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「ディリクレの類数公式」と「統一的法則性」の間の関係性を示します。
とくに、虚2次体の場合の類数hと解析世界のｋとの不思議な関係を発見しました。
ディリクレの類数公式と、このHPで見出した統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）との間には密接な関係が
あります。ここでは、そのことを指摘します。
その統一的法則性に関して、私はこれまで４つの予想を提示してきました。そして、その４つの予想に対して様々な
解析を加え、多くの具体例でその正しさを確めてきたのでした。
予想L-３と予想L-３Bも同類です。
よって、ここでは、予想L-２と予想L-３を掲げておきましょう。
さて、これらの予想を参考にしながら、ディリクレの類数公式との関係を見てみましょう。
まずディリクレの類数公式を示します。
実２次体と虚２次体にはそれぞれ「ディリクレの類数公式」というものがあります。これは２次体Q(√m)において
きわめて重要な公式です。
いま Kを２次体とすると、次の公式が成り立ちます。
Kが実２次体なら、---> L(χ，1)＝h・logε・2/√N -----①
Kが虚２次体なら、---> L(χ，1)＝h・2π/(w√N) -----②
これらをディリクレの類数公式といいます。
ここで、h はKの類数、L(χ，1)はKに対応したディリクレのＬ関数L(χ,s)のs＝1での特殊値。
ε は実２次体Kの基本単数であり、w は虚２次体Kに含まれる１のべき根の個数です。
N は Kの導手です（これは、このサイトでもよく出てきました）。
これら類数や単数のことについては、雑誌「数学のたのしみ No.17」で加藤和也さんがわかりやすく解説してくれて
いますのでそちらを参考にしてください。
なぜ上式①、②が重要であるかというと、「解析的なゼータL(χ,s)」と「代数体」が結びついているからです。
左辺が解析的、右辺が代数的となっている。異質なものの結合です。解析と代数というまったく違った領域のことが
イコールで結びつくふしぎがあらわれている。
こういうのに数学者は驚き、また喜びます。私は数学者ではありませんが、私もうれしくなります。
ただ、L(χ,s)は無限積あるいは無限和で定義され解析の香りをもっていますが、整数論的な香りもたぶんに残してい
ますし、私はゼータは異なる領域を橋渡ししてくれる生命体と思っていますので、そういう形に①、②を書き替えたいの
です。
それをやりたいのですが、上の予想L-２と予想L-３をながめるだけでそういう形に簡単にできることに気付きます。
まず予想L-３の場合（m＝4n+1型のＱ（√m）の場合）を考察しましょう。
（予想L-３Bにおいても結果は同じとなります。）
この予想は実２次体と虚２次体に関するものですので、そっくりそのまま①、②に関係づけられます。
予想L-３では導手Nは、N＝k となります。k はもちろん、qπ/k代入 の k です。
よって、①と②は、次のようになります。
いま Kを２次体とすると、
Kが実２次体なら ---> L(χ，1)＝h・logε ・2/√k -----①
Kが虚２次体なら ---> L(χ，1)＝h・2π/(w√k) -----②
ちょっと変形すると、次のようになります。
Kが実２次体なら ---> √k・L(χ，1)＝2h・logε -----③
Kが虚２次体なら ---> √k・L(χ，1)＝2πh/w -----④
これは、まさに異質な世界をゼータが橋渡ししている様子を表した式となっています。
左辺のｋというのは、上の二つの予想でもわかる通り、「フーリエ展開の式を重回積分や重回微分したものに、qπ/k
代入する」という場合のk のことであり、これは解析中の解析であり、よって k は純粋な解析学の世界に属します。
一方の右辺は、類数 h やら単数 ε やら１のべき根の個数 ｗ やら、こちらは純粋な代数の世界に属します。
この二つが、③や④のようにゼータL(χ,1)を介して結びついている。
中央にゼータL(χ,1)という小山があって、解析の人がその小山を越えれば、右辺の代数の世界に出ます。
逆に、代数体の人が小山を越えれば解析の世界に出られる。
③と④はそんな様子をあらわしている。
なお、いま予想L-３（m＝4n+1型のＱ（√m））を代表にとりましたが、予想L-２の場合（m＝4n+2 or 4n+3型の
Ｑ（√m））に着目した場合は、今度はN＝2k となって当然ながら同様の議論ができます。またこの場合、
予想L-２Bでも同じ結果となります。つまり、次のようになります。
Kが実２次体なら ---> k・L(χ，1)＝√2・h・logε -----⑤
Kが虚２次体なら ---> k・L(χ，1)＝√2・π・h/w -----⑥
