金星　その３

　ここでは、もう一度π/2、π/4代入の場合を整理しておきます。

最後に、｢その１｣～｢その３｣のまとめを行い、様々な問題を提示しました。

＜cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x +　・・)の重回積分-重回微分にπ/2を代入＞

　金星ではここまでπ/2，π/6代入の場合を調べてきましたが、ここ「その3」では、整理する意味で「いくつかの点」

シリーズでやったπ/2，π/4代入を、「その１」、「その２」のπ/2、π/6代入に準じた形で書き下していきます。

よって、このページで行うことは、本質的には「いくつかの点」シリーズや佐藤郁郎氏のコラム「奇数ゼータと・・」の結

果と同じものですが、π/2，π/4代入の場合を重回積分と重回微分の形で記述することで、金星での流れの全体を

浮び上がらせることできると考えられます。

　さて、前置きはこれくらいにして早速本題に入りましょう。

　　cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x +　・・) -------①

①式の重回積分、重回微分の結果にπ/2を代入した場合を「その１」、「その２」と同様の形で書いていきます。

［重回積分、重回微分した一連の式］

　｛2sin2x・sinx+4(2+cos2x)cosx｝/(sinx)^5＝2^4sin2x + 4^4sin4x + 6^4sin6x + 8^4sin8x + ・・・・

　(2+cos2x)/(sinx)^4＝2^3cos2x + 4^3cos4x + 6^3cos6x + 8^3cos8x + ・・・・

　cosx/(sinx)^3＝-(2^2sin2x + 4^2sin4x + 6^2sin6x + 8^2sin8x + ・・・・）　

　　-1/(sinx)^2＝2(2cos2x + 4cos4x + 6cos6x + 8cos8x + ・・・・）　

　　cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + sin8x + ・・・・）　

　　log(2sinx)＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・)

　∫log(2sinx)＝-2(sin2x/2^2 + sin4x/4^2 + sin6x/6^2 + ・・・)

　∫∫log(2sinx)＝2(cos2x/2^3 + cos4x/4^3 + cos6x/6^3 + ・・・) - ζ(3)/2^2

　∫∫∫log(2sinx)＝2(sin2x/2^4 + sin4x/4^4 + sin6x/6^4 + ・・・) - ζ(3)/2^2・x/1！

　∫∫∫∫log(2sinx)＝-2(cos2x/2^5 + cos4x/4^5 + cos6x/6^5 + ・・・) + ζ(5)/2^4 - ζ(3)/2^2・x^2/2！

　　　　　＝-2(sin2x/2^6 + sin4x/4^6 + sin6x/6^6 + ・・・) + ζ(5)/2^4 ・x/1！ - ζ(3)/2^2・x^3/3！

　　　　　＝2(cos2x/2^7 + cos4x/4^7 + cos6x/6^7 + ・・・) - ζ(7)/2^6 + ζ(5)/2^4 ・x^2/2！ - ζ(3)/2^2・x^4/4！

　＝2(sin2x/2^8 + sin4x/4^8 + sin6x/6^8 + ・・・) - ζ(7)/2^6 ・x/1！ + ζ(5)/2^4 ・x^3/3！ - ζ(3)/2^2・x^5/5！

と、このように上に下に延々と続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。

　さて、上の一連の式の x にπ/2を代入してみます。すると、次のようになります。途中計算は省略。

　　1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 + ・・・＝log2

　- (1-1/2^2)ζ(3)/2^2 - ζ(3)/2^2 ＝∫(0～π/2)∫log(2sinx)

　-ζ(3)/2^2・(π/2)＝∫(0～π/2)∫∫log(2sinx)

　　(1-1/2^4)ζ(5)/2^4 + ζ(5)/2^4 - ζ(3)/2^2・(π/2)^2/2！＝∫(0～π/2)∫∫∫log(2sinx)

　　ζ(5)/2^4・(π/2) - ζ(3)/2^2・(π/2)^3/3！＝∫(0～π/2)∫∫∫∫log(2sinx)

　-(1-1/2^6)ζ(7)/2^6 - ζ(7)/2^6 + ζ(5)/2^4・(π/2)^2/2！- ζ(3)/2^2・(π/2)^4/4！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝∫(0～π/2)∫∫∫∫∫log(2sinx)

　-ζ(7)/2^6・(π/2) + ζ(5)/2^4・(π/2)^3/3！- ζ(3)/2^2・(π/2)^5/5！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝∫(0～π/2)∫∫∫∫∫∫log(2sinx)

