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cos(x/n^3)型ζ(ｓ)母関数と交代形cos(x/n^3)型ζ(ｓ)母関数を調べた。
その１の継続で、ここでは次のcos(x/n^3)型ζ(ｓ)母関数を調べる。定義域は-∞<x<∞である。
F(x)＝cos(x/1^3)/1^s + cos(x/2^3)/2^s + cos(x/3^3)/3^s + cos(x/4^3)/4^s + ・・・ ------①
まずs＝1の場合を考えよう。
F(x)＝cos(x/1^3)/1 + cos(x/2^3)/2 + cos(x/3^3)/3 + cos(x/4^3)/4 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝ζ(1) - ζ(5)・x^2 /2！+ ζ(9)・x^4 /4！- ζ(13)・x^6 /6！+ ζ(17)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1 + cos(x/2^3)/2 + cos(x/3^3)/3 + cos(x/4^3)/4 + ・・・
＝ζ(1) - ζ(7)・x^2 /2！+ ζ(13)・x^4 /4！- ζ(19)・x^6 /6！+ ・・・
奇数ゼータの出方がこれまでのものと違っているのがやはり面白い。特異点である極のζ(1)が発生しているが、
s＝2以降では出ず、現実的な式となる。やってみよう。
①でs＝2の場合を考える。
F(x)＝cos(x/1^3)/1^2 + cos(x/2^3)/2^2 + cos(x/3^3)/3^2 + cos(x/4^3)/4^2 + ・・・
この右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝ζ(2) - ζ(8)・x^2 /2！+ ζ(14)・x^4 /4！- ζ(20)・x^6 /6！+ ・・・
すなわち、次式が出る。
cos(x/1^3)/1^2 + cos(x/2^3)/2^2 + cos(x/3^3)/3^2 + cos(x/4^3)/4^2 + ・・・
＝ζ(2) - ζ(8)・x^2 /2！+ ζ(14)・x^4 /4！- ζ(20)・x^6 /6！+ ・・・
同様にして、①でs＝3、4、5の場合を考えると、それぞれ次のようになった。
cos(x/1^3)/1^3 + cos(x/2^3)/2^3 + cos(x/3^3)/3^3 + cos(x/4^3)/4^3 + ・・・
＝ζ(3) - ζ(9)・x^3 /2！+ ζ(15)・x^4 /4！- ζ(21)・x^6 /6！+ ・・・
cos(x/1^3)/1^4 + cos(x/2^3)/2^4 + cos(x/3^3)/3^4 + cos(x/4^3)/4^4 + ・・・
＝ζ(4) - ζ(10)・x^2 /2！+ ζ(16)・x^4 /4！- ζ(22)・x^6 /6！+ ・・・
cos(x/1^3)/1^5 + cos(x/2^3)/2^5 + cos(x/3^3)/3^5 + cos(x/4^3)/4^5 + ・・・
＝ζ(5) - ζ(11)・x^2 /2！+ ζ(17)・x^4 /4！- ζ(23)・x^6 /6！+ ・・・
以上を一般的に書く。
cos(x/1^3)/1^n + cos(x/2^3)/2^n + cos(x/3^3)/3^n + cos(x/4^3)/4^n + ・・・
＝ζ(n) - ζ(n+6)・x^2 /2！+ ζ(n+12)・x^4 /4！- ζ(n+18)・x^6 /6！+ ・・・ ---②
この式も、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくのである。
cosxは
cosx＝1 - x^2 /2！+ x^4 /4！- x^6 /6！+ x^8 /8！- ・・・
であり、ｎが増せばζ(n)は急速に1に近づくから、②よりそれがわかる。その１でみたどの関数よりも速くcosxに近づく。
