海王星 その７
次に、[4n+2，4n+3]型の実２次体を調べます。興味深い規則性「予想M2」と「予想M3」を見出しました。
2004/12/31 ＜[4n+2，4n+3]型実２次体＞
それでは、いよいよ最後の[4n+2，4n+3]型実２次体を調べましょう。
「まとめ表」をもう一度書いておきます。ここでは［D］を検討しようとしているわけです。
まとめ表
| [4n+1]型2次体Q（√m） |
［A］虚2次体
---------------------------
［B］実2次体 |
| [4n+2, 4n+3]型2次体Q（√m） |
［C］虚2次体
---------------------------
［D］実2次体 |
2004/12/31 ＜[4n+2，4n+3]型実２次体の場合［D］を調べる＞
では、［D］を調べていきます。
[D]では[4n+2，4n+3]型実２次体Q(√m)の場合ですが、ここでもmが「素数の場合」と「素数以外の場合」に
分けて調べます。（規則性を見るのは、その方がなにかと都合がよいのです）
はじめに具体例で、分割ゼータの個数の割り出し方の見当をつけます。まずmが「素数の場合」から。
2004/12/28
●mが「素数の場合」
実２次体Ｑ（√m）のmが素数の場合ですから（m>0）、例えば、m＝11の（√11）を考えましょう。
それの予想L-４の確認は「木星 その２」の π/22代入でやりましたので（「予想Ｌ－４」と言っていますが同じこと）、
そちらを見てください。
この[4n+2，4n+3]型の場合は（m>0のＱ（√m）の”m”が「4n+2 or 4n+3」かという場合）、qπ/k代入のkは
k＝2|m|の関係があるので、このQ（√11）の場合は、k＝2×11＝22で、π/22代入に対応しているのでした。
そこを見ると、３回積分のところに、L(χ,s)ゼータ本体の分身たち、すなわち分割ゼータが現れていることがわか
ります。５個現れている。
その π/22代入での考察より（単位円を考えれば）、この場合の分割ゼータの個数Zの計算は次のようになる。
**********************************************
分割ゼータの個数をZとすると、m＝11の場合、つまりQ(√11)の場合は厳密にやれば次のようになる。
まずk＝2|m|より、k＝22である（π/22代入となる）。
よって、出現する級数は全部で(22-1)/2＝10個となる。
22＝2×11であり、2と11にも着目する。
これから分割ゼータの個数Zは、
Z＝10-10/2-10/11＝10-5-0＝5
と求まる。
つまり、10個の級数たちから、5個の外分割ゼータを除いて、5個の分割ゼータを求めている。
**********************************************
しかし、これは結局、形式的に次のように計算しても同じことです。
**********************************************
分割ゼータの個数をZとすると、m＝11の場合、つまりQ(√11)の場合は次のようになる。
Z＝10-10/2＝10-5＝5 ------①
と求まる。
**********************************************
よって、以下では簡単なこの①の方を用いていきます。
求めた分割ゼータの個数Zが偶数のときは”グ”、奇数のときは”キ”と書くことにします。
また念のため、類数ｈにも”グ”、”キ”を記しました。
では、調べてみましょう。これまで同様、｜m｜=500付近まで検討しました。
［4n+2，4n+3]型実2次体Q(√m)のmが「素数の場合」(計算には”約束”を用いた 例：5/2＝2 )
Q(√7)
Z＝7-7/2＝3キ、 またh＝1キ
|
Q(√10)
Z＝10-10/2＝5キ、 またh＝1キ
|
Q(√19)
Z＝18-18/2＝9キ、 またh＝1キ
|
Q(√23)
Z＝22-22/2＝11キ、 またh＝1キ
|
Q(√31)
Z＝30-30/2＝15キ、 またh＝1キ
|
Q(√43)
Z＝42-42/2＝21キ、 またh＝1キ
|
Q(√47)
Z＝46-46/2＝23キ、 またh＝1キ
|
Q(√59)
Z＝58-58/2＝29キ、 またh＝1キ
|
Q(√67)
Z＝66-66/2＝33キ、 またh＝1キ
|
Q(√79)
Z＝78-78/2＝39キ、 またh＝3キ
|
Q(√83)
Z＝82-82/2＝41キ、 またh＝1キ
|
Q(√103)
Z＝102-102/2＝51キ、 またh＝1キ
|
Q(√107)
Z＝106-106/2＝53キ、 またh＝1キ
|
Q(√127)
Z＝126-126/2＝63キ、 またh＝1キ
|
Q(√131)
Z＝130-130/2＝65キ、 またh＝1キ
|
Q(√139)
Z＝138-138/2＝69キ、 またh＝1キ
|
Q(√151)
Z＝150-150/2＝75キ、 またh＝1キ
|
Q(√163)
Z＝162-162/2＝81キ、 またh＝1キ
|
Q(√167)
Z＝166-166/2＝83キ、 またh＝1キ
|
Q(√179)
Z＝178-178/2＝89キ、 またh＝1キ
|
Q(√191)
Z＝190-190/2＝95キ、 またh＝1キ
|
Q(√199)
Z＝198-198/2＝99キ、 またh＝1キ
|
Q(√211)
Z＝210-210/2＝95キ、 またh＝1キ
|
Q(√223)
Z＝222-222/2＝111キ、 またh＝3キ
|
Q(√227)
Z＝226-226/2＝113キ、 またh＝1キ
|
Q(√239)
Z＝238-238/2＝119キ、 またh＝1キ
|
Q(√251)
Z＝250-250/2＝125キ、 またh＝1キ
|
Q(√263)
Z＝262-262/2＝131キ、 またh＝1キ
|
Q(√271)
Z＝270-270/2＝135キ、 またh＝1キ
|
Q(√283)
Z＝282-282/2＝141キ、 またh＝1キ
|
Q(√307)
Z＝306-306/2＝135キ、 またh＝1キ
|
Q(√311)
Z＝310-310/2＝155キ、 またh＝1キ
|
Q(√331)
Z＝330-330/2＝165キ、 またh＝1キ
|
Q(√347)
Z＝346-346/2＝173キ、 またh＝1キ
|
Q(√359)
Z＝358-358/2＝179キ、 またh＝3キ
|
Q(√367)
Z＝366-366/2＝183キ、 またh＝1キ
|
Q(√379)
Z＝378-378/2＝189キ、 またh＝1キ
|
Q(√383)
Z＝382-382/2＝191キ、 またh＝3キ
|
Q(√419)
Z＝418-418/2＝209キ、 またh＝1キ
|
Q(√431)
Z＝430-430/2＝215キ、 またh＝1キ
|
Q(√439)
Z＝438-438/2＝219キ、 またh＝5キ
|
Q(√443)
Z＝442-442/2＝221キ、 またh＝3キ
|
Q(√463)
Z＝462-462/2＝231キ、 またh＝1キ
|
Q(√467)
Z＝466-466/2＝233キ、 またh＝1キ
|
Q(√479)
Z＝478-478/2＝239キ、 またh＝1キ
|
Q(√487)
Z＝486-486/2＝243キ、 またh＝1キ
|
Q(√491)
