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発見した独自の手法を用いてζ(s)の特殊値ζ(1/2)の導出に成功しましたので報告します。
この手法をテイラーシステムと名付けました。「半整数ゼータ値は無限個の半整数ゼータ値で表現される」という
美しい事実を発見。
また本システムを用いてζ(3)，ζ（5），ζ(7)を従来にない簡潔さで導出できました。
数学者は、オイラー・マクローリンの和公式というたいへん複雑な公式を用いて、ζ(1/2)の値を求めることが
多いようですが、今回、独自の手法を用いてζ(1/2)値を求めることができましたので、報告します。
それは簡潔で美しいものであり、広範な応用性をもっています。
ところで、ζ(1/2)値は一体いくらなのでしょうか？
「素数に憑かれた人たち」（ジョン・ダービシャー著、日経BP社）p.184によれば、厳密値は
ζ(1/2)=-1.460354508・・・となります。
ζ(1/2)導出が簡単ではないのは、リーマン・ゼータζ(s)の重要な公式の一つである次の関数等式がζ(1/2)では、
無力であることからわかるでしょう。
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s) -------①
s＝1/2を入れても、だめですよね？ Γ(s)はガンマ関数です。Γ(1/2)=√π
いろいろとζ(1/2)値を出す方法があるようですが、数学者はオイラー・マクローリンの和公式によって出す場合
が多いようです。
しかし、オイラー・マクローリンの和公式は、どうみても美しさを感じない公式であり、私はもっと別の方法で
出るはずだと模索を続けていたのですが、ついに発見できた次第です。
なおオイラー・マクローリンの和公式は次の佐藤郁郎氏のHPにζ(1/2)値の記述とともに紹介されています。
またSugimoto氏のサイトには、ほとんど知られていないと思われるHasseの公式を使ったζ(1/2)の例も
示されています。--->http://homepage3.nifty.com/y_sugi/sp/sp13.htm
また、上記｢素数に憑かれた人たち｣にはζ(1/2)に関して交代級数を用いた手法が記されています。この
本のζ(1/2)の記述はSugimoto氏に教わりました。
さて、私自身の導出方法を書きます。
［私のζ(1／2)値の導出方法］［π代入，π/2テイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^0.5 + (cos2x)/2^0.5 + (cos3x)/3^0.5 + (cos4x)/4^0.5 + ・・・ -------②
という母関数を考えます。
そして、まず上でx=πを代入します。すると
f(π) = -(1-2^0.5)・ζ(1/2) -------③
となり、ζ（1/2）の姿が現れます。
次に、②の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開します。
f(x)＝ - 2^(-0.5)・（1-2^0.5）・ζ(1/2) - L(-1/2)・(x-π/2)^1 /1！
+ 2^1.5・（1-2^2.5）・ζ(-3/2)・(x-π/2)^2 /2！ + L(-5/2)・(x-π/2)^3 /3！
- 2^3.5・（1-2^4.5）・ζ(-7/2)・(x-π/2)^4 /4！ - L(-9/2)・(x-π/2)^5 /5！
+ 2^(5.5)・（1-2^6.5）・ζ(-11/2)・(x-π/2)^6 /6！ + L(-13/2)・(x-π/2)^7 /7！ -------④
・・・・・・・・・・・
無限個の半整数ゼータ値が出てきました。なんとも、ふしぎです。こちらにもζ(1/2)が見えました。
L(s)は当サイトで何度も出てきたゼータ
L(s)= 1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
です。
L(s)は、巨大な古典的ゼータであるディリクレのＬ関数L(χ,s)というゼータ関数の一種で、L(1)=π/4であることは
よく知られています。ちなみに、リーマン・ゼータζ(s)もL(χ,s)の一種です。L(χ，s)は無限に多くのゼータを生み出
すことができます。
さて、④にx=πを代入して、①のζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s) -----①
と、次のＬ(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(sπ/2)・L(s) -----⑤
