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「その６」に引き続き、ここではqπ/7代入の場合を調べました（分子の方に注目）。
「その６」においてqπ/5代入を調べましたが、このように分子の方、つまり、q の方にも面白い規則性が見えてきたので、
この「その７」ではqπ/7の場合を調べようとしているわけです。
まず予想L-２、予想L-２B、予想L-３、予想L-３Bにいつでも関心があるということを、再度確認しておきます。
そして今「mが4n+1の場合」の場合の予想L-３、予想L-３Bに特に興味があります。
なぜなら、qπ/kの分子のｑが奇数か偶数かで異なった途中経過を示すという面白いことがわかってきたからです。
qπ/5の場合は、一つ前の「その６」で見ましたので、qπ/7の場合を、この「その７」でも見ようとしているわけです。
まず、なにはともあれ、mが4n+1の２次体Q(√m)に対する予想L-３を載せておきましょう。
（また当然ながら、今回の考察は、予想L-３Bにも本質的に同じように適用できます。）
それでは、2qπ/７と(2q+1)π/７のすべての場合を次で調べましょう。
以下で、2π/7、4π/7、6π/7、8π/7、10π/7、12π/7の場合と、π/7、3π/7、7π/7、9π/7、11π/7、13π/7代入
の場合をすべて載せます。
分子によって「ゼータの分身たちからゼータを構成するし方」に注目する形で、その計算のエッセンスの部分だけ
を見ることにします。
まず簡単な2qπ/7代入の方（2π/7、4π/7、6π/7、8π/7、10π/7、12π/7）から見ることにしましょう。
上の予想より、いまπ/7代入ですから、k＝7です。よって、導手ＮがN＝7で且つ7＝|m|である虚２次体Q(√-7)に
対応します。虚２次体が考察の対象になっているわけですから、偶数回の微分・積分の所に注目すればよいわけ
です。よって、以下２回積分の結果だけを載せます。
●2qπ/7代入の場合
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［2π/7代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、2π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
-｛B・(1 - 1/6^2 + 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 - 1/27^2 +・・・)
+ C・(1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 - 1/26^2 +・・・)
+ A・(1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 - 1/25^2 +・・・)｝
＝∫(0～2π/7) log(2sin(x/2))
ここでA＝sin(π/7)、B＝sin(2π/7)、C＝sin(3π/7)です。（以下のすべてのqπ/7でも同様）
じつは、次のLP(s)が、虚２次体Ｑ（√-7）に対応するL（χ,s）となります。
LP(s)がQ（√-7）に対応するL（χ,s）であることは、現代数学で知られています。例えば、「解決！フェルマーの最終
定理」（加藤和也著、日本評論社）のp.74参照。LP(s)の定義は次の通りで、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LP(s)＝(1/1^s + 1/2^s - 1/3^s + 1/4^s - 1/5^s - 1/6^s)
+ (1/8^s + 1/9^s - 1/10^s + 1/11^s - 1/12^s - 1/13^s)・・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LP(s)は、mod 7に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 2 or 4 mod 7-->χ(a)＝1、
a≡3 or 5 or 6 mod 7 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝7です。
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できることを
示します。
［分身であることを示す］
係数B，C，Aにかかる級数をそれぞれB1，C1，A1と表すと、次のようになる。
B1＝1 - 1/6^2 + 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 - 1/27^2 +・・・
C1＝1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 - 1/26^2 +・・・
A1＝1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 - 1/25^2 +・・・
さて、B1+ C1 - A1を計算すると、
B1+ C1 - A1
＝1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2
+ 1/15^2+ 1/16^2- 1/17^2+ 1/18^2- 1/19^2- 1/20^2+ 1/22^2+ 1/23^2- 1/24^2+ 1/25^2- 1/26^2- 1/27^2・・・
＝LP(s)
となり、上で定義したLP(s)が出てくるのです！ 2qπ/5の場合と同様、全く簡単に出るのです！
B1，C1，A1を「B1+ C1 - A1」のように組み合わせれば、このようにLP(s)を構成することができるのである。
これで、A1，B1，C1はLP(s)の分身とよべる存在であることがわかった。
終わり。
*************************************************************************************
［4π/7代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、4π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
-｛C・(1 - 1/6^2 + 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 - 1/27^2 +・・・)
+ A・(-1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 + 1/26^2 +・・・)
+ B・(-1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 + 1/25^2 +・・・)｝
＝∫(0～4π/7) log(2sin(x/2))
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できることを
示します。LP(s)の定義は上の2π/7代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数C，A，Bにかかる級数をそれぞれC1，A1，B1と表すと、次のようになる。
C1＝1 - 1/6^2 + 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 - 1/27^2 +・・・
A1＝-1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 + 1/26^2 +・・・
B1＝-1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 + 1/25^2 +・・・
さて、C1 - A1+ B1 を計算すると、
C1 - A1+ B1
＝1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2
+ 1/15^2+ 1/16^2- 1/17^2+ 1/18^2- 1/19^2- 1/20^2+ 1/22^2+ 1/23^2- 1/24^2+ 1/25^2- 1/26^2- 1/27^2・・・
＝LP(s)
となり、LP(s)が出てきます。
終わり。
*************************************************************************************
［6π/7代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、6π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
-｛A・(1 - 1/6^2 + 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 - 1/27^2 +・・・)
+ B・(-1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 + 1/26^2 +・・・)
