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私独自のテイラーシステムを、特殊値導出にどんどん応用していきます。ζ(5/2)，ζ（3/2），ζ（7/2）を導出。
ついでにζ（2），ζ(4)，ζ（6），ζ(8)も出した。
私が発明したテイラーシステムでζ（5/2）を求めてみます。
(cosx)/1^2.5 + (cos2x)/2^2.5 + (cos3x)/3^2.5 +・・・
という母関数を考え、π周りテイラー展開とπ/2代入でテイラーシステムを実行します。
当面「π/2代入，πテイラー」の条件をつづけましょう。
この条件を略記すれば、Cos［ s=5/2， π/2代入，πテイラー］となる。
（本サイトでは、√2 を 2^0.5として表現している箇所があります。）
［ζ(5/2)を導出する］ Cos［s=5/2, π/2代入、πテイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^2.5 + (cos2x)/2^2.5 + (cos3x)/3^2.5 + (cos4x)/4^2.5 + ・・・ -------①
という母関数を考えます。
まず①で x=π/2を代入します。すると
f(π/2) = -2^(-2.5)・(1-1/2^1.5)・ζ(5/2) -------②
となり、ζ（5/2）が現れます。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開します。すると、次のようになります。
f(x)＝- （1-1/2^1.5）・ζ(5/2) + （1-2^0.5）・ζ(1/2)・(x-π)^2 /2！
- （1-2^2.5）・ζ(-3/2)・(x-π)^4 /4！+ （1-2^4.5）・ζ(-7/2)・(x-π)^6 /6！
- （1-2^6.5）・ζ(-11/2)・(x-π)^8 /8！+ （1-2^8.5）・ζ(-15/2)・(x-π)^10 /10！
・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③
無限個のζ（-n/2）値が出てきました。こちらにもζ(5/2)が出ました。ζ（1/2）も現れています。
さて、③にx=π/2を代入して
f(π/2)＝- （1-1/2^1.5）・ζ(5/2) + （1-2^0.5）・ζ(1/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^2.5）・ζ(-3/2)・π^4 /(4！・2^4) + （1-2^4.5）・ζ(-7/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^6.5）・ζ(-11/2)・π^8 /(8！・2^8) + （1-2^8.5）・ζ(-15/2)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・ -------③-2
となる。③-2と②は等しいので、
-2^(-2.5)・(1-1/2^1.5)・ζ(5/2)
＝- （1-1/2^1.5）・ζ(5/2) + （1-2^0.5）・ζ(1/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^2.5）・ζ(-3/2)・π^4 /(4！・2^4) + （1-2^4.5）・ζ(-7/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^6.5）・ζ(-11/2)・π^8 /(8！・2^8) + （1-2^8.5）・ζ(-15/2)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
となる。ζ（5/2）を左辺に集めて整理して、次となる。
(1-2^(-2.5))・(1-1/2^1.5)・ζ(5/2)
＝ （1-2^0.5）・ζ(1/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^2.5）・ζ(-3/2)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-2^4.5）・ζ(-7/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^6.5）・ζ(-11/2)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-2^8.5）・ζ(-15/2)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------④
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用し、ζ(-3/2)，ζ(-7/2)・・・をすべて現実的なζ(5/2) ，ζ(9/2)，・・・に直してさらに整理すると、
次のようになります。
