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＜ L(s)一般式からL(2)を導出 ＞
テイラーシステムをSin級数の方に適用し、L(s)式を導出した。それをL(1)、L(3)、L(5)に適用。
また、L(2)、L(4)、L(6)を導出した。 Cos級数ζ(2n+1)とSin級数L(2n)の結果を比較。
「百武彗星」と「エンケ彗星」では、私の発明したテイラーシステムをCos級数に適用し、リーマン・ゼータζ(ｓ)に関
する多くの興味深い結果を得た。（それはCos級数に関してのごく一部の仕事である。L(χ,s)への一般的な適用は
まだまだある。）
さて、この「タットル彗星」では、テイラーシステムをSin級数に適用し、ディリクレのＬ関数L(χ,s)に関するゼータを
導出したい。まずは、L(s)というゼータ関数を調べる。
私がゼータ惑星で発見した
(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s +・・・ からは、実２次体ゼータが出る
(sinx)/1^s + (sin2x)/2^s + (sin3x)/3^s +・・・ からは、虚２次体ゼータが出る
という美しい事実により、この２種類の母関数から２次体に対応するゼータが出てくることがわかり、それは予想L-4に
一般化されたのであった。この予想L-4から、上の変数xにどんな値を代入すれば、どのようなL(χ,s)が飛び出してくるかが
完全にわかっている。
その事実を利用すると、明快は形で、テイラーシステムを実行していくことができる。
そこで、この「タットル彗星」では、
(sinx)/1^s + (sin2x)/2^s + (sin3x)/3^s +・・・ からは、虚２次体ゼータが出る
という事実を利用し、さらに強力なテイラーシステムを絡めて、L(χ,s)の神秘に迫りたいのである。
ここでは、上記母関数のxにπ/2を代入することにより、L(s)を導出し、その値を調べる。
L(s)について説明しよう。L(s)は、次で定義されるゼータ関数である。
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・ --------①
L(s)はディリクレのＬ関数L(χ,s)という非常に一般的なゼータ関数の特別な場合である。ζ(ｓ)もそうだが。
なお、整数論できわめて重要なディリクレのＬ関数L(χ,s)は、次のように定義され、様々なディリクレ
指標χ(ａ)に対して、さまざまなゼータを与える。
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
L(s)は、a≡0, 1, 2, 3 mod 4に対しそれぞれχ(ａ)＝0, 1, 0, -1としたときのL(χ,s)に一致する。
（なおζ(s)は、全てのaに対しχ(a)＝1としたときのディリクレのL関数L(χ,s)である。）
L(s)もζ(s)もどちらもディリクレのL関数L(χ,s)の一種のゼータ関数というわけである。
難しいと感じる読者は、とにかく①がL(s)だと思えばよい。
L(1)＝1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ・・・＝π/4
という事実は有名だ。
ちなみに、わかっている特殊値をいくつか並べておく。
L(1)＝π/4
L(3)＝π^3/32
L(5)＝5π^5/1536
L(7)＝61π^7/184320
・
・
となる。
また、解析接続された特殊値では、
L(0)＝1/2
L(-1)＝0
L(-2)＝-1/2
L(-3)＝0
L(-4)＝5/2
L(-5)＝0
L(-6)＝-61/2
L(-7)＝0
L(-8)＝1385/2
L(-9)＝0
・
・
となる。ちょうど、リーマン・ゼータζ(ｓ)の場合と逆の関係になっていることに気づくであろう。
s＝-1、-3、-5、・・は自明な零点となっている。
なお偶数での値L(2)、L(4)、L(6)、L(8)・・・などは、現代数学でも正体がわからないとされている。
（ζ(ｓ)でのζ(3)、ζ(5)、ζ(7)、・・がわからないということと同じである。）
また現代数学で不明とされる特殊値でも数値的には値は当然わかっていて、L(s)のいくつかを示すと次となる。
L(2)＝0.9159655941・・・
L(4)＝0.9889445517・・・
L(6)＝0.9986852222・・・
L(8)＝0.9999831640・・・
・
・
である。
また、ついでにζ(ｓ)も示すと、次となる。
ζ(3)＝1.2020569032・・・
ζ(5)＝1.0369277551・・・
ζ(7)＝1.0083492774・・・
ζ(9)＝1.0020083928・・・
・
・
これらζ(ｓ)値はmath worldにある。L(s)の方は以前 佐藤郁郎氏にご教示いただいた。
本サイトでは、ζ(2)やL(1)などよくわかっている方を自明な特殊値と呼び、ζ(3)やL(4)などよくわかっていない
方を非自明な特殊値と呼んでいる。
（「ゼータ惑星」あたりでは、明示的、非明示的と呼んでいたこともあったが、同じ意味である。）
以上で、準備は終了である。早速、L(s)を導出していこう。
「百武彗星」では、具体的な値に個別にテイラーシステムを適用していき、ゼータ値を次々に求めていったが、
ここでは、L(s)の一般的な公式をはじめに求めてしまおう。
やり方は、「百武彗星」での方法とまったく同じである。Cos級数がSin級数に変わるだけである。
なお条件は、［π/2代入，π周りのテイラー展開」で行う。
記号で記せば、条件はＳｉｎ[ s=s， π/2代入，πテイラー］となる。
［L(s)を導出する］ Sin［s=s, π/2代入、πテイラー］
まず
f(x)=(sinx)/1^s + (sin2x)/2^s + (sin3x)/3^s + (sin4x)/4^s + ・・・ -------①
という母関数を考える。