Z＝490-490/2＝245キ、 またh＝1キ
|
Q(√499)
Z＝498-498/2＝249キ、 またh＝5キ
|
ここでは、分割ゼータの個数Zも類数hもともに、調べた範囲内ですべて奇数（”キ”とした）となっています。
”グ”（偶数）は一つもなし。[4n+1]型の虚２次体の場合と反対の結果です。
この関係を見ていても、分割ゼータの個数（Z）と２次体の類数（h）の間にはなんらかの関係があるのではないか
と思うのですが、いまはよくわかりません。
さらに、次の［素数以外］の場合のある興味深い発見から、その発見の事実がじつはこの［素数］の場合にまで
伸びてきているようなのですが、詳しくは［素数以外］の場合を解説した後述べます。
さて、次に調べるのは、もちろんmが素数以外の場合です。それを見ましょう。
●mが「素数以外の場合」
この場合、実２次体Ｑ（√m）のmが素数以外の場合ですから（m>0）、例えば、m＝10のQ（√10）を考えましょう。
これに関する予想L－４の確認は、「火星 その９」の π/20代入でやりましたので（「予想」と言っていますが同じこと）、
そちらを見てください。
そこを見ると、３回積分のところに、L(χ,s)ゼータ本体の分身たち、すなわち分割ゼータが現れていることが
わかります。４個現れている。
この[4n+2，4n+3]型の場合は（m>0のＱ（√m）の”m”が4n+2 or 4n+3かという場合）、qπ/k代入のkは
k＝2|m|の関係があるので、このQ（√10）の場合は、k＝2×10＝20で、π/20代入に対応します。
「火星 その９」の π/20代入での考察より（単位円を考えれば）、この場合の分割ゼータの個数Z(この場合の ４個)の
は次のように計算されます。
**********************************************
分割ゼータの個数をZとすると、m＝10の場合、つまりQ(√10)の場合は厳密にやれば次のようになる。
まずk＝2|m|より、k＝20である（π/20代入となる）。
よって、出現する級数は全部で(20-1)/2＝19/2＝9個となる。
20＝2×2×5であり、2と5にも着目する。
これから分割ゼータの個数Zは、
Z＝9-9/2-9/5＝9-4-1＝4
と求まる。
つまり、9個の級数たちから、5個の外分割ゼータを除いて、4個の分割ゼータを求めている。
**********************************************
しかし、結局、形式的に次のように計算しても同じことです。
**********************************************
分割ゼータの個数をZとすると、Q(√10)の場合は次のようになる。
Z＝9-9/2-9/5＝9-4-1＝4 ＝4 ------①
と求まる。
**********************************************
注意：上では、”m” が [4n+2]の場合を見ましたが、[4n+3]の場合でも本質的に同じです。
以下ではこの①の方を用いていきます。
求めた分割ゼータの個数Zが偶数のときは”グ”、奇数のときは”キ”と書くことにします。
また念のため、類数ｈにも”グ”、”キ”を記しました。
ここでは複雑化を避けるため外分割ゼータの個数は省略し、分割ゼータの個数（Z）だけを記しました。（ただし、
Zの求め方は、Z＝[全ての級数の個数]-[外分割ゼータの個数]ですから、式を見れば外分割ゼータの出方は
わかるようになっています。）
では、調べてみましょう。これまでと同様、｜m｜=500付近まで検討しました。
［4n+2，4n+3]型実2次体Q(√m)のmが「素数以外の場合」(計算には”約束”を用いた 例：5/2＝2 )
Q(√6) 6=2×3
よって、Z＝5-5/2-5/3＝5-2-1＝2グ
またh＝1キ |
Q(√10) 10=2×5
よって、Z＝9-9/2-9/5＝9-4-1＝4グ
またh＝2グ |
Q(√14) 14=2×7
よって、Z＝13-13/2-13/7＝13-6-1＝6グ
またh＝1キ |
Q(√15) 15=3×5
Z＝14-14/2-14/3-14/5+(14/6+14/10)
＝14-7-4-2+(2+1)＝4グ
またh＝2グ |
Q(√22) 22=2×11
よって、Z＝21-21/2-21/11＝21-10-1＝10グ
またh＝1キ |
Q(√26) 26=2×13
よって、Z＝25-25/2-25/13＝25-12-1＝12グ
またh＝2グ |
Q(√30) 30=2×3×5
Z＝29-29/2-29/3-29/5+(29/6+29/15+29/10)
＝29-14-9-5+(4+1+2)＝8グ
またh＝2グ |
Q(√34) 34=2×17
よって、Z＝33-33/2-33/17＝33-16-1＝16グ
またh＝2グ |
Q(√35) 35=5×7
Z＝34-34/2-34/5-34/7+(34/10+34/14)
＝34-17-6-4+(3+2)＝12グ
またh＝2グ |
Q(√38) 38=2×19
よって、Z＝37-37/2-37/19＝37-18-1＝18グ
またh＝1キ |
ここで止め！
|
|
m=500付近までいくつもりが、ここで止めた理由をおわかりでしょう。
「その６」と同様に、Zとhは表のとおりバラバラで統一的な奇偶の規則性は見えません。
ところが、・・・・なんと、ここでも、この後に面白い規則性が隠れていることがわかったのです！
上では、分割ゼータの個数Zに注目していたのですが、この場合は外分割ゼータの種類の個数（KExZ）に注目し
ないといけなかったのです！
（いまQ（√m）のmの素因数分解の因数（2を除く）の個数を「外分割ゼータの種類」と呼び、その数をKExZと
しました。Kind of External Zの略と思ってください。）
なお、「その６」で発見した規則性は、外分割ゼータの個数（ExZ）の奇偶に着目した規則でしたが、今度は種類の
個数に着目です。
規則性とは、次のようなものです。
発見した規則性（予想M2）
［4n+2，4n+3]型実2次体Q(√m)についてmを素因数分解したとき、mの素因数(2を除く)の個数が
N個ならば類数はN以上の値をとる。
まだ予想でしかありませんので、予想M2と名付けました。
具体例で見てみましょう。上表の青字のQ(√30)とQ(√35)を見てください。
Q(√30)では、30=2×3×5であり、この素因数から2を除くと3と5二つだけとなります。
よって、予想M2から類数は2以上となるはずですが、h=2であり、予想は成り立っています。
Q(√35)では、35=5×7であり、素因数は二つである。
よって、予想M2から、類数（h）は2以上となるはずですがh=2であり、ここでも予想は成り立っている。
上表の他のものも全部成り立っていることを確認ください。
どうですか？簡単な面白い予想でしょう？
外分割ゼータの種類（Q(√m)のmの素因数）が2次体の類数に影響を与えているようなのです。
とても不思議です。
上ではわずかなサンプルしか見ていませんが、m=500付近まで調べても全部、上の予想の通りとなって
いるのです！
その様子を、最初から示すことにします。
ここでは、外分割ゼータの種類（KExZ）だけが興味の対象なので、分割ゼータの個数Zはとくに出しません。
