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＜ ゼータ関数L1(s) ＞
ディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種であるL1(s)の母関数を調べる。L1(s)は実２次体Ｑ（√2）に対応するゼータである。
cos(x/n)型、cos(x/n^2)型、cos(x/n^3)型を考察。普遍的な一般式を導出。
L1(s)は、次で定義されるゼータ関数である。
L1(s)＝(1 - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s ) + (1/9^s - 1/11^s - 1/13^s + 1/15^s ) + ・・・ ----①
L1(s)も、ディリクレのL関数L(χ,s)
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
の一種のゼータ関数である。
L1(s)は、mod 8に対応したディリクレ指標χ(a)をもち、
「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、 それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に対応
したL(χ,s)となる。mod 8なので、このχ(a)の導手は8である。
①をもうすこし長く書くと、
L1(s)＝(1 - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s ) + (1/9^s - 1/11^s - 1/13^s + 1/15^s )
+ (1/17^s - 1/19^s - 1/21^s + 1/23^s) + (1/25^s - 1/27^s - 1/29^s + 1/31^s) + ・・・----②
となることはいうまでもない。
ディリクレ指標χ(ａ)の定義を再度書いておく。
χ(ａ)は、ある自然数Ｎについて、次の３条件を満たすものである。
（１）a≡b mod N ならχ(ａ)＝χ(b)
（２）χ(ab)＝χ(a)χ(b)
（３）aとＮが共通因数を持つときに限り、χ(a)＝0
①のディリクレ指標「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、 それ以外のaではχ(a)＝0」が、
この３条件を満たしていることは容易にわかる。
最小単位の導手8でもってL1(s)は特徴づけられていることが①や②からわかるであろう。
L1(s)は実２次体Ｑ（√2）に対応するゼータ関数でもある。
「実２次体の類数公式」というディリクレが１９世紀に証明した公式を少しみてみよう。
L(χ,1)＝2h・log(εk)/√N ------③
である。これからL(χ,s)のs＝1での値L(χ,1)がわかるのである。logは自然対数。
ここで、hは実２次体Ｑ（√2）の類数、Nはディリクレ指標χ(ａ)の導手、εkは、Ｑ（√2）の基本単数である。
単数とは、体Ｑ（√2）に対応すつ環Z（√2）で、Aとその逆数1/Aがともに環Z（√2）に属する数Aのことで、Aで1より
大きいものの中で最小のものをとくに基本単数とよぶ。
例えば、環Z（√2）とは、
環Z（√2）＝｛a+b√2；a,bは整数｝
という数の世界のことである。環とは、「足す、引く、掛けるが自由にできる集合世界」のことである。
そこで、√2+1という数の逆数は、√2-1であり、これらは当然、環Z（√2）に含まれている。よって、√2+1も√2-1も
どちらも単数である。そして環Z（√2）の単数はじつは±(√2+1)^n （nは整数）と表現されることが知られている。
よって、定義より、√2+1が基本単数となる（*1）。
類数というのは、イデアルと数のズレをあらわす。素因数分解の一意性に関係している。イデアルは、クンマーが
フェルマーの最終定理を解こうとした過程で発明した革命的概念である（*2）。
L1(s)は実２次体Ｑ（√2）に対応するゼータである。Ｑ（√2）類数hは1であり、Ｑ（√2）の基本単数はεk＝√2+1
である。またL1(s)の導手Ｎは8である。
これらを
L(χ,1)＝2h・log(εk)/√N ------③
に代入して、
L1(1)＝2・1・log(√2+1)/√8＝log(√2+1) /√2
となる。
すなわち、
(1 - 1/3 - 1/5 - 1/7 ) + (1/9 - 1/11 - 1/13 - 1/15 ) + ・・・ ＝log(√2+1) /√2
とわかる。
余談終わり。
このページでは、L1(s)の母関数を調べる。もちろん、「その１」で発見した手法の類似を行うわけである。
(*1)雑誌「数学のたのしみ No.17」（2000年2月号）の加藤和也氏の「岩澤理論の拡張について」
(*2)雑誌「数学のたのしみ」No.15（1999年10月号）の加藤和也氏の記事「イデアル類群の喜び」
次の母関数を構成した。
F(x)＝cos(x/1)/1^s - cos(x/3)/3^s - cos(x/5)/5^s + cos(x/7)/7^s + ・・・ ------①
”cos(x/n)型L1(s)母関数”と名づける。まずs＝1とした場合を考えよう。すなわち、
F(x)＝cos(x/1)/1 - cos(x/3)/3 - cos(x/5)/5 + cos(x/7)/7 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L1(1) - L1(3)・x^2 /2！+ L1(5)・x^4 /4！- L1(7)・x^6 /6！+ L1(9)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1)/1 - cos(x/3)/3 - cos(x/5)/5 + cos(x/7)/7 + ・・・
＝L1(1) - L1(3)・x^2 /2！+ L1(5)・x^4 /4！- L1(7)・x^6 /6！+ L1(9)・x^8 /8！- ・・・ -----②
F(x)がL1(ｓ)の母関数となっていることがわかる。
すぐわかるが、
F(0)＝L1(1)
であり、またF(x)を２回微分したF´´(x)のF´´(0)が F´´(0)＝-L1(3) となる。すなわち、
F(0)＝L1(1)
F^(2)(0)＝-L1(3)
F^(4)(0)＝L1(5)
・
・
となっている。F^(n)(x)は、F(x)のn回微分を表す。