を利用して、L(-1/2)，ζ(-3/2)，・・・をすべて現実的なL(3/2) ，ζ(5/2)，・・・に直すと、次のようになりました。
f(π)＝ - 1/2^0.5・（1-2^0.5）・ζ(1/2) - 1/2・L(3/2)
+ (1-1/2^2.5)・｛(1・3)/(2・4)｝・ζ(5/2) - ｛（1・3・5)/(2・4・6)｝・L(7/2)
+ (1-1/2^4.5)・｛(1・3・5・7)/(2・4・6・8)｝・ζ(9/2)
- ｛（1・3・5・7・9)/(2・4・6・8・10)｝・L(11/2)
+ (1-1/2^6.5)・｛(1・3・5・7・9・11)/(2・4・6・8・10・12)｝・ζ(13/2)
- ｛（1・3・5・7・9・11・13)/(2・4・6・8・10・12・14)｝・L(15/2)
・・・・・・・・・・・・・ -----⑥
この美しい形を味わってください。 1・3・5は1×3×5の意味です。
③と⑥は等しいですので、ζ(1/2)を左辺にまとめて整理すると、次のようになります。
-(1-1/2^0.5)・（1-2^0.5）・ζ(1/2)
＝ - 1/2・L(3/2)
+ (1-1/2^2.5)・｛(1・3)/(2・4)｝・ζ(5/2) - ｛（1・3・5)/(2・4・6)｝・L(7/2)
+ (1-1/2^4.5)・｛(1・3・5・7)/(2・4・6・8)｝・ζ(9/2)
- ｛（1・3・5・7・9)/(2・4・6・8・10)｝・L(11/2)
+ (1-1/2^6.5)・｛(1・3・5・7・9・11)/(2・4・6・8・10・12)｝・ζ(13/2)
- ｛（1・3・5・7・9・11・13)/(2・4・6・8・10・12・14)｝・L(15/2)
・・・・・・・・・・・・ -----⑦
右辺のL(3/2)，ζ(5/2)，L(7/2)，ζ(9/2)，・・・は、現実世界において確固とした値として計算できる（現実的に収束
する）ものですので、延々と無限級数を計算していけば右辺は収束し、ζ(1/2)=-1.46035・・とわかるのです（*）。
⑦は+と-が交互に現れる交代級数の形になっています。観察するとすぐにわかりますが、すこし遠くへいけば
(-1)^n・｛1・3・5・・・(2n-3)・(2n-1)｝/｛(2・4・・・・(2n-2)・2n)｝が順番に出てくることと同じになります。交代級数で
あり且つ徐々に項の大きさが小さくなっていきますから、確実に収束します(*)。
（*） ただし収束がたいへん遅く、ExcelのVBAで近似を用いたプログラムを組み計算しましたが、9億9999万9999項目で-1.460428・・と
なり、１０億項目で-1.460280・・ となりました。Pentium CPUで13分かかった。（交互に振動しながら、中心線-1.460354・・をまたぎながら
それに徐々にちかづいていく） これ以上の計算はオーバーフローとなり無理でしたが、十分でしょう。
なお、ζ(34.5)、L(33.5)より大きいゼータ値はすべて1として計算しました。
以上。
いかがでしょうか？
このように、かなり簡単に求められてしまうのです。
しかも、この応用性ははかり知れないものがあります。というのも、上ではπ/2周りでテイラー展開しましたが、
これはπ/2でなくとも、それ以外の値でもよいはずだからです（左辺の関係で最後にπを代入するのでπだけ
は除く）。また、上でのπ代入もそれ以外のπ/nでもできるはず。とすると、ゼータ惑星での様々な結果と関係して
きて、半整数ゼータ値は、ありとあらゆる様々なL(χ,s)の値で表現できてくると思われるのです。
上は、たしかに収束は遅いです。
しかし、一個の半整数ゼータ値が、無限個の半整数ゼータ値で表現される
という驚くべき事実がわかったのです！
たんに値をもとめるという単発的なことにとどまらず、L（χ,s）ゼータ全体の構造がわかってくるという点が、この私の
手法の最大の利点と思われます。
上の②式をみればすぐに気付くことですが、じつは②の0.5を3に変えればζ(3)が出ます。また2.5に変えれば
ζ(5/2)が出ます。まだここまでしかやっていませんが、
(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s + (cos4x)/4^s + ・・・
という母関数のsを実数にまで拡張できるのは確実であり、また解析接続により複素数まで拡大できると考えられます。
この手法は、あまりにも簡明ですが、大きな応用性を秘めているといえるでしょう。
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2006/5/11追記
math worldにさらに詳しい値がありました。次の通りです。