では、外分割ゼータの種類（KExZ）と類数（h）との関連を見ていきましょう。
上の予想M2の通りになっていれば○を、もし破綻していれば×を記していきます。
はたして、m＝500まですべて○となっているのでしょうか？（素因数は”2”を除くものを数えた個数です）
［4n+2，4n+3]型実2次体Q(√m)のmが「素数以外の場合」
Q(√6) 6=2×3 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√10) 10=2×5 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√14) 14=2×7 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√15) 15=3×5 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√22) 22=2×11 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√26) 26=2×13 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√30) 30=2×3×5 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√34) 34=2×17 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√35) 35=5×7 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√38) 38=2×19 素因数1個
h＝1 ○ |
Q(√39) 39=3×13 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√42) 42=2×3×7 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√46) 46=2×23 素因数1個
h＝1 ○ |
Q(√51) 51=3×17 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√55) 55=5×11 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√58) 58=2×29 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√62) 62=2×31 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√66) 66=2×3×11 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√70) 70=2×5×7 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√74) 74=2×37 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√78) 78=2×3×13 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√82) 82=2×41 素因数1個
h＝4 ○ |
Q(√86) 86=2×43 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√87) 87=3×29 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√91) 91=7×13 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√94) 86=2×47 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√95) 95=5×19 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√102) 102=2×3×17 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√106) 106=2×53 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√110) 78=2×5×11 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√111) 111=3×37 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√114) 78=2×3×19 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√115) 115=5×23 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√118) 106=2×59 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√119) 119=7×17 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√122) 122=2×61 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√123) 123=3×41 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√130) 130=2×5×13 素因数２個
h＝4 ○ |
Q(√134) 134=2×67 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√138) 138=2×3×23 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√142) 142=2×71 素因数１個
h＝3 ○ |
Q(√143) 143=11×13 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√146) 146=2×73 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√154) 154=2×7×11 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√155) 155=5×31 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√158) 158=2×79 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√159) 159=3×53 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√166) 166=2×83 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√170) 170=2×5×17 素因数２個