と、奇数のζ(2n+1)が次々と出る式が並びます。

上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/2の定積分で、他の∫はすべて0～xの定積分です。

　「その1」、「その２」でくり返し述べた通り、ζ(s)はディリクレのL関数L(χ,s)の一種です。

①の重回積分の式にπ/2を代入することで、やはり、ここでもディリクレのL関数が飛び出してくる、という

　　　　＜cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x +　・・)の重回積分-重回微分にπ/4を代入＞

　では、次にπ/4の場合を調べましょう。

　　cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x +　・・) -------①

①に対する、一つ上の［重回積分、重回微分した一連の式］にπ/4を代入した場合を書いていきます。

　2・｛1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ・・・｝＝1

　　1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 + ・・・＝log2

　-2(1-1/2^2)ζ(3)/4^3 - ζ(3)/2^2 ＝∫(0～π/4)∫log(2sinx)

　 L(4)/2^3 -ζ(3)/2^2・(π/4)＝∫(0～π/4)∫∫log(2sinx)

　　2(1-1/2^4)ζ(5)/4^5 + ζ(5)/2^4 - ζ(3)/2^2・(π/4)^2/2！＝∫(0～π/4)∫∫∫log(2sinx)

　　-L(6)/2^5 + ζ(5)/2^4・(π/4) - ζ(3)/2^2・(π/4)^3/3！＝∫(0～π/4)∫∫∫∫log(2sinx)

　-2(1-1/2^6)ζ(7)/4^7 - ζ(7)/2^6 + ζ(5)/2^4・(π/4)^2/2！- ζ(3)/2^2・(π/4)^4/4！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝∫(0～π/4)∫∫∫∫∫log(2sinx)

　L(8)/2^7 -ζ(7)/2^6・(π/4) + ζ(5)/2^4・(π/4)^3/3！- ζ(3)/2^2・(π/4)^5/5！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝∫(0～π/4)∫∫∫∫∫∫log(2sinx)

と、ζ(2n+1)とL(2n)が現れる式が並びます。

上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/4の定積分で、他の∫はすべて0～xの定積分。

L(s)は、次のものでディリクレのL関数の一種です。

　　Ｌ（s）＝1/1^s - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・

①の重回積分の式にπ/4を代入することで、ここでもディリクレのL関数L(χ,s)が出てきました。

　ζ(s)は、すべてのaに対して χ(a)＝1とおいたL(χ,s)に一致します。

　L(s)は、a≡0, 1, 2, 3 mod 4の時、それぞれχ(a)＝0, 1 0, -1とおいた場合のL(χ,s)です。

　　　　＜1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin4x +　・・)の重回積分-重回微分にπ/2を代入＞

　それでは次に、次のもう一つの中心母等式を調べていきます。

　　　　1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・）　　----①

この①をひたすら重回積分、重回微分した式を書いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略。

［重回積分、重回微分した一連の式］

　｛3(cosx)^2・(sinx)^2+5(sinx)^2+4(cosx)^4+20(cosx)^2｝/(sinx)^5

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝2(sinx + 3^4sin3x + 5^4sin5x + 7^4sin7x + ・・・・）

　｛(cosx)^3+5cosx｝/(sinx)^4＝2(cosx + 3^3cos3x + 5^3cos5x + 7^3cos7x + ・・・・）

　｛1+(cosx)^2｝/(sinx)^3＝-(sinx + 3^2sin3x + 5^2sin5x + 7^2sin7x + ・・・・）　

　　-cosx/(sinx)^2＝2(cosx + 3cos3x + 5cos5x + 7cos7x + ・・・・）　

　1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・）

　　1/2・log(cot(x/2))＝cosx + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・・

　1/2∫log(cot(x/2))＝sinx + sin3x/3^2 + sin5x/5^2 + ・・・

　1/2∫∫log(cot(x/2))＝-(cosx + cos3x/3^3 + cos5x/5^3 + ・・・) + (1-1/2^3)ζ(3)

　1/2∫∫∫log(cot(x/2))＝-(sinx + sin3x/3^4 + sin5x/5^4 + ・・・) + (1-1/2^3)ζ(3)x/1！

　1/2∫∫∫∫log(cot(x/2))＝(cosx + cos3x/3^5 + cos5x/5^5 + ・・・)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ (1-1/2^3)ζ(3)x^2/2！- (1-1/2^5)ζ(5)

　1/2∫∫∫∫∫log(cot(x/2))＝(sinx + sin3x/3^6 + sin5x/5^6 + ・・・)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ (1-1/2^3)ζ(3)x^3/3！- (1-1/2^5)ζ(5)x/1！