ζ(1/2)=-1.46035450880・・・
上は、π代入でやりましたが、π/2代入でやってみました。テイラー展開はx＝π周りに展開しました。
すると、今度はζ（1/2）が無限個の半整数ζ（s）だけで表現できました。
しかも、収束がきわめて速いものが得られたのです！
このような「π/2代入、テイラー展開はx＝π周り」で求める方法を簡単に［π/2代入、π周りテイラー］
などと略して書いておきます。
この私の手法を、テイラーシステムと名付けます。テイラー展開を利用して出すことからこう名付けました。
単純ですが、今後、この名前もよく使っていきたいと思います。
それでは早速、［π/2代入、π周りテイラー］でζ(1/2)を出してみましょう。一つ上とやり方は全く同じです。
［ζ(1/2)を導出する］ ［π/2代入、π周りテイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^0.5 + (cos2x)/2^0.5 + (cos3x)/3^0.5 + (cos4x)/4^0.5 + ・・・ -------①
という母関数を考えます。
そして、まず上でx=π/2を代入します。すると
f(π/2) = -2^(-0.5)・(1-2^0.5)・ζ(1/2) -------②
となり、ζ（1/2）が現れます。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開します。すると、次のようになります。
f(x)＝ - （1-2^0.5）・ζ(1/2) + (1-2^2.5)・ζ(-3/2)・(x-π)^2 /2！
- （1-2^4.5）・ζ(-7/2)・(x-π)^4 /4！ + (1-2^6.5)・ζ(-11/2)・(x-π)^6 /6！
- （1-2^8.5）・ζ(-15/2)・(x-π)^8 /8！ + (1-2^10.5)・ζ(-19/2)・(x-π)^10 /10！
- （1-2^12.5）・ζ(-23/2)・(x-π)^12 /12！ + (1-2^14.5)・ζ(-27/2)・(x-π)^14 /14！
・・・・・・・・・・・ -------③
無限個の半整数ζ（s）値が出てきました。こちらにもζ(1/2)が出ています。
さて、③にx=π/2を代入してζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用して、ζ(-3/2)，ζ(-7/2)・・・をすべて現実的なζ(5/2) ，ζ(9/2)，・・・に直して整理整頓すると、
次のようになります。
f(π/2)
＝ - （1-√2）・ζ(1/2)
+ (√2-1/2^2)・｛(1・3)/(2・4)｝・ζ(5/2)/2^2
+ (√2-1/2^4)・｛(1・3・5・7)/(2・4・6・8)｝・ζ(9/2)/2^4
+ (√2-1/2^6)・｛(1・3・5・7・9・11)/(2・4・6・8・10・12)｝・ζ(13/2)/2^6
+ (√2-1/2^8)・｛(1・3・5・7・9・11・13・15)/(2・4・6・8・10・12・14・16)｝・ζ(17/2)/2^8
+ (√2-1/2^10)・｛(1・3・5・7・9・11・13・15・17・19)/(2・4・6・8・10・12・14・16・18・20)｝・ζ(21/2)/2^10
・・・・・・・・・・・・・ -----④
1・3は1×3の意味です。④は階乗n!を使って表すこともできますが、このように表現しました。
②と④は等しいですので、ζ(1/2)を左辺にまとめて整理すると、次のようになります。
(1-1/√2)・（1-√2）・ζ(1/2)
＝ (√2-1/2^2)・｛(1・3)/(2・4)｝・ζ(5/2)/2^2
+ (√2-1/2^4)・｛(1・3・5・7)/(2・4・6・8)｝・ζ(9/2)/2^4
+ (√2-1/2^6)・｛(1・3・5・7・9・11)/(2・4・6・8・10・12)｝・ζ(13/2)/2^6
+ (√2-1/2^8)・｛(1・3・5・7・9・11・13・15)/(2・4・6・8・10・12・14・16)｝・ζ(17/2)/2^8
+ (√2-1/2^10)・｛(1・3・5・7・9・11・13・15・17・19)/(2・4・6・8・10・12・14・16・18・20)｝・ζ(21/2)/2^10
・・・・・・・・・・・・・ -----⑤
なんとも美しいものですね。
右辺のζ(5/2)，ζ(9/2)，・・・は、現実世界において確定した値ですので、無限級数を計算していけば右辺は
-1.46035・・に収束します。 ⑤は、冒頭でのζ(1/2)の級数とは比較にならないくらい収束が速かった。
