|
＜ ゼータ関数L2(s) ＞
ディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種であるL2(s)の母関数を調べる。L2(s)は虚２次体Ｑ（√-2）に対応するゼータである。
cos(x/n)型、cos(x/n^2)型、cos(x/n^3)型を考察。普遍的な一般式を導出。
L2(s)は、次のゼータ関数である。
L2(s)＝(1 + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s ) + (1/9^s + 1/11^s - 1/13^s - 1/15^s ) + ・・・ ----①
L2(s)も、ディリクレのL関数L(χ,s)
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
の一種のゼータである。
L2(s)は、mod 8に対応したディリクレ指標χ(a)をもち、
「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、 それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に対応
したL(χ,s)となる。mod 8なので、このχ(a)の導手は8である。
①をもうすこし長く書くと、
L2(s)＝(1 + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s ) + (1/9^s + 1/11^s - 1/13^s - 1/15^s )
+ (1/17^s + 1/19^s - 1/21^s - 1/23^s) + (1/25^s + 1/27^s - 1/29^s - 1/31^s) + ・・・----②
となる。
ディリクレ指標χ(ａ)の定義を再度書いておく。
χ(ａ)は、ある自然数Ｎについて、次の３条件を満たすものである。
（１）a≡b mod N ならχ(ａ)＝χ(b)
（２）χ(ab)＝χ(a)χ(b)
（３）aとＮが共通因数を持つときに限り、χ(a)＝0
①のディリクレ指標「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、 それ以外のaではχ(a)＝0」が、
この３条件を満たしていることは容易にわかる。
最小単位の導手8でもってL2(s)は特徴づけられていることが①や②からわかるであろう。
L2(s)は虚２次体Ｑ（√-2）に対応するゼータ関数でもある。
余談だが、「虚２次体の類数公式」というディリクレが１９世紀に証明した公式がある。
L(χ,1)＝2πh/(w√N) ------③
というものである。 これにより、L(χ,s)のs＝1での値L(χ,1)がわかるというのである。
ここで、hは虚２次体の類数、Nはディリクレ指標χ(ａ)の導手、ｗは虚２次体に含まれる1のべき根の個数である。
1のべき根というのは何乗かすると1になる複素数のことであり、例えば、虚数単位 i は、４乗すると1になるから1の
べき根である。
さて、ゼータ関数L2(s)は虚２次体Ｑ（√-2）に対応する。Ｑ（√-2）のhは1であり、その導手Ｎは8である。そして
Ｑ（√-2）に含まれるべき根の個数ｗは2であることが知られている(*)。よって、これらを③に代入して、
L2(1)＝2π・1/(2√8)＝π/(2√2)
となる。
すなわち、
(1 + 1/3 - 1/5 - 1/7 ) + (1/9 + 1/11 - 1/13 - 1/15 ) + ・・・ ＝π/(2√2)
とわかる。
余談終わり。
このページでは、L2(s)の母関数を調べる。「その１」で発見した手法の類似を行うわけである。
(*1)「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）
次の母関数を構成した。
F(x)＝cos(x/1)/1^s + cos(x/3)/3^s - cos(x/5)/5^s - cos(x/7)/7^s + ・・・ ------①
”cos(x/n)型L2(s)母関数”と名づける。まずs＝1とした場合を考えよう。すなわち、
F(x)＝cos(x/1)/1 + cos(x/3)/3 - cos(x/5)/5 - cos(x/7)/7 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L2(1) - L2(3)・x^2 /2！+ L2(5)・x^4 /4！- L2(7)・x^6 /6！+ L2(9)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1)/1 + cos(x/3)/3 - cos(x/5)/5 - cos(x/7)/7 + ・・・
＝L2(1) - L2(3)・x^2 /2！+ L2(5)・x^4 /4！- L2(7)・x^6 /6！+ L2(9)・x^8 /8！- ・・・ -----②
F(x)がL2(ｓ)の母関数となっていることがわかる。
すぐわかるが、
F(0)＝L2(1)
であり、またF(x)を２回微分したF´´(x)のF´´(0)が F´´(0)＝-L2(3) となる。すなわち、
F(0)＝L2(1)
F^(2)(0)＝-L2(3)
F^(4)(0)＝L2(5)
・
・
となっている。F^(n)(x)は、F(x)のn回微分を表す。
F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。②のべき級数を見ると収束半径ＲはＲ＝∞となるからそれがわかる。
（また右辺の項をすこし先にいけば、ほぼL2(n)はほとんど1とイコールとなるので、それ以降はcosxと同じであるともいえ、それによっても-∞<x<∞が
わかる。）
次にs＝2とした場合を考える。