まず①で x=π/2を代入すると
f(π/2) ＝1/1^s - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・ ＝L(s) -------②
となり、L（s）が現れた。
次に①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝- （1-1/2^(s-2)）・ζ(s-1)・(x-π)^1 /1！ + （1-1/2^(s-4)）・ζ(s-3)・(x-π)^3 /3！
- （1-1/2^(s-6)）・ζ(s-5)・(x-π)^5 /5！+ （1-1/2^(s-8)）・ζ(s-7)・(x-π)^7 /7！
- （1-1/2^(s-10)）・ζ(s-9)・(x-π)^9 /9！+ （1-1/2^(s-12)）・ζ(s-11)・(x-π)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③
無限個のζ（s-2n-1）が出てきた。 ③にx=π/2を代入して、
f(π/2)＝（1-1/2^(s-2)）・ζ(s-1)・(π/2)^1 /1！ - （1-1/2^(s-4)）・ζ(s-3)・(π/2)^3 /3！
+ （1-1/2^(s-6)）・ζ(s-5)・(π/2)^5 /5！- （1-1/2^(s-8)）・ζ(s-7)・(π/2)^7 /7！
+ （1-1/2^(s-10)）・ζ(s-9)・(π/2)^9 /9！- （1-1/2^(s-12)）・ζ(s-11)・(π/2)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------④
②と④は等しいので、整理すると次のようになる。
L(s)＝（1-1/2^(s-2)）・ζ(s-1)・(π/2)^1 /1！ - （1-1/2^(s-4)）・ζ(s-3)・(π/2)^3 /3！
+ （1-1/2^(s-6)）・ζ(s-5)・(π/2)^5 /5！- （1-1/2^(s-8)）・ζ(s-7)・(π/2)^7 /7！
+ （1-1/2^(s-10)）・ζ(s-9)・(π/2)^9 /9！- （1-1/2^(s-12)）・ζ(s-11)・(π/2)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------⑤
このように美しい形でL(s)の式が導出された。L(s)はζ(ｓ)と密接に関係していることがわかる。
以上。
L（s）が無限個のζ(s-n)で表現できたわけであるが、ぱっと見ただけで、⑤には非常に興味深い事実が現れて
いることがわかる。
⑤でs＝-1，-3，-5，・・・とすると、つまり、L(-1），L(-3)，L(-5)，・・・をみると、
ζ(ｓ)の自明な零点がs＝-2，-4，-6，・・・であることから、L(-1）＝0，L(-3)＝0，L(-5)＝0，・・・となり、
⑤からL(s)の自明な零点がわかってしまうのである！
まとめておこう。
L(s)の一般式が求まったので、これを具体的な値に適用していく。
まず簡単なものからはじめよう。ここでは、L(s)一般式を、自明な特殊値L(1)、L(3)、L(5)に適用する。
一つ上でも書いたが、それらの値は次の通り。
L(1)＝π/4
L(3)＝π^3/32
L(5)＝5π^5/1536
これらが、L(s)一般式からうまく出るかどうか、見てみよう。
まずL(1)を導出する。
上で、s＝1とすると、次となる。
L(1)＝（1-1/2^(-1)）・ζ(0)・(π/2)^1 /1！ - （1-1/2^(-3)）・ζ(-2)・(π/2)^3 /3！
+ （1-1/2^(-5)）・ζ(-4)・(π/2)^5 /5！- （1-1/2^(-7)）・ζ(-6)・(π/2)^7 /7！
+ （1-1/2^(-9)）・ζ(-8)・(π/2)^9 /9！- （1-1/2^(-11)）・ζ(-10)・(π/2)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここで、ζ(-2)、ζ(-4)、ζ(-6)、・・・は、すべて0であるから、上は結局、次のようになる。
L(1)＝（1-1/2^(-1)）・ζ(0)・(π/2)^1 /1！ ------①
これに、ζ(0)＝-1/2を代入すると、L(1)＝π/4となる。OKである。
次にL(3)を導出する。
上で、s＝3とし、同様にして整理すると、次となる。
L(3)＝（1-1/2^1）・ζ(2)・(π/2)^1 /1！ - （1-1/2^(-1)）・ζ(0)・(π/2)^3 /3！ ------②
ここで、ζ(2)＝π^2/6、ζ(0)＝-1/2を代入すると、L(3)＝π^3/32 となる。OKである。
次にL(5)を導出する。
上で、s＝5とし、同様にして整理すると、次となる。
L(5)＝（1-1/2^3）・ζ(4)・(π/2)^1 /1！ - （1-1/2^1）・ζ(2)・(π/2)^3 /3！
+ （1-1/2^(-1)）・ζ(0)・(π/2)^5 /5！ ------③
ここでζ(4)＝π^4/90、ζ(2)＝π^2/6、ζ(0)＝-1/2を代入すると、L(5)＝5π^5/1536 と出る。OKである。
以上。
このように、L(s)一般式から、どんどんと自明な特殊値が出る。
しかも、①、②、③のようなζ(ｓ)ともからまった興味深い関係性とともに！
まとめておこう。
次に、いよいよ現代数学で不明とされる、非自明な特殊値L(2)を求めよう。
まず、一般式を書く。
上でs＝2とすると、次のようになる。
L(2)＝（1-1/2^0）・ζ(1)・(π/2)^1 /1！ - （1-1/2^(-2)）・ζ(-1)・(π/2)^3 /3！
+ （1-1/2^(-4)）・ζ(-3)・(π/2)^5 /5！- （1-1/2^(-6)）・ζ(-5)・(π/2)^7 /7！