なんと、たったの100項で、-1.46035450866・・となったのですから！(*)
（厳密値はζ(1/2)=-1.46035450880・・・）
(*)なお、この計算はExcelのVBAでプログラムを組んでやりましたが、ζ(5/2)～ζ(69/2)までは計算で出したかなり正確なζ(s)値を使いまし
たが、それ以外のζ(s)値はすべて1として計算しました。
以上
このように、
ζ(1/2)が、無限個の半整数ゼータ値ζ((1+4n)/2)で表現できる
ことがわかりました。
それも、きわめて速い収束性で！
じつは、この方法からは、無限に面白い結果が得られます。
というのは、私がゼータ惑星で出した結果をそっくりそのまま応用できるからです。
(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s +・・・
からは、実２次体ゼータが出る。kπ/n代入のnをいろいろに変えることにより、様々な実２次体ゼータが
飛び出してきます。
(sinx)/1^s + (sin2x)/2^s + (sin3x)/3^s +・・・
からは、虚２次体ゼータが出る。kπ/n代入のnをいろいろに変えることにより、様々な虚２次体ゼータが
飛び出してくる。
そしてどんなゼータが飛び出してくるかも、わかっているのです。私の予想L-４からわかります。
今回発見した手法は強力ですので、この手法をひっさげ、ゼータ惑星での結果を利用しながら、他ゼータの半整数
値のみならず、いろいろと調べていくことにします。
ところで、実２次体や虚２次体のゼータ関数とは、なんなのでしょうか？
一言でいえば、それは方程式のゼータ関数です。
私が敬愛する加藤和也先生によればゼータ関数の中でも、方程式のゼータ関数がもっとも難しいものであるとの
ことです。
実２次体や虚２次体に関係する方程式は、２次の合同方程式といわれるもので、その辺のことは
「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）にくわしく書いてあります。
フェルマー予想は、ワイルスが解きました。
その際に使ったのが、楕円曲線のゼータ関数です。楕円曲線のゼータも、方程式のゼータ関数です。
ほかに、保型形式のゼータ関数という解析的なゼータ関数もあります。
ワイルスは、「保型形式のゼータがなぜか楕円曲線のゼータに一致する」というきわめて不思議な事実
（谷山・志村予想といわれた）の、大きな部分を解決して、フェルマー予想を証明したのでした。
谷山・志村予想が正しければフェルマー予想も正しいことが先に証明されていたからです。
楕円曲線のゼータにくらべれば、２次体ゼータはまだやさしいといえますが、それでも、まだまだ未知の領域が
残っている気がします。
私がゼータ惑星で発見した
(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s +・・・ からは、実２次体ゼータが出る
(sinx)/1^s + (sin2x)/2^s + (sin3x)/3^s +・・・ からは、虚２次体ゼータが出る
という事実も、なぜか e^ix=cosx + i・sinx の実部と虚部に見事に対応してしまっていることを考えると、なんとも
不思議な感覚におそわれます。
ゼータは、三角関数からあふれ出てきているようです
私のテイラーシステムは、きわめて応用が広いです。
これを用いると、ζ(3)が簡単に求まってしまうのです！
ζ（3）は、もちろん
(cosx)/1^3 + (cos2x)/2^3 + (cos3x)/3^3 +・・・ ----------①
を用いて求めます。［π/2代入，π周りテイラー展開］の条件でやってみましょう。
今後は、このような条件を、次のように略記することにします。
Cos［s=3, π/2代入，πテイラー］
Cosはもちろん上式のcosを、s=3は①の1^3などの3を意味します。
一般的にいえば、
(cosx)/1^q + (cos2x)/2^q + (cos3x)/3^q +・・・
で、［A代入、B周りテイラー展開］で求める場合は、 Cos［s=q, A代入，Bテイラー］となります。
また、あとで、
(sinx)/1^s + (sin2x)/2^s + (sin3x)/3^s +・・・
も、出てきますが、その場合は、Sin[・・・]とします。
さて、早速、ζ（3）を出しましょう。
［ζ(3)を導出する］ Cos［s=3, π/2代入、πテイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^3 + (cos2x)/2^3 + (cos3x)/3^3 + (cos4x)/4^3 + ・・・ -------①
という母関数を考えます。
