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テイラーシステムから出したζ(s)式とζ(s)の微分ζ ´(s)を絡めて、興味深い式を導出した。
log2、ζ(3)、ζ(5)、ζ(7)の式を導出。奇数ゼータの結果が、偶数ゼータでも成り立っていることがわかった。
「ζ(n)は、後続のすべてのζ(n)で表される」を表す公式を発見した。
＜ log2を奇数ゼータで表現する式 ＞
＜ ζ(3)を奇数ゼータで表現する式 ＞
「その２」の最後で、「次は、いよいよLA(1/2)、LA(3/2)、・・を求めていくことにする。」と述べたが、後回しにする。
別方向の研究で興味深い事実を発見したので、そちらを先に行う。
テイラーシステムの発見は、当サイト数学研究の中での最大の発見であり、これがいかに強力な手法であるかは、
読者はこれまでの内容でよく理解されていると思う。ゼータの値を求めるという超難題が、まったく簡単に解決されて
いくのである！ L(χ,s)の様々な種類のゼータに適応しているわけだが、やや単調になっている感は否めない。
数学書を読んでいて、ζ(s)の微分ζ ´(s)が気になった。「百武彗星 その３」でテイラーシステムを用いて、ζ(s)
の式を導出していた。次の二つである。
上側の式（次式）に着目したい。
(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)
＝ （1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(s-9)）・ζ(s-8)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-1/2^(s-11)）・ζ(s-10)・π^10 /(10！・2^10) ------①
・・・・・・・・・・・・・・・・
両辺をsで微分したらどうなるだろうか？と思った。つまり「テイラーシステム」と「微分」を絡めて面白いことが出ないか？
という推理である。①では、s＝0としてもζ(0)が求まらないのである。
ところが、①を微分することでζ(0)が求まるのである。しかも、不思議な形で！
まず結論から述べておこう。次のような式が出たのである。
-ζ(0)log2＝(1-1/2^3)ζ(3)/2^2 + (1-1/2^5)ζ(5)/2^4
+ (1-1/2^7)ζ(7)/2^6 + (1-1/2^9)ζ(9)/2^8 + ・・・ ------A-1
ここでζ(0)＝-1/2であるから、これはつまり、次のようになる。
(log2)/2＝(1-1/2^3)ζ(3)/2^2 + (1-1/2^5)ζ(5)/2^4
+ (1-1/2^7)ζ(7)/2^6 + (1-1/2^9)ζ(9)/2^8 + ・・・ ------A-2
log2は「奇数ゼータの無限和」で表されるという面白い式である。導出過程を記す。
［導出過程］
(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)
＝ （1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(s-9)）・ζ(s-8)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-1/2^(s-11)）・ζ(s-10)・π^10 /(10！・2^10) ------①
・・・・・・・・・・・・・・・・
式を見やすくするため、記号を用いて単純化する目的で
An＝π^n /(n！・2^n)
としよう。すると、①は、次のように書ける。
(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)
＝ A2・（1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2) - A4・（1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4) + A6・（1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)
- A8・（1-1/2^(s-9)）・ζ(s-8) + A10・（1-1/2^(s-11)）・ζ(s-10) - ・・・・・・・・・・・ -----①-2
さて、（1-1/2^(s-k)）の微分（1-1/2^(s-k)）´は、
（1-1/2^(s-k)）´＝log2・2^(k-s)
であるから、
①-2の両辺を微分すると、
log2・2^(-s)・（1-2^(1-s)）・ζ(s) + （1-2^(-s)）・log2・2^(1-s)・ζ(s) + (1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ ´(s)
＝A2・log2・2^(3-s)・ζ(s-2) + A2・(1-2^(3-s))・ζ ´(s-2)
- A4・log2・2^(5-s)・ζ(s-4) - A4・(1-2^(5-s))・ζ ´(s-4)
