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次に、「cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + ・・）の式」に対してπ/8、π/12代入の場合を調べてみました。
予想１と予想２を確めるべく、具体例を蓄積しているわけです。1/sinx＝2(sinx + sin3x + ・・・）にπ/8を代入した結果、
予想が破綻しているような結果が現れました。
＜cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・)の重回積分-重回微分にπ/8を代入＞
ここでは、π/8代入の場合を調べます。
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・) -------①
まず①式から調べていきます。重回積分、重回微分した結果をまず書き下します。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
｛2sin2x・sinx+4(2+cos2x)cosx｝/(sinx)^5＝2^4sin2x + 4^4sin4x + 6^4sin6x + 8^4sin8x + ・・・・
3回微分
(2+cos2x)/(sinx)^4＝2^3cos2x + 4^3cos4x + 6^3cos6x + 8^3cos8x + ・・・・
2回微分
cosx/(sinx)^3＝-(2^2sin2x + 4^2sin4x + 6^2sin6x + 8^2sin8x + ・・・・）
1回微分
-1/(sinx)^2＝2(2cos2x + 4cos4x + 6cos6x + 8cos8x + ・・・・）
0回積分
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + sin8x + ・・・・）
１回積分
log(2sinx)＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・)
2回積分
∫log(2sinx)＝-2(sin2x/2^2 + sin4x/4^2 + sin6x/6^2 + ・・・)
3回積分
∫∫log(2sinx)＝2(cos2x/2^3 + cos4x/4^3 + cos6x/6^3 + ・・・) - ζ(3)/2^2
4回積分
∫∫∫log(2sinx)＝2(sin2x/2^4 + sin4x/4^4 + sin6x/6^4 + ・・・) - ζ(3)/2^2・x/1！
5回積分
∫∫∫∫log(2sinx)＝-2(cos2x/2^5 + cos4x/4^5 + cos6x/6^5 + ・・・) + ζ(5)/2^4 - ζ(3)/2^2・x^2/2！
6回積分
∫∫∫∫∫log(2sinx)
＝-2(sin2x/2^6 + sin4x/4^6 + sin6x/6^6 + ・・・) + ζ(5)/2^4 ・x/1！ - ζ(3)/2^2・x^3/3！
7回積分
∫∫∫∫∫∫log(2sinx)
＝2(cos2x/2^7 + cos4x/4^7 + cos6x/6^7 + ・・・) - ζ(7)/2^6 + ζ(5)/2^4 ・x^2/2！ - ζ(3)/2^2・x^4/4！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2sinx)
＝2(sin2x/2^8 + sin4x/4^8 + sin6x/6^8 + ・・・) - ζ(7)/2^6 ・x/1！ + ζ(5)/2^4 ・x^3/3！ - ζ(3)/2^2・x^5/5！
・
・
と、このように上に下に延々と続きます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
さて、上の一連の式の x にπ/8を代入してみます。すると、次のようになります。途中計算は省略。
［π/8代入の式］
・
・
4回微分
1/√2・｛2^4・L2（-4） + 4^4√2・L(-4)｝
＝｛2sin(π/4)sin(π/8) + 4(2+cos(π/4))cos(π/8)｝/｛sin(π/8)｝^5
L2(-4) ＝ 57、L(-4)＝5/2より、式は成立（計算は略）。
3回微分
1/√2・｛2^3・L1（-3） - 8^3√2・(1-2^4)・ζ(-3)｝＝(2+cos(π/4))/｛sin(π/8)｝^4
L1(-3) ＝ 11、ζ(-3)＝1/120より、式は成立。
2回微分
-1/√2・｛2^2・L2（-2） + 4^2√2・L(-2)｝＝cos(π/8)/｛sin(π/8)｝^3
L2(-2) ＝ -3、L(-2)＝-1/2より、式は成立。
1回微分
√2｛2L1（-1） - 8√2・(1-2^2)・ζ(-1)｝＝-1/｛sin(π/8)｝^2
L1(-1) ＝ -1、ζ(-1)＝-1/12より、式は成立。
0回積分
√2｛L2(0) + √2L(0)｝＝1+√2
L2(0) ＝ 1、L(0) ＝ 1/2より、式は成立。
１回積分
-√2｛L1（1）/2 - √2/8・log2｝＝log｛2sin(π/8)｝
L1(1) ＝ log(√2+1)/√2より、式は成立。
2回積分
-√2｛L2（2）/2^2 + √2/4^2・L(2)｝＝∫(0～π/8) log(2sinx)
3回積分
