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テイラーシステムL(s)式を微分することから、L(2)、L(4)、L(6)を無限個の奇数ゼータζ(n)で表す有理数係数の式を
導出した。一般的な公式を見出した。
前頁の継続で、L(2)を無限個の奇数ゼータζ(n)で表す有理数係数の式を見出したので紹介したい。
「タットル彗星 その３」で次の公式を見出していた。
まず結論の式から示しておく。「その３」 と同様に上式を微分することで次式を導出した。
L(2)＝(1-1/2^3)（2！/1！）ζ(3)/2^2 + (1-1/2^5)（4！/3！）ζ(5)/2^4
+ (1-1/2^7)（6！/5！）ζ(7)/2^6 + (1-1/2^9)（8！/7！）ζ(9)/2^8
+ (1-1/2^11)（10！/9！）ζ(11)/2^10 + (1-1/2^13)（12！/11！）ζ(13)/2^12 + ・・・
「奇数ゼータの無限和」でしかも係数がすべて有理数という式が得られた。
L(s)とは、次で定義されるゼータ関数である。
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・ ------Ａ
詳しくいえば、ディリクレのL関数L(χ,s)
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
で、「a≡0, 1, 2, 3 mod 4に対しそれぞれχ(ａ)＝0, 1, 0, -1」というディリクレ指標χ(ａ)をもつゼータである。
L(s)は虚２次体Ｑ（√-1）に対応する。難しいと思われる場合は、とにかくＡがL(s)であると思えばいよい。
上記L(2)式の導出過程を記す。
［導出過程］
L(s)＝（1-1/2^(s-2)）・ζ(s-1)・(π/2)^1 /1！ - （1-1/2^(s-4)）・ζ(s-3)・(π/2)^3 /3！
+ （1-1/2^(s-6)）・ζ(s-5)・(π/2)^5 /5！- （1-1/2^(s-8)）・ζ(s-7)・(π/2)^7 /7！
+ （1-1/2^(s-10)）・ζ(s-9)・(π/2)^9 /9！- （1-1/2^(s-12)）・ζ(s-11)・(π/2)^11 /11！ -----①-1
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
これから出発する。式を見やすくするため、記号を用いて単純化する目的で
An＝(π/2)^n /n！
としよう。すると、①は次のように書ける。
L(s)
＝A1（1-1/2^(s-2)）・ζ(s-1) - A3（1-1/2^(s-4)）・ζ(s-3)
+ A5（1-1/2^(s-6)）・ζ(s-5)- A7（1-1/2^(s-8)）・ζ(s-7)
+ A9（1-1/2^(s-10)）・ζ(s-9)- A11（1-1/2^(s-12)）・ζ(s-11) -----①-2
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さて、（1-1/2^(s-k)）の微分（1-1/2^(s-k)）´は、
（1-1/2^(s-k)）´＝log2・2^(k-s)
であるから、①-2の両辺を微分すると、
L´(s)
＝A1・(log2・2^(2-s))・ζ(s-1) + A1・(1-2^(2-s))・ζ ´(s-1)
- A3・(log2・2^(4-s))・ζ(s-3) - A3・(1-2^(4-s))・ζ ´(s-3)
+ A5・(log2・2^(6-s))・ζ(s-5) + A5・(1-2^(6-s))・ζ ´(s-5)
- A7・(log2・2^(8-s))・ζ(s-7) - A7・(1-2^(8-s))・ζ ´(s-7) ------②
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
②でs＝-1とすると、ζ(-2)＝ζ(-4)＝ζ(-6)＝・・＝0であるから、上式は次となる。
L´(-1)
＝A1・(1-2^3)・ζ ´(-2) - A3・(1-2^5)・ζ ´(-4) + A5・(1-2^7)・ζ ´(-6) - A7・(1-2^9)・ζ ´(-8) + ・・・ ----③
さて、ここでL(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
を利用したい。この式の両辺を微分すると、
-L ´(1-s)＝(-logπ・π^(-s))・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
+ π^(-s)・(2^s・log2)・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
+ π^(-s)・2^s・Γ´(s)・sin(πs/2)・L(s)
