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予想L-３の確認を続けます。π/11代入とπ/13代入の場合を調べました。
次の①の統一的法則性の結果に、π/11を代入した場合を調べます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
まずは①を重回積分-重回微分した結果を書き下していきます。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
｛2sin(x/2)・sin(x/2)+4(2+cosx)cos(x/2)｝/(sin(x/2))^5＝2^4sinx + 4^4sin2x + 6^4sin3x + 8^4sin4x + ・・・・
3回微分
(2+cosx)/(sin(x/2))^4＝2^3cosx + 4^3cos2x + 6^3cos3x + 8^3cos4x + ・・・・
2回微分
cos(x/2)/(sin(x/2))^3＝-(2^2sinx + 4^2sin2x + 6^2sin3x + 8^2sin4x + ・・・・）
1回微分
-1/(sin(x/2))^2＝2(2cosx + 4cos2x + 6cos3x + 8cos4x + ・・・・）
0回積分
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・・）
１回積分
log(2sin(x/2))＝-(cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・・)
2回積分
∫log(2sin(x/2))＝-(sinx/1^2 + sin2x/2^2 + sin3x/3^2 + ・・・)
3回積分
∫∫log(2sin(x/2))＝(cosx/1^3 + cos2x/2^3 + cos3x/3^3 + ・・・) - ζ(3)
4回積分
∫∫∫log(2sin(x/2))＝(sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 + ・・・) - ζ(3)・x/1！
5回積分
∫∫∫∫log(2sin(x/2))＝-(cosx/1^5 + cos2x/2^5 + cos3x/3^5 + ・・・) + ζ(5) - ζ(3)・x^2/2！
6回積分
∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝-(sinx/1^6 + sin2x/2^6 + sin3x/3^6 + ・・・) + ζ(5)・x/1！ - ζ(3)・x^3/3！
7回積分
∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(cosx/1^7 + cos2x/2^7 + cos3x/3^7 + ・・・) - ζ(7) + ζ(5) ・x^2/2！ - ζ(3)・x^4/4！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(sinx/1^8 + sin2x/2^8 + sin3x/3^8 + ・・・) - ζ(7)・x/1！ + ζ(5)・x^3/3！ - ζ(3)・x^5/5！
・
・
と、このように上下に延々と続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
上の式の x にπ/11を代入すると、次のようになります。
（これは「火星 その８」のπ/11代入で既に計算はやっているので、それをそのまま利用します。）
［π/11代入の式］
・
・
2回積分
-｛A・(1/1^2 + 1/10^2 - 1/12^2 - 1/21^2 + 1/23^2 + 1/32^2 - 1/34^2 - 1/43^2 +・・・)
+ B・(1/2^2 + 1/9^2 - 1/13^2 - 1/20^2 + 1/24^2 + 1/31^2 - 1/35^2 - 1/42^2 +・・・)
+ C・(1/3^2 + 1/8^2 - 1/14^2 - 1/19^2 + 1/25^2 + 1/30^2 - 1/36^2 - 1/41^2 +・・・)
+ D・(1/4^2 + 1/7^2 - 1/15^2 - 1/18^2 + 1/26^2 + 1/29^2 - 1/37^2 - 1/40^2 +・・・)
+ E・(1/5^2 + 1/6^2 - 1/16^2 - 1/17^2 + 1/27^2 + 1/28^2 - 1/38^2 - 1/39^2 +・・・)｝
＝∫(0～π/11) log(2sin(x/2))
3回積分
L・(1 - 1/10^3 - 1/12^3 + 1/21^3 + 1/23^3 - 1/32^3 - 1/34^3 + 1/43^3 +・・・)
