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テイラーシステム変形例Cos-L(s)型[s=s， 2π/3代入，πテイラー］で、その２とは違った形の「L(s)をL(s)で表現する式」
を見出した。L(6)、L(4)、L(2)を導出。L(3)、L(5)、L(7)を導出。
「その２」のものと収束性やその他を比較。オイラー数Enの考察。
＜ 収束性の比較 ＞
＜ オイラー数En ＞
その３では、
ｆ(x)＝(sinx)/1^s - (sin3x)/3^s + (sin5x)/5^s - (sin7x)/7^s +・・・ -----①
のSinタイプの母関数を考えたので、この その４では、
ｆ(x)＝(cosx)/1^s - (cos3x)/3^s + (cos5x)/5^s - (cos7x)/7^s +・・・ -----②
のCosタイプの母関数を考える。その他の条件は「その３」と同じとし、つまり、
Cos-L(s)型[ s=s， 2π/3代入，πテイラー］
とする。
「その３」でのSin母関数①への2π/3代入でLB(s)ゼータが出たわけであるが、ここでのCos母関数②への2π/3代入
ではL(s)ゼータが出るのである。
「その２」ではL(s)が出て「L(s)をL(s)で表現できた」が、ここでも同様のことが起こっている。しかし、「その２」とはまた
別の形でL(s)をL(s)で表現できた。
なお、L(s)は
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
というゼータ関数である。
早速、見ていこう。
現代数学で不明とされるL(6)、L(4)、L(2)を求めていく。
まずL(6)から。
［L(6)導出］ Cos-L(s)型[ s=6， 2π/3代入，πテイラー］
ｆ(x)＝(cosx)/1^6 - (cos3x)/3^6 + (cos5x)/5^6 - (cos7x)/7^6 +・・・ ------①
という母関数を考える。
①でx=2π/3を代入すると
ｆ(2π/3)＝(-1/2)/1^6 - 1/3^6 + (-1/2)/5^6 - (-1/2)/7^6 + 1/9^6 - (-1/2)/11^6
+ (-1/2)/13^6 - 1/15^6 + (-1/2)/17^6 - (-1/2)/19^6 + 1/21^6 - (-1/2)/23^6 +・・・
＝(-1/2)｛1/1^6 + 2/3^6 + 1/5^6 - 1/7^6 - 2/9^6 - 1/11^6
+ 1/13^6 + 2/15^6 + 1/17^6 - 1/19^6 - 2/21^6 - 1/23^6 + ・・・｝
＝(-1/2)｛1/1^6 - 1/3^6 + 1/5^6 - 1/7^6 + 1/9^6 - 1/11^6
+ 1/13^6 - 1/15^6 + 1/17^6 - 1/19^6 + 1/21^6 - 1/23^6 + ・・・
+ (3/3^6 - 3/9^6 + 3/15^6 - 3/21^6 + 3/27^6 + ・・・) ｝
＝(-1/2)｛L(6) + 3/3^6(1/1^6 - 1/3^6 + 1/5^6 - 1/7^6 + 1/9^6 - ・・・) ｝
＝(-1/2)｛L(6) + 1/3^5L(6) ｝
＝(-1/2)(1+ 1/3^5)L(6) ----------②
となりL(6)が出現した。
途中の巧妙な変形に着目されたい。雲の中からL(6)が湧き上がってくる様を見ていただきたい。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝-L(6) + L(4)・(x-π)^2 /2！
- L(2)・(x-π)^4 /4！+ L(0)・(x-π)^6 /6！
- L(-2)・(x-π)^8 /8！+ L(-4)・(x-π)^10 /10！
- L(-6)・(x-π)^12 /12！+ L(-8)・(x-π)^14 /14！ -------③
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
さて、ここでL(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
を利用するとL(-2)，L(-4)，L(-6)，・・は、
L(-2)＝-2！・(2/π)^3・L(3)
L(-4)＝4！・(2/π)^5・L(5)
L(-6)＝-6！・(2/π)^7・L(7)
L(-8)＝8！・(2/π)^9・L(9)
L(-10)＝-10！・(2/π)^11・L(11)
・
・
となるから、③は次のように書き換えられる。