+ π^(-s)・2^s・Γ(s)・(π/2)cos(πs/2)・L(s)
+ π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L ´(s) ------④
④式より、
s＝2とすると、 -L ´(-1)＝-(2/π)・1！・L(2) ------⑤
となる。（④のsin項が全部0となったことに注目！）
次にζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用する。両辺を微分すると、
-ζ ´(1-s)＝-(π/2)・sin(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
+ cos(πs/2)・Γ´(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
- cos(πs/2)・Γ(s)・log2・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
- cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・logπ・π^(-s)・ζ(s)
+ cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ ´(s) -------⑥
⑥より、
s＝3とすると、 -ζ ´(-2)＝(π/2)・Γ(3)・2^(-2)・π^(-3)・ζ(3)＝Γ(3)ζ(3)/(2^3・π^2)
s＝5とすると、 -ζ ´(-4)＝-(π/2)・Γ(5)・2^(-4)・π^(-5)・ζ(5)＝-Γ(5)ζ(5)/(2^5・π^4)
s＝7とすると、 -ζ ´(-6)＝(π/2)・Γ(7)・2^(-6)・π^(-7)・ζ(7)＝Γ(7)ζ(7)/(2^7・π^6)
s＝9とすると、 -ζ ´(-8)＝-(π/2)・Γ(9)・2^(-8)・π^(-9)・ζ(9)＝-Γ(9)ζ(9)/(2^9・π^8)
・・・・・
となる。（④のcos項が全部0となったことに注目！） これらと⑤を、③に代入して次式を得る。
(π/2)・1！・L(2)
＝A1・(1-2^3)・(-Γ(3)ζ(3)/(2^3・π^2)) - A3・(1-2^5)・Γ(5)ζ(5)/(2^5・π^4)
+ A5・(1-2^7)・(-Γ(7)ζ(7)/(2^7・π^6)) - A7・(1-2^9)・(Γ(9)ζ(9)/(2^9・π^8)) + ・・・ ----⑦
Γ(n+1)＝n！、An＝(π/2)^n /n！であるから、整理して次を得る。
L(2)＝(1-1/2^3)（2！/1！）ζ(3)/2^2 + (1-1/2^5)（4！/3！）ζ(5)/2^4
+ (1-1/2^7)（6！/5！）ζ(7)/2^6 + (1-1/2^9)（8！/7！）ζ(9)/2^8
+ (1-1/2^11)（10！/9！）ζ(11)/2^10 + (1-1/2^13)（12！/11！）ζ(13)/2^12 + ・・・ ---⑧
こうしてL(2)式が導出できた。
［導出終わり］
テイラーシステム式を微分することにより上式が導出できた。この式は、正しい式なのだがすこし検証しておこう。
まず左辺L(2)＝0.9159655941・・・ ------⑨
さて、 math worldによると、
ζ(3)＝1.2020569032・・
ζ(5)＝1.0369277551・・
ζ(7)＝1.0083492774・・
ζ(9)＝1.0020083928・・
であるから、⑧の右辺の初項からの和を電卓で計算すると、
⑧右辺の２項まで＝0.77703083・・・
⑧右辺の４項まで＝0.90207664・・・
⑧右辺の６項まで＝0.91477201・・・
となって、⑨に急速に近づいていくことがわかる。収束が速い。まとめておく。
次にL(4)、L(6)を求めていくことにする。
同様にして、L(4)、L(6)を求めました。L(2)とともに書きます。
1！L(2)＝(1-1/2^3)（2！/1！）ζ(3)/2^2 + (1-1/2^5)（4！/3！）ζ(5)/2^4
+ (1-1/2^7)（6！/5！）ζ(7)/2^6 + (1-1/2^9)（8！/7！）ζ(9)/2^8
+ (1-1/2^11)（10！/9！）ζ(11)/2^10 + (1-1/2^13)（12！/11！）ζ(13)/2^12 + ・・・
3！L(4)＝(1-1/2^5)（4！/1！）ζ(5)/2^4 + (1-1/2^7)（6！/3！）ζ(7)/2^6
+ (1-1/2^9)（8！/5！）ζ(9)/2^8 + (1-1/2^11)（10！/7！）ζ(11)/2^10
+ (1-1/2^13)（12！/9！）ζ(13)/2^12 + (1-1/2^15)（14！/11！）ζ(15)/2^14 + ・・・