+ M・(1/2^3 - 1/9^3 - 1/13^3 + 1/20^3 + 1/24^3 - 1/31^3 - 1/35^3 + 1/42^3 +・・・)
+ N・(1/3^3 - 1/8^3 - 1/14^3 + 1/19^3 + 1/25^3 - 1/30^3 - 1/36^3 + 1/41^3 +・・・)
+ P・(1/4^3 - 1/7^3 - 1/15^3 + 1/18^3 + 1/26^3 - 1/29^3 - 1/37^3 + 1/40^3 +・・・)
+ Q・(1/5^3 - 1/6^3 - 1/16^3 + 1/17^3 + 1/27^3 - 1/28^3 - 1/38^3 + 1/39^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/11^3 -ζ(3)
＝∫(0～π/11)∫log(2sin(x/2))
・
・
となります。
ここで、A＝sin(π/11)、B＝sin(2π/11)、C＝sin(3π/11)、D＝sin(4π/11)、E＝sin(5π/11)、
L＝cos(π/11)、M＝cos(2π/11)、N＝cos(3π/11)、P＝cos(4π/11)、Q＝cos(5π/11)。
上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/11の定積分で、他の∫はすべて0～xの定積分。
このようになります。
「火星 その８」のπ/11代入では、上の結果が、「ディリクレのＬ関数L(χ,s)にはならない・・」と結論づけたのですが、
それは私の間違いで、じつは、上から予想Ｌ－３を成立させるＬ(χ,ｓ)がきちんと出るのです！
もう一度、予想Ｌ－３を書きましょう。
さて、上のπ/11代入の結果が、この予想を支持しているか否かを以下見ましょう。
いまπ/11代入ですから、もちろん、k＝11です。よって、導手ＮがN＝11で且つ11＝|m|である虚２次体Q(√-11)に対応
するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま虚２次体Ｑ(√-11)が考察の対象になっているわけですから、予想Ｌ-３の後半からQ(√-11)に対応する
L(χ,s)は偶数回の微分・積分の所に現れているはずだとなります。
よって、上の［π/11代入の式］の２回積分の箇所だけに注目すればよいのです（３回積分の方は無視）。
結論からいえば、ここでも予想L－３は成り立っているのですが、以下説明します。
２回積分の５つの青字の級数はLQ(s)の分身とよぶべき級数であったのです。
LQ(s)は初出ですので定義を書きます。次のもので、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LQ(s)＝(1/1^s - 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s - 1/6^s - 1/7^s - 1/8^s + 1/9^s -1/10^s)
+ (1/12^s - 1/13^s + 1/14^s + 1/15^s + 1/16^s - 1/17^s - 1/18^s - 1/19^s + 1/20^s - 1/21^s) +・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LQ(s)は、mod 11に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 3 or 4 or 5 or 9 mod 11-->χ(a)＝1、
a≡2 or 6 or 7 or or 8 or 10 mod 11 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝11です。
注意：LQ(s)という呼称は私が勝手につけたものですので、ご注意ください。
じつは、LQ(s)はＱ（√-11）に対応するL（χ,s）となっているのです。
LQ(s)がQ（√-11）に対応するL（χ,s）であることは、平方剰余の相互法則と補充則を使って私が手計算で確め
ました。
さて、２回積分の５つの青字の級数たちがLQ(s)の分身であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，B，C，D，Eにかかる級数をそれぞれA1，B1，C1，D1，E1と表すと、次のようになる。
A1＝1/1^2 + 1/10^2 - 1/12^2 - 1/21^2 + 1/23^2 + 1/32^2 - 1/34^2 - 1/43^2 +・・・
B1＝1/2^2 + 1/9^2 - 1/13^2 - 1/20^2 + 1/24^2 + 1/31^2 - 1/35^2 - 1/42^2 +・・・
C1＝1/3^2 + 1/8^2 - 1/14^2 - 1/19^2 + 1/25^2 + 1/30^2 - 1/36^2 - 1/41^2 +・・・