(1-1/2^2.5)・（1-1/2^1.5）・ζ(5/2)
＝ -π^2・［（√2-1）・ζ(1/2)・0！/(2！・0！・2^2)
+ （√2-1/2^2）・ζ(5/2)・4！/(4！・2！・2^8)
+ （√2-1/2^4）・ζ(9/2)・8！/(6！・4！・2^14)
+ （√2-1/2^6）・ζ(13/2)・12！/(8！・6！・2^20)
+ （√2-1/2^8）・ζ(17/2)・16！/(10！・8！・2^26)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] -----⑤
「百武彗星 その１」でζ(1/2)で見たのと同様、ζ（5/2）=［半整数ゼータの無限和］となりました。
この⑤の秩序だった形を見てください。きれいなものです。
さて、⑤は見方を変えれば、ζ（1/2）が求まる式ともなっているのはありませんか！
つまり、「百武彗星 その１」の「ζ（1/2）値の導出 その２」で出したのと同類の式となっている。
⑤でζ（1/2)を左辺にもってきて、変形を加えつつ整理すると、次のようになります。
-（1-2^0.5）・ζ(1/2)/(2！・2^2)
＝ -(1-1/2^2.5)・（1-1/2^1.5）・ζ(5/2)/π^2
- （√2-1/2^2）・ζ(5/2)・(1・3)/(4！・2^6)
- （√2-1/2^4）・ζ(9/2)・(1・3・5・7)/(6！・2^10)
- （√2-1/2^6）・ζ(13/2)・(1・3・5・7・9・11)/(8！・2^14)
- （√2-1/2^8）・ζ(17/2)・(1・3・5・7・9・11・13・15)/(10！・2^18)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------⑥
やはり、ここでもζ（1/2)は無限個の半整数ゼータで表現されたのです。
math worldによればζ（1/2)は、次の値になります。
ζ(1/2)=-1.46035450880・・・ -------⑦
⑥式でほんとうに⑦となるのか、ζ(1/2)を検証しました。
右辺のζ(5/2)，ζ(9/2)，・・・は、現実世界において確定した値ですので、右辺からζ（1/2）を出せば
⑦に収束します。収束は非常に速く、最初からのたったの１０項で-1.460354506・・・となりました。
（Excel VBAでプログラムを組んで検証）
なおζ(5/2)，ζ(9/2)，・・・はζ（s）定義式から直接算出した値を使いました。
以上
再度、⑥を書いておきます。
-（1-2^0.5）・ζ(1/2)/(2！・2^2)
＝ -(1-1/2^2.5)・（1-1/2^1.5）・ζ(5/2)/π^2
- （√2-1/2^2）・ζ(5/2)・(1・3)/(4！・2^6)
- （√2-1/2^4）・ζ(9/2)・(1・3・5・7)/(6！・2^10)
- （√2-1/2^6）・ζ(13/2)・(1・3・5・7・9・11)/(8！・2^14)
- （√2-1/2^8）・ζ(17/2)・(1・3・5・7・9・11・13・15)/(10！・2^18)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------Ａ
また「百武彗星 その１」で出したζ（1/2)の同類の２式も書いておきます。
(1-1/√2)・（1-√2）・ζ(1/2)
＝ (√2-1/2^2)・｛(1・3)/(2・4)｝・ζ(5/2)/2^2
+ (√2-1/2^4)・｛(1・3・5・7)/(2・4・6・8)｝・ζ(9/2)/2^4
+ (√2-1/2^6)・｛(1・3・5・7・9・11)/(2・4・6・8・10・12)｝・ζ(13/2)/2^6
+ (√2-1/2^8)・｛(1・3・5・7・9・11・13・15)/(2・4・6・8・10・12・14・16)｝・ζ(17/2)/2^8
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -----Ｂ
-(1-1/2^0.5)・（1-2^0.5）・ζ(1/2)
＝ - 1/2・L(3/2)
+ (1-1/2^2.5)・｛(1・3)/(2・4)｝・ζ(5/2) - ｛（1・3・5)/(2・4・6)｝・L(7/2)
+ (1-1/2^4.5)・｛(1・3・5・7)/(2・4・6・8)｝・ζ(9/2)
- ｛（1・3・5・7・9)/(2・4・6・8・10)｝・L(11/2)
+ (1-1/2^6.5)・｛(1・3・5・7・9・11)/(2・4・6・8・10・12)｝・ζ(13/2)
- ｛（1・3・5・7・9・11・13)/(2・4・6・8・10・12・14)｝・L(15/2)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ---------Ｃ
Ａ，Ｂ，Ｃそれぞれ異なった表現ですが、半整数ゼータが一致団結して手に手をとってζ(1/2)を生み出している
様は壮大です。
最後に、④と⑤の式を再度書いておきます。（⑤では右辺のζ（5/2）はそのままおいておきます。）