F(x)＝cos(x/1^3)/1^n + cos(x/2^3)/2^n + cos(x/3^3)/3^n + cos(x/4^3)/4^n + ・・・
とすると、
limF(x)＝cosx
(n->∞)
である。
まとめておこう。（一般式のnはsで表した）
次に、一つ上の関数のペアとして、cos(x/n^3)型ζ(ｓ)母関数の交代級数版（次式）を調べる。
F_(x)＝cos(x/1^3)/1^s - cos(x/2^3)/2^s + cos(x/3^3)/3^s - cos(x/4^3)/4^s + ・・・
+と-が交互に出る交代タイプのcos(x/n^3)型である。まずs＝1とした場合を考える。
F_(x)＝cos(x/1^3)/1 - cos(x/2^3)/2 + cos(x/3^3)/3 - cos(x/4^3)/4 + ・・・
x＝0周りでテイラー展開すると次となる。
F_(x)
＝log2 - (1-1/2^6)ζ(7)・x^2 /2！+ (1-1/2^12)ζ(13)・x^4 /4！- (1-1/2^18)ζ(19)・x^6 /6！+ ・・・
すなわち、次式が成り立つ。
cos(x/1^3)/1 - cos(x/2^3)/2 + cos(x/3^3)/3 - cos(x/4^3)/4 + ・・・
＝log2 - (1-1/2^6)ζ(7)x^2 /2！+ (1-1/2^12)ζ(13)x^4 /4！- (1-1/2^18)ζ(19)x^6 /6！+ ・・・
一つ上では特異点ζ(1)が発生していたが、ここでは特異点が解消され log2が現れている。
なおF_(x)の定義域は-∞<x<∞である。
次にs＝2の場合を考える。
F_(x)＝cos(x/1^3)/1^2 - cos(x/2^3)/2^2 + cos(x/3^3)/3^2 - cos(x/4^3)/4^2 + ・・・
x＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F_(x)
＝(1-1/2^1)ζ(2) - (1-1/2^7)ζ(8)x^2/2！+ (1-1/2^13)ζ(14)x^4/4！- (1-1/2^19)ζ(20)x^6/6！+ ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1^2 - cos(x/2^3)/2^2 + cos(x/3^3)/3^2 - cos(x/4^3)/4^2 + ・・・
＝(1-1/2^1)ζ(2) - (1-1/2^7)ζ(8)x^2/2！+ (1-1/2^13)ζ(14)x^4/4！- (1-1/2^19)ζ(20)x^6/6！+ ・・・
同様にして、s＝3、4、5の場合は、それぞれ次となる。
cos(x/1^3)/1^3 - cos(x/2^3)/2^3 + cos(x/3^3)/3^3 - cos(x/4^3)/4^3 + ・・・
＝(1-1/2^2)ζ(3) - (1-1/2^8)ζ(9)x^2/2！+ (1-1/2^14)ζ(15)x^4/4！- (1-1/2^20)ζ(21)x^6/6！+ ・・・
cos(x/1^3)/1^4 - cos(x/2^3)/2^4 + cos(x/3^3)/3^4 - cos(x/4^3)/4^4 + ・・・
＝(1-1/2^3)ζ(4) - (1-1/2^9)ζ(10)x^2/2！+ (1-1/2^15)ζ(16)x^4/4！- (1-1/2^21)ζ(22)x^6/6！+ ・・・
cos(x/1^3)/1^5 - cos(x/2^3)/2^5 + cos(x/3^3)/3^5 - cos(x/4^3)/4^5 + ・・・
＝(1-1/2^4)ζ(5) - (1-1/2^10)ζ(11)x^2/2！+ (1-1/2^16)ζ(17)x^4/4！- (1-1/2^22)ζ(23)x^6/6！+ ・・・
以上を一般的に書く。
cos(x/1^3)/1^n - cos(x/2^3)/2^n + cos(x/3^3)/3^n - cos(x/4^3)/4^n + ・・・
＝(1-1/2^(n-1))ζ(n) - (1-1/2^(n+5))ζ(n+6)・x^2/2！+ (1-1/2^(n+11))ζ(n+12)・x^4/4！- ・・・