+ （1-1/2^(-8)）・ζ(-7)・(π/2)^9 /9！- （1-1/2^(-10)）・ζ(-9)・(π/2)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここで、これまで何度も説明したように （1-1/2^0）・ζ(1)はlog2に置き換えてよく、それを行い整理すると
上は次の通りとなる。
L(2)＝log2・(π/2)^1 /1！ - （1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^3 /3！
+ （1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^5 /5！- （1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^7 /7！
+ （1-2^8）・ζ(-7)・(π/2)^9 /9！- （1-2^10）・ζ(-9)・(π/2)^11 /11！
+ （1-2^12）・ζ(-11)・(π/2)^13 /13！- （1-2^14）・ζ(-13)・(π/2)^15 /15！ -----①
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
さらに、ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて、①を変形すると、次となる。
L(2)＝π/2・［log2 - （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/(2^1・3！)
- （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/(2^3・5！) - （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/(2^5・7！)
- （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/(2^7・9！) - （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/(2^9・11！)
- （1-1/2^12）・ζ(12)・11！/(2^11・13！) - （1-1/2^14）・ζ(14)・13！/(2^13・15！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・］ -----②
こんなに簡単に、高校生でもできるような方法で、現代数学で不明とされる特殊値が
あっという間に求まってしまうのである！ テイラーシステムの威力をあらためて実感する。
このように、L(2)は「偶数ゼータの無限和」で表された。
これはかつて、「ゼータ関数のいくつかの点について」シリーズでも既に見出していた事実であるが、今回は
新手法テイラーシステムを用いても、同じような形で導出できたわけである。
②の収束性はきわめてよい。Excelでプログラムを組むまでもなく、電卓を叩いて検証できる。
L(2)は、冒頭で示したとおり、
L(2)＝0.9159655941・・・
である。
さて、②の両辺をπ/2で割った式で、左辺と右辺を比較してみよう。
まず左辺は、
(2/π)・L(2)＝0.5831218・・・ ------③
となる。
右辺は、
２項までの和＝0.5903388・・・
４項までの和＝0.5832519・・・
６項までの和＝0.5831256・・・
と、急速に③に収束していく。
今後のことを考えて②右辺は次のように表現しておきたい。
L(2)＝π［log2 /2 - （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/(2^2・3！)
- （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/(2^4・5！) - （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/(2^6・7！)
- （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/(2^8・9！) - （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/(2^10・11！)
- （1-1/2^12）・ζ(12)・11！/(2^12・13！) - （1-1/2^14）・ζ(14)・13！/(2^14・15！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・］ -----④
まとめておこう。
同様にして、非自明な特殊値L(4)、L(6)を求めよう。まず、一般式を書く。
まずL(4)から求める。
上でs＝4とすると、次のようになる。
L(4)＝（1-1/2^2）・ζ(3)・(π/2)^1 /1！ - （1-1/2^0）・ζ(1)・(π/2)^3 /3！
+ （1-1/2^(-2)）・ζ(-1)・(π/2)^5 /5！- （1-1/2^(-4)）・ζ(-3)・(π/2)^7 /7！
+ （1-1/2^(-6)）・ζ(-5)・(π/2)^9 /9！- （1-1/2^(-8)）・ζ(-7)・(π/2)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
これまで説明してきたように （1-1/2^0）・ζ(1)はlog2に置き換えてよく、それを行い整理すると上は次となる。
L(4)＝（1-1/2^2）・ζ(3)・(π/2)^1 /1！ - log2・(π/2)^3 /3！
+ （1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^5 /5！- （1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^7 /7！