　1/2∫∫∫∫∫∫log(cot(x/2))＝-(cosx + cos3x/3^7 + cos5x/5^7 + ・・・)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ (1-1/2^3)ζ(3)x^4/4！- (1-1/2^5)ζ(5)x^2/2！+ (1-1/2^7)ζ(7)

　1/2∫∫∫∫∫∫∫log(cot(x/2))＝-(sinx + sin3x/3^8 + sin5x/5^8 + ・・・)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ (1-1/2^3)ζ(3)x^5/5！- (1-1/2^5)ζ(5)x^3/3！+ (1-1/2^7)ζ(7)x/1！

と、このように上に下に延々と続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。

　さて、上の一連の式のx にπ/2を代入してみます。すると、次のようになります。途中計算は省略。

　2・｛1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ・・・｝＝1

　 L(2) ＝1/2・∫(0～π/2) log(cot(x/2))

　(1-1/2^3)ζ(3) ＝1/2・∫(0～π/2)∫log(cot(x/2))

　-L(4) + (1-1/2^3)ζ(3)・(π/2)＝1/2・∫(0～π/2)∫∫log(cot(x/2))

　 -(1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^3)ζ(3)・(π/2)^2/2！＝1/2・∫(0～π/2)∫∫∫log(cot(x/2))

　　L(6) - (1-1/2^5)ζ(5)・(π/2) + (1-1/2^3)ζ(3)・(π/2)^3/3！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/2・∫(0～π/2)∫∫∫∫log(cot(x/2))

　(1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^5)ζ(5)・(π/2)^2/2！ + (1-1/2^3)ζ(3)・(π/2)^4/4！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/2・∫(0～π/2)∫∫∫∫∫log(cot(x/2))

　　-L(8) + (1-1/2^7)ζ(7)・(π/2) - (1-1/2^5)ζ(5)・(π/2)^3/3！+ (1-1/2^3)ζ(3)・(π/2)^5/5！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/2・∫(0～π/2)∫∫∫∫∫∫log(cot(x/2))

と、L(2n)とζ(2n+1)がと出る式が並びます。

　そして、もちろんどちらもディリクレのL関数L（χ,s）の一種です。次にπ/4代入を調べましょう。

　　　　　＜1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin4x +　・・)の重回積分-重回微分にπ/4を代入＞

　では次に、π/4代入の場合を見てみます。

　　　　1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・）　　----①

①に対する、一つ上の［重回積分、重回微分した一連の式］にπ/4を代入した場合を書いていきます。

　√2・｛1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ・・・｝＝√2

よって、L1(1) ＝1/√2・log(√2+1)

　　√2/2・L2(2) ＝1/2・∫(0～π/4)log(cot(x/2))

　-√2/2・L1(3) + (1-1/2^3)ζ(3) ＝1/2・∫(0～π/4)∫log(cot(x/2))

　-√2/2・L2(4) + (1-1/2^3)ζ(3)・(π/4)＝1/2・∫(0～π/4)∫∫log(cot(x/2))

　√2/2・L1(5) - (1-1/2^5)ζ(5) +(1-1/2^3)ζ(3)・(π/4)^2/2！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/2・∫(0～π/4)∫∫∫log(cot(x/2))

　　√2/2・L2(6) - (1-1/2^5)ζ(5)・(π/4) + (1-1/2^3)ζ(3)・(π/4)^3/3！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/2・∫(0～π/4)∫∫∫∫log(cot(x/2))

　-√2/2・L1(7) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^5)ζ(5)・(π/4)^2/2！ + (1-1/2^3)ζ(3)・(π/4)^4/4！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/2・∫(0～π/4)∫∫∫∫∫log(cot(x/2))

　　-√2/2・L2(8) + (1-1/2^7)ζ(7)・(π/4)

　　　　　　　　　　- (1-1/2^5)ζ(5)・(π/4)^3/3！+ (1-1/2^3)ζ(3)・(π/4)^5/5！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/2・∫(0～π/4)∫∫∫∫∫∫log(cot(x/2))

と、L1(2n+1)とL2(2n)とζ(2n+1)が出てきました。

　このL1(s)とL2(s)は佐藤郁郎氏がコラムで示されている通り、

　　L1(s)=1/1^s-1/3^s-1/5^s+1/7^s+･･･
　　L2(s)=1/1^s+1/3^s-1/5^s-1/7^s+･･･
というゼータであり、これらもまたディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種ですので、ここでも予想通りとなっています。

