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四つの予想を一つに統合しました。実２次体の類数公式との関係を考察。
中心母等式をフーリエ展開で証明しました。L(χ,s)特殊値が［偶数ゼータの無限和］となることの考察を補足しました。
統合する方が全体の構造が見えやすくなり、すっきりしますので、一つに統合して予想L-４としておきます。
次のようになります。
これまでの多くの検証（「火星」からここまで）から、この予想L-４はまず正しいと考えられます。
ただし、まだ証明はできていませんので、皆さん、果敢に挑戦してください。
①で、（0 < | x | < 2π）とせずに、（0 < x < 2π）としたのは、どちらでも本質的に同じであるからであり、また①を
重回積分-重回微分した全ての式に対しても、（0 < | x | < 2π）は結局（0 < x < 2π）に還元され、同値となることが
いえるからです。（簡単にいうと、①の重回積分-重回微分の結果の左辺をベキ級数展開したものを考えると、それが
いえることがわかります。）
予想中の”分割ゼータ”という言葉ですが、もちろんこれは、これまで”分身”と呼んでいたものです。数学語らしくする
ために「分割ゼータ」と名付けました。
また、予想の後半部分、つまり、
「そして、上の2次体 Q(√m)が虚２次体ならば、それに対応するL(χ,s)の全特殊値が①の偶数回の積分・微分の所と②の奇数回の積分・微分の所に現れる。
また実２次体ならば、それに対応するL(χ,s)の全特殊値が①の奇数回の積分・微分の所と②の偶数回の積分・
微分の所に現れる。」
というこの部分は、
実２次体はｃｏｓ級数から生み出され、虚２次体はｓｉｎ級数から生み出される
という驚くべきことを主張しています。
一つ前の「その１」の＜「ディリクレの類数公式」と「統一的法則性」の関係＞他で、ディリクレの類数公式と私の結果との
間にまたがるたいへん不思議な関係性を見出しました。
ただ、そこでは虚２次体の場合を主に考察しましたので、ここでは実２次体を主に見てみます。
「その１」での結果を少し復習しましょう。
いま Kを実２次体とすると、次の公式が成り立ちます。これを、実２次体のディリクレの類数公式といいます。
L(χ，1)＝h・logε・2/√N -----①
ここで、h はKの類数、L(χ，1)はKに対応したディリクレのＬ関数L(χ,s)のs＝1での特殊値。
ε は実２次体Kの基本単数（ε>1）で、また N は K の導手です。
これら類数や単数のことについては、雑誌「数学のたのしみ No.17」で加藤和也さんがわかりやすく解説してくれて
いますのでそちらを参考にしてください。
冒頭の予想L-４でも示した通り 、２次体の導手Nと私の規則性のk (qπ/k代入のk)との間にはN＝k or N＝2k の関係
があるから①より次のような式が成り立つことを＜「ディリクレの類数公式」と「統一的法則性」の関係＞で見たのでした。
●m＝4n+1型の実２次体の場合
√k・L(χ，1)＝2h・logε -----②
●m＝4n+2 or 4n+3型の実２次体の場合
k・L(χ，1)＝√2・h・logε -----③
以上で復習を終わります。
さて、本(*)を読んでいると、
h＝-｛Σχ(a)log(sin(πa/N))｝/(2logε) -----④
(Σでは、aは0<a<Nをわたる)
という関係式も実２次体のディリクレの類数公式と呼ばれるものであることがわかってきました。
h は実２次体K の類数、ε はK の基本単数（ε>1）で、また N はK の 導手。χ(a)は K のディリクレ指標です。
そして、④は「その１」の＜「ディリクレの類数公式」と「統一的法則性」の関係 その２＞で見た次の虚２次体のものに
対応しているといえます。
h＝-w/(2N)・Σχ(a)・a -----⑤
(Σでは、aは0<a<Nをわたる)
いま、m＝4n+1型の実2次体の場合N＝k、m＝4n+2 or 4n+3型の実2次体の場合 N＝2k であるから、
④は、次のように表せます。
2h・logε＝-Σχ(a)log(sin(πa/k)) -----⑤
(Σでは、aは0<a<Nをわたる)
●m＝4n+2 or 4n+3型の実２次体の場合
2h・logε＝-Σχ(a)log(sin(πa/2k)) -----⑥
(Σでは、aは0<a<Nをわたる)
これらは②、③それぞれの別表現となっています。
この⑤、⑥も「その１」での虚2次体の場合と同様、じつに意味深い式です。
つまり、これは解析世界の k がχ（a）とからまれば代数世界の h と ε に化ける、ということを表しているからです。
（ｋは予想L-４中のqπ/k代入の ｋ であり、それにより出現する２次体の類数、基本単数がそれぞれh と ε です。）
そして、ここでも、ディリクレ指標χ（a)つまりゼータは、解析世界と代数世界をつなぐ橋の役割を果たしていることが
わかるでしょう。
厳密には冒頭の予想L-４が正しければ⑤、⑥は正しいといえるものですのでまだ予想の式といえますが、予想L-４は、
まず間違いなく正しいだろうと思えるものですので、⑤、⑥は正しいと考えられます。