f(x)＝-L(6) + L(4)・(x-π)^2 /2！
- L(2)・(x-π)^4 /4！+ L(0)・(x-π)^6 /6！
+ 2！(2/π)^3L(3)・(x-π)^8 /8！+ 4！(2/π)^5L(5)・(x-π)^10 /10！
+ 6！(2/π)^7L(7)・(x-π)^12 /12！+ 8！(2/π)^9L(9)・(x-π)^14 /14！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
xに2π/3を代入して、次のようになる。
f(2π/3x)
＝-L(6) + L(4)・(π/3)^2 /2！- L(2)・(π/3)^4 /4！+ L(0)・(π/3)^6 /6！
+ 2！(2/π)^3L(3)・(π/3)^8 /8！+ 4！(2/π)^5L(5)・(π/3)^10 /10！
+ 6！(2/π)^7L(7)・(π/3)^12 /12！+ 8！(2/π)^9L(9)・(π/3)^14 /14！
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
整理すると、次のようになる。
f(2π/3x)
＝-L(6) + L(4)・(π/3)^2 /2！- L(2)・(π/3)^4 /4！+ L(0)・(π/3)^6 /6！
+ (π/2)^5｛(2！/8！)(2/3)^8・L(3) + (4！/10！)(2/3)^10・L(5)
+ (6！/12！)(2/3)^12・L(7) + (8！/14！)(2/3)^14・L(9) ------④
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
②と④は等しいから、
(-1/2)(1+ 1/3^5)L(6)
＝-L(6) + L(4)・(π/3)^2 /2！- L(2)・(π/3)^4 /4！+ L(0)・(π/3)^6 /6！
+ (π/2)^5｛(2！/8！)(2/3)^8・L(3) + (4！/10！)(2/3)^10・L(5)
+ (6！/12！)(2/3)^12・L(7) + (8！/14！)(2/3)^14・L(9)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
すなわち、
(1/2)(1- 1/3^5)L(6)
＝L(4)・(π/3)^2 /2！- L(2)・(π/3)^4 /4！+ L(0)・(π/3)^6 /6！
+ (π/2)^5｛(2！/8！)(2/3)^8・L(3) + (4！/10！)(2/3)^10・L(5)
+ (6！/12！)(2/3)^12・L(7) + (8！/14！)(2/3)^14・L(9)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑤
L(6)が、L(4)、L(2)、L(0)と、L(2n+1)無限和で表現できた。
念のため、検証しておこう。
⑤の左辺＝(1/2)(1- 1/3^5)L(6)＝0.49728770・・ ------⑥
となるから、これが目標である。
右辺では、
⑤の右辺１項まで＝0.54224952・・・
⑤の右辺３項まで＝0.49726854・・・
⑤の右辺５項まで＝0.49728757・・・
このように急激な速度で⑥に収束していく。ちなみに、この⑤式は「その２」での式よりもさらに収束性がよいものと
なっている。
以上。
同様にしてL(4)、L(2)を求めると次のようになる。これらも収束は速い。
(1/2)(1- 1/3^3)L(4)
＝L(2)・(π/3)^2 /2！- L(0)・(π/3)^4 /4！
- (π/2)^3｛(2！/6！)(2/3)^6・L(3) + (4！/8！)(2/3)^8・L(5)
+ (6！/10！)(2/3)^10・L(7) + (8！/12！)(2/3)^12・L(9)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
(1/2)(1- 1/3^1)L(2)
＝L(0)・(π/3)^2 /2！
+ (π/2)^1｛(2！/4！)(2/3)^4・L(3) + (4！/6！)(2/3)^6・L(5)
+ (6！/8！)(2/3)^8・L(7) + (8！/10！)(2/3)^10・L(9)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
以上の結果をまとめておく。
次にL(3)、L(5)、L(7)を求める。
まずL(7)から。
［L(7)導出］ Cos-L(s)型[ s=7， 2π/3代入，πテイラー］
ｆ(x)＝(cosx)/1^7 - (cos3x)/3^7 + (cos5x)/5^7 - (cos7x)/7^7 +・・・ ------①