③～⑥は孤立した二つの島に、ゼータという橋がかかった様子を表しているといえるでしょう。
厳密には冒頭の予想が正しければ③～⑥は正しいといえるものですのでまだ予想の式といえますが、私の予想は、
まず間違いなく正しいだろうと思えるものですので、③～⑥は正しいと考えられます。
以上より、私の予想が正しいとした場合、次が成り立ちます。
加藤和也さんの著書「解決！フェルマーの最終定理」（日本評論社）p.94には、虚２次体のディリクレの類数公式の
別表現ものっています。
上でも出ましたが、再度、虚２次体の類数公式を書きます。
L(χ，1)＝h・2π/(w√N) -----①
そして、さらに、次の式も成り立つことが書かれています。
L(χ，1)＝-｛π/(N√N)｝・Σχ(a)・a -----②
(Σでは、aは0<a<Nをわたる)
ここで、h は２次体の類数、L(χ，1)は２次体に対応したディリクレのＬ関数L(χ,s)のs＝1での特殊値。
w は虚２次体に含まれる１のべき根の個数です。
この①と②より、次が出ます。
h＝-w/(2N)・Σχ(a)・a -----③
(Σでは、aは0<a<Nをわたる)
こんな素晴らしい式が書かれています。
そして、この③も「ディリクレの類数公式」と呼ばれているのだそうです。L(χ,1)がなくなっている分、より一般的な感じ
がします。
③をつぎのように、変形しておきましょう。
1/N・Σχ(a)・a ＝-2h/w -----④
さて、一つ上でやったのと同じ考察をおこなってみます（私の予想が正しいとした場合の考察です）。
まず予想L-３の場合（m＝4n+1型のＱ（√m）の場合）を考えると、この場合、導手Nは、N＝k となります。
k はもちろん予想中の qπ/k の kです。
よって、④より、次が成り立ちます。
1/k・Σχ(a)・a ＝-2h/w -----⑤
(Σでは、aは0<a<Nをわたる)
次に予想L-２の場合（m＝4n+2 or 4n+3型のＱ（√m）の場合）を考えると、その場合は、今度はN＝2k となり、
よって、④より、次が成り立ちます。
1/k・Σχ(a)・a ＝-4h/w -----⑥
(Σでは、aは0<a<Nをわたる)
Σχ(a)・aは、L(χ,s)と同じものと考えられますから、⑤も⑥も一つ上でみたように、ゼータが二つの世界を結びつける
役割をしていることを表現した式となっています。
まとめておきましょう。冒頭の私の予想が正しいとした場合、次が成り立ちます。
k さんは、解析の世界に住んでいます。また、h さん、w さんは代数の世界に生きている。
この異質な世界の住人が、ゼータ（Σχ(a)・a）という橋によって行き来できる状態になっていることを⑤、⑥は示して
いると考えられます。
一つ上の式で、面白いことがわかるのです。もう一度、一つ上で見つけた式を書きます。
［m＝4n+1型のＱ（√m）の場合］
1/k・Σχ(a)・a ＝-2h/w -----①
(Σでは、aは0<a<Nをわたる)
［m＝4n+2 or 4n+3型のＱ（√m）の場合］
1/k・Σχ(a)・a ＝-4h/w -----②
(Σでは、aは0<a<Nをわたる)
ここで、h は２次体の類数、L(χ，1)は２次体に対応したディリクレのＬ関数L(χ,s)のs＝1での特殊値。
w は虚２次体に含まれる１のべき根の個数です。k は私の予想中の qπ/k の kです。
もう一度、加藤和也さんの名著「解決！フェルマーの最終定理」（日本評論社）に登場願いましょう。
そこには、興味深い事実が書かれているのです。
虚２次体の類数公式における上のw（体での１のべき根の個数）は、次のようになっているというのです。
********************************
w＝6 ・・・・・Ｆ＝Q（√-3）の時
w＝4 ・・・・・Ｆ＝Q（√-）の時
w＝2 ・・・・・それ以外の時
********************************
すなわち、これは、虚２次体Q（√m）は無数にあるがQ(√-3)とQ(√-1)を除いて、他は全部w＝2であるという
ことです。
よって、①、②は次のように書き換えることができるのです。冒頭の私の予想が正しいとした場合、次が成り立ちます。
驚くべき簡明さです！
虚2次体の類数 h という非常に大切なものが、解析の世界の住人 k とこんなにも直接的に関係しているのです。
③と④は次のように解釈できるでしょう。
解析の k さんがゼータ山（Σχ(a)・a）を越えれば代数の類数 h さんのところ行ける。
逆に代数のh さんがゼータ山（Σχ(a)・a）を越えれば解析の k さんのところ行ける。
こんなきれいなことを示している。
これは、根源部分で h と k は兄弟であることを意味していると考えられます。
私が「ゼータ関数のいくつかの点について」以来延々と見てきたフーリエ級数の重回積分－重回微分のqπ/k代入