(1-2^(-2.5))・(1-1/2^1.5)・ζ(5/2)
＝ （1-2^0.5）・ζ(1/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^2.5）・ζ(-3/2)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-2^4.5）・ζ(-7/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^6.5）・ζ(-11/2)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-2^8.5）・ζ(-15/2)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------④
上は、次のようにも書き換えられる。
(1-1/2^2.5)・（1-1/2^1.5）・ζ(5/2)
＝ -π^2・［（√2-1）・ζ(1/2)・0！/(2！・0！・2^2)
+ （√2-1/2^2）・ζ(5/2)・4！/(4！・2！・2^8)
+ （√2-1/2^4）・ζ(9/2)・8！/(6！・4！・2^14)
+ （√2-1/2^6）・ζ(13/2)・12！/(8！・6！・2^20)
+ （√2-1/2^8）・ζ(17/2)・16！/(10！・8！・2^26)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] -----⑤
ゼータ宇宙を感じます。
次にζ（3/2）を求めます。
(cosx)/1^1.5 + (cos2x)/2^1.5 + (cos3x)/3^1.5 +・・・
という母関数を考え、π周りテイラー展開とπ/2代入でシステムを実行します。
「π/2代入，πテイラー」の条件をつづけましょう。
条件を略記すれば、Cos［ s=3/2， π/2代入，πテイラー］となります。
［ζ(3/2)を導出する］ Cos［s=3/2, π/2代入、πテイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^1.5 + (cos2x)/2^1.5 + (cos3x)/3^1.5 + (cos4x)/4^1.5 + ・・・ -------①
という母関数を考えます。
まず①で x=π/2を代入します。すると
f(π/2) = -2^(-1.5)・(1-1/2^0.5)・ζ(3/2) -------②
となり、ζ（3/2）が現れます。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開します。すると、次のようになります。
f(x)＝- （1-1/2^0.5）・ζ(3/2) + （1-2^1.5）・ζ(-1/2)・(x-π)^2 /2！
- （1-2^3.5）・ζ(-5/2)・(x-π)^4 /4！+ （1-2^5.5）・ζ(-9/2)・(x-π)^6 /6！
- （1-2^7.5）・ζ(-13/2)・(x-π)^8 /8！+ （1-2^9.5）・ζ(-17/2)・(x-π)^10 /10！
・・・・・・・・・・・ -------③
無限個のζ（-n/2）値が出ています。またζ(3/2)が出ました。
さて、③にx=π/2を代入して
f(π/2)＝- （1-1/2^0.5）・ζ(3/2) + （1-2^1.5）・ζ(-1/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^3.5）・ζ(-5/2)・π^4 /(4！・2^4)+ （1-2^5.5）・ζ(-9/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^7.5）・ζ(-13/2)・π^8 /(8！・2^8)+ （1-2^9.5）・ζ(-17/2)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・ -------③-2
③-2と②は等しいので、
-2^(-1.5)・(1-1/2^0.5)・ζ(3/2)
＝- （1-1/2^0.5）・ζ(3/2) + （1-2^1.5）・ζ(-1/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^3.5）・ζ(-5/2)・π^4 /(4！・2^4)+ （1-2^5.5）・ζ(-9/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^7.5）・ζ(-13/2)・π^8 /(8！・2^8)+ （1-2^9.5）・ζ(-17/2)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・
ζ（3/2）を左辺に集めて、次となる。
(1-2^(-1.5))・(1-1/2^0.5)・ζ(3/2)
