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＜ L(1/2)を導出 ＞
＜ L(3/2)を導出 ＞
＜ L(5/2)を導出 ＞
テイラーシステムSin級数を用いてL(1/2)、L(3/2)、L(5/2)を求めた。
ここでは、Sin級数を利用し、テイラーシステムから、L(1/2)を求める。「その１」で出した一般式をまず掲げる。
上式でs＝1/2とすると、求まる。
s＝1/2とすると、次のようになる。
L(1/2)
＝（1-2^(3/2)）・ζ(-1/2)・(π/2)^1 /1！ - （1-2^(7/2)）・ζ(-5/2)・(π/2)^3 /3！
+ （1-2^(11/2)）・ζ(-9/2)・(π/2)^5 /5！ - （1-2^(15/2)）・ζ(-13/2)・(π/2)^7 /7！
+ （1-2^(19/2)）・ζ(-17/2)・(π/2)^9 /9！ - （1-2^(23/2)）・ζ(-21/2)・(π/2)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------①
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて①を変形して、整理整頓すると次となる。
L(1/2)
＝（√2-1/2^1）・ζ(3/2)・2！/｛2^3・(1！)^2｝
+ （√2-1/2^3）・ζ(7/2)・6！/｛2^9・(3！)^2｝
+ （√2-1/2^5）・ζ(11/2)・10！/｛2^15・(5！)^2｝
+ （√2-1/2^7）・ζ(15/2)・14！/｛2^21・(7！)^2｝
+ （√2-1/2^9）・ζ(19/2)・18！/｛2^27・(9！)^2｝
+ （√2-1/2^11）・ζ(23/2)・22！/｛2^33・(11！)^2｝
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------②
①または②は、まったく優雅な式である。
余談であるがζ(ｓ)のリーマン予想を一般化した一般リーマン予想というのがあって、それはL(χ,s)の本質的零点
はs＝1/2+ｉ・αの所にしかない、つまり実軸1/2の線上にのみ存在するという予想がある。（もちろん未解決で
ある。ζ(ｓ)のリーマン予想ですら未解決なのだから！）
L(1/2)はこの実軸1/2上の値であり、その点から私にはL(1/2)は興味深いものにうつる。
さて、収束性を見たい。
まずL(1/2)をL(s)定義式
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
から直接に計算してみよう。
L(1/2)＝1 - 1/√3 + 1/√5 - 1/√7 + ・・・ --------③
であるが、③は交代級数であり且つ項の大きさが徐々に小さくなっているので、確実に収束するのであるが、
しかし収束性が極端に悪く、１万項付近で
9997項まで＝0.67122752・・
9998項まで＝0.66415557・・ 9999項まで＝0.67122716・・ 10000項まで＝0.66415592・・ となり、なかなか収束しない。Excelで計算した。
さらに、１億項の付近でも
99999997項まで＝0.66772681・・
99999998項まで＝0.66765610・・ 99999999項まで＝0.66772681・・ 100000000項まで＝0.66765610・・ となり、まだ少し振動している。交代級数であるから余計に収束の効率が悪いこともあるが、定義式の③は非常に
収束が悪いのである。なお、ζ(1/2)と違い、L(1/2)は現実的に（解析接続を経由せずに）きちんと収束するものである。
このL(1/2)の精密値は、math worldを探索しても載っていなかったので、上の１億項のものから、近似推定する。
観察より、 99999999項と100000000項を足して２で割れば精密値にほぼ一致することがわかるので
（１億項近辺では、偶数項と奇数項ではそれぞれ同じ数値が振動するばかりなので）
L(1/2)＝（0.66772681+0.66765610)/2＝0.66769145 -------④
と出る。
次に②または①の収束性を検証してみた。これは極端に収束がよい。②の形で検証してみた。右辺は、
２項までの和＝0.6538094・・
４項までの和＝0.6670280・・
と、急速に④に収束していく（電卓で手計算）。たった４項でこれである！②は非常に収束がよいのである。
なおExcelで数値計算して得た次の値を利用した。
ζ(3/2)＝2.612375348・・
ζ(7/2)＝1.126733867・・ ζ(11/2)＝1.025204580・・ ζ(15/2)＝1.005826728・・
L(1/2)をまとめておこう。
次にL(3/2)を求める。「その１」で出した一般式をまず掲げる。
上式でs＝3/2とすると、求まる。
s＝3/2とすると、次のようになる。
L(3/2)
＝（1-2^(1/2)）・ζ(1/2)・(π/2)^1 /1！ - （1-2^(5/2)）・ζ(-3/2)・(π/2)^3 /3！