のk が、２次体Ｑ（√m）でもっとも大切な類数と、こんなにも美しい形で結びついていたのです。
類数というのはイデアルとも関係する非常に難しいものであり、私もその意味を完全にはわかっていないのですが、
その難しい類数が、まったく簡単なqπ/k代入の k でとりおさえられるというのですから、これには驚くしかありません。
これは現代数学での「代数の世界が保型形式（解析）でとりおさえられるはず・・」などのラングランズ哲学の方向と似て
いるような気もします。
加藤和也さん（京都大学教授）の「化身（けしん）」という言葉を借りて、次のように表現しておきます。
類数 hは k の化身である！
さて、一つ上の関係をもう一度書きましょう。
そして、何例か具体的に確認して、この正しさを実感しましょう。
なお、上の式は、私の予想が正しいとした場合のものですが、これまでの多くの具体例の検証でその正しさは
ほぼ間違いないと考えられます。
さて、虚２次体について、具体的に確認します。
まず［Q(√-3)を除くm＝4n+1型のＱ（√m）の場合］からいきましょう。
③を確認します。
********************************************************************************
虚２次体Q（√-7）を見てみましょう。冒頭の予想L-３から、|m|＝k より、この場合k＝7です。
また、Ｑ（√-7）に対応するL(χ,s)は、
「天王星 その１」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/7を代入＞でも
見たとおり、次のものです。
LP(s)＝(1/1^s + 1/2^s - 1/3^s + 1/4^s - 1/5^s - 1/6^s)
+ (1/8^s + 1/9^s - 1/10^s + 1/11^s - 1/12^s - 1/13^s)・・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LP(s)は、mod 7に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 2 or 4 mod 7-->χ(a)＝1、
a≡3 or 5 or 6 mod 7 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝7です。
さて、このLP(s)のΣχ(a)・a を計算します。Σは、0<a<Nをわたるのですから、次のように簡単に求まります。
Σχ(a)・a ＝1 + 2 - 3 + 4 - 5 -6 ＝-7
さらにQ(√-7)の類数hは、h＝1であることが知られています。
これで、k，h，Σχ(a)・aが求まりましたから、③が確認できます。
左辺＝1/k・Σχ(a)・a ＝1/7・(-7)＝-1
右辺＝-h＝-1
よって、左辺＝右辺となりましたので、③の正しさが確認できました。
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次に、虚２次体Q（√-15）を見てみましょう。冒頭の予想L-３から、|m|＝k より、この場合k＝15です。
また、Ｑ（√-15）に対応するL(χ,s)は、
「天王星 その１」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/15を代入＞でも
見たとおり、次のものです。
LS(s)＝(1/1^s + 1/2^s + 1/4^s - 1/7^s + 1/8^s - 1/11^s - 1/13^s - 1/14^s)
+ (1/16^s + 1/17^s + 1/19^s - 1/22^s + 1/23^s - 1/26^s - 1/28^s - 1/29^s) +・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LS(s)は、mod 15に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 2 or 4 or 8 mod 15-->χ(a)＝1、
a≡7 or 11 or 13 or 14 mod 15 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝15です。
さて、このLP(s)のΣχ(a)・a を計算します。Σは、0<a<Nをわたるのですから、次のように簡単に求まります。
Σχ(a)・a ＝1 + 2 + 4 - 7 + 8 - 11 - 13 - 14 ＝-30
さらにQ(√-15)の類数hは、h＝2であることが知られています。
これで、k，h，Σχ(a)・aが求まりましたから、③が確認できます。
左辺＝1/k・Σχ(a)・a ＝1/15・(-30)＝-2