＝ （1-2^1.5）・ζ(-1/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^3.5）・ζ(-5/2)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-2^5.5）・ζ(-9/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^7.5）・ζ(-13/2)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-2^9.5）・ζ(-17/2)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・ -------④
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用して、ζ(-1/2)，ζ(-5/2)・・・をすべて現実的なζ(3/2) ，ζ(7/2)，・・・に直して整理整頓すると、
次のようになる。
②と④は等しいので、ζ(3/2)を左辺にまとめて、整理すると、次のようになります。
(1-1/2^1.5)・（1-1/2^0.5）・ζ(3/2)
＝π［（√2-1/2^1）・ζ(3/2)・2！/(2！・1！・2^4)
+ （√2-1/2^3）・ζ(7/2)・6！/(4！・3！・2^10)
+ （√2-1/2^5）・ζ(11/2)・10！/(6！・5！・2^16)
+ （√2-1/2^7）・ζ(15/2)・14！/(8！・7！・2^22)
+ （√2-1/2^9）・ζ(19/2)・18！/(10！・9！・2^28)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] -----⑤
きれいなものです。
さて、⑤は見方を変えれば、ζ（3/2）を求めることのできる式ともなっています。
⑤でζ（3/2)を左辺にもってきて、変形を加えつつ整理すると、次のようになります。
(1-1/2^1.5)・｛（1-1/√2）/π - √2/16)｝・ζ(3/2)
＝ （√2-1/2^3）・ζ(7/2)・6！/(4！・3！・2^10)
+ （√2-1/2^5）・ζ(11/2)・10！/(6！・5！・2^16)
+ （√2-1/2^7）・ζ(15/2)・14！/(8！・7！・2^22)
+ （√2-1/2^9）・ζ(19/2)・18！/(10！・9！・2^28)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -----⑥
やはり、ここでも、ζ（3/2)は無限個の半整数ゼータで表現された。
⑥からζ（3/2）を計算することもできます。右辺の収束は速く１００項までで十分であり、最初から１００項まで
ζ（3/2）= 2.612375348682・・・となりました。
なおζ（s）の定義よりζ（3/2）を求めると収束が遅く２０億項で 2.612330626704・・となるが、まだ動いています。
（Excel VBAでプログラムを組んで調べた）
以上
最後に、④と⑤を再度書いておきます。（右辺のζ（3/2）はそのままおいておきます）
(1-1/2^1.5)・(1-1/2^0.5)・ζ(3/2)
＝ （1-2^1.5）・ζ(-1/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^3.5）・ζ(-5/2)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-2^5.5）・ζ(-9/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^7.5）・ζ(-13/2)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-2^9.5）・ζ(-17/2)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------④
④は次のようにも書き換えられる。
(1-1/2^1.5)・（1-1/2^0.5）・ζ(3/2)
＝π［（√2-1/2^1）・ζ(3/2)・2！/(2！・1！・2^4)
+ （√2-1/2^3）・ζ(7/2)・6！/(4！・3！・2^10)
+ （√2-1/2^5）・ζ(11/2)・10！/(6！・5！・2^16)
+ （√2-1/2^7）・ζ(15/2)・14！/(8！・7！・2^22)
+ （√2-1/2^9）・ζ(19/2)・18！/(10！・9！・2^28)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] -----⑤
同様の流れで、次にζ（7/2）を求めます。
(cosx)/1^3.5 + (cos2x)/2^3.5 + (cos3x)/3^3.5 +・・・
という母関数を考え、π周りテイラー展開とπ/2代入でシステムを実行します。
「π/2代入，πテイラー」の条件をつづけましょう。
条件を略記すれば、Cos［ s=7/2， π/2代入，πテイラー］となります。