+ （1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^9 /9！- （1-2^8）・ζ(-7)・(π/2)^11 /11！
+ （1-2^10）・ζ(-9)・(π/2)^13 /13！- （1-2^12）・ζ(-11)・(π/2)^15 /15！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------①
さらにζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて①を変形すると次となる。
L(4)
＝（1-1/2^2）・ζ(3)・(π/2)^1 /1！
+ π^3/2^2・［-log2 /(2・3！) + （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/(2^2・5！)
+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/(2^4・7！) + （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/(2^6・9！)
+ （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/(2^8・11！) + （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/(2^10・13！)
+ （1-1/2^12）・ζ(12)・11！/(2^12・15！) + （1-1/2^14）・ζ(14)・13！/(2^14・17！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・］ -----②
L(4)も「偶数ゼータの無限和」で表された。
収束性を確かめる。②の収束性はきわめてよい。
L(4)は、冒頭で示したとおり、
L(4)＝0.9889445517・・・ ------③
である。
さて、今回は①で検証してみる。左辺と右辺を比較してみる。右辺が③にどのように近づいていくか。
右辺は、
２項までの和＝0.9683917・・・
４項までの和＝0.9889001・・・
と、急速に③に収束していく。たった４項で、ここまで収束する。異常な速さである。
次にL(6)を求める。
L(s)式でs＝6として、整理すると、次のようになる。
L(6)
＝（1-1/2^4）・ζ(5)・(π/2)^1 /1！ - （1-1/2^2）・ζ(3)・(π/2)^3 /3！
+ log2・(π/2)^5 /5！- （1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^7 /7！
+ （1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^9 /9！- （1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^11 /11！
+ （1-2^8）・ζ(-7)・(π/2)^13 /13！- （1-2^10）・ζ(-9)・(π/2)^15 /15！
+ （1-2^12）・ζ(-11)・(π/2)^17 /17！- （1-2^14）・ζ(-13)・(π/2)^19 /19！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------④
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて④を変形すると次となる。
L(6)
＝（1-1/2^4）・ζ(5)・(π/2)^1 /1！ - （1-1/2^2）・ζ(3)・(π/2)^3 /3！
+ π^5/2^4・［log2 /(2・5！) - （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/(2^2・7！)
- （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/(2^4・9！) - （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/(2^6・11！)
- （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/(2^8・13！) - （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/(2^10・15！)
- （1-1/2^12）・ζ(12)・11！/(2^12・17！) - （1-1/2^14）・ζ(14)・13！/(2^14・19！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・］ -----⑤
収束性を確かめる。⑤の収束性も非常によい。
L(6)は、冒頭で示したとおり、
L(6)＝0.9986852222・・・ ------⑥
である。
さて、④で検証してみた。右辺を見る。
右辺は、
３項までの和＝0.9998766・・
５項までの和＝0.9986861・・
と、急速に⑥に収束していく。
L(4)の②右辺［ ］内と、 L(6)の⑤右辺[ ]内を比べると、⑤のL(6)の方が収束が速いことがわかる。
L(2)の結果とあわせて、まとめておく。
上で導出した結果と、「百武彗星」でCos級数から出したζ(3)、ζ(5)、ζ(7)の結果と比較しておきたい。
どんな秩序の違いがあるのか、収束性の違いはどうなのか？
「百武彗星 その１」で導出したζ(3)、ζ(5)、ζ(7)に（すこし形を整え直した）、一つ上で求めたL(2)、L(4)、L(6)を
比較してみよう。
Cos[ s=s, π/2代入, πテイラー]のζ(3)、ζ(5)、ζ(7)と、Sin[ s=s， π/2代入，πテイラー］のL(2)、L(4)、L(6)の