h＝4 ○ |
Q(√174) 174=2×3×29 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√178) 178=2×89 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√182) 182=2×7×13 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√183) 183=3×61 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√186) 186=2×3×31 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√187) 187=11×17 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√190) 190=2×5×19 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√194) 194=2×97 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√195) 195=3×5×13 素因数３個
h＝4 ○ |
Q(√202) 202=2×101 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√203) 203=7×29 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√206) 206=2×103 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√210) 210=2×3×5×7 素因数３個
h＝4 ○ |
Q(√214) 214=2×107 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√215) 215=5×43 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√218) 218=2×109 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√219) 219=3×73 素因数２個
h＝4 ○ |
Q(√222) 222=2×3×37 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√226) 226=2×113 素因数１個
h＝8 ○ |
Q(√230) 230=2×5×23 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√231) 231=3×7×11 素因数３個
h＝4 ○ |
Q(√235) 235=5×47 素因数２個
h＝6 ○ |
Q(√238) 238=2×7×17 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√246) 246=2×3×41 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√247) 247=13×19 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√254) 254=2×127 素因数１個
h＝3 ○ |
Q(√255) 255=3×5×17 素因数３個
h＝4 ○ |
Q(√258) 258=2×3×43 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√259) 259=7×39 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√262) 262=2×131 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√266) 266=2×7×19 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√267) 267=3×89 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√274) 274=2×137 素因数１個
h＝4 ○ |
Q(√278) 278=2×139 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√282) 266=2×3×47 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√286) 286=2×11×13 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√287) 287=7×41 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√290) 290=2×5×29 素因数２個
h＝4 ○ |
Q(√291) 291=3×97 素因数２個
h＝4 ○ |
Q(√295) 295=5×59 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√298) 298=2×149 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√299) 299=13×23 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√302) 302=2×151 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√303) 303=3×101 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√310) 310=2×5×31 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√314) 314=2×157 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√318) 318=2×3×53 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√319) 319=11×29 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√322) 322=2×7×23 素因数２個
h＝4 ○ |
Q(√323) 323=17×19 素因数２個
h＝4 ○ |
Q(√326) 326=2×163 素因数１個
h＝3 ○ |
Q(√327) 327=3×109 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√330) 330=2×3×5×11 素因数３個
h＝4 ○ |