5！L(6)＝(1-1/2^7)（6！/1！）ζ(7)/2^6 + (1-1/2^9)（8！/3！）ζ(9)/2^8
+ (1-1/2^11)（10！/5！）ζ(11)/2^10 + (1-1/2^13)（12！/7！）ζ(13)/2^12
+ (1-1/2^15)（14！/9！）ζ(15)/2^14 + (1-1/2^17)（16！/11！）ζ(17)/2^16 + ・・・
美しい秩序が現れています。
奇数ゼータζ(2n+1)と同じく、L(s)の偶数L(2n)も現代数学で不明とされているものです。
これまでL(2n)を偶数ゼータζ(2n)の無限和で表す式については多く出してきましたが、今回、L(2n)が奇数ゼータζ(2n+1)
の無限和（有理数係数）で表示できたのです。下にいくほど収束速度は遅くなりますが確実に収束します。
一般的に公式で書くと次のようになります。
(n-1)！L(n)
＝(1-1/2^(n+1))（n！/1！）ζ(n+1)/2^n + (1-1/2^(n+3))（(n+2)！/3！）ζ(n+3)/2^(n+2)
+ (1-1/2^(n+5))（(n+4)！/5！）ζ(n+5)/2^(n+4) + (1-1/2^(n+7))（(n+6)！/7！）ζ(n+7)/2^(n+6)
+ ･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・･･･････････････・・・・・・・・・・
さらにL(1)、L(3)、L(5)・・に関して、「タットル彗星 その３」で次の式を見出していました。コピーします。
**********************************************
0！・2^1・L(1)
＝（1-1/2^2）・ζ(2)/2^0
+ （1-1/2^4）・ζ(4)/2^2
+ （1-1/2^6）・ζ(6)/2^4
+ （1-1/2^8）・ζ(8)/2^6
+ （1-1/2^10）・ζ(10)/2^8
+ （1-1/2^12）・ζ(12)/2^10
・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------①-2
わざわざ0！をつけたのは、後の式を意識してのことである。
L(1)は、n＝2以上のζ(2n)の無限和で表せた。
次に②。
関数等式より、L(-2)＝-2！(2/π)^3・L(3) である。これを②に代入して整理すると、次となる。
2！・2^3・L(3)
＝（1-1/2^4）・ζ(4)・3！/(2^0・1！)
+ （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/(2^2・3！)
+ （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/(2^4・5！)
+ （1-1/2^10）・ζ(6)・9！/(2^6・7！)
+ （1-1/2^12）・ζ(12)・11！/(2^8・9！)
+ （1-1/2^14）・ζ(14)・13！/(2^10・11！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------②-2
L(3)は、n＝4以上のζ(2n)の無限和で表せた。
次に③。
関数等式より、L(-4)＝4！(2/π)^5・L(5) である。これを③に代入して整理すると、次となる。
4！・2^5・L(5)
＝（1-1/2^6）・ζ(6)・5！/(2^0・1！)
+ （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/(2^2・3！)
+ （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/(2^4・5！)
+ （1-1/2^12）・ζ(12)・11！/(2^6・7！)
+ （1-1/2^14）・ζ(14)・13！/(2^8・9！)
+ （1-1/2^16）・ζ(16)・15！/(2^10・11！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------③-2
L(5)は、n＝6以上のζ(2n)の無限和で表せた。
**************************************************
これらも、上の一般的な公式で統一して表されます。形を整えて、まとめておきます。
当たり前のことですが、L(1)は
L(1)＝1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ・・・・＝π/4
のL(1)のことです。
ついでに、比較の意味で、ζ(ｓ)の「その３」での結果も載せておきます。
L(s)とζ(ｓ)は、じつに面白い対応をなしていることがわかります。
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