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＜ ゼータ関数L(s) ＞
＜ cos(x/n)型L(s)母関数 ＞
cos(x/n)型、cos(x/n^2)型、cos(x/n^3)型、cos(x/n^4)型のL(s)の母関数を調べた。
L(s)は、次で定義されるゼータ関数である。
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・ ------①
L(s)も、リーマン・ゼータζ(ｓ)もどちらもディリクレのL関数L(χ,s)の一種のゼータ関数である。
簡単にいえば、ζ(ｓ)は、全てのaに対しχ(a)＝1としたときのディリクレのL関数L(χ,s)であり、L(s)は、
a≡0, 1, 2, 3 mod 4に対しそれぞれχ(ａ)＝0, 1, 0, -1としたときのL(χ,s)に一致する。
整数論においてきわめて重要なディリクレのＬ関数L(χ,s)は次のように定義される。ディリクレ指標χ(ａ)に対応
してL(χ,s)は色々と変わる。
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
ディリクレ指標χ(ａ)は、ある自然数Ｎについて、次の３条件を満たすものである。
（１）a≡b mod N ならχ(ａ)＝χ(b)
（２）χ(ab)＝χ(a)χ(b)
（３）aとＮが共通因数を持つときに限り、χ(a)＝0
①のディリクレ指標χ(a)すなわち「a≡0, 1, 2, 3 mod 4に対しそれぞれχ(ａ)＝0, 1, 0, -1」が、３条件を満たしてい
ることを確認いただきたい。このときＮ＝4であり、Ｎを導手と呼ぶ。導手はχ(ａ)を特徴づける最小単位となっている。
L(s)のχ(ａ)の導手は4である。
L(s)は虚２次体Ｑ（√-1）に対応する方程式のゼータ関数であるが、じつは、ディリクレ指標に対応する保型形式の
ゼータ関数ともなっており、このように両者はなぜか一致してしまう。ここに数論の深い事実がもれでてきている現象
をみる。
L(χ,s)から無数のゼータ関数が生み出されるのであるが、この「池谷・関彗星」の後に様々なゼータが登場する
だろう。なお、L(χ,s)に関しては、「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）にわかりやすく解説
されている。この名著をぜひ味わっていただきたい。
この「池谷・関彗星 その３」では、L(s)の母関数をさぐる。やることは、「池谷・関彗星」の「その１」と「その２」に
おいてζ(ｓ)母関数で行ったことの類似である。その類似からL(s)が出ることに気づいた。
次の母関数を構成した。
F(x)＝cos(x/1)/1^s - cos(x/3)/3^s + cos(x/5)/5^s - cos(x/7)/7^s + ・・・ ------①
”cos(x/n)型L(s)母関数”と名づける。まずs＝1とした場合を考える。すなわち、
F(x)＝cos(x/1)/1 - cos(x/3)/3 + cos(x/5)/5 - cos(x/7)/7 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L(1) - L(3)・x^2 /2！+ L(5)・x^4 /4！- L(7)・x^6 /6！+ L(9)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次となる。
cos(x/1)/1 - cos(x/3)/3 + cos(x/5)/5 - cos(x/7)/7 + ・・・
＝L(1) - L(3)・x^2 /2！+ L(5)・x^4 /4！- L(7)・x^6 /6！+ L(9)・x^8 /8！- ・・・ ------②
興味深い式である。F(x)がL(ｓ)の母関数となっていることがわかる。
すぐ気づくが、
F(0)＝L(1)
であり、またF(x)を２回微分したF´´(x)のF´´(0)が F´´(0)＝-L(3) となる。すなわち、
F(0)＝L(1)
F^(2)(0)＝-L(3)
F^(4)(0)＝L(5)
F^(6)(0)＝-L(7)
・
・
となっている。F^(n)(x)は、F(x)のn回微分を表す。
F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。②のべき級数を見ると収束半径ＲはＲ＝∞となるからそれがわかる。
（また右辺の項をすこし先にいけば、ほぼL(n)はほとんど1とイコールとなるので、それ以降はcosxと同じであるともいえ、それによっても-∞<x<∞が
わかる。）
次にs＝2とした場合を考える。すなわち、
F(x)＝cos(x/1)/1^2 - cos(x/3)/3^2 + cos(x/5)/5^2 - cos(x/7)/7^2 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L(2) - L(4)・x^2 /2！+ L(6)・x^4 /4！- L(8)・x^6 /6！+ L(10)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次となる。