D1＝1/4^2 + 1/7^2 - 1/15^2 - 1/18^2 + 1/26^2 + 1/29^2 - 1/37^2 - 1/40^2 +・・・
E1＝1/5^2 + 1/6^2 - 1/16^2 - 1/17^2 + 1/27^2 + 1/28^2 - 1/38^2 - 1/39^2 +・・・
さて、A1+ B1 + C1- D1 + E1を計算すると、
A1+ B1 + C1- D1 + E1
＝(1/1^2 + 1/10^2 - 1/12^2 - 1/21^2 + 1/23^2 + 1/32^2 - 1/34^2 - 1/43^2 +・・・)
+ (1/2^2 + 1/9^2 - 1/13^2 - 1/20^2 + 1/24^2 + 1/31^2 - 1/35^2 - 1/42^2 +・・・)
+ (1/3^2 + 1/8^2 - 1/14^2 - 1/19^2 + 1/25^2 + 1/30^2 - 1/36^2 - 1/41^2 +・・・)
- (1/4^2 + 1/7^2 - 1/15^2 - 1/18^2 + 1/26^2 + 1/29^2 - 1/37^2 - 1/40^2 +・・・)
+ (1/5^2 + 1/6^2 - 1/16^2 - 1/17^2 + 1/27^2 + 1/28^2 - 1/38^2 - 1/39^2 +・・・)
＝1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 - 1/7^2 + 1/8^2 + 1/9^2 + 1/10^2
- 1/12^2 - 1/13^2 - 1/14^2 + 1/15^2 - 1/16^2 - 1/17^2 + 1/18^2 - 1/19^2 - 1/20^2 - 1/21^2 +・・・
＝1/1^2 - 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 - 1/6^2 - 1/7^2 - 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2
+ 1/12^2 - 1/13^2 + 1/14^2 + 1/15^2 + 1/16^2 - 1/17^2 - 1/18^2 - 1/19^2 + 1/20^2 - 1/21^2 +・・・
+ (2/2^2 - 2/4^2 + 2/6^2 + 2/8^2 + 2/10^2 - 2/12^2 - 2/14^2 - 2/16^2 + 2/18^2 - 2/20^2 + ・・・)
＝LQ(2) + 2/2^2・(1/1^2 - 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 - 1/6^2 - 1/7^2 - 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2+・・)
＝LQ(2) + 1/2・LQ(2)
＝(1 + 1/2)・LQ(2)
となり、上で定義したLQ(s)の特殊値LQ(2)が出てくるのである！
A1，B1，C1，D1，E1を「A1+ B1 + C1- D1 + E1」のように組み合わせると、このようにLQ(s)を構成することができ
るのである。
これで、A1，B1，C1，D1，E1はLQ(s)の分身であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんと虚２次体Ｑ（√-11）に対応するL（χ,s）が分身の姿で出現していることがわかり
ました。
以上より、π/11代入でも、予想L-３は成立していることがわかりました。
次の①の統一的法則性の結果に、π/13を代入した場合を調べます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
一つ上のπ/11の［重回積分、重回微分した一連の式］の x にπ/13を代入すると、次のようになります。
（これは「火星 その８」のπ/13代入で既に計算はやっているので、それをそのまま利用します。）
［π/13代入の式］
・
・
2回積分
-｛A・(1/1^2 + 1/12^2 - 1/14^2 - 1/25^2 + 1/27^2 + 1/38^2 - 1/40^2 - 1/51^2 +・・・)
+ B・(1/2^2 + 1/11^2 - 1/15^2 - 1/24^2 + 1/28^2 + 1/37^2 - 1/41^2 - 1/50^2 +・・・)
+ C・(1/3^2 + 1/10^2 - 1/16^2 - 1/23^2 + 1/29^2 + 1/36^2 - 1/42^2 - 1/49^2 +・・・)
+ D・(1/4^2 + 1/9^2 - 1/17^2 - 1/22^2 + 1/30^2 + 1/35^2 - 1/43^2 - 1/48^2 +・・・)