［ζ(7/2)を導出する］ Cos［s=7/2, π/2代入、πテイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^3.5 + (cos2x)/2^3.5 + (cos3x)/3^3.5 + (cos4x)/4^3.5 + ・・・ -------①
という母関数を考えます。
①で x=π/2を代入すると
f(π/2) = -2^(-3.5)・(1-1/2^2.5)・ζ(7/2) -------②
となり、ζ（7/2）が現れます。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開します。すると、次のようになります。
f(x)＝- （1-1/2^2.5）・ζ(7/2) + （1-1/2^0.5）・ζ(3/2)・(x-π)^2 /2！
- （1-2^1.5）・ζ(-1/2)・(x-π)^4 /4！+ （1-2^3.5）・ζ(-5/2)・(x-π)^6 /6！
- （1-2^5.5）・ζ(-9/2)・(x-π)^8 /8！+ （1-2^7.5）・ζ(-13/2)・(x-π)^10 /10！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③
無限個のζ（-n/2）値が出ています。ζ(7/2)とζ（3/2)も出ました。
さて、③にx=π/2を代入して、次となる。
f(π/2)＝- （1-1/2^2.5）・ζ(7/2) + （1-1/2^0.5）・ζ(3/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^1.5）・ζ(-1/2)・π^4 /(4！・2^4) + （1-2^3.5）・ζ(-5/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^5.5）・ζ(-9/2)・π^8 /(8！・2^8) + （1-2^7.5）・ζ(-13/2)・π)^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③-2
③-2は④と等しいので、
-2^(-3.5)・(1-1/2^2.5)・ζ(7/2)
＝- （1-1/2^2.5）・ζ(7/2) + （1-1/2^0.5）・ζ(3/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^1.5）・ζ(-1/2)・π^4 /(4！・2^4) + （1-2^3.5）・ζ(-5/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^5.5）・ζ(-9/2)・π^8 /(8！・2^8) + （1-2^7.5）・ζ(-13/2)・π)^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
となる。
左辺にζ（7/2）を集めて、次となる。
(1-2^(-3.5))・(1-1/2^2.5)・ζ(7/2)
＝ （1-1/2^0.5）・ζ(3/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^1.5）・ζ(-1/2)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-2^3.5）・ζ(-5/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^5.5）・ζ(-9/2)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-2^7.5）・ζ(-13/2)・π)^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------④
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用して、ζ(-1/2)，ζ(-5/2)・・・をすべて現実的なζ(3/2) ，ζ(7/2)，・・・に直して整理整頓すると
次のようになる。
(1-1/2^3.5)・（1-1/2^2.5）・ζ(7/2)
＝（1-1/2^0.5）・ζ(3/2)・π^2 /(2！・2^2)
- π^3［（√2-1/2^1）・ζ(3/2)・2！/(4！・1！・2^6)
+ （√2-1/2^3）・ζ(7/2)・6！/(6！・3！・2^12)
+ （√2-1/2^5）・ζ(11/2)・10！/(8！・5！・2^18)
+ （√2-1/2^7）・ζ(15/2)・14！/(10！・7！・2^24)
+ （√2-1/2^9）・ζ(19/2)・18！/(12！・9！・2^30)
+ （√2-1/2^11）・ζ(23/2)・22！/(14！・11！・2^36)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] ------⑤
さて、⑤はζ（7/2）を求めることのできる式ともなっている。
⑤でζ（7/2)を左辺にもってきて、変形を加えつつ整理すると、次のようになります。