F(x)＝cos(x/1)/1^2 + cos(x/3)/3^2 - cos(x/5)/5^2 - cos(x/7)/7^2 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L2(2) - L2(4)・x^2 /2！+ L2(6)・x^4 /4！- L2(8)・x^6 /6！+ L2(10)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1)/1^2 + cos(x/3)/3^2 - cos(x/5)/5^2 - cos(x/7)/7^2 + ・・・
＝L2(2) - L2(4)・x^2 /2！+ L2(6)・x^4 /4！- L2(8)・x^6 /6！+ L2(10)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、次が成り立つ。
cos(x/1)/1^3 + cos(x/3)/3^3 - cos(x/5)/5^3 - cos(x/7)/7^3 + ・・・
＝L2(3) - L2(5)・x^2 /2！+ L2(7)・x^4 /4！- L2(9)・x^6 /6！+ L2(11)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1)/1^4 + cos(x/3)/3^4 - cos(x/5)/5^4 - cos(x/7)/7^4 + ・・・
＝L2(4) - L2(6)・x^2 /2！+ L2(8)・x^4 /4！- L2(10)・x^6 /6！+ L2(12)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次が成り立つ。
cos(x/1)/1^n + cos(x/3)/3^n - cos(x/5)/5^n - cos(x/7)/7^n + ・・・
＝L2(n) - L2(n+2)・x^2 /2！+ L2(n+4)・x^4 /4！- L2(n+6)・x^6 /6！+ L2(n+8)・x^8 /8！- ・・・ ----③
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくことがわかる。
L2(s)＝(1 + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s ) + (1/9^s + 1/11^s - 1/13^s - 1/15^s ) + ・・・
というL2(ｓ)の定義式から、sが大きくなると、L2(ｓ)は1に非常に近くなる。
よって、③より、F(x)は
limF(x)＝cosx
(n->∞)
となることがわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
次に、cos(x/n^2)型L2(s)母関数を構成しよう。
F(x)＝cos(x/1^2)/1^s + cos(x/3^2)/3^s - cos(x/5^2)/5^s - cos(x/7^2)/7^s + ・・・ ------①
まずs＝1とした場合を考えよう。
F(x)＝cos(x/1^2)/1 + cos(x/3^2)/3 - cos(x/5^2)/5 - cos(x/7^2)/7 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L2(1) - L2(5)・x^2 /2！+ L2(9)・x^4 /4！- L2(13)・x^6 /6！+ L2(17)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^2)/1 + cos(x/3^2)/3 - cos(x/5^2)/5 - cos(x/7^2)/7 + ・・・
＝L2(1) - L2(5)・x^2 /2！+ L2(9)・x^4 /4！- L2(13)・x^6 /6！+ L2(17)・x^8 /8！- ・・・ -----②
F(x)がL2(ｓ)の母関数となっていることがわかる。F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。
次にs＝2とした場合を考える。
F(x)＝cos(x/1^2)/1^2 + cos(x/3^2)/3^2 - cos(x/5^2)/5^2 - cos(x/7^2)/7^2 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L2(2) - L2(6)・x^2 /2！+ L2(10)・x^4 /4！- L2(14)・x^6 /6！+ L2(18)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^2)/1^2 + cos(x/3^2)/3^2 - cos(x/5^2)/5^2 - cos(x/7^2)/7^2 + ・・・
＝L2(2) - L2(6)・x^2 /2！+ L2(10)・x^4 /4！- L2(14)・x^6 /6！+ L2(18)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、次が成り立つ。
cos(x/1^2)/1^3 + cos(x/3^2)/3^3 - cos(x/5^2)/5^3 - cos(x/7^2)/7^3 + ・・・
＝L2(3) - L2(7)・x^2 /2！+ L2(11)・x^4 /4！- L2(15)・x^6 /6！+ L2(19)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^2)/1^4 + cos(x/3^2)/3^4 - cos(x/5^2)/5^4 - cos(x/7^2)/7^4 + ・・・
＝L2(4) - L2(8)・x^2 /2！+ L2(12)・x^4 /4！- L2(16)・x^6 /6！+ L2(20)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次が成り立つ。
cos(x/1^2)/1^n + cos(x/3^2)/3^n - cos(x/5^2)/5^n - cos(x/7^2)/7^n + ・・・
＝L2(n) - L2(n+4)・x^2 /2！+ L2(n+8)・x^4 /4！- L2(n+12)・x^6 /6！+ L2(n+16)・x^8 /8！- ・・・ ----③