Q(√334) 334=2×167 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√335) 335=5×67 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√339) 339=3×113 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√346) 346=2×173 素因数１個
h＝6 ○ |
Q(√354) 354=2×3×59 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√355) 355=5×71 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√358) 358=2×179 素因数1個
h＝1 ○ |
Q(√362) 362=2×181 素因数1個
h＝2 ○ |
Q(√366) 366=2×3×61 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√370) 370=2×5×37 素因数２個
h＝4 ○ |
Q(√371) 371=7×53 素因数２個
h＝2 ○ |
途中に左追加。よってここは無し。 |
Q(√374) 374=2×11×17 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√382) 382=2×191 素因数１個
h＝1 ○ |
Q(√386) 386=2×193 素因数1個
h＝2 ○ |
Q(√390) 390=2×3×5×13 素因数３個
h＝4 ○ |
Q(√391) 391=17×23 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√394) 394=2×197 素因数１個
h＝2 ○ |
Q(√395) 395=5×79 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√398) 398=2×199 素因数1個
h＝1 ○ |
Q(√399) 399=3×7×19 素因数３個
h＝8 ○ |
Q(√402) 402=2×3×67 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√403) 403=13×31 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√406) 406=2×7×29 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√407) 407=11×37 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√410) 410=2×5×41 素因数２個
h＝4 ○ |
Q(√411) 411=3×137 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√415) 415=5×83 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√418) 418=2×11×19 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√422） 422=2×211 素因数1個
h＝1 ○ |
Q(√426) 426=2×3×71 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√427) 427=7×61 素因数２個
h＝6 ○ |
Q(√430) 430=2×5×43 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√434) 434=2×7×31 素因数２個
h＝4 ○ |
Q(√435) 435=3×5×29 素因数３個
h＝4 ○ |
Q(√438) 438=2×3×73 素因数２個
h＝4 ○ |
Q(√442) 442=2×13×17 素因数２個
h＝8 ○ |
Q(√446） 446=2×223 素因数1個
h＝1 ○ |
Q(√447) 447=3×149 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√451) 451=11×41 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√454） 454=2×227 素因数1個
h＝1 ○ |
Q(√455) 455=5×7×13 素因数３個
h＝4 ○ |
Q(√458） 458=2×229 素因数1個
h＝2 ○ |
Q(√462) 462=2×3×7×11 素因数３個
h＝4 ○ |
Q(√466） 466=2×233 素因数1個
h＝2 ○ |
Q(√470) 470=2×5×47 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√471) 471=3×157 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√474) 474=2×3×79 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√478） 478=2×239 素因数1個
h＝1 ○ |
Q(√482） 482=2×241 素因数1個
h＝2 ○ |
Q(√483) 483=3×7×23 素因数３個
h＝4 ○ |
Q(√494) 494=2×13×19 素因数２個
h＝2 ○ |
Q(√498) 498=2×3×83 素因数２個
h＝2 ○ |
|
以上、きれいに○が並びました。（×は一つもなし）
これだけ多くを調べても、予想Ｍ2が成り立っている。予想の面白さを味わってください。
もちろんまだ証明はできていないので、すべてのmで成立するかどうかはわかりません。あくまでも予想です。
はたして、どこまでも正しいのでしょうか？
さて、これで終わりか・・と思っていたのですが、よく観察すると、上表の中に別の驚くべき規則性がひそんでいた
のです！ その規則性とは、次のようなものです。予想M3と名付けました。
発見した規則性（予想M3）
［4n+2，4n+3]型実2次体Q(√m)についてmを素因数分解する。そのとき次が成り立つ。（nは整数）
［Ⅰ］素因数(2を除く)の個数が1個の場合、
その素因数が4n+3ならば、類数hは奇数となる。h=1，3，5，7，・・・
その素因数が4n+1ならば、類数hは偶数となる。h=2，4，6，8，・・・
［Ⅱ］素因数(2を除く)の個数が2個以上の場合、類数hは偶数となる。h=2，4，6，8，・・・
この予想の意味は簡単です。上表から、例をとってみてみましょう。
例えばQ(√358)では、358=2×179で素因数１個ですから、［Ⅰ］の場合に当たり、
179=4×44+3で179は［4n+3］型ですので、予想から「類数hは奇数となるはず！」となりますが、上表の通り
Q(√358)の類数hはh=1で、OKです。
また例えばQ(√482）では、482=2×241で素因数１個ですから、これも［Ⅰ］の場合に当たり、482=2×241で
