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ベルヌーイ数Bnとオイラー数Enの関係式を求めた。
＜ 両者をまとめる ＞
見出したので報告します。
テイラーシステムを用いてその１でこの美しい式群を導出したのでした。
ζ(ｓ)とL(s)の強い兄弟の結びつきを見せています。
やや２次的なことになるかと思いますが、これからベルヌーイ数Bnとオイラー数Enの間の関係式を導くことができます。
一寸興味がわいたので出してみました。
L(s)とオイラー数Enには次の関係があります。
L(2n-1)＝(-1)^(n+1)・E(2n-2)・π^(2n-1)/｛2^(2n)・(2n-2)！｝ -----A
ζ(ｓ)とベルヌーイ数Bnの間には次の関係がある。
ζ(2n)＝(-1)^(n+1)・2^(2n-1)・B2n・π^(2n) /(2n)！ -----B
nは1以上の整数。
これらは現代数学でよく知られています。このA、Bを上の①、②、③、④の式に代入して整理整頓すると次を得ます。
2^2・(2^2-1)・B2/2！＝E0 /(0！・1！)
2^4・(2^4-1)・B4/4！＝E2 /(2！・1！) + E0 /(0！・3！)
2^6・(2^6-1)・B6/6！＝E4 /(4！・1！) + E2 /(2！・3！) + E0 /(0！・5！)
2^8・(2^8-1)・B8/8！＝E6 /(6！・1！) + E4 /(4！・3！) + E2 /(2！・5！) + E0 /(0！・7！)
よく味わってください！
見事としかいいようのない秩序が現れています。
Bn の右辺分母の（p！・q！）ではp+q がどれもp+q＝n-1になっているのです。各項の分母（p！・q！）のpは2づつ
減少し、qは2づつ増加しています。右辺の項数はn/2個となっている。
このきれいな規則性のおかげでこの先いくらでもB10、B12、・・を機械的に出していけるのです。
例えば、B10は次のようになることは容易にわかります。
2^10・(2^10-1)・B10/10！
＝E8 /(8！・1！) + E6 /(6！・3！) + E4 /(4！・5！) + E2 /(2！・7！) + E0 /(0！・9！)
参考までにベルヌーイ数Bnとオイラー数Enの値を書くと次のようになります。
B0＝1、B2＝1/6、B4＝-1/30、B6＝1/42、B8＝-1/30、B10＝5/66、・・
E0＝1、E2＝-1、E4＝5、E6＝-61、E8＝1385、E10＝-50521、・・
まとめておきます。
次に、オイラー数Enをベルヌーイ数Bnで表してみましょう。上と類似の式が出ました。
「タットル彗星」のその１で出した次式を元に導出します。
一つ上と同様にして導出でき、最後の結論を書くと次のようになる。L(7)の分も加えた。
-E0 /0！＝(1-2^1)・B0・2^0/(0！・1！)
-E2 /2！＝(1-1/2^1)・B2・2^4/(2！・1！) + (1-2^1)・B0・2^0/(0！・3！)
-E4 /4！＝(1-1/2^3)・B4・2^8/(4！・1！) + (1-1/2^1)・B2・2^4/(2！・3！)+ (1-2^1)・B0・2^0/(0！・5！)
-E6 /6！＝(1-1/2^5)・B6・2^12/(6！・1！) + (1-1/2^3)・B4・2^8/(4！・3！)
+ (1-1/2^1)・B2・2^4/(2！・5！) + (1-2^1)・B0・2^0/(0！・7！)
一つ上で見たのと同種の美しい規則性が現れています。
En の右辺分母の（p！・q！）ではp+q がどれもp+q＝n+1になっている。各項の分母（p！・q！）のpは2づつ減少し、
qは2づつ増加している。そして右辺の項数は(n+2)/2個となっている。
この規則性のおかげでこの先いくらでもE8、E10、・・を機械的に出していくことができます。
参考までに
B0＝1、B2＝1/6、B4＝-1/30、B6＝1/42、B8＝-1/30、B10＝5/66、・・
E0＝1、E2＝-1、E4＝5、E6＝-61、E8＝1385、E10＝-50521、・・
まとめておきます。
上記二つの結果を並べておきます。
どちらも全く同様の規則性で成り立っていることがわかります。美しい関係です。
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