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Cos-L(s)型母関数テイラーシステムで、3π/4代入を行うことで、L2(7)、L2(5)、L2(3)、L2(1)を導出した。
類数公式を考察。
＜ L2(s)をL(s)で表現する ＞
＜ L2(1)と類数公式＞
「その３」では、
ｆ(x)＝(sinx)/1^s - (sin3x)/3^s + (sin5x)/5^s - (sin7x)/7^s +・・・ -----①
のSin-L(s)母関数を考え、2π/3代入を行ってLB(s)ゼータが出た。
「その４」では、
ｆ(x)＝(cosx)/1^s - (cos3x)/3^s + (cos5x)/5^s - (cos7x)/7^s +・・・ -----②
のCos-L(s)母関数を考え、2π/3代入を行ってL(s)ゼータが出た。
「その６」では①のSin-L(s)母関数に3π/4代入を行って、L1(s)ゼータが出た。
その流れでここでは②のCos-L(s)母関数に3π/4代入を行った場合を調べる。結論を述べるとL2(s)ゼータが出た。
L2(s)ゼータがL(s)ゼータで表現されることになる。
L2(s)ゼータは、次で定義される。
L2(s)＝(1 + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s ) + (1/9^s + 1/11^s - 1/13^s - 1/15^s ) + ・・・
L2(s)ゼータも、ディリクレのＬ関数L(χ,s)の特別な場合である。
ディリクレのL関数L(χ,s)は
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
で定義される一般的なゼータである。L2(s)は、
「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)をもつ。
L2(s)は虚２次体Ｑ（√-2）に対応する。
またL(s)は
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
というゼータ関数であり、虚２次体Q(√-1)に対応する。
早速、L2(1)、L2(3)、L2(5)、・・を求めたい。まずL1(5)から。
［L1(5)導出］ Cos-L(s)型[ s=5， 3π/4代入，πテイラー］
ｆ(x)＝(cosx)/1^5 - (cos3x)/3^5 + (cos5x)/5^5 - (cos7x)/7^5 +・・・ ------①
という母関数を考える。
①でx=3π/4を代入すると
ｆ(3π/4)＝(-1/√2)｛(1/1^5 + 2/3^5 - 1/5^5 - 1/7^5) + (1/9^5 + 1/11^5 - 1/13^5 - 1/15^5)
+ (1/17^5 + 1/19^5 - 1/21^5 - 1/23^5) + ・・・｝
＝-L2(5)/√2 -------②
となりL2(5)が出現した。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝-L(5) + L(3)・(x-π)^2 /2！
- L(1)・(x-π)^4 /4！+ L(-1)・(x-π)^6 /6！
- L(-3)・(x-π)^8 /8！+ L(-5)・(x-π)^10 /10！
- L(-7)・(x-π)^12 /12！+ L(-9)・(x-π)^14 /14！ -------③
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
さて、ここでL(-1)、L(-3)、L(-5)、・・は全て0であるから、結局③は次となる。
f(x)＝-L(5) + L(3)・(x-π)^2 /2！- L(1)・(x-π)^4 /4！
xに3π/4を代入して、次を得る。
f(3π/4x)
＝-L(5) + L(3)・(π/4)^2 /2！ - L(1)・(π/4)^4 /4！ ------④
②と④は等しいから、
-L2(5)/√2 ＝-L(5) + L(3)・(π/4)^2 /2！ - L(1)・(π/4)^4 /4！
すなわち、
L2(5)/√2 ＝L(5) - L(3)・(π/4)^2 /2！ + L(1)・(π/4)^4 /4！ ------⑤
L2(5)が、L(5)、L(3)、L(1)で表現できた。
L(s)はもちろん
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
というゼータである。
念のため、検証しておこう。Excelでの直接的な数値計算よりL2(5)＝0.709762452・・より（４百項、これで十分）、
となった。
さて、L(5)＝5π^5/1536、L(3)＝π^3/32、L(1)＝π/4であるから、⑤にこれらを代入すると、⑥と完全に一致する。
ＯＫである。
以上。
同様にして簡単にL2(7)、L2(3)、L2(1)を求めることができる。次が導出された。⑤を含めて書く。
L2(7)/√2＝L(7) - L(5)・(π/4)^2 /2！+ L(3)・(π/4)^4 /4！- L(1)・(π/4)^6 /6！
L2(5)/√2＝L(5) - L(3)・(π/4)^2 /2！ + L(1)・(π/4)^4 /4！
L2(3)/√2＝L(3) - L(1)・(π/4)^2 /2！
L2(1)/√2＝L(1)
以上をまとめておく。
ここでL(1)＝π/4であるから、例えば、一番下の式より、
L2(1)＝√2π/4
とわかる。すなわち、
(1 + 1/3 - 1/5 - 1/7 ) + (1/9 + 1/11 - 1/13 - 1/15 ) + ・・・＝√2π/4
とわかる。
この規則性で、いくらでも上のL2(9)、L2(11)、・・・を機械的に導いていくことができる。
一つ上でL2(1)を出したが、ディリクレの類数公式からも出すことができるので一応それでも出しておこう。
類数公式を再度示す。
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実２次体と虚２次体にはそれぞれ「ディリクレの類数公式」というものがあり、２次体Q(√m)とL(χ,s)の関係において
重要である。Kを２次体とすると、次が成り立つ。
Kが実２次体なら、---> L(χ，1)＝h・logε・2/√N ------Ａ
Kが虚２次体なら、---> L(χ，1)＝h・2π/(w√N) ------Ｂ
これらをディリクレの類数公式という。
ここで h はKの類数、L(χ，1)はKに対応したL(χ,s)のs＝1での特殊値。ε は実２次体Kの基本単数であり、w はKに
含まれる１のべき根の個数。N は Kの導手でありこれは「ゼータ惑星」でもよく出てきた。
類数や単数の意味については、数学書や雑誌「数学のたのしみ No.17」で加藤和也さんの解説を参考にされたい。
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さて、冒頭でも述べたが、L2(s)ゼータは虚２次体Ｑ（√-2）に対応するゼータ関数である。
虚２次体Ｑ（√-2)の類数hは1であり、導手Nは8であり、Kに含まれる１のべき根の個数wは2であることが現代数学で
わかっている。（虚２次体ではＱ（√-3)のwが6、Ｑ（√-1)のwが4、それ以外の虚２次体ではw＝2である。）
つまり、h＝1、N＝8、w＝2であるので、Ｂより
L2(1)＝1・2π/(2√8)＝π/(2√2)＝√2π/4
となる。
L2(1)＝√2π/4
となり、テイラーシステムで導いた結果と当然ながら、一致する。テイラーシステムのほうがより簡単であると思われ
るがいかがだろうか。
（参考文献） 「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）
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