F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。②のべき級数を見ると収束半径ＲはＲ＝∞となるからそれがわかる。
（また右辺の項をすこし先にいけば、ほぼL1(n)はほとんど1とイコールとなるので、それ以降はcosxと同じであるともいえ、それによっても-∞<x<∞が
わかる。）
次にs＝2とした場合を考える。
F(x)＝cos(x/1)/1^2 - cos(x/3)/3^2 - cos(x/5)/5^2 + cos(x/7)/7^2 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L1(2) - L1(4)・x^2 /2！+ L1(6)・x^4 /4！- L1(8)・x^6 /6！+ L1(10)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1)/1^2 - cos(x/3)/3^2 - cos(x/5)/5^2 + cos(x/7)/7^2 + ・・・
＝L1(2) - L1(4)・x^2 /2！+ L1(6)・x^4 /4！- L1(8)・x^6 /6！+ L1(10)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、次が成り立つ。
cos(x/1)/1^3 - cos(x/3)/3^3 - cos(x/5)/5^3 + cos(x/7)/7^3 + ・・・
＝L1(3) - L1(5)・x^2 /2！+ L1(7)・x^4 /4！- L1(9)・x^6 /6！+ L1(11)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1)/1^4 - cos(x/3)/3^4 - cos(x/5)/5^4 + cos(x/7)/7^4 + ・・・
＝L1(4) - L1(6)・x^2 /2！+ L1(8)・x^4 /4！- L1(10)・x^6 /6！+ L1(12)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次が成り立つ。
cos(x/1)/1^n - cos(x/3)/3^n - cos(x/5)/5^n + cos(x/7)/7^n + ・・・
＝L1(n) - L1(n+2)・x^2 /2！+ L1(n+4)・x^4 /4！- L1(n+6)・x^6 /6！+ L1(n+8)・x^8 /8！- ・・・ ----③
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくことがわかる。
L1(s)＝(1 - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s ) + (1/9^s - 1/11^s - 1/13^s + 1/15^s ) + ・・・
というL1(ｓ)の定義式から、sが大きくなると、L1(ｓ)は1にきわめて近くなる。
よって、③より、F(x)は
limF(x)＝cosx
(n->∞)
となることがわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
次に、cos(x/n^2)型L1(s)母関数を構成しよう。
F(x)＝cos(x/1^2)/1^s - cos(x/3^2)/3^s - cos(x/5^2)/5^s + cos(x/7^2)/7^s + ・・・ ------①
まずs＝1とした場合を考えよう。
F(x)＝cos(x/1^2)/1 - cos(x/3^2)/3 - cos(x/5^2)/5 + cos(x/7^2)/7 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L1(1) - L1(5)・x^2 /2！+ L1(9)・x^4 /4！- L1(13)・x^6 /6！+ L1(17)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^2)/1 - cos(x/3^2)/3 - cos(x/5^2)/5 + cos(x/7^2)/7 + ・・・
＝L1(1) - L1(5)・x^2 /2！+ L1(9)・x^4 /4！- L1(13)・x^6 /6！+ L1(17)・x^8 /8！- ・・・ -----②
F(x)がL1(ｓ)の母関数となっていることがわかる。F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。
次にs＝2とした場合を考える。
F(x)＝cos(x/1^2)/1^2 - cos(x/3^2)/3^2 - cos(x/5^2)/5^2 + cos(x/7^2)/7^2 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L1(2) - L1(6)・x^2 /2！+ L1(10)・x^4 /4！- L1(14)・x^6 /6！+ L1(18)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^2)/1^2 - cos(x/3^2)/3^2 - cos(x/5^2)/5^2 + cos(x/7^2)/7^2 + ・・・
＝L1(2) - L1(6)・x^2 /2！+ L1(10)・x^4 /4！- L1(14)・x^6 /6！+ L1(18)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、次が成り立つ。
cos(x/1^2)/1^3 - cos(x/3^2)/3^3 - cos(x/5^2)/5^3 + cos(x/7^2)/7^3 + ・・・
＝L1(3) - L1(7)・x^2 /2！+ L1(11)・x^4 /4！- L1(15)・x^6 /6！+ L1(19)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^2)/1^4 - cos(x/3^2)/3^4 - cos(x/5^2)/5^4 + cos(x/7^2)/7^4 + ・・・
＝L1(4) - L1(8)・x^2 /2！+ L1(12)・x^4 /4！- L1(16)・x^6 /6！+ L1(20)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次が成り立つ。