右辺の形から、nが増すと、左辺は（右辺もだが）coxに近づくことがわかる。
まとめておこう。（一般式のnはsで表した）
では次に、cos(x/n^4)型ζ(ｓ)母関数を調べる。定義域は-∞<x<∞である。
F(x)＝cos(x/1^4)/1^s + cos(x/2^4)/2^s + cos(x/3^4)/3^s + cos(x/4^4)/4^s + ・・・ ------①
まずs＝1の場合を考えよう。
F(x)＝cos(x/1^4)/1 + cos(x/2^4)/2 + cos(x/3^4)/3 + cos(x/4^4)/4 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝ζ(1) - ζ(9)・x^2 /2！+ ζ(17)・x^4 /4！- ζ(25)・x^6 /6！+ - ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^4)/1 + cos(x/2^4)/2 + cos(x/3^4)/3 + cos(x/4^4)/4 + ・・・
＝ζ(1) - ζ(9)・x^2 /2！+ ζ(17)・x^4 /4！- ζ(25)・x^6 /6！+ ・・・
また奇数ゼータの出方がこれまでのと違う式が出た。特異点である極のζ(1)が発生しているが、s＝2以降では出ず、
現実的な式となる。実際にやってみよう。
①でs＝2の場合を考える。
F(x)＝cos(x/1^4)/1^2 + cos(x/2^4)/2^2 + cos(x/3^4)/3^2 + cos(x/4^4)/4^2 + ・・・
この右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝ζ(2) - ζ(10)・x^2 /2！+ ζ(18)・x^4 /4！- ζ(26)・x^6 /6！+ ・・・
すなわち、次式が出る。
cos(x/1^4)/1^2 + cos(x/2^4)/2^2 + cos(x/3^4)/3^2 + cos(x/4^4)/4^2 + ・・・
＝ζ(2) - ζ(10)・x^2 /2！+ ζ(18)・x^4 /4！- ζ(26)・x^6 /6！+ ・・・
同様にして、①でs＝3、4、5の場合をみると、それぞれ次のようになる。
cos(x/1^4)/1^3 + cos(x/2^4)/2^3 + cos(x/3^4)/3^3 + cos(x/4^4)/4^3 + ・・・
＝ζ(3) - ζ(11)・x^3 /2！+ ζ(19)・x^4 /4！- ζ(27)・x^6 /6！+ ・・・
cos(x/1^4)/1^4 + cos(x/2^4)/2^4 + cos(x/3^4)/3^4 + cos(x/4^4)/4^4 + ・・・
＝ζ(4) - ζ(12)・x^2 /2！+ ζ(20)・x^4 /4！- ζ(28)・x^6 /6！+ ・・・
cos(x/1^4)/1^5 + cos(x/2^4)/2^5 + cos(x/3^4)/3^5 + cos(x/4^4)/4^5 + ・・・
＝ζ(5) - ζ(13)・x^2 /2！+ ζ(21)・x^4 /4！- ζ(29)・x^6 /6！+ ・・・
以上を一般的に書く。
cos(x/1^4)/1^n + cos(x/2^4)/2^n + cos(x/3^4)/3^n + cos(x/4^4)/4^n + ・・・
＝ζ(n) - ζ(n+8)・x^2 /2！+ ζ(n+16)・x^4 /4！- ζ(n+24)・x^6 /6！+ ・・・ ---②
nが増すと、左辺（右辺）が、急激にcox＝1-x^2/2！+x^4/4！- ・・に近づくことはすぐにわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
次に、一つ上の関数のペアとして、cos(x/n^4)型ζ(ｓ)母関数の交代級数版（次式）を調べる。
F_(x)＝cos(x/1^4)/1^s - cos(x/2^4)/2^s + cos(x/3^4)/3^s - cos(x/4^4)/4^s + ・・・
交代形cos(x/n^4)型である。まずs＝1とした場合を考える。