比較である。
次のように並べてみる。
L(2)＝π［log2 /(2・1！) - （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/(2^2・3！)
- （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/(2^4・5！) - （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/(2^6・7！)
- （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/(2^8・9！) - （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/(2^10・11！)
- （1-1/2^12）・ζ(12)・11！/(2^12・13！) - （1-1/2^14）・ζ(14)・13！/(2^14・15！)
- ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
(1-1/2^3)・（1-1/2^2）・ζ(3)
＝π^2/2・［log2/(2！・2) - (1-1/2^2)・ζ(2)・1！/(4！・2^2)
- (1-1/2^4)・ζ(4)・3！/(6！・2^4) - (1-1/2^6)・ζ(6)・5！/(8！・2^6)
- (1-1/2^8)・ζ(8)・7！/(10！・2^8) - (1-1/2^10)・ζ(10)・9！/(12！・2^10)
- ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
L(4)
＝（1-1/2^2）・ζ(3)・(π/2)^1 /1！
+ π^3/2^2・［-log2 /(2・3！) + （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/(2^2・5！)
+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/(2^4・7！) + （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/(2^6・9！)
+ （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/(2^8・11！) + （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/(2^10・13！)
+ （1-1/2^12）・ζ(12)・11！/(2^12・15！) + （1-1/2^14）・ζ(14)・13！/(2^14・17！)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
(1-1/2^5)・（1-1/2^4）・ζ(5)
＝ （1-1/2^2）π^2・ζ（3）/(2！・2^2)
+ π^4/2^3・［-log2/(4！・2) + (1-1/2^2)・ζ(2)・1！/(6！・2^2)
+ (1-1/2^4)・ζ(4)・3！/(8！・2^4) + (1-1/2^6)・ζ(6)・5！/(10！・2^6)
+ (1-1/2^8)・ζ(8)・7！/(12！・2^8) + (1-1/2^10)・ζ(10)・9！/(14！・2^10)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
L(6)
＝（1-1/2^4）・ζ(5)・(π/2)^1 /1！ - （1-1/2^2）・ζ(3)・(π/2)^3 /3！
+ π^5/2^4・［log2 /(2・5！) - （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/(2^2・7！)
- （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/(2^4・9！) - （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/(2^6・11！)
- （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/(2^8・13！) - （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/(2^10・15！)
- （1-1/2^12）・ζ(12)・11！/(2^12・17！) - （1-1/2^14）・ζ(14)・13！/(2^14・19！)
- ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
(1-1/2^7)・（1-1/2^6）・ζ(7)
＝（1-1/2^4）・ζ(5)・π^2 /(2！・2^2) - （1-1/2^2）・ζ(3)・π^4 /(4！・2^4)
+ π^6/2^5・［log2/(6！・2) - (1-1/2^2)・ζ(2)・1！/(8！・2^2)
- (1-1/2^4)・ζ(4)・3！/(10！・2^4) - (1-1/2^6)・ζ(6)・5！/(12！・2^6)
- (1-1/2^8)・ζ(8)・7！/(14！・2^8) - (1-1/2^10)・ζ(10)・9！/(16！・2^10)
- ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
この並びに、ものすごくきれいな秩序が現れていることにお気づきでしょうか。
また右辺の[ ]内の収束性に着目すると、
L(2)＜ζ(3)＜L(4)＜ζ(5)＜L(6)＜ζ(7)
という順番に、収束が速くなっている。
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