⑤、⑥を実２次体の場合の大切な式としてまとめておきましょう。
（*）「数論入門」（山本芳彦著、岩波書店）
”予想”参照）。ここでは、②をフーリエ展開の理論を用いて証明しておきます。 cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----① （0 < x < 2π）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -------②
（0 < x < 2π）
すでに、これらの初等的な証明は済んでいます。
①のそれは、「ゼータ関数のいくつかの点について その１３」の＜高校生でもできる初等的証明＞で示し、また②は、
「天王星 その５」の＜-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + ・・の初等的証明＞で示しました。
ただ①、②ともに左辺の関数（-1/2も関数！）のフーリエ展開級数と考えられますので、フーリエ級数の公式を用いても
やはり証明しておきたいところです。
そこで、簡単な②の方だけをフーリエで示します。
（①はやや複雑ですが、方針は全く同様ですので皆さん挑戦してみてください。）
［証明］
まず、フーリエ級数の定義を書きます（*）。
**********************************************************************************
C と L>0 が定数であるとして、区間 C <= x <= C+2L で定義される関数f（x）に対応するフーリエ級数は、
f（x）=a0/2 + Σ｛an・cos(nπx/L) + bn・sin(nπx/L)｝ ----------③
(n=1～∞)
ここで、an＝1/L・∫(c～c+L) f(x)・cos(nπx/L)dx， bn＝1/L・∫(c～c+L) f(x)・sin(nπx/L)dx
**********************************************************************************
上を使って次式を証明する。
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -------②
（0 < x < 2π）
いまf(x)＝-1/2，C＝0，L＝πとおける。εを小さい正の数とする。
さて、まずbn から計算しよう。
b1 ＝1/π・∫(ε～2π-ε) (-1/2)sinxdx
＝-1/2π・∫(ε～2π-ε) sinxdx
＝-1/2π・[-cosx](2π-ε，ε)
＝1/2π・[cosx](2π-ε，ε)
＝1/2π・｛cos(2π-ε)－cosε｝
＝1/2π・｛cos2π・cosε+sin2π・sinε－cosε｝
＝0
b2 ＝1/π・∫(ε～2π-ε) (-1/2)sin2xdx
＝-1/2π・∫(ε～2π-ε) sin2xdx
＝-1/2π・[-1/2・cos2x](2π-ε，ε)
＝1/4π・[cos2x](2π-ε，ε)
＝1/4π・｛cos2(2π-ε)－cos2ε｝
＝1/4π・｛cos4π・cos2ε+sin4π・sin2ε－cos2ε｝
＝0
・
・
・
と、このようにn＝0，1，2，3・・・のｎに対応する全てのbn が0になる。bn ＝0 である。まず、bn の方が求まった。
次にan を求める。
a0 ＝1/π・∫(ε～2π-ε) (-1/2)cos0dx
＝-1/2π・∫(ε～2π-ε) 1dx
＝-1/2π・[x](2π-ε，ε)
＝-1/2π・｛2π-2ε｝
＝-1+ε/π
a1 ＝1/π・∫(ε～2π-ε) (-1/2)cosxdx
＝-1/2π・∫(ε～2π-ε) cosxdx
＝-1/2π・[sinx](2π-ε，ε)
＝-1/2π・｛sin(2π-ε)－sinε｝
＝-1/2π・｛sin2π・cosε-cos2π・sinε－sinε｝
＝-1/2π・(－2sinε)
＝1/π・sinε
a2 ＝1/π・∫(ε～2π-ε) (-1/2)cos2xdx
＝-1/2π・∫(ε～2π-ε) cos2xdx
＝-1/2π・[1/2・sin2x](2π-ε，ε)
＝-1/4π・[sin2x](2π-ε，ε)
＝-1/4π・｛sin2(2π-ε)－sin2ε｝
＝-1/4π・｛sin4π・cos2ε-cos4π・sin2ε－sin2ε｝
＝-1/4π・(－2sin2ε)
＝1/2π・sin2ε
・
・
・
と、このようにn＝0，1，2，3・・・のｎに対応する全てのan が求まっていく。一般的に書けば、次のようになる。
an ＝1/nπ・sin(nε)
以上より、f(x)＝-1/2より、③式は次のようになる（εは小さい正の数）。
-1/2＝(-1+ε/π)/2 + 1/π・sinε・cosx + 1/2π・sin2ε・cos2x + 1/3π・sin3ε・cos3x + ・・・
よって、
-ε/2π＝ 1/π・sinε・cosx + 1/2π・sin2ε・cos2x + 1/3π・sin3ε・cos3x + ・・・
両辺をπ/εをかけると、次のようになる。
-1/2＝sinε/ε・cosx + sin2ε/2ε・cos2x + sin3ε/3ε・cos3x + ・・・