という母関数を考える。
①でx=2π/3を代入すると
ｆ(2π/3)＝(-1/2)/1^7 - 1/3^7 + (-1/2)/5^7 - (-1/2)/7^7 + 1/9^7 - (-1/2)/11^7
+ (-1/2)/13^7 - 1/15^7 + (-1/2)/17^7 - (-1/2)/19^7 + 1/21^7 - (-1/2)/23^7 +・・・
＝(-1/2)｛1/1^7 + 2/3^7 + 1/5^7 - 1/7^7 - 2/9^7 - 1/11^7
+ 1/13^7 + 2/15^7 + 1/17^7 - 1/19^7 - 2/21^7 - 1/23^7 + ・・・｝
＝(-1/2)｛1/1^7 - 1/3^7 + 1/5^7 - 1/7^7 + 1/9^7 - 1/11^7
+ 1/13^7 - 1/15^7 + 1/17^7 - 1/19^7 + 1/21^7 - 1/23^7 + ・・・
+ (3/3^7 - 3/9^7 + 3/15^7 - 3/21^7 + 3/27^7 + ・・・) ｝
＝(-1/2)｛L(7) + 3/3^7(1/1^7 - 1/3^7 + 1/5^7 - 1/7^7 + 1/9^7 - ・・・) ｝
＝(-1/2)｛L(7) + 1/3^6L(7) ｝
＝(-1/2)(1+ 1/3^6)L(7) ----------②
となりL(7)が現れた。途中の巧妙な変形に着目されたい。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝-L(7) + L(5)・(x-π)^2 /2！
- L(3)・(x-π)^4 /4！+ L(1)・(x-π)^7 /6！
- L(-1)・(x-π)^8 /8！+ L(-3)・(x-π)^10 /10！
- L(-5)・(x-π)^12 /12！+ L(-7)・(x-π)^14 /14！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここでL(-1)、L(-3)、L(-5)、・・は全て0であるから、上は次のように書き換えられる。
f(x)＝-L(7) + L(5)・(x-π)^2 /2！- L(3)・(x-π)^4 /4！+ L(1)・(x-π)^7 /6！ ------ ③
xに2π/3を代入して、次を得る。
f(2π/3x)＝-L(7) + L(5)・(π/3)^2 /2！- L(3)・(π/3)^4 /4！+ L(1)・(π/3)^7 /6！ ------④
②と④は等しいから、次となる。
(-1/2)(1+ 1/3^6)L(7) ＝-L(7) + L(5)・(π/3)^2 /2！- L(3)・(π/3)^4 /4！+ L(1)・(π/3)^7 /6！
左辺にL(7)を集めて
(1/2)(1- 1/3^6)L(7) ＝L(5)・(π/3)^2 /2！- L(3)・(π/3)^4 /4！+ L(1)・(π/3)^7 /6！
ここで、L(1)＝π/4、L(3)＝π^3/32、L(5)＝5π^5/1536、L(7)＝61π^7/184320 であるから、上式は
正しい式となっている。
以上。
同様にしてL(5)、L(3)を求めると次のようになる。
(1/2)(1- 1/3^4)L(5) ＝L(3)・(π/3)^2 /2！- L(1)・(π/3)^4 /4！
(1/2)(1- 1/3^2)L(3) ＝L(1)・(π/3)^2 /2！
ただしL(1)の場合は、L(1)＝L(1)の恒等式となる。「その２」では、L(1)の場合は式が不成立となったが、ここでは
恒等式となり式は成り立っているところが面白い。
以上をまとめておく。
一つ上の結果を合わせて、まとめておく。
美しい秩序が現れている。
L(2)、L(4)、L(6)のここで結果と「その２」での結果を比較してみましょう。収束性の違いがわかる。
代表で、L(6)を比べたい。
ここでの結果
(1/2)(1- 1/3^5)L(6)
＝L(4)・(π/3)^2 /2！- L(2)・(π/3)^4 /4！+ L(0)・(π/3)^6 /6！
+ (π/2)^5｛(2！/8！)(2/3)^8・L(3) + (4！/10！)(2/3)^10・L(5)
+ (6！/12！)(2/3)^12・L(7) + (8！/14！)(2/3)^14・L(9)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
「その２」の結果
L(6)＝ L(4)・(π/2)^2 /2！ - L(2)・(π/2)^4 /4！+ L(0)・(π/2)^6 /6！