√2｛L1（3）/2^3 - √2/8^3・(1-1/2^2)ζ(3)｝- ζ(3)/2^2 ＝∫(0～π/8)∫log(2sinx)
4回積分
√2｛L2（4）/2^4 + √2/4^4・L(4)｝- ζ(3)/2^2・(π/8)＝∫(0～π/8)∫∫log(2sinx)
5回積分
-√2｛L1（5）/2^5 - √2/8^5・(1-1/2^4)ζ(5)｝ + ζ(5)/2^4 - ζ(3)/2^2・(π/8)^2/2！
＝∫(0～π/8)∫∫∫log(2sinx)
6回積分
-√2｛L2（6）/2^6 + √2/4^6・L(6)｝+ ζ(5)/2^4・(π/8) - ζ(3)/2^2・(π/8)^3/3！
＝∫(0～π/8)∫∫∫∫log(2sinx)
7回積分
√2｛L1（7）/2^7 - √2/8^7・(1-1/2^6)ζ(7)｝
- ζ(7)/2^6 + ζ(5)/2^4・(π/8)^2/2！ - ζ(3)/2^2・(π/8)^4/4！
＝∫(0～π/8)∫∫∫∫∫log(2sinx)
8回積分
√2｛L2（8）/2^8 + √2/4^8・L(8)｝
- ζ(7)/2^6・(π/8) + ζ(5)/2^4・(π/8)^3/3！ - ζ(3)/2^2・(π/8)^5/5！
＝∫(0～π/8)∫∫∫∫∫∫log(2sinx)
・
・
と、ζ(2n+1)とL1(2n+1)とL2(2n)とL(2n)が現れる式が並びます。
上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/8の定積分で、他の∫はすべて0～xの定積分。
一度に４つも顔を見せたのははじめてです。
これらは、全て既出のゼータ関数ですが、全部ディリクレのL関数L（χ,s）であることはいうまでもありません。
やはり、ここでも出現してくるゼータ関数は、すべてディリクレのL関数となっていました。
念のため、これらの定義をもう一度書いておきます。
ζ(s)＝1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ・・・
Ｌ（s）＝1/1^s - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
L1(s)=1/1^s - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s+･･･
L2(s)=1/1^s + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s+･･･
(注意：L1(s)とL2(s)は、+ - はこの単位で延々とくり返されていきます。)
ディリクレのＬ関数L(χ,s)とは次のように定義されるものであって、ディリクレ指標χ(ａ)に対して特徴づけ
られる保型形式のゼータ関数です。
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
上の４つが、どのようなχ(a)に対応するかも記しておきます。
ζ(s)は、すべてのaに対して χ(a)＝1とおいたL(χ,s)に一致します。
L(s)は、a≡0, 1, 2, 3 mod 4の時、それぞれχ(a)＝0, 1 0, -1とおいた場合のL(χ,s)です。
L1(s)は、mod 8に対応したχ(a)をもち、
「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に
対応したL(χ,s)となります。
L2(s)は、mod 8に対応したディリクレ指標χ(a)をもちますが、今度は
「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に
対応したものとなっています。
以上。
＜cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・)の重回積分-重回微分にπ/12を代入＞
①式のπ/12代入の場合を調べます。
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・) -------①
一つ上の「重回積分、重回微分した一連の式」の x にπ/12を代入してみました。
［π/12代入の式］
・
・
4回微分
√3/2・(1+2^5)LA（-4）・4^4 + 2^3・(1+3^4)L(-4) + L(-4)・6^4
＝｛2sin(π/6)sin(π/12) + 4(2+cos(π/6))cos(π/12)｝/｛sin(π/12)｝^5
L(-4)＝5/2、｛2sin(π/6)sin(π/12) + 4(2+cos(π/6))cos(π/12)｝/｛sin(π/12)｝^5＝4880+2816√3
より、LA（-4）＝2/3とわかる。
3回微分
√3/2・LB（-3）・2^3 + 4^3・(1-2^4)(1-3^3)ζ(-3)/2 - 12^3・(1-2^4)ζ(-3)
＝(2+cos(π/6))/｛sin(π/12)｝^4
ζ(-3)＝1/120、(2+cos(π/6))/｛sin(π/12)｝^4＝8(40+23√3)より、LB（-3）＝46とわかる。
2回微分
-｛√3/2・(1+2^3)LA（-2）・4^2 + 2^1・(1+3^2)L(-2) + L(-2)・6^2｝
＝cos(π/12)/｛sin(π/12)｝^3
L(-2)＝-1/2、cos(π/12)/｛sin(π/12)｝^3＝4(7+4√3)より、LA（-2）＝-2/9とわかる。
