3)^7・L(7) + (8！/9！)(2/3)^9・L(9)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ ------②
①と②は、同じLB(1)を違った表現で表しています。②から出すLB(1)値と①のLB(1)値は、もちろんどんぴしゃ一致します。
テイラーシステムからは、①のような形にはならず、②のような形になったということです。
①、②より、次を得ます。
log(2+√3) /2
＝ L(0)・(π/3)^1 /1！
+ (π/2)^0｛(2！/3！)(2/3)^3・L(3) + (4！/5！)(2/3)^5・L(5)
+ (6！/7！)(2/3)^7・L(7) + (8！/9！)(2/3)^9・L(9)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
本頁で求めたLB(2n)とLB(2n+1)を一緒に書いておきます。
よーく眺めてください。面白い秩序が出ています。
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