+ A6・log2・2^(7-s)・ζ(s-6) + A6・(1-2^(7-s))・ζ ´(s-6)
- A8・log2・2^(9-s)・ζ(s-8) - A8・(1-2^(9-s))・ζ ´(s-8)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
左辺と右辺を整理して次を得る。
log2・2^(-s)・（3-2^(2-s)）・ζ(s) + (1-2^(-s))・(1-2^(1-s))・ζ ´(s)
＝A2｛log2・2^(3-s)・ζ(s-2) + (1-2^(3-s))・ζ ´(s-2) ｝
- A4｛log2・2^(5-s)・ζ(s-4) + (1-2^(5-s))・ζ ´(s-4) ｝
+ A6｛log2・2^(7-s)・ζ(s-6) + (1-2^(7-s))・ζ ´(s-6) ｝
- A8｛log2・2^(9-s)・ζ(s-8) + (1-2^(9-s))・ζ ´(s-8) ｝ ------②
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
②でs＝0とすると、
log2・（3-2^2）・ζ(0)
＝A2｛log2・2^3・ζ(-2) + (1-2^3)・ζ ´(-2) ｝ - A4｛log2・2^5・ζ(-4) + (1-2^5)・ζ ´(-4) ｝
+ A6｛log2・2^7)・ζ(-6) + (1-2^7)・ζ ´(-6) ｝ - A8｛log2・2^9)・ζ(-8) + (1-2^9)・ζ ´(-8) ｝
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここでζ(-2)＝ζ(-4)＝ζ(-6)＝・・＝0であるから、上式は次となる。
-log2・ζ(0)
＝A2・(1-2^3)・ζ ´(-2) - A4・(1-2^5)・ζ ´(-4) + A6・(1-2^7)・ζ ´(-6) - A8・(1-2^9)・ζ ´(-8) + ・・・ ---③
さて、ここでζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用したい。
この式の両辺を微分すると、
-ζ ´(1-s)＝-(π/2)・sin(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
+ cos(πs/2)・Γ´(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
- cos(πs/2)・Γ(s)・log2・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
- cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・logπ・π^(-s)・ζ(s)
+ cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ ´(s) ------④
④式より、
s＝3とすると、 -ζ ´(-2)＝(π/2)・Γ(3)・2^(-2)・π^(-3)・ζ(3)
s＝5とすると、 -ζ ´(-4)＝-(π/2)・Γ(5)・2^(-4)・π^(-5)・ζ(5)
s＝7とすると、 -ζ ´(-6)＝(π/2)・Γ(7)・2^(-6)・π^(-7)・ζ(7)
s＝9とすると、 -ζ ´(-8)＝-(π/2)・Γ(9)・2^(-8)・π^(-9)・ζ(9)
・・・・・
であるから（④のcos項が全部0となったことに注目！）、③に代入して、
-log2・ζ(0)
＝A2・(1-2^3)・｛-(π/2)・Γ(3)・2^(-2)・π^(-3)・ζ(3)｝ - A4・(1-2^5)・｛(π/2)・Γ(5)・2^(-4)・π^(-5)・ζ(5)｝
+ A6・(1-2^7)・｛-(π/2)・Γ(7)・2^(-6)・π^(-7)・ζ(7)｝ - A8・(1-2^9)・｛(π/2)・Γ(9)・2^(-8)・π^(-9)・ζ(9)｝ + ・・・
Γ(n+1)＝n！、An＝π^n /(n！・2^n)であるから、右辺を整理して次を得る。
-log2・ζ(0)
＝(1-1/2^3)ζ(3)/2^2 + (1-1/2^5)ζ(5)/2^4 + (1-1/2^7)ζ(7)/2^6 + (1-1/2^9)ζ(9)/2^8 + ・・・
こうしてA-1（A-2）式が求まった。
［導出終わり］
-ζ(0)log2＝(1-1/2^3)ζ(3)/2^2 + (1-1/2^5)ζ(5)/2^4
+ (1-1/2^7)ζ(7)/2^6 + (1-1/2^9)ζ(9)/2^8 + ・・・ ------A-1
または同じだが、
(log2)/2＝(1-1/2^3)ζ(3)/2^2 + (1-1/2^5)ζ(5)/2^4
+ (1-1/2^7)ζ(7)/2^6 + (1-1/2^9)ζ(9)/2^8 + ・・・ ------A-2
という式が、テイラーシステムとζ(ｓ)の微分を組み合わせて出たわけである。この式は、正しい式なのだが、すこし
検証しておこう。
まず左辺(log2)/2＝0.3465735・・ ------⑤