+ C・(1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 - 1/25^2 +・・・)｝
＝∫(0～6π/7) log(2sin(x/2))
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できることを
示します。LP(s)の定義は上の2π/7代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数A，B，Cにかかる級数をそれぞれA1，B1，C1と表すと、次のようになる。
A1＝1 - 1/6^2 + 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 - 1/27^2 +・・・
B1＝-1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 + 1/26^2 +・・・
C1＝1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 - 1/25^2 +・・・
さて、A1 - B1- C1 を計算すると、
A1 - B1- C1
＝1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2
+ 1/15^2+ 1/16^2- 1/17^2+ 1/18^2- 1/19^2- 1/20^2+ 1/22^2+ 1/23^2- 1/24^2+ 1/25^2- 1/26^2- 1/27^2・・・
＝LP(s)
となり、LP(s)が出てきます。
終わり。
*************************************************************************************
［8π/7代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、8π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
-｛A・(-1 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 + 1/27^2 -・・・)
+ B・(1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 - 1/26^2 +・・・)
+ C・(-1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 + 1/25^2 -・・・)｝
＝∫(0～8π/7) log(2sin(x/2))
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できることを
示します。LP(s)の定義は上の2π/7代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数A，B，Cにかかる級数をそれぞれA1，B1，C1と表すと、次のようになる。
A1＝-1 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 + 1/27^2 -・・・
B1＝1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 - 1/26^2 +・・・
C1＝-1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 + 1/25^2 -・・・
さて、-A1 + B1 + C1 を計算すると、
-A1 + B1 + C1
＝1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2
+ 1/15^2+ 1/16^2- 1/17^2+ 1/18^2- 1/19^2- 1/20^2+ 1/22^2+ 1/23^2- 1/24^2+ 1/25^2- 1/26^2- 1/27^2・・・
＝LP(s)
となり、LP(s)が出てきます。
終わり。
*************************************************************************************
［10π/7代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、10π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
-｛C・(-1 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 + 1/27^2 -・・・)
+ A・(1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 - 1/26^2 +・・・)
+ B・(1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 - 1/25^2 +・・・)｝
＝∫(0～10π/7) log(2sin(x/2))
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できることを
示します。LP(s)の定義は上の2π/7代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数C，A，Bにかかる級数をそれぞれC1，A1，B1と表すと、次のようになる。
C1＝-1 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 + 1/27^2 -・・・
A1＝1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 - 1/26^2 +・・・
B1＝1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 - 1/25^2 +・・・
さて、-C1 + A1- B1 を計算すると、
-C1 + A1- B1
＝1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2
+ 1/15^2+ 1/16^2- 1/17^2+ 1/18^2- 1/19^2- 1/20^2+ 1/22^2+ 1/23^2- 1/24^2+ 1/25^2- 1/26^2- 1/27^2・・・
＝LP(s)
となり、LP(s)が出てきます。
終わり。
*************************************************************************************
［12π/7代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、12π/7を代入した場合は次のようになります。
２回積分
-｛B・(-1 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 + 1/27^2 -・・・)
+ C・(-1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 + 1/26^2 -・・・)
+ A・(-1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 + 1/25^2 -・・・)｝
＝∫(0～12π/7) log(2sin(x/2))
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できることを
示します。
［分身であることを示す］
係数B，C，Aにかかる級数をそれぞれB1，C1，A1と表すと、次のようになる。
B1＝-1 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 + 1/27^2 -・・・
C1＝-1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 + 1/26^2 -・・・
A1＝-1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 + 1/25^2 -・・・
さて、-B1- C1 + A1を計算すると、
-B1- C1 + A1
＝1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2
+ 1/15^2+ 1/16^2- 1/17^2+ 1/18^2- 1/19^2- 1/20^2+ 1/22^2+ 1/23^2- 1/24^2+ 1/25^2- 1/26^2- 1/27^2・・・
＝LP(s)
となり、LP(s)が出てくる。
終わり。
*************************************************************************************
以上のようになります。
すべての場合で、簡単にLP(s)が出てくることがわかります。
2π/7と12π/7の場合、4π/7と10π/7の場合、そして6π/7と8π/7の場合が本質的に同じであることも興味深い
ことです。