1回微分
2｛√3/2・LB（-1）・2^1 + 4^1・(1-2^2)(1-3^1)ζ(-1)/2 - 12^1・(1-2^2)ζ(-1)｝
＝-1/｛sin(π/12)｝^2
ζ(-1)＝-1/12、1/｛sin(π/12)｝^2＝4(2+√3)より、LB（-1）＝-2とわかる。
0回積分
2｛√3/2・(1+2)LA（0）/4^0 + 1/2^1・(1+1/3^0)L(0) + L(0)/6^0｝＝cos(π/12)/sin(π/12)
１回積分
-2｛√3/2・LB（1）/2^1 + (1-1/2^0)(1-1/3^1)ζ(1)/(2・4^1) - (1-1/2^0)ζ(1)/12^1｝
＝log(2sin(π/12))
2回積分
-2｛√3/2・(1+1/2)LA（2）/4^2 + 1/2^3・(1+1/3^2)L(2) + L(2)/6^2｝＝∫(0～π/12) log(2sinx)
3回積分
2｛√3/2・LB（3）/2^3 + (1-1/2^2)(1-1/3^3)ζ(3)/(2・4^3) - (1-1/2^2)ζ(3)/12^3｝-ζ(3)/2^2
＝∫(0～π/12)∫log(2sinx)
4回積分
2｛√3/2・(1+1/2^3)LA（4）/4^4 + 1/2^5・(1+1/3^4)L(4) + L(4)/6^4｝-ζ(3)/2^2・(π/12)
＝∫(0～π/12)∫∫log(2sinx)
5回積分
-2｛√3/2・LB（5）/2^5 + (1-1/2^4)(1-1/3^5)ζ(5)/(2・4^5) - (1-1/2^4)ζ(5)/12^5｝
+ ζ(5)/2^4 - ζ(3)/2^2・(π/12)^2/2！
＝∫(0～π/12)∫∫∫log(2sinx)
6回積分
-2｛√3/2・(1+1/2^5)LA（6）/4^6 + 1/2^7・(1+1/3^6)L(6) + L(6)/6^6｝
+ ζ(5)/2^4・(π/12) - ζ(3)/2^2・(π/12)^3/3！
＝∫(0～π/12)∫∫∫∫log(2sinx)
7回積分
2｛√3/2・LB（7）/2^7 + (1-1/2^6)(1-1/3^7)ζ(7)/(2・4^7) - (1-1/2^6)ζ(7)/12^7｝
- ζ(7)/2^6 + ζ(5)/2^4・(π/12)^2/2！ - ζ(3)/2^2・(π/12)^4/4！
＝∫(0～π/12)∫∫∫∫∫log(2sinx)
8回積分
2｛√3/2・(1+1/2^7)LA（8）/4^8 + 1/2^9・(1+1/3^8)L(8) + L(8)/6^8｝
- ζ(7)/2^6・(π/12) + ζ(5)/2^4・(π/12)^3/3！ - ζ(3)/2^2・(π/12)^5/5！
＝∫(0～π/12)∫∫∫∫∫∫log(2sinx)
・
・
と、LA(2n)とLB(2n+1)とL(2n)とζ(2n+1)が現れる式が並びます。
上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/12の定積分で、他の∫はすべて0～xの定積分。
４つのゼータ関数が出てきましたが、すべてディリクレのL関数L(χ,s)であり、予想を支持する結果となっています。
以上。
＜1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin4x + ・・)の重回積分-重回微分にπ/8を代入＞
次に、もう一つの中心母等式（次の①）でのπ/8代入を調べます。
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・） ----①
まずこれをひたすら重回積分、重回微分した式を書きます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
｛3(cosx)^2・(sinx)^2+5(sinx)^2+4(cosx)^4+20(cosx)^2｝/(sinx)^5
＝2(sinx + 3^4sin3x + 5^4sin5x + 7^4sin7x + ・・・・）
3回微分
｛(cosx)^3+5cosx｝/(sinx)^4＝2(cosx + 3^3cos3x + 5^3cos5x + 7^3cos7x + ・・・・）
2回微分
｛1+(cosx)^2｝/(sinx)^3＝-(sinx + 3^2sin3x + 5^2sin5x + 7^2sin7x + ・・・・）
1回微分
-cosx/(sinx)^2＝2(cosx + 3cos3x + 5cos5x + 7cos7x + ・・・・）
0回積分
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・）
１回積分
1/2・log(cot(x/2))＝cosx + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・・
2回積分
1/2∫log(cot(x/2))＝sinx + sin3x/3^2 + sin5x/5^2 + ・・・
3回積分
1/2∫∫log(cot(x/2))＝-(cosx + cos3x/3^3 + cos5x/5^3 + ・・・) + (1-1/2^3)ζ(3)
4回積分
1/2∫∫∫log(cot(x/2))＝-(sinx + sin3x/3^4 + sin5x/5^4 + ・・・) + (1-1/2^3)ζ(3)x/1！