まず①で x=π/2を代入します。すると
f(π/2) = -2^(-3)・(1-1/2^2)・ζ(3) -------②
となり、ζ（3）が現れます。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開します。すると、次のようになります。
f(x)＝ - （1-1/2^2）・ζ(3) + log2・(x-π)^2 /2！
- （1-2^2）・ζ(-1)・(x-π)^4 /4！ + (1-2^4)・ζ(-3)・(x-π)^6 /6！
- （1-2^6）・ζ(-5)・(x-π)^8 /8！ + (1-2^8)・ζ(-7)・(x-π)^10 /10！
・・・・・・・・・・・ -------③
無限個のζ（-n）値が出てきました。こちらにもζ(3)が出ています。
さて、③にx=π/2を代入してζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用して、ζ(-1)，ζ(-3)・・・をすべて現実的なζ(2) ，ζ(4)，・・・に直して整理整頓すると、
次のようになります。
f(π/2)＝ - （1-1/2^2）・ζ(3)
+ π^2・［log2/8 + (1-2^2)・ζ(2)/｛(4・3・2)・2^5｝
+ (1-2^4)・ζ(4)/｛(6・5・4)・2^9｝ + (1-2^6)・ζ(6)/｛(8・7・6)・2^13｝
+ (1-2^8)・ζ(8)/｛(10・9・8)・2^17｝ + (1-2^10)・ζ(10)/｛(12・11・10)・2^21｝ + ・・・・・・ ］ ----④
②と④は等しいですので、ζ(3)を左辺にまとめて、変形を加えて整理すると、次のようになります。
(1-1/2^3)・（1-1/2^2）・ζ(3) ＝
π^2・［log2/8 - (1-1/2^2)・ζ(2)/｛(4・3・2)・2^3｝
- (1-1/2^4)・ζ(4)/｛(6・5・4)・2^5｝ - (1-1/2^6)・ζ(6)/｛(8・7・6)・2^7｝
- (1-1/2^8)・ζ(8)/｛(10・9・8)・2^9｝ - (1-1/2^10)・ζ(10)/｛(12・11・10)・2^11｝ - ・・・・］ ----⑤
美しい形です。
「ゼータ関数のいくつかの点について」で見た通り、ζ（3）=［偶数ゼータの無限和］となりました。
さて、ζ（3）の精密な値は、math worldによれば、
ζ(3）＝1.2020569032・・
です。
⑤右辺のζ(2)，ζ(4)，・・・は、現実世界において確定した値ですので、右辺の無限級数を計算すると
上記1.2020569032・・・に収束します。 ⑤は、またきわめて収束が速く、最初から（ζ(2)項から）たったの１０項で
1.202056903343・・ となりました。（Excel VBAでプログラムを組んで検証しました）
以上
この導出の簡単さ！を味わってください。まとめておきます。
２年半ほど前、ζ(3)，ζ（5），・・の導出に成功したときは、もうほんとうに、気の遠くなるような思いの計算の
末に、求めていました。次の「ゼータ関数のいくつかの点について」の「その４」～「その７」あたりを見てください。
佐藤郁郎氏も次の最後で「本当に気が遠くなるような思いの末に・・」と表現しています。
それが、たった上だけの計算でできてしまいました。しかも、きわめて速い収束性で。
魔法のようです・・
次にζ（5）を求めてみましょう。
ζ（3）と同じ「π/2代入，πテイラー」の条件で、求めます。
つまり、
(cosx)/1^5 + (cos2x)/2^5 + (cos3x)/3^5 +・・・
という母関数を考え、π周りテイラー展開とπ/2代入を行うわけです。
略記すれば、Cos［ s=5， π/2代入，πテイラー］となります。
［ζ(5)を導出する］ Cos［s=5, π/2代入、πテイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^5 + (cos2x)/2^5 + (cos3x)/3^5 + (cos4x)/4^5 + ・・・ -------①
という母関数を考えます。
まず①上で x=π/2を代入します。すると
f(π/2) = -2^(-5)・(1-1/2^4)・ζ(5) -------②
となり、ζ（5）が現れます。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開します。すると、次のようになります。
f(x)＝ - （1-1/2^4）・ζ(5) + （1-1/2^2）・ζ(3)・(x-π)^2 /2！ - log2・(x-π)^4 /4！