ここで、小さな正の数εを0に近づけると、sinε/ε も sin2ε/2ε も sin3ε/3ε も・・・も全て1に収束していくから、
結局、ε-->0で、次が成り立つ。
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + ・・・
よって、②が成り立つことが言えた。
［証明終わり］
この証明で大事なことは、積分は広義積分として計算する、ということです。つまり、0～2πの範囲での定積分は、
ε～2π-εでまず計算し（ε>0）、そして最後にε-->0の極限をとるのです。「ゼータ関数のいくつかの点について」以来、
ゼータの究極の美と調和を成立させているのは、広義積分によっているのでありました。
（ところどころ「調和が乱れているのか？」と一瞬ドキッとするような局面でも、広義積分を実行すればすべてがうまく
いくのでした。）
(*)「マグロウヒル数学公式・数表ハンドブック」(Murray R. Spiegel著、氏家勝巳訳、オーム社)
私は、「火星 その１」のπ/2代入で、
「・・すなわち、ζ(2n+1)もL(2n)もまた後から出てくる様々なディリクレのL関数の特殊値（明示的に求まら
ない場合）もすべて［偶数ゼータの無限和］という形で表現できることがわかるのです。」
と指摘していました。
ここで、一つうっかりしていることに気付きました。
「ζ(2n+1)もL(2n)も・・」はもちろん正しいです。しかし後半部分の「様々なディリクレのL関数の・・」はこれまでの
結果（「火星」からここまで）から、そんなに簡単にいえることではないとハタと気付きました。
どういうことかというと、例えば、すぐ下で見る2π/7代入の場合一つだけをいくら眺めても、分身たちから構成された
L(χ,s)特殊値が、はたして「偶数ゼータの無限和」になるかどうかなどまったくわからないということです。
ところが、ゼータの世界は、全くうまくできていることがわかりました！
いくつかの具体例で詳しく調べたのですが、ゼータの世界は素晴らしい秩序が存在しており、じつは後半部分も正しい
といえるようなのです。（厳密な証明はできていませんが）
つまり、
「２次体に対応する全ての非明示な場合のL(χ,s)特殊値は、偶数ゼータの無限和で表現できる」
ということがたしかに成り立っているようなのですが、ここでは、調べた具体例を一つあげてその内在されている
秩序を確めましょう。
qπ/7代入の場合を例にとって示します。（「天王星 その７」での2qπ/7代入の場合を利用する）
2qπ/7代入の中でも、2π/7，4π/7，6π/7代入の場合を抜き出すと、以下のようになります。
*************************************************************************************
［2π/7代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、2π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
-｛B・(1 - 1/6^2 + 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 - 1/27^2 +・・・)
+ C・(1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 - 1/26^2 +・・・)
+ A・(1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 - 1/25^2 +・・・)｝
＝∫(0～2π/7) log(2sin(x/2))
ここでA＝sin(π/7)、B＝sin(2π/7)、C＝sin(3π/7)です。（以下のすべてのqπ/7でも同様）
*************************************************************************************
［4π/7代入］
①の２回積分の結果に、4π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
-｛C・(1 - 1/6^2 + 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 - 1/27^2 +・・・)
+ A・(-1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 + 1/26^2 +・・・)
+ B・(-1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 + 1/25^2 +・・・)｝
＝∫(0～4π/7) log(2sin(x/2))
*************************************************************************************
［6π/7代入］
①の２回積分の結果に、6π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