+ E・(1/5^2 + 1/8^2 - 1/18^2 - 1/21^2 + 1/31^2 + 1/34^2 - 1/44^2 - 1/47^2 +・・・)
+ F・(1/6^2 + 1/7^2 - 1/19^2 - 1/20^2 + 1/32^2 + 1/33^2 - 1/45^2 - 1/46^2 +・・・)｝
＝∫(0～π/13) log(2sin(x/2))
3回積分
L・(1/1^3 - 1/12^3 - 1/14^3 + 1/25^3 + 1/27^3 - 1/38^3 - 1/40^3 + 1/51^3 +・・・)
+ M・(1/2^3 - 1/11^3 - 1/15^3 + 1/24^3 + 1/28^3 - 1/37^3 - 1/41^3 + 1/50^3 +・・・)
+ N・(1/3^3 - 1/10^3 - 1/16^3 + 1/23^3 + 1/29^3 - 1/36^3 - 1/42^3 + 1/49^3 +・・・)
+ P・(1/4^3 - 1/9^3 - 1/17^3 + 1/22^3 + 1/30^3 - 1/35^3 - 1/43^3 + 1/48^3 +・・・)
+ Q・(1/5^3 - 1/8^3 - 1/18^3 + 1/21^3 + 1/31^3 - 1/34^3 - 1/44^3 + 1/47^3 +・・・)
+ R・(1/6^3 - 1/7^3 - 1/19^3 + 1/20^3 + 1/32^3 - 1/33^3 - 1/45^3 + 1/46^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/13^3 -ζ(3)
＝∫(0～π/13)∫log(2sin(x/2))
・
・
となりました。
ここで、A＝sin(π/13)、B＝sin(2π/13)、C＝sin(3π/13)、D＝sin(4π/13)、E＝sin(5π/13)、F＝sin(6π/13)、
L＝cos(π/13)、M＝cos(2π/13)、N＝cos(3π/13)、P＝cos(4π/13)、Q＝cos(5π/13)、R＝cos(6π/13)。
上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/13の定積分で、他の∫はすべて0～xの定積分。
「火星 その８」のπ/13代入では、上の結果が、「ディリクレのＬ関数L(χ,s)にはならない・・」と結論づけたのですが、
それは私の間違いで、じつは、上の結果から予想Ｌ－３を成立させるＬ(χ,ｓ)がきちんと出るのです！
もう一度、予想Ｌ－３を書きましょう。
さて、上のπ/13代入の結果が、この予想を支持しているか否かを以下見ましょう。
いまπ/13代入ですから、もちろん、k＝13です。よって、導手ＮがN＝13で且つ13＝|m|である実２次体Q(√13)に対応
するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま実２次体Ｑ(√13)が考察の対象になっているわけですから、予想Ｌ-３の後半からQ(√13)に対応する
L(χ,s)は奇数回の微分・積分の所に現れているはずだとなります。
よって、上の［π/13代入の式］の３回積分の箇所だけに注目すればよいのです（２回積分の方は無視）。
結論からいえば、ここでも予想L－３は成り立っているのですが、以下説明します。
３回積分の６つの青字の級数はLR(s)の分身とよぶべき級数であったのです。
LR(s)は初出ですので定義を書きます。次のものであり、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LR(s)＝(1/1^s-1/2^s+1/3^s+1/4^s-1/5^s-1/6^s-1/7^s-1/8^s+1/9^s+1/10^s-1/11^s+1/12^s ) + ・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LR(s)は、mod 13に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 3 or 9 or 10 or 12 mod 13-->χ(a)＝1、
a≡2 or 5 or 6 or 7 or 8 or 11 mod 13 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝13です。
じつは、LR(s)がＱ（√13）に対応するL（χ,s）となっている。
LR(s)がまさしくQ（√13）に対応するL（χ,s）であることは、平方剰余の相互法則と補充則を使って手計算で
確めました。
さて、３回積分の６つの青字の級数たちがLR(s)の分身であることを示します。
［分身であることを示す］
係数L，M，N，P，Q，Rにかかる級数をそれぞれL1，M1，N1，P1，Q1，R1と表すと、次のようになる。