(1-1/2^3.5)・｛（1-1/2^2.5）/π^3 + 15 √2/(2^9・6！)｝・ζ(7/2)
＝（1-1/2^0.5）・ζ(3/2)/(π・2！・2^2)
- （√2 -1/2）・ζ(3/2)・2！/(4！・1！・2^6)
- （√2-1/2^5）・ζ(11/2)・10！/(8！・5！・2^18)
- （√2-1/2^7）・ζ(15/2)・14！/(10！・7！・2^24)
- （√2-1/2^9）・ζ(19/2)・18！/(12！・9！・2^30)
- （√2-1/2^11）・ζ(23/2)・22！/(14！・11！・2^36)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------⑥
ここでも、ζ（7/2)は無限個の半整数ゼータで表現された。
⑥からζ（7/2）を計算することもできます。右辺の収束は速く２０項までで十分であり、最初から２０項まで
ζ（7/2）=1.126733867316 ・・・となりました。
なおζ（s）の定義よりζ（7/2）を求めると１０００万項で 1.126733867316 ・・となります。
（Excel VBAで調べた）
以上
最後に、④と⑤を再度書いておきます。
(1-1/2^3.5)・(1-1/2^2.5)・ζ(7/2)
＝ （1-1/2^0.5）・ζ(3/2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-2^1.5）・ζ(-1/2)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-2^3.5）・ζ(-5/2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-2^5.5）・ζ(-9/2)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-2^7.5）・ζ(-13/2)・π)^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------④
④を書き換えると⑤となります。
(1-1/2^3.5)・（1-1/2^2.5）・ζ(7/2)
＝（1-1/2^0.5）・ζ(3/2)・π^2 /(2！・2^2)
- π^3［（√2-1/2^1）・ζ(3/2)・2！/(4！・1！・2^6)
+ （√2-1/2^3）・ζ(7/2)・6！/(6！・3！・2^12)
+ （√2-1/2^5）・ζ(11/2)・10！/(8！・5！・2^18)
+ （√2-1/2^7）・ζ(15/2)・14！/(10！・7！・2^24)
+ （√2-1/2^9）・ζ(19/2)・18！/(12！・9！・2^30)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] ------⑤
あまり興味はないのですが、私が発明したテイラーシステムでζ（2）やζ(4)が出ることも確認しておきましょう。
まずζ(2)から。
(cosx)/1^2 + (cos2x)/2^2 + (cos3x)/3^2 +・・・
という母関数を考え、π周りテイラー展開とπ/2代入でテイラーシステムを実行します。
「π/2代入，πテイラー」の条件をつづけましょう。
条件を略記すれば、Cos［ s=2， π/2代入，πテイラー］となります。
［ζ(2)を導出する］ Cos［s=2, π/2代入、πテイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^2 + (cos2x)/2^2 + (cos3x)/3^2 + (cos4x)/4^2 + ・・・ -------①
という母関数を考えます。
①で x=π/2を代入すると
f(π/2) = -2^(-2)・(1-1/2)・ζ(2) -------②
となり、ζ（2）が現れます。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開します。すると、次のようになります。
f(x)＝-（1-1/2）・ζ(2) + （1-2）・ζ(0)・(x-π)^2 /2！
- （1-2^3）・ζ(-2)・(x-π)^4 /4！+ （1-2^5）・ζ(-4)・(x-π)^6 /6！
- （1-2^7）・ζ(-6)・(x-π)^8 /8！+ （1-2^9）・ζ(-8)・(x-π)^10 /10！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③
ここで、ζ(-2)，ζ(-4)，ζ(-6)，・・はすべて0 なので、③は次のようになります。
f(x)＝-（1-1/2）・ζ(2) + （1-2）・ζ(0)・(x-π)^2 /2！ -------④
④で x=π/2を代入すると
f(π/2)＝-（1-1/2）・ζ(2) + （1-2）・ζ(0)・(π/2)^2 /2！ -------⑤
となる。
②と⑤は等しいので、次が成り立つ。