F_(x)＝cos(x/1^4)/1 - cos(x/2^4)/2 + cos(x/3^4)/3 - cos(x/4^4)/4 + ・・・
x＝0周りでテイラー展開すると次となる。
F_(x)
＝log2 - (1-1/2^8)ζ(9)x^2 /2！+ (1-1/2^16)ζ(17)x^4 /4！- (1-1/2^24)ζ(25)x^6 /6！+ ・・・
すなわち、次式が成り立つ。
cos(x/1^4)/1 - cos(x/2^4)/2 + cos(x/3^4)/3 - cos(x/4^4)/4 + ・・・
＝log2 - (1-1/2^8)ζ(9)x^2 /2！+ (1-1/2^16)ζ(17)x^4 /4！- (1-1/2^24)ζ(25)x^6 /6！+ ・・・
一つ上では特異点ζ(1)が発生していたが、この形では特異点が解消され log2が現れている。
なおF_(x)の定義域は-∞<x<∞である。
次にs＝2の場合を調べる。
F_(x)＝cos(x/1^4)/1^2 - cos(x/2^4)/2^2 + cos(x/3^4)/3^2 - cos(x/4^4)/4^2 + ・・・
x＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F_(x)
＝(1-1/2^1)ζ(2) - (1-1/2^9)ζ(10)x^2/2！+ (1-1/2^17)ζ(18)x^4/4！- (1-1/2^25)ζ(26)x^6/6！+ ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^4)/1^2 - cos(x/2^4)/2^2 + cos(x/3^4)/3^2 - cos(x/4^4)/4^2 + ・・・
＝(1-1/2^1)ζ(2) - (1-1/2^9)ζ(10)x^2/2！+ (1-1/2^17)ζ(18)x^4/4！- (1-1/2^25)ζ(26)x^6/6！+ ・・・
同様にして、s＝3、4、5の場合は、それぞれ次となる。
cos(x/1^4)/1^3 - cos(x/2^4)/2^3 + cos(x/3^4)/3^3 - cos(x/4^4)/4^3 + ・・・
＝(1-1/2^2)ζ(3) - (1-1/2^10)ζ(11)x^2/2！+ (1-1/2^18)ζ(19)x^4/4！- (1-1/2^26)ζ(27)x^6/6！+ ・・・
cos(x/1^4)/1^4 - cos(x/2^4)/2^4 + cos(x/3^4)/3^4 - cos(x/4^4)/4^4 + ・・・
＝(1-1/2^3)ζ(4) - (1-1/2^11)ζ(12)x^2/2！+ (1-1/2^19)ζ(20)x^4/4！- (1-1/2^27)ζ(28)x^6/6！+ ・・・
cos(x/1^4)/1^5 - cos(x/2^4)/2^5 + cos(x/3^4)/3^5 - cos(x/4^4)/4^5 + ・・・
＝(1-1/2^4)ζ(5) - (1-1/2^12)ζ(13)x^2/2！+ (1-1/2^20)ζ(21)x^4/4！- (1-1/2^28)ζ(29)x^6/6！+ ・・・
以上を一般的に書く。
cos(x/1^4)/1^n - cos(x/2^4)/2^n + cos(x/3^4)/3^n - cos(x/4^4)/4^n + ・・・
＝(1-1/2^(n-1))ζ(n) - (1-1/2^(n+7))ζ(n+8)・x^2/2！+ (1-1/2^(n+15))ζ(n+16)・x^4/4！- ・・・
右辺の形から、nが増すと、左辺は（右辺もだが）急激にcox1-x^2/2！+x^4/4！- ・・に近づく。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
r がいろいろな数字の場合の、cos(x/n^r)型ζ(ｓ)母関数の一般式を並べてみる。
cos(x/1^1)/1^s + cos(x/2^1)/2^s + cos(x/3^1)/3^s + cos(x/4^1)/4^s + ・・・
＝ζ(s) - ζ(s+2)・x^2 /2！+ ζ(s+4)・x^4 /4！- ζ(s+6)・x^6 /6！+ ・・・
