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テイラーシステムを用いて一般のζ(s)を出しました。
テイラーシステムを用いて、ζ(-1)，ζ(-3)，ζ(-5)，・・が[偶数ゼータの無限和]で表現できることを簡単に示すことが
できた。
（2006/6/9改）
これまで、ζ(1/2)やζ(5)などの具体的な特殊値を出してきましたが、もちろんζ(s)の形で出しておくことが
できます。
先にそれをすべきだったかもしれませんが、ここでテイラーシステムを用いζ(s)を導出しておきましょう。
「その１」、「その２」で主に用いた「π/2代入，π周りのテイラー展開」で出します。
記号で記せば、条件はCos[ s=s， π/2代入，πテイラー］となります。
［ζ(s)を導出する］ Cos［s=s, π/2代入、πテイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s + (cos4x)/4^s + ・・・ -------①
という母関数を考えます。
まず①で x=π/2を代入します。すると
f(π/2) = -2^(-s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s) -------②
となり、ζ（s）が現れます。
次に①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開します。すると、次のようになります。
f(x)＝- （1-1/2^(s-1)）・ζ(s) + （1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2)・(x-π)^2 /2！
- （1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4)・(x-π)^4 /4！+ （1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)・(x-π)^6 /6！
- （1-1/2^(s-9)）・ζ(s-8)・(x-π)^8 /8！+ （1-1/2^(s-11)）・ζ(s-10)・(x-π)^10 /10！
・・・・・・・・・・・ -------③
無限個のζ（s-2n）が出てきました。
③にx=π/2を代入して、
f(π/2)
＝- （1-1/2^(s-1)）・ζ(s) + （1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4)・π^4 /(4！・2^4) + （1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(s-9)）・ζ(s-8)・π^8 /(8！・2^8) + （1-1/2^(s-11)）・ζ(s-10)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・ -------④
②と④は等しいので、ζ（s）を左辺にまとめて整理すると次のようになります。
(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)
＝ （1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4)・π^4 /(4！・2^4) + （1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(s-9)）・ζ(s-8)・π^8 /(8！・2^8) + （1-1/2^(s-11)）・ζ(s-10)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・ -------⑤
優雅なものですね。
さて、ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s) ---------⑥
を用いて⑤の右辺を書き換え、まとめると、次のようになりました。
(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)
＝ ｛π^s/cos(πs/2)｝・[（1-2^(s-3）)・｛ζ(3-s)/Γ(s-2)｝/(2！・2^2)
+ （1-2^(s-5）)・｛ζ(5-s)/Γ(s-4)｝/(4！・2^4)
+ （1-2^(s-7）)・｛ζ(7-s)/Γ(s-6)｝/(6！・2^6)
+ （1-2^(s-9）)・｛ζ(9-s)/Γ(s-8)｝/(8！・2^8)
+ （1-2^(s-11）)・｛ζ(11-s)/Γ(s-10)｝/(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］ ---------⑦
以上。
このように⑤（あるいは⑦）の形でζ（s）が無限個のζ(s-n)で（あるいはζ(n-s)で）表現できました。
⑦でs＝-2，-4，-6，・・・とすると、つまり、ζ(-2），ζ(-4)，ζ(-6)，・・・をみると、
1/Γ(s)の零点がs＝0，-1，-2，-3，・・・であることから、ζ(-2）＝0，ζ(-4)＝0，ζ(-6)＝0，・・・となり、
自明な零点を与えているのは、面白いことです。
また⑤ではもっと直接的にそれが表現されているともいえるでしょう。
⑦はガンマ関数Γ(x)が現れている点が興味ふかいです。しかし、この表現は⑥の関数等式をひきずって
おり、それはとりもなおさず⑥ではζ(3)，ζ（5），・・がわからないという⑥の欠点をもひきずっているのです。
例えば、⑦でs＝3，5，・・を代入してください。だめですね。
ところが⑤ではそんなs＝3，5，・・でもOKなのですから、きわめて一般的な式であるといえましょう。
⑤、⑦を再度書いておきます。
上で出した⑤を再度書きます。
(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)