+ （1-2^(9/2)）・ζ(-7/2)・(π/2)^5 /5！ - （1-2^(13/2)）・ζ(-11/2)・(π/2)^7 /7！
+ （1-2^(17/2)）・ζ(-15/2)・(π/2)^9 /9！ - （1-2^(21/2)）・ζ(-19/2)・(π/2)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------①
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて①を変形して、整理整頓すると次となる。
L(3/2)
＝-(π/2)[（√2-1/2^0）・ζ(1/2)・0！/(2^0・0！・1！)
+ （√2-1/2^2）・ζ(5/2)・4！/(2^6・2！・3！)
+ （√2-1/2^4）・ζ(9/2)・8！/(2^12・4！・5！)
+ （√2-1/2^6）・ζ(13/2)・12！/(2^18・6！・7！)
+ （√2-1/2^8）・ζ(17/2)・16！/(2^24・8！・9！)
+ （√2-1/2^10）・ζ(21/2)・20！/(2^30・10！・11！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] ------②
さて、収束性を見たい。
まずL(3/2)をL(s)定義式から直接に計算してみよう。すなわち、
L(3/2)＝1 - 3^(-3/2) + 5^(-3/2) - 7^(-3/2) + ・・・
であるが、③は交代級数であり且つ項の大きさが徐々に小さくなっているので、確実に収束する。
１00万項も計算すれば十分であり
100万項まで＝0.86450265・・ --------③
となる。Excelで計算した。
次に②または①の収束性を検証してみた。これは極端に収束がよい。②の形で検証した。右辺は、
２項までの和＝0.8735089・・
４項までの和＝0.8647351・・
と急速に③に収束する（電卓で手計算）。たった４項でこれである。一つ上での結果と同様②は異常に収束がよい。
なおExcelで数値計算して得た次の値を利用した。ζ(1/2)だけはmath worldでの値である。
ζ(1/2)＝-1.46035450・・
ζ(5/2)＝1.34148725・・ ζ(9/2)＝1.05470751・・ ζ(13/2)＝1.01200590・・
L(3/2)をL(1/2)と合わせてまとめておこう。
次にL(5/2)を求める。「その１」で出した一般式をまず掲げる。
上式でs＝5/2とすると、求まる。s＝5/2とすると、次となる。
L(5/2)
＝（1-2^(-1/2)）・ζ(3/2)・(π/2)^1 /1！ - （1-2^(3/2)）・ζ(-1/2)・(π/2)^3 /3！
+ （1-2^(7/2)）・ζ(-5/2)・(π/2)^5 /5！ - （1-2^(11/2)）・ζ(-9/2)・(π/2)^7 /7！
+ （1-2^(15/2)）・ζ(-13/2)・(π/2)^9 /9！ - （1-2^(19/2)）・ζ(-17/2)・(π/2)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------①
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて①を変形して、整理整頓すると次となる。
L(5/2)
＝（1-1/√2）・ζ(3/2)・(π/2)
-(π/2)^2・[（√2-1/2^1）・ζ(3/2)・2！/(2^3・1！・3！)
+ （√2-1/2^3）・ζ(7/2)・6！/(2^9・3！・5！)
+ （√2-1/2^5）・ζ(11/2)・10！/(2^15・5！・7！)
+ （√2-1/2^7）・ζ(15/2)・14！/(2^21・7！・9！)
+ （√2-1/2^9）・ζ(19/2)・18！/(2^27・9！・11！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] ------②
さて、収束性を見たい。
まずL(5/2)をL(s)定義式から直接に計算してみよう。すなわち、
L(5/2)＝1 - 3^(-5/2) + 5^(-5/2) - 7^(-5/2) + ・・・
であるが、③は交代級数であり且つ項の大きさが徐々に小さくなっているので、確実に収束する。
１万項も計算すれば十分であり
1万項まで＝0.94862217・・ --------③
となる。Excelで計算した。
次に②または①の収束性を検証してみた。②の形で検証する。右辺は、
１項までの和＝1.20189013・・
２項までの和＝0.95635607・・
３項までの和＝0.94935578・・
と急速に③に収束する（電卓で手計算）。たった３項でこれである。L(1/2)、L(3/2)と同様②は異常に収束がよい。
なおExcelで数値計算して得た次の値を利用した。
ζ(3/2)＝2.612375348・・
ζ(7/2)＝1.126733867・・
L(5/2)をL(1/2)、L(3/2)と合わせてまとめておこう。
三つを比べると、下にいくほど、収束速度が速くなっていることに気づく。
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