cos(x/1^2)/1^s + cos(x/2^2)/2^s + cos(x/3^2)/3^s + cos(x/4^2)/4^s + ・・・
＝ζ(s) - ζ(s+4)・x^2 /2！+ ζ(s+8)・x^4 /4！- ζ(s+12)・x^6 /6！+ ・・・
cos(x/1^3)/1^s + cos(x/2^3)/2^s + cos(x/3^3)/3^s + cos(x/4^3)/4^s + ・・・
＝ζ(s) - ζ(s+6)・x^2 /2！+ ζ(s+12)・x^4 /4！- ζ(s+18)・x^6 /6！+ ・・・
cos(x/1^4)/1^s + cos(x/2^4)/2^s + cos(x/3^4)/3^s + cos(x/4^4)/4^s + ・・・
＝ζ(s) - ζ(s+8)・x^2 /2！+ ζ(s+16)・x^4 /4！- ζ(s+24)・x^6 /6！+ ・・・
これらより、上をさらに一般化した一般式（次式）を得ることができる。
cos(x/1^r)/1^s + cos(x/2^r)/2^s + cos(x/3^r)/3^s + cos(x/4^r)/4^s + ・・・
＝ζ(s) - ζ(s+2r)・x^2 /2！+ ζ(s+4r)・x^4 /4！- ζ(s+6r)・x^6 /6！+ ・・・
美しい普遍的な式と言えるだろう。
これまでは、ｓ、ｒが整数の場合だけを扱ったが、もちろん、実数へと一般化できる。
ただしr＝-1，-2，-3・・の場合を調べたところ、この場合は、よい結果が得られなかった。
s、rは、s>1，r >0とするのが安全である。交代形の場合は、s>0，r >0とできる。
右辺のζ(ｓ)の間隔を大きくとりたければ、rを大きな値に設定すればよいとわかる。
例えば、s＝2、r＝50とすれば、ζ(2)、ζ(102)、ζ(202)、・・が右辺に登場してくる。
次に、交代形cos(x/n^r)型ζ(ｓ)母関数の一般式を並べてみる。
cos(x/1^1)/1^s - cos(x/2^1)/2^s + cos(x/3^1)/3^s - cos(x/4^1)/4^s + ・・・
＝(1-1/2^(s-1))ζ(s) - (1-1/2^(s+1))ζ(s+2)・x^2/2！+ (1-1/2^(s+3))ζ(s+4)・x^4/4！- ・・・
cos(x/1^2)/1^s - cos(x/2^2)/2^s + cos(x/3^2)/3^s - cos(x/4^2)/4^s + ・・・
＝(1-1/2^(s-1))ζ(s) - (1-1/2^(s+3))ζ(s+4)・x^2/2！+ (1-1/2^(s+7))ζ(s+8)・x^4/4！- ・・・
cos(x/1^3)/1^s - cos(x/2^3)/2^s + cos(x/3^3)/3^s - cos(x/4^3)/4^s + ・・・
＝(1-1/2^(s-1))ζ(s) - (1-1/2^(s+5))ζ(s+6)・x^2/2！+ (1-1/2^(s+11))ζ(s+12)・x^4/4！- ・・・
cos(x/1^4)/1^s - cos(x/2^4)/2^s + cos(x/3^4)/3^s - cos(x/4^4)/4^s + ・・・
＝(1-1/2^(s-1))ζ(s) - (1-1/2^(s+7))ζ(s+8)・x^2/2！+ (1-1/2^(s+15))ζ(s+16)・x^4/4！- ・・・
これらより、上をさらに一般化した一般式（次式）を得ることができる。
cos(x/1^r)/1^s - cos(x/2^r)/2^s + cos(x/3^r)/3^s - cos(x/4^r)/4^s + ・・・
＝(1-1/2^(s-1))ζ(s) - (1-1/2^(s-1+2r))ζ(s+2r)・x^2/2！+ (1-1/2^(s-1+4r))ζ(s+4r)・x^4/4！- ・・・
s、rは、s>0，r >＝0の実数である。 例えば、ζ(3/2)を出したければ、s＝3/2とすればよい。
まとめておく。
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