-2^(-2)・(1-1/2)・ζ(2)=-（1-1/2）・ζ(2) + （1-2）・ζ(0)・(π/2)^2 /2！
同じですが、次のようにも表現できます。
(1-1/2^2)・(1-1/2)・ζ(2)= （1-2）・ζ(0)・(π/2)^2 /2！
ζ（0）=-1/2であるから、ζ（2)を求めると、簡単に
ζ（2)=π^2/6
が出る。
以上
次にζ(4)を求めます。
(cosx)/1^4 + (cos2x)/2^4 + (cos3x)/3^4 +・・・
という母関数を考え、π周りテイラー展開とπ/2代入でシステムを実行します。
条件を略記すれば、Cos［ s=4， π/2代入，πテイラー］となります。
［ζ(4)を導出する］ Cos［s=4, π/2代入、πテイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^4 + (cos2x)/2^4 + (cos3x)/3^4 + (cos4x)/4^4 + ・・・ -------①
という母関数を考えます。
①で x=π/2を代入すると
f(π/2) = -2^(-4)・(1-1/2^3)・ζ(4) -------②
となり、ζ（4）が現れます。
次に①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開します。すると、次のようになります。
f(x)＝- （1-1/2^3）・ζ(4) + （1-1/2）・ζ(2)・(x-π)^2 /2！
- （1-2）・ζ(0)・(x-π)^4 /4！+ （1-2^3）・ζ(-2)・(x-π)^6 /6！
- （1-2^5）・ζ(-4)・(x-π)^8 /8！+ （1-2^7）・ζ(-6)・(x-π)^10 /10！
- （1-2^9）・ζ(-8)・(x-π)^12 /12！+ （1-2^11）・ζ(-10)・(x-π)^14 /14！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③
ここで、ζ(-2)，ζ(-4)，ζ(-6)，・・はすべて0 なので、③は次のようになる。
f(x)＝- （1-1/2^3）・ζ(4) + （1-1/2）・ζ(2)・(x-π)^2 /2！- （1-2）・ζ(0)・(x-π)^4 /4！ -------④
④で x=π/2を代入すると
f(π/2)＝-（1-1/2^3）・ζ(4) + （1-1/2）・ζ(2)・(π/2)^2 /2！- （1-2）・ζ(0)・(π/2)^4 /4！ -----⑤
となる。
②と⑤は等しいので、次が成り立つ。
-2^(-4)・(1-1/2^3)・ζ(4)＝-（1-1/2^3）・ζ(4) + （1-1/2）・ζ(2)・(π/2)^2 /2！- （1-2）・ζ(0)・(π/2)^4 /4！
同じですが、次のようにも表現できます。
(1-1/2^4)・(1-1/2^3)・ζ(4)
＝（1-1/2）・ζ(2)・(π/2)^2 /2！- （1-2）・ζ(0)・(π/2)^4 /4！
ζ（0）=-1/2，ζ(2)=π^2/6 であるから、ζ（4)を求めると、簡単に
ζ（4)=π^4/90
が出る。
以上
ついでにζ(6)とζ(8)も求めておきます。
上と同条件で求めましたが、やり方はまったく同じなので、結果だけ書きます。
ζ(6)は、次のようになります。
-2^(-6)・(1-1/2^5)・ζ(6)
＝-（1-1/2^5）・ζ(6) + （1-1/2^3）・ζ(4)・(π/2)^2 /2！
- （1-1/2）・ζ(2)・(π/2)^4 /4！ + （1-2）・ζ(0)・(π/2)^6 /6！
同じですが、次のようにも表現できます。
(1-1/2^6)・(1-1/2^5)・ζ(6)
＝（1-1/2^3）・ζ(4)・(π/2)^2 /2！
- （1-1/2）・ζ(2)・(π/2)^4 /4！ + （1-2）・ζ(0)・(π/2)^6 /6！
ζ(8)は次の通り。
-2^(-8)・(1-1/2^7)・ζ(8)
＝-（1-1/2^7）・ζ(8) + （1-1/2^5）・ζ(6)・(π/2)^2 /2！
- （1-1/2^3）・ζ(4)・(π/2)^4 /4！ + （1-1/2）・ζ(2)・(π/2)^6 /6！- （1-2）・ζ(0)・(π/2)^8 /8！
同じですが、次のようにも表現できます。
(1-1/2^8)・(1-1/2^7)・ζ(8)
＝ （1-1/2^5）・ζ(6)・(π/2)^2 /2！- （1-1/2^3）・ζ(4)・(π/2)^4 /4！
+ （1-1/2）・ζ(2)・(π/2)^6 /6！- （1-2）・ζ(0)・(π/2)^8 /8！
上より、
ζ(6)＝π^6/945， ζ(8)＝π^8/9450
とよく知られた特殊値が出ます。
このページのζ(2)，ζ(4)，ζ(6)，ζ(8)の結果より、偶数ゼータは有限個の偶数ゼータで表現できることが
わかります。
面白いですね。
偶数ゼータの結果をまとめておきましょう。
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