L1＝1/1^3 - 1/12^3 - 1/14^3 + 1/25^3 + 1/27^3 - 1/38^3 - 1/40^3 + 1/51^3 +・・・
M1＝1/2^3 - 1/11^3 - 1/15^3 + 1/24^3 + 1/28^3 - 1/37^3 - 1/41^3 + 1/50^3 +・・・
N1＝1/3^3 - 1/10^3 - 1/16^3 + 1/23^3 + 1/29^3 - 1/36^3 - 1/42^3 + 1/49^3 +・・・
P1＝1/4^3 - 1/9^3 - 1/17^3 + 1/22^3 + 1/30^3 - 1/35^3 - 1/43^3 + 1/48^3 +・・・
Q1＝1/5^3 - 1/8^3 - 1/18^3 + 1/21^3 + 1/31^3 - 1/34^3 - 1/44^3 + 1/47^3 +・・・
R1＝1/6^3 - 1/7^3 - 1/19^3 + 1/20^3 + 1/32^3 - 1/33^3 - 1/45^3 + 1/46^3 +・・・
さて、L1+ M1 + N1- P1 - Q1 + R1を計算すると、
L1+ M1 + N1- P1 - Q1 + R1
＝(1/1^3 - 1/12^3 - 1/14^3 + 1/25^3 + 1/27^3 - 1/38^3 - 1/40^3 + 1/51^3 +・・・)
+ (1/2^3 - 1/11^3 - 1/15^3 + 1/24^3 + 1/28^3 - 1/37^3 - 1/41^3 + 1/50^3 +・・・)
+ (1/3^3 - 1/10^3 - 1/16^3 + 1/23^3 + 1/29^3 - 1/36^3 - 1/42^3 + 1/49^3 +・・・)
+ (1/4^3 - 1/9^3 - 1/17^3 + 1/22^3 + 1/30^3 - 1/35^3 - 1/43^3 + 1/48^3 +・・・)
+ (1/5^3 - 1/8^3 - 1/18^3 + 1/21^3 + 1/31^3 - 1/34^3 - 1/44^3 + 1/47^3 +・・・)
+ (1/6^3 - 1/7^3 - 1/19^3 + 1/20^3 + 1/32^3 - 1/33^3 - 1/45^3 + 1/46^3 +・・・)
＝1/1^3+1/2^3+1/3^3-1/4^3-1/5^3+1/6^3-1/7^3+1/8^3+1/9^3-1/10^3-1/11^3-1/12^3
-1/14^3-1/15^3-1/16^3+1/17^3+1/18^3-1/19^3+1/20^3-1/21^3-1/22^3+1/23^3+1/24^3+1/25^3 +・・・
＝1/1^3-1/2^3+1/3^3+1/4^3-1/5^3-1/6^3-1/7^3-1/8^3+1/9^3+1/10^3-1/11^3+1/12^3
+ 1/14^3-1/15^3+1/16^3+1/17^3-1/18^3-1/19^3-1/20^3-1/21^3+1/22^3+1/23^3-1/24^3+1/25^3 +・・・
+ (2/2^3-2/4^3+2/6^3+2/8^3-2/10^3-2/12^3-2/14^3-2/16^3+2/18^3+2/20^3-2/22^3+2/24^3+・・)
＝LR(3) + 2/2^3・(1/1^3-1/2^3+1/3^3+1/4^3-1/5^3-1/6^3-1/7^3-1/8^3+1/9^3+1/10^3-1/11^3+1/12^3+ ・・)
＝LR(3) + 2/2^3・LR(3)
＝(1+1/2^2)・LR(3)
となり、上で定義したLR(s)の特殊値LR(3)が出てくるのである！
L1，M1，N1，P1，Q1，R1を「L1+ M1 + N1- P1 - Q1 + R1」のように組み合わせると、このようにLR(s)を構成する
ことができるのである。
これで、L1，M1，N1，P1，Q1，R1はLR(s)の分身であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんと実２次体Ｑ（√13）に対応するL（χ,s）が分身の姿で出現していることがわかり
ました。
以上より、π/13代入でも予想L-３は成立していることがわかりました。
π/11とπ/13代入の場合もわかりましたので、「その１」で見た表Aに追加しておきましょう。
下表では、L(χ,s)本体が露に出現する場合を◎で、分身を経由して出現する場合を○で表現しています。
◎、○どちらでも”予想が成り立っている”ことを意味します。（予想が破綻した場合は×を挿入するつもりです。）
表A
注意１：L（χ,s）欄は、各々の２次体に対応するL（χ,s）を示す。
注意２：一番下の行の「偶，奇」は、Q(√m)に対応するL(χ,s)特殊値が偶数回の積分（微分）の所に現れた場合に「偶」、
奇数回の積分（微分）の所に現れた場合に「奇」と記しています。
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