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくことがわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
次に、cos(x/n^3)型L2(s)母関数を構成しよう。
F(x)＝cos(x/1^3)/1^s + cos(x/3^3)/3^s - cos(x/5^3)/5^s - cos(x/7^3)/7^s + ・・・ ------①
まずs＝1とした場合を考えよう。
F(x)＝cos(x/1^3)/1 + cos(x/3^3)/3 - cos(x/5^3)/5 - cos(x/7^3)/7 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L2(1) - L2(7)・x^2 /2！+ L2(13)・x^4 /4！- L2(19)・x^6 /6！+ L2(25)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1 + cos(x/3^3)/3 - cos(x/5^3)/5 - cos(x/7^3)/7 + ・・・
＝L2(1) - L2(7)・x^2 /2！+ L2(13)・x^4 /4！- L2(19)・x^6 /6！+ L2(25)・x^8 /8！- ・・・ -----②
F(x)がL2(ｓ)の母関数となっていることがわかる。F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。
次にs＝2とした場合を考える。
F(x)＝cos(x/1^3)/1^2 + cos(x/3^3)/3^2 - cos(x/5^3)/5^2 - cos(x/7^3)/7^2 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L2(2) - L2(8)・x^2 /2！+ L2(14)・x^4 /4！- L2(20)・x^6 /6！+ L2(26)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1^2 + cos(x/3^3)/3^2 - cos(x/5^3)/5^2 - cos(x/7^3)/7^2 + ・・・
＝L2(2) - L2(8)・x^2 /2！+ L2(14)・x^4 /4！- L2(20)・x^6 /6！+ L2(26)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1^3 + cos(x/3^3)/3^3 - cos(x/5^3)/5^3 - cos(x/7^3)/7^3 + ・・・
＝L2(3) - L2(9)・x^2 /2！+ L2(15)・x^4 /4！- L2(21)・x^6 /6！+ L2(27)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^3)/1^4 + cos(x/3^3)/3^4 - cos(x/5^3)/5^4 - cos(x/7^3)/7^4 + ・・・
＝L2(4) - L2(10)・x^2 /2！+ L2(16)・x^4 /4！- L2(22)・x^6 /6！+ L2(28)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1^n + cos(x/3^3)/3^n - cos(x/5^3)/5^n - cos(x/7^3)/7^n + ・・・
＝L2(n) - L2(n+6)・x^2 /2！+ L2(n+12)・x^4 /4！- L2(n+18)・x^6 /6！+ L2(n+24)・x^8 /8！- ・・・ ----③
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくことがわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
このページで得たL2(s)母関数の一般式を並べてみる。
cos(x/1)/1^s + cos(x/3)/3^s - cos(x/5)/5^s - cos(x/7)/7^s + ・・・
＝L2(s) - L2(s+2)・x^2 /2！+ L2(s+4)・x^4 /4！- L2(s+6)・x^6 /6！+ L2(s+8)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^2)/1^s + cos(x/3^2)/3^s - cos(x/5^2)/5^s - cos(x/7^2)/7^s + ・・・
＝L2(s) - L2(s+4)・x^2 /2！+ L2(s+8)・x^4 /4！- L2(s+12)・x^6 /6！+ L2(s+16)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^3)/1^s + cos(x/3^3)/3^s - cos(x/5^3)/5^s - cos(x/7^3)/7^s + ・・・
＝L2(s) - L2(s+6)・x^2 /2！+ L2(s+12)・x^4 /4！- L2(s+18)・x^6 /6！+ L2(s+24)・x^8 /8！- ・・・
きれいな規則性があるので、さらに容易に一般化でき次を得る。
cos(x/1^r)/1^s + cos(x/3^r)/3^s - cos(x/5^r)/5^s - cos(x/7^r)/7^s + ・・・
＝L2(s) - L2(s+2r)・x^2 /2！+ L2(s+4r)・x^4 /4！- L2(s+6r)・x^6 /6！+ L2(s+8r)・x^8 /8！- ・・・
普遍的な式と言える。これまではs、rが整数の場合だけを扱ったが、もちろん実数へと一般化できる。
まだ詳しく調べていないが、少なくともs、rは、s>0，r >＝0とできる。定義域は-∞<x<∞である。
一般式をまとめておく。
|