241=4×60+1であり［4n+1］型ですので、予想から「類数hは偶数となるはず！」となりますが上表の通りQ(√482）
の類数hはh=2で、OKです。
さらにまた例えばQ(√498)では、498=2×3×83で素因数２個ですから、これは［Ⅱ］の場合に当たるので予想
から「類数hは偶数となるはず！」となりますが、上表の通りQ(√498)の類数hはh=2の偶数で、OKです。
この予想M3はゼータの秩序がにじみ出てきているような感じの予想であり、ややばくぜんとした予想M2と比べて、
まずどこまでも正しいだろうと思ってしまいます。
この予想M3を、上での表からピックアップして、しっかりと確認しておきましょう。
まず［Ⅰ］からいきます。
予想M3の通りになっていれば○を、もし破綻していれば×を記していきます。
例えば表中の「Q(√6) 6=2×3 ［4n+3］ h＝1 ○」は、素因数3が4n+3で、且つh＝1となっている。これは
予想M3の通り！○であることを意味しています。
予想M3の［Ⅰ］の確認
| Q(√6) 6=2×3 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√10) 10=2×5 ［4n+1］ h＝2 ○ |
| Q(√14) 14=2×7 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√22) 22=2×11 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√26) 26=2×13 ［4n+1］ h＝2 ○ |
Q(√34) 34=2×17 ［4n+1］ h＝2 ○ |
| Q(√38) 38=2×19 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√46) 46=2×23 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√58) 58=2×29 ［4n+1］ h＝2 ○ |
Q(√62) 62=2×31 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√74) 74=2×37 ［4n+1］ h＝2 ○ |
Q(√82) 82=2×41 ［4n+1］ h＝4 ○ |
| Q(√86) 86=2×43 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√94) 86=2×47 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√106) 106=2×53 ［4n+1］ h＝2 ○ |
Q(√118) 106=2×59 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√122) 122=2×61 ［4n+1］ h＝2 ○ |
Q(√134) 134=2×67 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√142) 142=2×71 ［4n+3］ h＝3 ○ |
Q(√146) 146=2×73 ［4n+1］ h＝2 ○ |
| Q(√158) 158=2×79 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√166) 166=2×83 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√178) 178=2×89 ［4n+1］ h＝2 ○ |
Q(√194) 194=2×97 ［4n+1］ h＝2 ○ |
| Q(√202) 202=2×101 ［4n+1］ h＝2 ○ |
Q(√206) 206=2×103 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√214) 214=2×107 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√218) 218=2×109 ［4n+1］ h＝2 ○ |
| Q(√226) 226=2×113 ［4n+1］ h＝8 ○ |
Q(√254) 254=2×127 ［4n+3］ h＝3 ○ |
| Q(√262) 262=2×131 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√274) 274=2×137 ［4n+1］ h＝4 ○ |
| Q(√278) 278=2×139 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√298) 298=2×149 ［4n+1］ h＝2 ○ |
| Q(√302) 302=2×151 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√314) 314=2×157 ［4n+1］ h＝2 ○ |
| Q(√326) 326=2×163 ［4n+3］ h＝3 ○ |
Q(√334) 334=2×167 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√346) 346=2×173 ［4n+1］ h＝6 ○ |
Q(√358) 358=2×179 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√362) 362=2×181 ［4n+1］ h＝2 ○ |
Q(√382) 382=2×191 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√386) 386=2×193 ［4n+1］ h＝2 ○ |
Q(√394) 394=2×197 ［4n+1］ h＝2 ○ |
| Q(√398) 398=2×199 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√422） 422=2×211 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√446） 446=2×223 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√454） 454=2×227 ［4n+3］ h＝1 ○ |
| Q(√458） 458=2×229 ［4n+1］ h＝2 ○ |
Q(√466） 466=2×233 ［4n+1］ h＝2 ○ |
| Q(√478） 478=2×239 ［4n+3］ h＝1 ○ |
Q(√482） 482=2×241 ［4n+1］ h＝2 ○ |
以上、すべて○です。
予想M3の［Ⅰ］は、これだけ多くのサンプルでも完璧に成り立っていました。
素因数が4n+3ならば類数hはh=1，3，5，7，・・・であり、4n+1ならば類数hはh=2，4，6，8，・・・となっていることに
注目してください。
この先も、ずっと成り立っているのだろうと予想されますが、現時点ではわかりません。
次に、［Ⅱ］の方を確認しておきましょう。