右辺＝-h＝-2
よって、左辺＝右辺となりましたので、③の正しさが確認できました。
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２例しか確認しませんが、他の場合も、ちゃんと成り立っているはずです。皆さんも、天王星での具体的結果を利用
して確認してみてください。面白いものです。
次に［Q(√-1)を除くm＝4n+2 or 4n+3型のＱ（√m）の場合］を見てみましょう。
④を確認するのです。この場合も２例見ましょう。
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虚２次体Q（√-5）を見てみましょう。冒頭の予想L-２から、k ＝2|m|より、この場合k＝10です。
また、Ｑ（√-5）に対応するL(χ,s)は、
見たとおり、次のものです。
LC(s)=(1/1^s + 1/3^s + 1/7^s + 1/9^s - 1/11^s - 1/13^s - 1/17^s - 1/19^s)+･･･
(注意： + - はこの単位で延々とくり返されていきます。)
LC(s)は、mod 20に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 3 or 7 or 9 mod 20-->χ(a)＝1、
a≡11 or 13 or 17 or 19 mod 20 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。このχ(a)の導手NはN＝20です。
さて、このLP(s)のΣχ(a)・a を計算します。Σは、0<a<Nをわたるのですから、次のように簡単に求まります。
Σχ(a)・a ＝1 + 3 + 7 + 9 - 11 - 13 - 17 - 19 ＝-40
さらにQ(√-5)の類数hは、h＝2であることが知られています。
これで、k，h，Σχ(a)・aが求まりましたから、④が確認できます。
左辺＝1/k・Σχ(a)・a ＝1/10・(-40)＝-4
右辺＝-2h＝-2・2＝-4
よって、左辺＝右辺となりましたので、④の正しさが確認できました。
******************************************************************************
虚２次体Q（√-10）を見てみましょう。冒頭の予想L-２から、k ＝2|m|より、この場合k＝20です。
また、Ｑ（√-10）に対応するL(χ,s)は、
見たとおり、次のものです。
LK1(s)＝(1/1^s - 1/3^s + 1/7^s + 1/9^s + 1/11^s + 1/13^s - 1/17^s + 1/19^s
- 1/21^s + 1/23^s - 1/27^s - 1/29^s - 1/31^s - 1/33^s + 1/37^s - 1/39^s ) +・・・・
(注意： + - はこの単位で延々とくり返されていきます。)
LK1(s)は、mod 40に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 7 or 9 or 11 or 13 or 19 or 23 or 37 mod 40 -->χ(a)＝1、
a≡3 or 17 or 21 or 27 or 29 or 31 or 33 or 39 mod 40 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手NはN＝40です。
さて、このLP(s)のΣχ(a)・a を計算します。Σは、0<a<Nをわたるのですから、次のように簡単に求まります。
Σχ(a)・a ＝1 - 3 + 7 + 9 + 11 + 13 -17 + 19 - 21 + 23 - 27 - 29 - 31 - 33 + 37 - 39 ＝-80
さらにQ(√-10)の類数hは、h＝2であることが知られています。
これで、k，h，Σχ(a)・aが求まりましたから、④が確認できます。
左辺＝1/k・Σχ(a)・a ＝1/20・(-80)＝-4
右辺＝-2h＝-2・2＝-4
よって、左辺＝右辺となりましたので、④の正しさが確認できました。
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このように、やはり、［Q(√-1)を除くm＝4n+2 or 4n+3型のＱ（√m）の場合］でもきちんと成立していました。
これらはほんとうに不思議な事実だと思います。
非常に難しい類数 h が、まったく簡単な k と表裏一体となっているという不思議。
その不思議さをあじわうために、再度書いておきましょう。
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