　ちなみに、L1(s)は、mod 8に対応したディリクレ指標χ(a)をもち、

「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に

対応したディリクレのＬ関数L(χ,s)となります。実２次体Q(√2)に対応するのが、このχ(a)です。

　L2(s)は、mod 8に対応したディリクレ指標χ(a)をもちますが、今度は

「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に

対応したものとなっている。このχ(a)は、虚2次体Q(√(-2))という代数体に対応しています。

2004/4/3　　　　　＜金星「その１」～「その３」まとめ＞

　金星の「その１」～「その３」までを簡単に総括しますと・・、

「次の①や②の等式を重回積分や重回微分したものにπ/nを代入すると、つぎつぎにディリクレのＬ関数

特殊値（明示的に求まらない場合のもの）が出てくる」

　　　　cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x +　・・) 　 -----①

　　　　1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・）　　----②

　これまでの結果をながめて感じることは、①と②はディリクレのL関数L(χ,s)における中心核であり、これに

重回積分-重回微分の手法を適用することで、L(χ,s)が雨アラレとふってくる現象が現れることから、ここには、

大きな金鉱脈（数学的構造）が潜んでいると感じます。

　「その１」の最後で述べた予想2はやはり正しいのではないかと思えてくるのですがどうでしょうか。本当に

正しいのかどうかはわかりませんが。

　この金星「その１」～「その３」は、現代数学でもよくわからないとされる、つまり値が明示的に求まらないディリクレ

のL関数特殊値ばかりを調べているわけですが、それがこのようなまったく初等的な方法でふってわいてくることが

わかったことは、私自身たいへんな驚きでした。しかも全く調和に満ちた方法で続々と顔をだしてくる。

みなさんも、ぜひ一度、実際に手で上の事実をたしかめてみてください。

手で計算していると「ああこういう素晴らしいカラクリになっているのか！」とじんじんとわかってきます。

π/nを代入するというのは、結局「単位円をｎ等分に分割していくことに他ならない」とわかるのです。

　この手法をやっていて感じることですがnが負のゼータの不思議な値（例ζ(-１）=1 + 2 + 3 + 4 + ・・・=-1/12）

の意味というのも、なにも解析接続という高尚なものによってのみ意味づけできるということではなく、実数範囲内

でも”ある程度”意味づけ可能なのではないかという気さえしてきます。

また同時に、いろいろな疑問（問題）が浮かんできました。

　　①式から------>ζ(s)、L(s)、LA(s)、LB(s)

　　②式から------>ζ(s)、L(s)、L1(s)、L2(s)

というゼータが出てきますが、①から出るものと、②から出るものと種類が違ってきています。

　もし予想２が正しいとすると、ディリクレのＬ関数L(χ,s)に属する全てのゼータ関数は、①式から出るものと②式出現

のもので真っ二つに分かれているのでしょうか？

　もしそうならば①式出現と②式出現のL(χ,s)はそれぞれどのような異なった特徴を有しているのでしょうか？ならば

この分類は本質的ななにかを提供してくれるのではないか。

いやいやそうではなく、まだ試してない様々なπ/nを無限に代入していくと、①から出るゼータと②式から出るものは

じつは同じものになるのでしょうか？

　もし、予想２が間違っているとすると、①、②以外のある等式を私は見落としているということになるのでないで

　予想２の成立、不成立が不明な現状ではこれらはなんともいえませんが、このように疑問がつぎからつぎへとわい

　ともあれ予想２の結果がどっちに転んだとしても、面白い新たな研究材料を提供してくれることだけは間違いない

　金星「その１」～「その３」の式をみていて気付くことは、様々なゼータ出現の式ではリーマン・ゼータζ(s)がいつも

基調になっている、ということです。

様々な種類のゼータが出ているのですが、その周りにいつもくっつくようにζ(s)が多くみられる。これはなにを

　さらに①や②の重回積分-重回微分からつぎつぎにディリクレのＬ関数がふってわいてくる様子をみていると、

実２次体や虚2次体の代数体の理論とも深く関わっているのではないかと思えてきます。

　代数体に関しては、雑誌「数学のたのしみ」No．１７「フェルマーの最終定理以後の数論」の加藤和也さんの

記事（p.85～）に書いてありますし、あるいは加藤さんの名著「解決！フェルマーの最終定理」（日本評論社）にも

　そんな記事を読んでいると、この「金星」で見出した事実は、さらには類体論、岩澤理論などにも深いところで

結びついているにちがいないと思えてくるのです。