＝ （1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4)・π^4 /(4！・2^4) + （1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(s-9)）・ζ(s-8)・π^8 /(8！・2^8) + （1-1/2^(s-11)）・ζ(s-10)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・ -------⑤
これに、s=3，5 や s=-1，-3などを入れて具体的に見てみましょう。
s=3，5は、その１で先に具体的に見ているので合っているに決まっていますが、一応見ておきましょう。
［s=3の場合］
⑤でs＝3を代入すると、
(1-1/2^3)・(1-1/2^(3-1))・ζ(3)
＝ （1-1/2^(3-3)）・ζ(3-2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(3-5)）・ζ(3-4)・π^4 /(4！・2^4) + （1-1/2^(3-7)）・ζ(3-6)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(3-9)）・ζ(3-8)・π^8 /(8！・2^8) + （1-1/2^(3-11)）・ζ(3-10)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・
よって、
(1-1/2^3)・(1-1/2^2)・ζ(3)
＝ （1-1/2^0）・ζ(1)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(-2)）・ζ(-1)・π^4 /(4！・2^4) + （1-1/2^(-4)）・ζ(-3)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(-6)）・ζ(-5)・π^8 /(8！・2^8) + （1-1/2^(-8)）・ζ(-7)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・ -------⑥
となる。
さて、 （1-1/2^0）・ζ(1) という0×∞となる奇妙な項が出てきました。
一瞬うろたえますが、なんら心配はいりません。これは、⑤という一般的な公式の形で表したから出てきた表記で
あって、その１でやったようにテイラーシステムを具体的に計算したときは、この困難は出現しません。
実際に手計算をやればすぐにわかりますが、これは log2 となります。
つまり、
（1-1/2^0）・ζ(1)＝log2
なのです。このように⑤式をみればよい。よって⑥は、次のようになる。
(1-1/2^3)・(1-1/2^2)・ζ(3)
＝ log2・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(-2)）・ζ(-1)・π^4 /(4！・2^4) + （1-1/2^(-4)）・ζ(-3)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(-6)）・ζ(-5)・π^8 /(8！・2^8) + （1-1/2^(-8)）・ζ(-7)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・ -------⑦
さて、この⑦を関数等式で変形すると、「その１」の＜ζ（3）を導出＞で見た次式に一致しています。
(1-1/2^3)・（1-1/2^2）・ζ(3)
＝π^2・［log2・/8 - (1-1/2^2)・ζ(2)/｛(4・3・2)・2^3｝
- (1-1/2^4)・ζ(4)/｛(6・5・4)・2^5｝ - (1-1/2^6)・ζ(6)/｛(8・7・6)・2^7｝
- (1-1/2^8)・ζ(8)/｛(10・9・8)・2^9｝ - (1-1/2^10)・ζ(10)/｛(12・11・10)・2^11｝ + ・・・・］
⑦式は、正しい式となっているのです（当然ですが）。
［s=3 終わり］
次に⑤にs＝5を入れましょう。
［s=5の場合］
⑤でs＝5を代入すると、
(1-1/2^5)・(1-1/2^4)・ζ(5)
＝ （1-1/2^2）・ζ(3)・π^2 /(2！・2^2) - log2・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-1/2^(-2)）・ζ(-1)・π^6 /(6！・2^6) - （1-1/2^(-4)）・ζ(-3)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-1/2^(-6)）・ζ(-5)・π^10 /(10！・2^10) - （1-1/2^(-8)）・ζ(-7)・π^12 /(12！・2^12)
・・・・・・・・・・・・・・・
となる。
この⑦を関数等式で変形すると、「その１」の＜ζ（5）の導出＞で見た次式に一致しています。
(1-1/2^5)・（1-1/2^4）・ζ(5) ＝ （1-1/2^2）π^2・ζ（3）/(2！・2^2)
+ π^4・［-log2/(4！・2^4) + (1-1/2^2)・ζ(2)/｛(6・5・4・3・2)・2^5｝
+ (1-1/2^4)・ζ(4)/｛(8・7・6・5・4)・2^7｝ + (1-1/2^6)・ζ(6)/｛(10・9・8・7・6)・2^9｝
+ (1-1/2^8)・ζ(8)/｛(12・11・10・9・8)・2^11｝ + (1-1/2^10)・ζ(10)/｛(14・13・12・11・10)・2^13｝
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
この式は、正しい式となっているのです。これも当然ですが。
［s=5 終わり］
次に⑤にs＝-1を入れましょう。
［s=-1の場合］
⑤でs＝-1を代入すると、