さて、次にやや複雑な(2q+1)π/7代入の場合を見てみましょう。
π/7、3π/7、7π/7、9π/7、11π/7、13π/7代入の場合すべてを並べます。
●(2q+1)π/7代入の場合
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［π/7代入の式］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、π/7を代入した場合は次のようになります。
2回積分
-｛A・(1 + 1/6^2 - 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 - 1/27^2 +・・・)
+ B・(1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 - 1/26^2 +・・・)
+ C・(1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 - 1/25^2 +・・・)｝
＝∫(0～π/7) log(2sin(x/2))
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できることを
示します。LP(s)の定義は上の2π/7代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数A，B，Cにかかる級数をそれぞれA1，B1，C1と表すと、次のようになる。
A1＝1 + 1/6^2 - 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 - 1/27^2 +・・・
B1＝1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 - 1/26^2 +・・・
C1＝1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 - 1/25^2 +・・・
さて、A1- B1 -C1を計算すると、
A1- B1 -C1
＝1/1^2 - 1/2^2 - 1/3^2 - 1/4^2 - 1/5^2 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/9^2 + 1/10^2 + 1/11^2 + 1/12^2 - 1/13^2+・・・
＝(1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2+・・・)
+ (-2/2^2 - 2/4^2 + 2/6^2 - 2/8^2 + 2/10^2 + 2/12^2 +・・・)
＝LP(2) - 2/2^2・(1 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + ・・・)
＝LP(2) - 1/2・LP(2)
＝(1 - 1/2)・LP(2)
となり、上で定義したLP(s)が出てくるのです！
上で見た2qπ/7代入の場合より、複雑になっていることがわかるでしょう。
A1，B1，C1を「A1- B1 -C1」のように組み合わせれば、このようにLP(s)を構成することができるのである。
これで、A1，B1，C1はLP(s)の分身とよべる存在であることがわかった。
終わり。
*************************************************************************************
［3π/7代入の式］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、3π/7を代入した場合は次のようになります。
2回積分
-｛C・(1 + 1/6^2 - 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 - 1/27^2 +・・・)
+ A・(1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 - 1/26^2 +・・・)
+ B・(-1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 + 1/25^2 -・・・)｝
＝∫(0～3π/7) log(2sin(x/2))
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できることを
示します。LP(s)の定義は上の2π/7代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数C，A，Bにかかる級数をそれぞれC1，A1，B1と表すと、次のようになる。
C1＝1 + 1/6^2 - 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 - 1/27^2 +・・・
A1＝1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 - 1/26^2 +・・・
B1＝-1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 + 1/25^2 -・・・
さて、C1- A1 + B1を計算すると、
C1- A1 + B1
＝1/1^2 - 1/2^2 - 1/3^2 - 1/4^2 - 1/5^2 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/9^2 + 1/10^2 + 1/11^2 + 1/12^2 - 1/13^2+・・・
＝(1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2+・・・)
+ (-2/2^2 - 2/4^2 + 2/6^2 - 2/8^2 + 2/10^2 + 2/12^2 +・・・)
＝LP(2) - 2/2^2・(1 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + ・・・)
＝LP(2) - 1/2・LP(2)
＝(1 - 1/2)・LP(2)
となり、LP(s)が出てきます。
終わり。
*************************************************************************************
［5π/7代入の式］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、5π/7を代入した場合は次のようになります。
2回積分
-｛B・(1 + 1/6^2 - 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 - 1/27^2 +・・・)
+ C・(-1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 + 1/26^2 -・・・)
+ A・(1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 - 1/25^2 +・・・)｝
＝∫(0～5π/7) log(2sin(x/2))
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できることを
示します。LP(s)の定義は上の2π/7代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数B，C，Aにかかる級数をそれぞれB1，C1，A1と表すと、次のようになる。
B1＝1 + 1/6^2 - 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 - 1/27^2 +・・・
C1＝-1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 + 1/26^2 -・・・
A1＝1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 - 1/25^2 +・・・
さて、B1+ C1 - A1を計算すると、
B1+ C1 - A1
＝1/1^2 - 1/2^2 - 1/3^2 - 1/4^2 - 1/5^2 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/9^2 + 1/10^2 + 1/11^2 + 1/12^2 - 1/13^2+・・・
＝(1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2+・・・)
+ (-2/2^2 - 2/4^2 + 2/6^2 - 2/8^2 + 2/10^2 + 2/12^2 +・・・)
＝LP(2) - 2/2^2・(1 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + ・・・)
＝LP(2) - 1/2・LP(2)
＝(1 - 1/2)・LP(2)
となり、LP(s)が出てきます。
終わり。