素因数(2を除く)の個数が2個以上の場合ばかりをピックアップして見てみましょう。
予想M3の［Ⅱ］の確認
| Q(√15) 15=3×5 h＝2 ○ |
Q(√30) 30=2×3×5 h＝2 ○ |
| Q(√35) 35=5×7 h＝2 ○ |
Q(√39) 39=3×13 h＝2 ○ |
| Q(√42) 42=2×3×7 h＝2 ○ |
Q(√51) 51=3×17 h＝2 ○ |
| Q(√55) 55=5×11 h＝2 ○ |
Q(√66) 66=2×3×11 h＝2 ○ |
| Q(√70) 70=2×5×7 h＝2 ○ |
Q(√78) 78=2×3×13 h＝2 ○ |
| Q(√87) 87=3×29 h＝2 ○ |
Q(√91) 91=7×13 h＝2 ○ |
| Q(√95) 95=5×19 h＝2 ○ |
Q(√102) 102=2×3×17 h＝2 ○ |
| Q(√110) 78=2×5×11 h＝2 ○ |
Q(√111) 111=3×37 h＝2 ○ |
| Q(√114) 78=2×3×19 h＝2 ○ |
Q(√115) 115=5×23 h＝2 ○ |
| Q(√119) 119=7×17 h＝2 ○ |
Q(√123) 123=3×41 h＝2 ○ |
| Q(√130) 130=2×5×13 h＝4 ○ |
Q(√138) 138=2×3×23 h＝2 ○ |
| Q(√143) 143=11×13 h＝2 ○ |
Q(√154) 154=2×7×11 h＝2 ○ |
| Q(√155) 155=5×31 h＝2 ○ |
Q(√159) 159=3×53 h＝2 ○ |
| Q(√170) 170=2×5×17 h＝4 ○ |
Q(√174) 174=2×3×29 h＝2 ○ |
| Q(√182) 182=2×7×13 h＝2 ○ |
Q(√183) 183=3×61 h＝2 ○ |
| Q(√186) 186=2×3×31 h＝2 ○ |
Q(√187) 187=11×17 h＝2 ○ |
| Q(√190) 190=2×5×19 h＝2 ○ |
Q(√195) 195=3×5×13 h＝4 ○ |
| Q(√203) 203=7×29 h＝2 ○ |
Q(√210) 210=2×3×5×7 h＝4 ○ |
| Q(√215) 215=5×43 h＝2 ○ |
Q(√219) 219=3×73 h＝4 ○ |
| Q(√222) 222=2×3×37 h＝2 ○ |
Q(√230) 230=2×5×23 h＝2 ○ |
| Q(√231) 231=3×7×11 h＝4 ○ |
Q(√235) 235=5×47 h＝6 ○ |
| Q(√238) 238=2×7×17 h＝2 ○ |
Q(√246) 246=2×3×41 h＝2 ○ |
| Q(√247) 247=13×19 h＝2 ○ |
Q(√255) 255=3×5×17 h＝4 ○ |
| Q(√258) 258=2×3×43 h＝2 ○ |
Q(√259) 259=7×39 h＝2 ○ |
| Q(√266) 266=2×7×19 h＝2 ○ |
Q(√267) 267=3×89 h＝2 ○ |
| Q(√282) 266=2×3×47 h＝2 ○ |
Q(√286) 286=2×11×13 h＝2 ○ |
| Q(√287) 287=7×41 h＝2 ○ |
Q(√290) 290=2×5×29 h＝4 ○ |
| Q(√291) 291=3×97 h＝4 ○ |
Q(√295) 295=5×59 h＝2 ○ |
| Q(√299) 299=13×23 h＝2 ○ |
Q(√303) 303=3×101 h＝2 ○ |
| Q(√310) 310=2×5×31 h＝2 ○ |
Q(√318) 318=2×3×53 h＝2 ○ |
| Q(√319) 319=11×29 h＝2 ○ |
Q(√322) 322=2×7×23 h＝4 ○ |
| Q(√323) 323=17×19 h＝4 ○ |
Q(√327) 327=3×109 h＝2 ○ |
| Q(√330) 330=2×3×5×11 h＝4 ○ |
Q(√335) 335=5×67 h＝2 ○ |
| Q(√339) 339=3×113 h＝2 ○ |
Q(√354) 354=2×3×59 h＝2 ○ |
| Q(√355) 355=5×71 h＝2 ○ |
Q(√366) 366=2×3×61 h＝2 ○ |
| Q(√370) 370=2×5×37 h＝4 ○ |
Q(√371) 371=7×53 h＝2 ○ |
| Q(√374) 374=2×11×17 h＝2 ○ |
Q(√390) 390=2×3×5×13 h＝4 ○ |
| Q(√391) 391=17×23 h＝2 ○ |
Q(√395) 395=5×79 h＝2 ○ |
| Q(√399) 399=3×7×19 h＝8 ○ |
Q(√402) 402=2×3×67 h＝2 ○ |
| Q(√403) 403=13×31 h＝2 ○ |
Q(√406) 406=2×7×29 h＝2 ○ |
| Q(√407) 407=11×37 h＝2 ○ |
Q(√410) 410=2×5×41 h＝4 ○ |
| Q(√411) 411=3×137 h＝2 ○ |
Q(√415) 415=5×83 h＝2 ○ |
| Q(√418) 418=2×11×19 h＝2 ○ |
Q(√426) 426=2×3×71 h＝2 ○ |
| Q(√427) 427=7×61 h＝6 ○ |
Q(√430) 430=2×5×43 h＝2 ○ |
| Q(√434) 434=2×7×31 h＝4 ○ |
Q(√435) 435=3×5×29 h＝4 ○ |
| Q(√438) 438=2×3×73 h＝4 ○ |
Q(√442) 442=2×13×17 h＝8 ○ |
| Q(√447) 447=3×149 h＝2 ○ |
Q(√451) 451=11×41 h＝2 ○ |
| Q(√455) 455=5×7×13 h＝4 ○ |
Q(√462) 462=2×3×7×11 h＝4 ○ |
| Q(√470) 470=2×5×47 h＝2 ○ |
Q(√471) 471=3×157 h＝2 ○ |
| Q(√474) 474=2×3×79 h＝2 ○ |
Q(√483) 483=3×7×23 h＝4 ○ |
| Q(√494) 494=2×13×19 h＝2 ○ |
Q(√498) 498=2×3×83 h＝2 ○ |
以上、ここでもすべて○で、予想M3［Ⅱ］は成り立っていました。
［Ⅱ］素因数(2を除く)の個数が2個以上の場合、類数（h）は偶数となる。h=2，4，6，8，・・・
この通りになっていますね。
この美しい規則性の背後には、いったいどんな数の神秘が横たわっているのか？
さらに、「素数以外」でこんな関係があるなら「素数の場合」にも延長されているのではないか？との推測から
調べると、なんと同類の関係があるようなのです！
つまり、このページ頭の方で調べた表を見ると、[4n+2，4n+3]型実２次体Q(√m)のmが素数のときの類数（h）は
すべて奇数となっているのです。すなわち、h=1，3，5，・・・
その表を再度、コピーしてみます。観察してください。
［4n+2，4n+3]型実2次体Q(√m)のmが「素数の場合」(計算には”約束”を用いた 例：5/2＝2 )