(1-1/2^-1)・(1-1/2^(-1-1))・ζ(-1)
＝ （1-1/2^(-1-3)）・ζ(-1-2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(-1-5)）・ζ(-1-4)・π^4 /(4！・2^4) + （1-1/2^(-1-7)）・ζ(-1-6)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(-1-9)）・ζ(-1-8)・π^8 /(8！・2^8) + （1-1/2^(-1-11)）・ζ(-1-10)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・
よって、
(1-1/2^(-1))・(1-1/2^(-2))・ζ(-1)
＝ （1-1/2^(-4)）・ζ(-3)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(-6)）・ζ(-5)・π^4 /(4！・2^4) + （1-1/2^(-8)）・ζ(-7)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(-10)）・ζ(-9)・π^8 /(8！・2^8) + （1-1/2^(-12)）・ζ(-11)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて書き換えると、
(1-1/2^(-1))・(1-1/2^(-2))・ζ(-1)
＝ （1-2^4）・｛3！・ζ(4)/(2^3・π^4)｝・π^2 /(2！・2^2)
+ （1-2^6）・｛5！・ζ(6)/(2^5・π^6)｝・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-2^8）・｛7！・ζ(8)/(2^7・π^8)｝・π^6 /(6！・2^6)
+ （1-2^10）・｛9！・ζ(10)/(2^9・π^10)｝・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-2^12）・｛11！・ζ(12)/(2^11・π^12)｝・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・
整理して、
(1-2)・(1-2^2)・ζ(-1)
＝ (1/π^2)・［（1-2^4）・3・ζ(4)/2^5 + （1-2^6）・5・ζ(6)/2^9
+ （1-2^8）・7・ζ(8)/2^13 + （1-2^10）・9・ζ(10)/2^17
+ （1-2^12）・11・ζ(12)/2^21 + （1-2^14）・13・ζ(14)/2^25
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
となる。
たいへん面白いことに、ζ（-1）は［偶数ゼータの無限和］で表現されたのです。
じつは、この不思議な現象は、「ゼータ関数のいくつかの点について その１１」の
＜［奇数ゼータ］＝［偶数ゼータの無限和］となる理由＞ですでに見出していたものですが、
このテイラーシステムでも同様の現象が出た。
テイラーシステムで見るほうが、より一般的な観点でみることができる気もしますがどうでしょう。
上式右辺を計算すれば、ζ(-1)＝-1/12に収束することを、手計算でも確めることができます。
［s=-1 終わり］
次に⑤にs＝-3を入れましょう。
［s=-3の場合］
⑤でs＝-3を代入すると、
(1-1/2^(-3))・(1-1/2^(-4))・ζ(-3)
＝ （1-1/2^(-6)）・ζ(-5)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(-8)）・ζ(-7)・π^4 /(4！・2^4) + （1-1/2^(-10)）・ζ(-9)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(-12)）・ζ(-11)・π^8 /(8！・2^8) + （1-1/2^(-14)）・ζ(-13)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて書き換えていくと、最後に次のようになる。
(1-2^3)・(1-2^4)・ζ(-3)
＝ (1/π^4)・［（2^6-1）・5・4・3・ζ(6)/2^7 + （2^8-1）・7・6・5・ζ(8)/2^11
+ （2^10-1）・9・8・7・ζ(10)/2^15 + （2^12-1）・11・10・9・ζ(12)/2^19
+ （2^14-1）・13・12・11・ζ(14)/2^23 + （2^16-1）・15・14・13・ζ(16)/2^27
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
となる。
やはりζ（-3）も［偶数ゼータの無限和］で表現されました。
右辺を計算すれば、ζ(-3)＝1/120に収束することを、手計算でも確めることができます。
［s=-3 終わり］
同様にして、ζ(-5)，ζ(-7)，・・など全ての負の整数点での値ζ(-(2n+1))を[偶数ゼータの無限和]で表すことが
できる。
ζ(-1)，ζ(-3)をまとめておきましょう。
ζ(-1)＝-1/12， ζ(-3)＝1/120， ζ(-5)＝1/252， ζ(-7)＝1/240，・・などという味もそっけもない表式の裏側に
とんでもなく美しい秩序がひそんでいたのです。
結局、「ゼータ関数のいくつかの点について」の結果とあわせると、極ζ(1)を除いて、負の地点もふくめた
すべてのζ(2n+1)
つまり、
・・・・ζ(-7)，ζ(-5)，ζ(-3)，ζ(-1)，ζ(3)，ζ(5)，ζ(7)，・・・・
は、[偶数ゼータの無限和]で表現できることがわかりました。
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