-｛A・(1 - 1/6^2 + 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 - 1/27^2 +・・・)
+ B・(-1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 + 1/26^2 +・・・)
+ C・(1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 - 1/25^2 +・・・)｝
＝∫(0～6π/7) log(2sin(x/2))
*************************************************************************************
上のままでは、考察しにくいので、いま
X＝1 - 1/6^2 + 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 - 1/27^2 +・・・
Y＝1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 - 1/26^2 +・・・
Z＝1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 - 1/25^2 +・・・
とおきましょう。
すると、上は次のように簡潔に書けます。
*************************************************************************************
［2π/7代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、2π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
- B・X - C・Y - A・Z＝∫(0～2π/7) log(2sin(x/2)) -----②
ここでA＝sin(π/7)、B＝sin(2π/7)、C＝sin(3π/7)です。（以下のすべてのqπ/7でも同様）
*************************************************************************************
［4π/7代入］
①の２回積分の結果に、4π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
-C・X + A・Y + B・Z＝∫(0～4π/7) log(2sin(x/2)) -----③
*************************************************************************************
［6π/7代入］
①の２回積分の結果に、6π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
-A・X + B・Y - C・Z＝∫(0～6π/7) log(2sin(x/2)) -----③
*************************************************************************************
さて、準備はとといのました。
②、③、④をX，Y，Zに関する連立方程式と見ると、独立な方程式が三つありますから、
これから、X＝・・， Y＝・・， Z＝・・ と解くことができます（実際に、求めてみてください。）
X＝・・， Y＝・・， Z＝・・ の右辺を見れば、それぞれ［偶数ゼータの無限和］となることは「火星 その１」のπ/2代入
の考察を適用すれば容易にわかります。
分身たちX，Y，Zが求まれば、それからL(χ,s)の一種Lp(s)の特殊値を構成できることは、「天王星 その７」で示した
通りですから、ここでは復習しません。（冒頭では、”分身たち”を、分割ゼータと名付けました。）
XもYもZも［偶数ゼータの無限和］となるのだから、それから構成されるL(χ,s)特殊値Lp(s)も［偶数ゼータの無限和］
となることがわかるのです。
いまは、2qπ/7代入の場合を調べましたが、これは、(2q+1)π/7代入の場合でも、まったく同様です。
このように、非常にうまい具合になっているのです。
ここでは、qπ/7代入の場合のL（χ,s）を見ましたが、qπ/5代入やqπ/14代入でも同様に成り立っていますので、
ゼータの世界は美しい構造になっているんだなあと思われることでしょう。
このように、いまはいくつかの具体例しか見ていませんが、他の全ての場合でもこのようになっていることは確実と
考えられます。
私が「火星 その１」のπ/2代入で、
「・・すなわち、ζ(2n+1)もL(2n)もまた後から出てくる様々なディリクレのL関数の特殊値（明示的に求まら
ない場合）もすべて［偶数ゼータの無限和］という形で表現できることがわかるのです。」
と指摘したことに関しては、「やはりたしかにそう言えるのだ」と思います。
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