5回積分
1/2∫∫∫∫log(cot(x/2))＝(cosx + cos3x/3^5 + cos5x/5^5 + ・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)x^2/2！- (1-1/2^5)ζ(5)
6回積分
1/2∫∫∫∫∫log(cot(x/2))＝(sinx + sin3x/3^6 + sin5x/5^6 + ・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)x^3/3！- (1-1/2^5)ζ(5)x/1！
7回積分
1/2∫∫∫∫∫∫log(cot(x/2))＝-(cosx + cos3x/3^7 + cos5x/5^7 + ・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)x^4/4！- (1-1/2^5)ζ(5)x^2/2！+ (1-1/2^7)ζ(7)
8回積分
1/2∫∫∫∫∫∫∫log(cot(x/2))＝-(sinx + sin3x/3^8 + sin5x/5^8 + ・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)x^5/5！- (1-1/2^5)ζ(5)x^3/3！+ (1-1/2^7)ζ(7)x/1！
・
・
と、このように上に下に延々と続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
さて、上の一連の式のx にπ/8を代入してみます。積分の部分だけを書きます。途中計算は略。
［π/8代入の式］
・
・
0回積分
M・(1 + 1/7 - 1/9 - 1/15 + 1/17 + 1/23 - 1/25 - 1/31 +・・・)
+ P・(1/3 + 1/5 - 1/11 - 1/13 + 1/19 + 1/21 - 1/27 - 1/29 +・・・)＝1/M
１回積分
P・(1 - 1/7 - 1/9 + 1/15 + 1/17 - 1/23 - 1/25 + 1/31 +・・・)
M・(1/3 - 1/5 - 1/11 + 1/13 + 1/19 - 1/21 - 1/27 + 1/29 +・・・)
＝log(cot(π/16))
2回積分
M・(1 + 1/7^2 - 1/9^2 - 1/15^2 + 1/17^2 + 1/23^2 - 1/25^2 - 1/31^2 +・・・)
+ P・(1/3^2 + 1/5^2 - 1/11^2 - 1/13^2 + 1/19^2 + 1/21^2 - 1/27^2 - 1/29^2 +・・・)
＝1/2・∫(0～π/8) log(cot(x/2))
3回積分
- P・(1 - 1/7^3 - 1/9^3 + 1/15^3 + 1/17^3 - 1/23^3 - 1/25^3 + 1/31^3 +・・・)
- M・(1/3^3 - 1/5^3 - 1/11^3 + 1/13^3 + 1/19^3 - 1/21^3 - 1/27^3 + 1/29^3 +・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)
＝1/2・∫(0～π/8)∫log(cot(x/2))
4回積分
- M・(1 + 1/7^4 - 1/9^4 - 1/15^4 + 1/17^4 + 1/23^4 - 1/25^4 - 1/31^4 +・・・)
- P・(1/3^4 + 1/5^4 - 1/11^4 - 1/13^4 + 1/19^4 + 1/21^4 - 1/27^4 - 1/29^4 +・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)・(π/8)
＝1/2・∫(0～π/8)∫∫log(cot(x/2))
5回積分
P・(1 - 1/7^5 - 1/9^5 + 1/15^5 + 1/17^5 - 1/23^5 - 1/25^5 + 1/31^5 +・・・)
+ M・(1/3^5 - 1/5^5 - 1/11^5 + 1/13^5 + 1/19^5 - 1/21^5 - 1/27^5 + 1/29^5 +・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)・(π/8)^2/2！- (1-1/2^5)ζ(5)
＝1/2・∫(0～π/8)∫∫∫log(cot(x/2))
6回積分
M・(1 + 1/7^6 - 1/9^6 - 1/15^6 + 1/17^6 + 1/23^6 - 1/25^6 - 1/31^6 +・・・)
+ P・(1/3^6 + 1/5^6 - 1/11^6 - 1/13^6 + 1/19^6 + 1/21^6 - 1/27^6 - 1/29^6 +・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)・(π/8)^3/3！- (1-1/2^5)ζ(5)・(π/8)/1！
＝1/2・∫(0～π/8)∫∫∫∫log(cot(x/2))
7回積分
- P・(1 - 1/7^7 - 1/9^7 + 1/15^7 + 1/17^7 - 1/23^7 - 1/25^7 + 1/31^7 +・・・)