+ (π/2)^5｛(2！/8！)・L(3) + (4！/10！)・L(5) + (6！/12！)・L(7) + (8！/14！)・L(9) + ・・・｝
比べていただきたい。｛ ｝の中に着目することで、明らかに上の式の方が収束性がよいとわかる。
L(6)を表す式にもいろいろとあって、面白い。
もちろん、L(4)、L(2)でも同様の結果となっている。なおL(2)、L(4)、L(6)は現代数学で不明とされている。
L(3)、L(5)、L(7)の結果も、ここ「その４」と「その２」で比較する。
ここでの結果
「その２」の結果
こうやって比べると、ほんとうに面白い。いろいろな表現、変形例がゼータにはあるわけである。
L(3)、L(5)、L(7)は現代数学でわかっていて、L(3)＝π^3/32、L(5)＝5π^5/1536、L(7)＝61π^7/184320である。
L(1)＝π/4は有名である。
ζ(2n)はベルヌーイ数Bnで表されるが、L(2n+1)はオイラー数Enで表現される。
オイラー数Enは、次で定義される数である。
2/(e^x + e^-x)＝E0 + E1・x + E2・x^2 + E3・x^3 + E4・x^4 + ・・・
（|x|<π/2）
E0＝1、E1＝0、E2＝-1、E3＝0、E4＝5、E5＝0、E6＝-61、E8＝1385、・・となる。
（注意：本によってはE2がE1、E4がE2、・・として0の奇数部を無視する表記もあるので注意。）
L(s)はもちろん
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
というゼータ関数である。
ここでは、「その２」で見出した次の結果を利用して、オイラー数Enを考察する。
「その２」の結果
さて、L(2n+1)はオイラー数Enとは次の関係で結びついている。
L(2n-1)＝(-1)^(n+1)・E(2n-2)・π^(2n-1)/｛2^(2n)・(2n-2)！｝ -----⑤
E0＝1、E2＝-1、E4＝5、E6＝-61、E8＝1385、E10＝-50521、・・であるから、
n＝1のとき、E1＝1より、①から、L(1)＝π/4
n＝2のとき、E2＝-1より、①から、L(3)＝π^3/32
n＝3のとき、E4＝5より、①から、L(5)＝5π^5/1536
n＝4のとき、E6＝-61より、①から、L(7)＝61π^7/184320
などとなる。
まず、L(1)＝π/4を用いて、①より、
L(3)＝π^3/2^4・｛1/2！｝ ------⑥
からスタートしていく。
①、②からL(3)を消すと、
L(5)＝π^5/2^6・｛1/(2！)^2 -1/4！ ｝ ------⑦
⑥と①を③に代入して、整理すると、
L(7)＝π^7/2^8・｛1/(2！)^3 - 2/(2！・4！) + 1/6！ ｝ ------⑧
⑦、⑥、①を④に代入して、整理すると、
L(9)＝π^9/2^10・｛1/(2！)^4 - 3/｛(2！)^2・4！｝ + 2/(2！・6！) + 1/(4！)^2 - 1/8！ ｝ ----⑨
また⑤の
L(2n-1)＝(-1)^(n+1)・E(2n-2)・π^(2n-1)/｛2^(2n)・(2n-2)！｝ -----⑤
から、
L(3)＝-E2・π^3/｛2^4・2！｝ ------⑥-2
L(5)＝E4・π^5/｛2^6・4！｝ ------⑦-2
L(7)＝-E6・π^7/｛2^8・6！｝ ------⑧-2
L(9)＝E8・π^9/｛2^10・8！｝ ------⑨-2
ここで、⑥と⑥-2より、
E2＝-2！/｛(2！)^1｝
となる。同様に
E4＝ 4！｛1/(2！)^2 -1/4！ ｝
E6＝-6！｛1/(2！)^3 - 2/(2！・4！) + 1/6！ ｝
E8＝ 8！｛1/(2！)^4 - 3/｛(2！)^2・4！｝ + 2/(2！・6！) + 1/(4！)^2 - 1/8！ ｝
眺めると、規則性が出ているとわかる。
完全に公式化できそうな雰囲気があるが、私の力ではそこまではできない。
E2＝-1、E4＝5、E6＝-61、・・などという数のウラには、こんな規則性が隠されていたのである。
上式群は公式化できなくても、そんなことよりもっと本質的だと感じる次の関係（規則性）から、
すべてのL(2n+1)が次から次へと自動的に導出できるのである。 L(1)＝π/4である。
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追記2007/12/27
上記のオイラー数Enの公式は私には無理でしたが、Sugimoto氏が公式化されていました。分割数と関係が
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