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［9π/7代入の式］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、9π/7を代入した場合は次のようになります。
2回積分
-｛B・(-1 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 + 1/27^2 - ・・・)
+ C・(1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 - 1/26^2 + ・・・)
+ A・(-1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 + 1/25^2 - ・・・)｝
＝∫(0～9π/7) log(2sin(x/2))
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できることを
示します。LP(s)の定義は上の2π/7代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数B，C，Aにかかる級数をそれぞれB1，C1，A1と表すと、次のようになる。
B1＝-1 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 + 1/27^2 - ・・・
C1＝1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 - 1/26^2 + ・・・
A1＝-1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 + 1/25^2 - ・・・
さて、-B1 - C1 + A1を計算すると、
-B1 - C1 + A1
＝1/1^2 - 1/2^2 - 1/3^2 - 1/4^2 - 1/5^2 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/9^2 + 1/10^2 + 1/11^2 + 1/12^2 - 1/13^2+・・・
＝(1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2+・・・)
+ (-2/2^2 - 2/4^2 + 2/6^2 - 2/8^2 + 2/10^2 + 2/12^2 +・・・)
＝LP(2) - 2/2^2・(1 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + ・・・)
＝LP(2) - 1/2・LP(2)
＝(1 - 1/2)・LP(2)
となり、LP(s)が出てきます。
終わり。
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［11π/7代入の式］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、11π/7を代入した場合は次のようになります。
2回積分
-｛C・(-1 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 + 1/27^2 - ・・・)
+ A・(-1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 + 1/26^2 - ・・・)
+ B・(1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 - 1/25^2 + ・・・)｝
＝∫(0～11π/7) log(2sin(x/2))
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できる
ことを示します。LP(s)の定義は上の2π/7代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数C，A，Bにかかる級数をそれぞれC1，A1，B1と表すと、次のようになる。
C1＝-1 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 + 1/27^2 - ・・・
A1＝-1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 + 1/26^2 - ・・・
B1＝1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 - 1/25^2 + ・・・
さて、-C1+ A1 - B1を計算すると、
-C1+ A1 - B1
＝1/1^2 - 1/2^2 - 1/3^2 - 1/4^2 - 1/5^2 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/9^2 + 1/10^2 + 1/11^2 + 1/12^2 - 1/13^2+・・・
＝(1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2+・・・)
+ (-2/2^2 - 2/4^2 + 2/6^2 - 2/8^2 + 2/10^2 + 2/12^2 +・・・)
＝LP(2) - 2/2^2・(1 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + ・・・)
＝LP(2) - 1/2・LP(2)
＝(1 - 1/2)・LP(2)
となり、LP(s)が出てきます。
終わり。
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［13π/7代入の式］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の２回積分の結果に、13π/7を代入した場合は次のようになります。
2回積分
-｛A・(-1 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 + 1/27^2 - ・・・)
+ B・(-1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 + 1/26^2 - ・・・)
+ C・(-1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 + 1/25^2 - ・・・)｝
＝∫(0～13π/7) log(2sin(x/2))
上の２回積分の３つの青字の級数がじつはLP(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLP(s)を構成できる
ことを示します。LP(s)の定義は上の2π/7代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数A，B，Cにかかる級数をそれぞれA1，B1，C1と表すと、次のようになる。
A1＝-1 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/13^2 - 1/15^2 - 1/20^2 + 1/22^2 + 1/27^2 - ・・・
B1＝-1/2^2 - 1/5^2 + 1/9^2 + 1/12^2 - 1/16^2 - 1/19^2 + 1/23^2 + 1/26^2 - ・・・
B1＝-1/3^2 - 1/4^2 + 1/10^2 + 1/11^2 - 1/17^2 - 1/18^2 + 1/24^2 + 1/25^2 - ・・・
さて、-A1 + B1 + C1を計算すると、
-A1 + B1 + C1
＝1/1^2 - 1/2^2 - 1/3^2 - 1/4^2 - 1/5^2 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/9^2 + 1/10^2 + 1/11^2 + 1/12^2 - 1/13^2+・・・
＝(1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2+・・・)
+ (-2/2^2 - 2/4^2 + 2/6^2 - 2/8^2 + 2/10^2 + 2/12^2 +・・・)
＝LP(2) - 2/2^2・(1 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + ・・・)
＝LP(2) - 1/2・LP(2)
＝(1 - 1/2)・LP(2)
となり、LP(s)が出ます。
終わり。
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(2q+1)π/7代入の場合は、以上のようになります。
2qπ/7代入の場合の簡潔さと比べると、計算がやや複雑で途中に一ひねり加わっていることがわかるでしょう。
π/7と13π/7の場合、3π/7と11π/7の場合、そして5π/7と9π/7の場合が本質的に同じであることも興味深い
ことです。
上のすべての計算を眺めると、どこまでも調和に満ちた秩序が成り立っているのを感じます。
ゼータは、調和を好む生命体なのだと思います。
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