さて、 math worldによると、
ζ(3)＝1.2020569032・・
ζ(5)＝1.0369277551・・
ζ(7)＝1.0083492774・・
ζ(9)＝1.0020083928・・
であるから、A-2右辺の初項からの和を電卓で計算すると、
（A-2）右辺の１項のみ＝0.2629499・・
（A-2）右辺の２項まで＝0.3257326・・
（A-2）右辺の３項まで＝0.3413650・・
（A-2）右辺の４項まで＝0.3452715・・
となって、⑤に急速に近づいていくことがわかる。収束が速い。まとめておく。
これより、ζ(0)が［奇数ゼータの無限和］で表現できたといえるし、あるいはlog2が［奇数ゼータの無限和］で表された
ともいえる。
じつは、②式からζ(0)のみならず、さらに他の場合にも適用できるのだが、それを次に見ていくことにする。
一つ上でみた②式が重要である。
log2・2^(-s)・（3-2^(2-s)）・ζ(s) + (1-2^(-s))・(1-2^(1-s))・ζ ´(s)
＝A2｛log2・2^(3-s)・ζ(s-2) + (1-2^(3-s))・ζ ´(s-2) ｝
- A4｛log2・2^(5-s)・ζ(s-4) + (1-2^(5-s))・ζ ´(s-4) ｝
+ A6｛log2・2^(7-s)・ζ(s-6) + (1-2^(7-s))・ζ ´(s-6) ｝
- A8｛log2・2^(9-s)・ζ(s-8) + (1-2^(9-s))・ζ ´(s-8) ｝ ------②
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここでAnは、An＝π^n /(n！・2^n)である。
これから様々な興味深い結果を出すことができる。②で、s＝-2を入れ、計算すると次の面白い式が出た。
（1-1/2^2）(1-1/2^3)2！ζ(3)
＝(1-1/2^5)（4！/2！）ζ(5)/2^4 + (1-1/2^7)（6！/4！）ζ(7)/2^6
+ (1-1/2^9)（8！/6！）ζ(9)/2^8 + (1-1/2^11)（10！/8！）ζ(11)/2^10
+ (1-1/2^13)（12！/10！）ζ(13)/2^12 + (1-1/2^15)（14！/12！）ζ(15)/2^14 + ・・ ---③
秩序だった美しい式である。
すべて奇数ゼータだけから成っているところが面白いし、係数がすべて有理数というのも意味深いものがある。
これからζ(3)、ζ(5)、ζ(7)・・の奇数ゼータは１次独立でないとわかる。
また、ζ(3)はアペリーにより無理数とわかっているので、③の右辺つまり、
(1-1/2^5)（4！/2！）ζ(5)/2^4 + (1-1/2^7)（6！/4！）ζ(7)/2^6
+ (1-1/2^9)（8！/6！）ζ(9)/2^8 + (1-1/2^11)（10！/8！）ζ(11)/2^10
+ (1-1/2^13)（12！/10！）ζ(13)/2^12 + (1-1/2^15)（14！/12！）ζ(15)/2^14 + ・・
という数は無理数であることがわかる。
現代数学では、奇数ゼータに関してζ(3)だけが無理数とわかっているのみで、他の無数にある奇数ゼータ
ζ(5)、ζ(7)、ζ(9)・・・については、その有理性／無理性はまったくわかっていない。
③の導出方法は、一つ上のlog2の場合と同様にすれば出るので略す。
③は正しい式だが、検証だけしておこう。
ζ(3)＝1.2020569032・・
ζ(5)＝1.0369277551・・
ζ(7)＝1.0083492774・・
ζ(9)＝1.0020083928・・
ζ(11)＝1.000494189・・
ζ(13)＝1.000122713・・
ζ(15)＝1.000030588・・
である。
まず③左辺(1-1/2^3)（1-1/2^2）2！ζ(3)＝1.57769968・・ ------④
③の右辺の初項からの和を電卓で計算すると、
③右辺の２項まで＝1.22236386・・
③右辺の４項まで＝1.52901621・・
③右辺の６項まで＝1.57235119・・
となって、④に速く近づいていく。意外に収束が速い。まとめておく。
同様にして、ζ(5)、ζ(7)も奇数ゼータで表す式を導出したので示す。ζ(3)もあわせて載せた。
(1-1/2^3)（1-1/2^2）2！ζ(3)
＝(1-1/2^5)（4！/2！）ζ(5)/2^4 + (1-1/2^7)（6！/4！）ζ(7)/2^6
+ (1-1/2^9)（8！/6！）ζ(9)/2^8 + (1-1/2^11)（10！/8！）ζ(11)/2^10
+ (1-1/2^13)（12！/10！）ζ(13)/2^12 + (1-1/2^15)（14！/12！）ζ(15)/2^14 + ・・ -----①
(1-1/2^4)（1-1/2^5）4！ζ(5)
＝(1-1/2^7)（6！/2！）ζ(7)/2^6 + (1-1/2^9)（8！/4！）ζ(9)/2^8
+ (1-1/2^11)（10！/6！）ζ(11)/2^10 + (1-1/2^13)（12！/8！）ζ(13)/2^12