Q(√7)
Z＝7-7/2＝3キ、 またh＝1キ
|
Q(√10)
Z＝10-10/2＝5キ、 またh＝1キ
|
Q(√19)
Z＝18-18/2＝9キ、 またh＝1キ
|
Q(√23)
Z＝22-22/2＝11キ、 またh＝1キ
|
Q(√31)
Z＝30-30/2＝15キ、 またh＝1キ
|
Q(√43)
Z＝42-42/2＝21キ、 またh＝1キ
|
Q(√47)
Z＝46-46/2＝23キ、 またh＝1キ
|
Q(√59)
Z＝58-58/2＝29キ、 またh＝1キ
|
Q(√67)
Z＝66-66/2＝33キ、 またh＝1キ
|
Q(√79)
Z＝78-78/2＝39キ、 またh＝3キ
|
Q(√83)
Z＝82-82/2＝41キ、 またh＝1キ
|
Q(√103)
Z＝102-102/2＝51キ、 またh＝1キ
|
Q(√107)
Z＝106-106/2＝53キ、 またh＝1キ
|
Q(√127)
Z＝126-126/2＝63キ、 またh＝1キ
|
Q(√131)
Z＝130-130/2＝65キ、 またh＝1キ
|
Q(√139)
Z＝138-138/2＝69キ、 またh＝1キ
|
Q(√151)
Z＝150-150/2＝75キ、 またh＝1キ
|
Q(√163)
Z＝162-162/2＝81キ、 またh＝1キ
|
Q(√167)
Z＝166-166/2＝83キ、 またh＝1キ
|
Q(√179)
Z＝178-178/2＝89キ、 またh＝1キ
|
Q(√191)
Z＝190-190/2＝95キ、 またh＝1キ
|
Q(√199)
Z＝198-198/2＝99キ、 またh＝1キ
|
Q(√211)
Z＝210-210/2＝95キ、 またh＝1キ
|
Q(√223)
Z＝222-222/2＝111キ、 またh＝3キ
|
Q(√227)
Z＝226-226/2＝113キ、 またh＝1キ
|
Q(√239)
Z＝238-238/2＝119キ、 またh＝1キ
|
Q(√251)
Z＝250-250/2＝125キ、 またh＝1キ
|
Q(√263)
Z＝262-262/2＝131キ、 またh＝1キ
|
Q(√271)
Z＝270-270/2＝135キ、 またh＝1キ
|
Q(√283)
Z＝282-282/2＝141キ、 またh＝1キ
|
Q(√307)
Z＝306-306/2＝135キ、 またh＝1キ
|
Q(√311)
Z＝310-310/2＝155キ、 またh＝1キ
|
Q(√331)
Z＝330-330/2＝165キ、 またh＝1キ
|
Q(√347)
Z＝346-346/2＝173キ、 またh＝1キ
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Q(√359)
Z＝358-358/2＝179キ、 またh＝3キ
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Q(√367)
Z＝366-366/2＝183キ、 またh＝1キ
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Q(√379)
Z＝378-378/2＝189キ、 またh＝1キ
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Q(√383)
Z＝382-382/2＝191キ、 またh＝3キ
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Q(√419)
Z＝418-418/2＝209キ、 またh＝1キ
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Q(√431)
Z＝430-430/2＝215キ、 またh＝1キ
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Q(√439)
Z＝438-438/2＝219キ、 またh＝5キ
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Q(√443)
Z＝442-442/2＝221キ、 またh＝3キ
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Q(√463)
Z＝462-462/2＝231キ、 またh＝1キ
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Q(√467)
Z＝466-466/2＝233キ、 またh＝1キ
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Q(√479)
Z＝478-478/2＝239キ、 またh＝1キ
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Q(√487)
Z＝486-486/2＝243キ、 またh＝1キ
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Q(√491)
Z＝490-490/2＝245キ、 またh＝1キ
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Q(√499)
Z＝498-498/2＝249キ、 またh＝5キ
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どうですか？類数（h）はすべて奇数となっていますね。
よって、予想M3は、mが「素数以外の場合」のみならず、「素数の場合」も包含してしまっているといってもよい
ことを確認してください（上のQ（√m）のmはすべて4n+3です）。
予想M3をもう一度、書いておきます。
発見した規則性（予想M3）
［4n+2，4n+3]型実2次体Q(√m)についてmを素因数分解する。そのとき次が成り立つ。（nは整数）
［Ⅰ］素因数(2を除く)の個数が1個の場合、
その素因数が4n+3ならば、類数hは奇数となる。h=1，3，5，7，・・・
その素因数が4n+1ならば、類数hは偶数となる。h=2，4，6，8，・・・
［Ⅱ］素因数(2を除く)の個数が2個以上の場合、類数hは偶数となる。h=2，4，6，8，・・・
じつに、美しい予想です。
こんな事実が現代数学で知られているのかどうか私にはわかりませんが、類数という２次体Ｑ（√m）における決定
的に重要な量の偶奇が、mが4n+3 か4n+1かで分かれてしまうなんて不思議としかいいようがありません。
一見てんでバラバラに見える類数の並びに、こんな秩序が存在している。
類数というのは、私も完全に理解しているとは言いがたい難しい代物ですが、一言でいえばイデアルと数のズレを
あらわしています。素因数分解の一意性に関係している。イデアルは、クンマーがフェルマーの最終定理を解く過程
で発明した革命的概念です。
（この辺に興味ある読者は雑誌「数学のたのしみ」No.15の加藤和也さんの記事「イデアル類群の喜び」をお読み下さい）
いいですなあ、数学の世界は！ ゼータ惑星は、美と不思議にあふれている！
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