+ （1-2^2）・ζ(-1)・(x-π)^6 /6！ + (1-2^4)・ζ(-3)・(x-π)^8 /8！
- （1-2^6）・ζ(-5)・(x-π)^10 /10！ + (1-2^8)・ζ(-7)・(x-π)^12 /12！
・・・・・・・・・・・ -------③
無限個のζ（-n）値が出てきました。こちらにもζ(5)が出ています。ζ（3）も見えた。
さて、③にx=π/2を代入してζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用して、ζ(-1)，ζ(-3)・・・をすべて現実的なζ(2) ，ζ(4)，・・・に直して整理整頓すると、
次のようになります。
f(π/2)＝ - （1-1/2^4）・ζ(5) + （1-1/2^2）π^2・ζ（3）/(2！・2^2)
+ π^4・［-log2/(4！・2^4) - (1-2^2)・ζ(2)/｛(6・5・4・3・2)・2^7｝
- (1-2^4)・ζ(4)/｛(8・7・6・5・4)・2^11｝ - (1-2^6)・ζ(6)/｛(10・9・8・7・6)・2^15｝
- (1-2^8)・ζ(8)/｛(12・11・10・9・8)・2^19｝ - (1-2^10)・ζ(10)/｛(14・13・12・11・10)・2^23｝
- ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］ --------------④
4項目以降階乗n！を使って表現することもできます。
②と④は等しいので、ζ(5)を左辺にまとめて、変形を加えて整理すると、次のようになります。
(1-1/2^5)・（1-1/2^4）・ζ(5) ＝ （1-1/2^2）π^2・ζ（3）/(2！・2^2)
+ π^4・［-log2/(4！・2^4) + (1-1/2^2)・ζ(2)/｛(6・5・4・3・2)・2^5｝
+ (1-1/2^4)・ζ(4)/｛(8・7・6・5・4)・2^7｝ + (1-1/2^6)・ζ(6)/｛(10・9・8・7・6)・2^9｝
+ (1-1/2^8)・ζ(8)/｛(12・11・10・9・8)・2^11｝ + (1-1/2^10)・ζ(10)/｛(14・13・12・11・10)・2^13｝
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］ --------⑤
「ゼータ関数のいくつかの点について」で見たと同様、ζ（5）=［偶数ゼータの無限和］となりました。（これはζ（3）が
一つ上で［偶数ゼータの無限和］とわかっていますから、そうなりますね）
さて、ζ（5）の精密な値は、math worldによれば、
ζ(5）＝1.0369277551・・ ---------⑥
です。
⑤右辺のζ（3），ζ(2)，ζ(4)，・・・は、現実世界において確定した値ですので、右辺の無限級数を計算すると
⑥の値に収束します。ζ（3）は一つ上での精密値を使いました（ ζ(3）＝1.2020569032・・ ）。
⑤もまた、きわめて収束が速く、最初から（ζ(2)項から数えて）たったの１０項で1.036927755143 ・・ となりま
した。（Excel VBAでプログラムを組んで検証）
以上
まとめておきます。
このように、ζ（5）もまったく簡単に求まりました。
テイラーシステムは力が強く、奇数ゼータ特殊値を簡単に導き出してくれるのでした。
次にζ（7）を求めてみましょう。
ζ（3）、ζ（5）と同じ「π/2代入，πテイラー」の条件で求めます。
つまり、
(cosx)/1^7 + (cos2x)/2^7 + (cos3x)/3^7 +・・・
という母関数を考え、π周りテイラー展開とπ/2代入を行います。
略記すればCos［ s=7， π/2代入，πテイラー］となります。
［ζ(7)を導出する］ Cos［s=7, π/2代入、πテイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^7 + (cos2x)/2^7 + (cos3x)/3^7 + (cos4x)/4^7 + ・・・ -------①
という母関数を考えます。
まず①上で x=π/2を代入します。すると
f(π/2) = -2^(-7)・(1-1/2^6)・ζ(7) -------②
となり、ζ（7）が現れます。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開します。すると、次のようになります。
f(x)＝ - （1-1/2^6）・ζ(7) + （1-1/2^4）・ζ(5)・(x-π)^2 /2！
- （1-1/2^2）・ζ(3)・(x-π)^4 /4！+ log2・(x-π)^6 /6！