- M・(1/3^7 - 1/5^7 - 1/11^7 + 1/13^7 + 1/19^7 - 1/21^7 - 1/27^7 + 1/29^7 +・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)・(π/8)^4/4！- (1-1/2^5)ζ(5)・(π/8)^2/2！+ (1-1/2^7)ζ(7)
＝1/2・∫(0～π/8)∫∫∫∫∫log(cot(x/2))
8回積分
- M・(1 + 1/7^8 - 1/9^8 - 1/15^8 + 1/17^8 + 1/23^8 - 1/25^8 - 1/31^8 +・・・)
- P・(1/3^8 + 1/5^8 - 1/11^8 - 1/13^8 + 1/19^8 + 1/21^8 - 1/27^8 - 1/29^8 +・・・)
+ (1-1/2^3)ζ(3)・(π/8)^5/5！- (1-1/2^5)ζ(5)・(π/8)x^3/3！+ (1-1/2^7)ζ(7)・(π/8)/1！
＝1/2・∫(0～π/8)∫∫∫∫∫∫log(cot(x/2))
・
・
と、このようになりました。
右辺の重回積分は一番最後の∫だけが0～π/8の定積分で、その他の∫はすべて0～xの定積分です。
M、Pは、それぞれ次の定数です。
M＝｛√(2-√2)｝/2、 P＝｛√(2+√2)｝/2
このようにこれまでとまったく違う結果が現れました。
上のように原型のままでおいたのは、ディリクレのＬ関数L(χ,s)の表示を与えることに失敗したからです。
例えば、２回積分の
(1 + 1/7^2 - 1/9^2 - 1/15^2 + 1/17^2 + 1/23^2 - 1/25^2 - 1/31^2 +・・・)
なども、これまでのようにうまく、ある種のL(χ,s)でまとまってくれないのです。
ひょっとして２種類のL(χ,s)が重なっているのか？など様々な場合を調べましたが、いまのところまだ成功してい
ません。というより、予想は破綻しているのではないでしょうか。
佐藤郁郎氏も同じような結果を得られたようなので、予想１は間違っている可能性が高いと思います。
状況が複雑なので、少しまとめます。
私は、金星 その１の末尾で二つの予想（予想１と２）を提示していたわけですが、次のようなものでした。
--------------------------------------------------- もうπ/6やπ/12やその他π/nのようなどんな値を代入しても、どこまでも、 ディリクレＬ関数L(χ,s)の特殊値（値が明示的に得られない場合の）が飛び出して くるのではないか？と予想したくなります（予想１）。 いや、もっと大胆に、全てのL(χ,s)特殊値（値が明示的に得られない場合の） は、今回のような手法で得られるL(χ,s)特殊値に完全に一致しているのでは ないか？と、予想したくなります（予想２）。 -----------------------------------------------------
この二つです。
ここで破綻しているかもしれないのは、予想１の方です。 予想２はやや弱めて、とにかく予想１の不成立はあちこちで出つつも、しかし、ありとあらゆるmπ/n を代入
していけば、いづれすべてのディリクレのL関数（非明示の）を被覆するのか？
という新たな問題を発生させます。 また、予想１が破綻していたとしても、じつはあまり悲しくないのです。 というのは、この破局！はまったく本質的な破局と思うからです。 予想１の成立、不成立を分けている原因を追求することで、本質的なことがもっとわかるような気がするのです。 mπ/n のどんなnとmで成立し、どんなnとmで不成立となっているのかの分類は全く重要な問題と思います。
ディリクレ指標χの導手Nや円分体などにも関わってこないでしょうか。ただ、このような難問は、私の実力では
難しいことです。
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「金星」での結果をまとめます。
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・・) -------①
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + ・・・) -------②
中心母等式①や②に重回積分－重回微分の規則を適用した結果に様々なπ/nを代入することで、種々の
ディリクレL関数の特殊値（明示的に求まらない場合！）がどんどんと出てくることがわかったことは、じつに面白い
結果であったと思います。
また、「金星」で出現したL(χ,s)の特殊値（値が明示的に求まらない場合）は、現代数学で不明とされている
ものと思いますが、それらもζ(2n+1)やL(2n)などと同様に、すべて「偶数ゼータの無限和」となっていることは
ほぼ確実であることもわかりました。
さらに、予想１の破綻の可能性が高まったことで、予想２より新たな分類問題が発生した、ということになるで
しょう。 この新しい問題を解いていくことで、ディリクレのL関数の地下に眠る巨大な構造がわかっていくよう
な気がします。
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予想の成立は定理を与え、破局はまたある問題を生じさせる。
かくのごとく、予想の不成立がまた新たな問題を生み、数学はどんどんと進化しつづけていくのでしょう。
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