cos(x/1^2)/1^n - cos(x/3^2)/3^n - cos(x/5^2)/5^n + cos(x/7^2)/7^n + ・・・
＝L1(n) - L1(n+4)・x^2 /2！+ L1(n+8)・x^4 /4！- L1(n+12)・x^6 /6！+ L1(n+16)・x^8 /8！- ・・・ ----③
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくことがわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
次に、cos(x/n^3)型L1(s)母関数を構成しよう。
F(x)＝cos(x/1^3)/1^s - cos(x/3^3)/3^s - cos(x/5^3)/5^s + cos(x/7^3)/7^s + ・・・ ------①
まずs＝1とした場合を考えよう。
F(x)＝cos(x/1^3)/1 - cos(x/3^3)/3 - cos(x/5^3)/5 + cos(x/7^3)/7 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L1(1) - L1(7)・x^2 /2！+ L1(13)・x^4 /4！- L1(19)・x^6 /6！+ L1(25)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1 - cos(x/3^3)/3 - cos(x/5^3)/5 + cos(x/7^3)/7 + ・・・
＝L1(1) - L1(7)・x^2 /2！+ L1(13)・x^4 /4！- L1(19)・x^6 /6！+ L1(25)・x^8 /8！- ・・・ -----②
F(x)がL1(ｓ)の母関数となっていることがわかる。F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。
次にs＝2とした場合を考える。
F(x)＝cos(x/1^3)/1^2 - cos(x/3^3)/3^2 - cos(x/5^3)/5^2 + cos(x/7^3)/7^2 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L1(2) - L1(8)・x^2 /2！+ L1(14)・x^4 /4！- L1(20)・x^6 /6！+ L1(26)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1^2 - cos(x/3^3)/3^2 - cos(x/5^3)/5^2 + cos(x/7^3)/7^2 + ・・・
＝L1(2) - L1(8)・x^2 /2！+ L1(14)・x^4 /4！- L1(20)・x^6 /6！+ L1(26)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1^3 - cos(x/3^3)/3^3 - cos(x/5^3)/5^3 + cos(x/7^3)/7^3 + ・・・
＝L1(3) - L1(9)・x^2 /2！+ L1(15)・x^4 /4！- L1(21)・x^6 /6！+ L1(27)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^3)/1^4 - cos(x/3^3)/3^4 - cos(x/5^3)/5^4 + cos(x/7^3)/7^4 + ・・・
＝L1(4) - L1(10)・x^2 /2！+ L1(16)・x^4 /4！- L1(22)・x^6 /6！+ L1(28)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1^n - cos(x/3^3)/3^n - cos(x/5^3)/5^n + cos(x/7^3)/7^n + ・・・
＝L1(n) - L1(n+6)・x^2 /2！+ L1(n+12)・x^4 /4！- L1(n+18)・x^6 /6！+ L1(n+24)・x^8 /8！- ・・・ ----③
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくことがわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
このページで得たL1(s)母関数の一般式を並べてみる。
cos(x/1)/1^s - cos(x/3)/3^s - cos(x/5)/5^s + cos(x/7)/7^s + ・・・
＝L1(s) - L1(s+2)・x^2 /2！+ L1(s+4)・x^4 /4！- L1(s+6)・x^6 /6！+ L1(s+8)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^2)/1^s - cos(x/3^2)/3^s - cos(x/5^2)/5^s + cos(x/7^2)/7^s + ・・・
＝L1(s) - L1(s+4)・x^2 /2！+ L1(s+8)・x^4 /4！- L1(s+12)・x^6 /6！+ L1(s+16)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^3)/1^s - cos(x/3^3)/3^s - cos(x/5^3)/5^s + cos(x/7^3)/7^s + ・・・
＝L1(s) - L1(s+6)・x^2 /2！+ L1(s+12)・x^4 /4！- L1(s+18)・x^6 /6！+ L1(s+24)・x^8 /8！- ・・・
きれいな規則性があるので、さらに容易に一般化でき次を得る。
cos(x/1^r)/1^s - cos(x/3^r)/3^s - cos(x/5^r)/5^s + cos(x/7^r)/7^s + ・・・
＝L1(s) - L1(s+2r)・x^2 /2！+ L1(s+4r)・x^4 /4！- L1(s+6r)・x^6 /6！+ L1(s+8r)・x^8 /8！- ・・・
普遍的な式と言える。これまではs、rが整数の場合だけを扱ったが、もちろん実数へと一般化できる。
まだ詳しく調べていないが、少なくともs、rは、s>0，r >＝0とできる。定義域は-∞<x<∞である。
一般式をまとめておく。
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