- （1-2^2）・ζ(-1)・(x-π)^8 /8！ + (1-2^4)・ζ(-3)・(x-π)^10 /10！
- （1-2^6）・ζ(-5)・(x-π)^12 /12！ + (1-2^8)・ζ(-7)・(x-π)^14 /14！
・・・・・・・・・・・ -------③
無限個のζ（-n）値が出てきました。こちらにもζ(7)が出ました。ζ（5），ζ（3）も現れています。
さて、③にx=π/2を代入してζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用して、ζ(-1)，ζ(-3)・・・をすべて現実的なζ(2) ，ζ(4)，・・・に直して整理整頓すると、
次のようになります。
f(π/2)＝- （1-1/2^6）・ζ(7) + （1-1/2^4）・ζ(5)・π^2 /(2！・2^2) - （1-1/2^2）・ζ(3)・π^4 /(4！・2^4)
+ π^6・［log2/(6！・2^6) + (1-2^2)・ζ(2)・1！/(8！・2^9)
+ (1-2^4)・ζ(4)・3！/(10！・2^13) + (1-2^6)・ζ(6)・5！/(12！・2^17)
+ (1-2^8)・ζ(8)・7！/(14！・2^21) + (1-2^10)・ζ(10)・9！/(16！・2^25)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］ --------④
今回のζ(7)では、階乗n！を使って表現しました。例えば、4！＝4×3×2×1です。
②と④は等しいので、ζ(7)を左辺にまとめて、変形を加えて整理すると、次のようになります。
(1-1/2^7)・（1-1/2^6）・ζ(7)＝
（1-1/2^4）・ζ(5)・π^2 /(2！・2^2) - （1-1/2^2）・ζ(3)・π^4 /(4！・2^4)
+ π^6・｛log2/(6！・2^6) - (1-1/2^2)・ζ(2)・1！/(8！・2^7)
- (1-1/2^4)・ζ(4)・3！/(10！・2^9) - (1-1/2^6)・ζ(6)・5！/(12！・2^11)
- (1-1/2^8)・ζ(8)・7！/(14！・2^13) - (1-1/2^10)・ζ(10)・9！/(16！・2^15)
- ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ ------⑤
「ゼータ関数のいくつかの点について」で見たと同様、ζ（7）=［偶数ゼータの無限和］となりました。（これはζ（3）と
ζ（5）が上で［偶数ゼータの無限和］とわかっているので、そうなります）
さて、ζ（7）の精密な値は、math worldによれば、
ζ(7）＝1.0083492774 ・・ ---------⑥
です。
⑤右辺のζ（5），ζ（3），ζ(2)，ζ(4)，・・・は、現実世界において確定した値ですので、右辺の無限級数を計算
すると⑥の値に収束します。ζ（3）、ζ（5）は本ページ上での精密値を使いました。
⑤も収束は非常に速く、最初からの（ζ（2)項から数えて）たったの１０項で1.008349277382 ・・ となりました。
（Excel VBAでプログラムを組んで検証）
以上
このように、ζ（7）もまったく簡単に求まりました。ここでも収束は異常に速かった。
「ゼータ関数のいくつかの点について」で２年半ほど前に、これらζ（3）、ζ（5）、ζ（7）を計算していたときは
まったくたいへんな計算でした。手計算でζ（7）などは６時間以上はかっかっていたのではないかと思われ、
過酷な修行のようなものだったのです。
それが、上の計算だけで当時と同等（同類）の式がでてくる。
⑤式を出すのにわずか３０分ほどでできてしまうのです！（手計算で） あっという間です。
恐るべしテイラーシステム！といえるでしょう。
ζ(3)、ζ(5)と合わせてまとめておきます。
ここまでの結果をまとめておきます。
テイラーシステムは優れた手法ですが、条件がいくつもあるので、整理整頓しておきたいと思います。
テイラーシステムでの結果
表の見方は、例えば①では、「Cos[ s=1/2， π代入，π/2テイラー］の条件で、ζ(1/2)がL(s)とζ(s)の
無限和で表現された」ことをあわらしています。他も同様に見てください。
①の「条件」以外は、すべて本質的に等しい条件となっています。本ページでは、
(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s +・・・
の母関数に対し、［π/2代入、π周りテイラー展開］を中心にやったわけです。
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