+ (1-1/2^15)（14！/10！）ζ(15)/2^14 + (1-1/2^17)（16！/12！）ζ(17)/2^16 + ・・ -----②
(1-1/2^6)（1-1/2^7）6！ζ(7)
＝(1-1/2^9)（8！/2！）ζ(9)/2^8 + (1-1/2^11)（10！/4！）ζ(11)/2^10
+ (1-1/2^13)（12！/6！）ζ(13)/2^12 + (1-1/2^15)（14！/8！）ζ(15)/2^14
+ (1-1/2^17)（16！/10！）ζ(17)/2^16 + (1-1/2^19)（18！/12！）ζ(19)/2^18 + ・・ ----③
秩序だった美しい規則性が現れているのがすぐにわかる。
左辺の奇数ゼータζ(n)の大きいものほど、右辺の収束性は徐々に悪くなるが、それでも確実に収束する級数となって
いる。
公式として、一般化すれば、次のようになる。
(1-1/2^(n-1))（1-1/2^n）(n-1)！ζ(n)
＝(1-1/2^(n+2))（(n+1)！/2！）ζ(n+2)/2^(n+1) + (1-1/2^(n+4))（(n+3)！/4！）ζ(n+4)/2^(n+3)
+ (1-1/2^(n+6))（(n+5)！/6！）ζ(n+6)/2^(n+5) + (1-1/2^(n+8))（(n+7)！/8！）ζ(n+8)/2^(n+7)
+ ･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここで、nは奇数である（n>＝3）。
収束の感じを見る意味で、②だけすこし検証しておく。
ζ(3)＝1.2020569032・・
ζ(5)＝1.0369277551・・
ζ(7)＝1.0083492774・・
ζ(9)＝1.0020083928・・
ζ(11)＝1.000494189・・
ζ(13)＝1.000122713・・
ζ(15)＝1.000030588・・
ζ(17)＝1.000007637・・
ζ(19)＝1.000001908・・
である。
まず②左辺(1-1/2^4)（1-1/2^5）4！ζ(5)＝22.601784・・ ------④
②の右辺の初項からの和を電卓で計算すると、
②右辺の３項まで＝17.11239・・
②右辺の５項まで＝21.47909・・
②右辺の７項まで＝22.42574・・
と④に向かって収束していく。
上式の導出は、テイラーシステムでのζ(ｓ)式を微分して得られた次式が基本になっている点を再度確認したい。
log2・2^(-s)・（3-2^(2-s)）・ζ(s) + (1-2^(-s))・(1-2^(1-s))・ζ ´(s)
＝A2｛log2・2^(3-s)・ζ(s-2) + (1-2^(3-s))・ζ ´(s-2) ｝
- A4｛log2・2^(5-s)・ζ(s-4) + (1-2^(5-s))・ζ ´(s-4) ｝
+ A6｛log2・2^(7-s)・ζ(s-6) + (1-2^(7-s))・ζ ´(s-6) ｝
- A8｛log2・2^(9-s)・ζ(s-8) + (1-2^(9-s))・ζ ´(s-8) ｝ ------⑤
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここでAnは、An＝π^n /(n！・2^n)である。
⑤から、どんな奇数ゼータζ(3)、ζ(5)、ζ(7)、・・・・も導出できるのである。
⑤から、ζ(2)、ζ(4)、ζ(6)、・・の偶数ゼータも出るように思えるが、それはうまくいかない。計算の途中で、Γ(s)の
特異点に当たってしまうからである。しかし、これらは普通のテイラーシステムを使えば簡単に得られることは既に示し
てきたとおりであるから、なんら問題はない。（テイラーシステムの裏街道⑤からは得られないというだけの話）
とにかく、テイラーシステムに微分というひねりを加えて得られた⑤から、
奇数ゼータが奇数ゼータの無限和で表現でき、しかもその係数がすべて有理数である
という非常に面白い結果が得られたのである。
冒頭のlog2も合わせた形で、まとめておく。
本結果に対して、数学仲間のＭuさんに貴重なコメントを頂きました。深く感謝いたします。
上記の奇数ゼータの結果は、数学の巨人・佐藤郁郎氏が紹介してくださいました。氏に感謝します。
さて上の公式で、「ここでnは奇数である（n>＝3）」という条件をつけました。
同様の関係式を見出していたことに昨日気づきました。つまり、次を忘れていました。
形を揃えれば、この偶数ゼータζ(2n)の結果は、奇数ゼータの結果とまったく同じであることに気づきます。
形を整えて両者を一緒に並べると、次のようになります。
これを見ていると、なにやら不思議な感覚にとらわれます。
結局、公式の「ここでnは奇数である（n>＝3）」という条件は「ここでnは整数である（n>＝2）。」に置き換えることが
できるのです。
ζ(n)は、後続のζ(n)で表される（係数はすべて有理数）という興味深いことがわかったわけです。
ではζ(ｓ)兄弟であるL(s)ではどうなのか？それを頁を変え次に調べましょう。
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