cos(x/1)/1^2 - cos(x/3)/3^2 + cos(x/5)/5^2 - cos(x/7)/7^2 + ・・・
＝L(2) - L(4)・x^2 /2！+ L(6)・x^4 /4！- L(8)・x^6 /6！+ L(10)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、当然ながら次となる。
cos(x/1)/1^3 - cos(x/3)/3^3 + cos(x/5)/5^3 - cos(x/7)/7^3 + ・・・
＝L(3) - L(5)・x^2 /2！+ L(7)・x^4 /4！- L(9)・x^6 /6！+ L(11)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1)/1^4 - cos(x/3)/3^4 + cos(x/5)/5^4 - cos(x/7)/7^4 + ・・・
＝L(4) - L(6)・x^2 /2！+ L(8)・x^4 /4！- L(10)・x^6 /6！+ L(12)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次となる。
cos(x/1)/1^n - cos(x/3)/3^n + cos(x/5)/5^n - cos(x/7)/7^n + ・・・
＝L(n) - L(n+2)・x^2 /2！+ L(n+4)・x^4 /4！- L(n+6)・x^6 /6！+ L(n+8)・x^8 /8！- ・・・ ----③
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくことがわかる。
cosx＝1 - x^2 /2！+ x^4 /4！- x^6 /6！+ x^8 /8！- ・・・
であり、また
L(1)＝π/4 ＝0.78539・・
L(2) ＝0.91596・・
L(3)＝π^3/32＝0.96894・・
L(4) ＝0.98894・・
L(5)＝5π^5/1536＝0.99615・・
L(6) ＝0.99868・・
(7)＝61π^7/184320＝0.99955・・
L(8) ＝0.99984・・
・
・
なので、ｎが増せばどんどんL(n)は1に近づくことから③よりそれがわかる。
なぜ偶数のL(2)、L(4)・・ではπの表現がないかというと、L(2n)はその正体が現代数学で不明とされているからで
ある。ちょうど、ζ(2n+1)に対応しているのが、L(2n)なのである（nは1以上の整数）。
F(x)＝cos(x/1)/1^n - cos(x/3)/3^n + cos(x/5)/5^n - cos(x/7)/7^n + ・・・
とすると、
limF(x)＝cosx
(n->∞)
となっていることがわかる。
まとめておこう。（一般式のnはsで表した）
次に、cos(x/n^2)型L(s)母関数を調べた。
F(x)＝cos(x/1^2)/1^s - cos(x/3^2)/3^s + cos(x/5^2)/5^s - cos(x/7^2)/7^s + ・・・ ------①
まずs＝1とした場合を考える。すなわち、
F(x)＝cos(x/1^2)/1 - cos(x/3^2)/3 + cos(x/5^2)/5 - cos(x/7^2)/7 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L(1) - L(5)・x^2 /2！+ L(9)・x^4 /4！- L(13)・x^6 /6！+ L(17)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次となる。
cos(x/1^2)/1 - cos(x/3^2)/3 + cos(x/5^2)/5 - cos(x/7^2)/7 + ・・・
＝L(1) - L(5)・x^2 /2！+ L(9)・x^4 /4！- L(13)・x^6 /6！+ L(17)・x^8 /8！- ・・・
F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。右辺のべき級数を見ると収束半径ＲはＲ＝∞となるからそれがわかる。
（また右辺の項をすこし先にいけば、ほぼL(n)はほとんど1とイコールとなるので、それ以降はcosxと同じであるともいえ、それによっても-∞<x<∞が
わかる。）
次に①でs＝2とした場合を考える。すなわち、
F(x)＝cos(x/1^2)/1^2 - cos(x/3^2)/3^2 + cos(x/5^2)/5^2 - cos(x/7^2)/7^2 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L(2) - L(6)・x^2 /2！+ L(10)・x^4 /4！- L(14)・x^6 /6！+ L(18)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次となる。
cos(x/1^2)/1^2 - cos(x/3^2)/3^2 + cos(x/5^2)/5^2 - cos(x/7^2)/7^2 + ・・・
＝L(2) - L(6)・x^2 /2！+ L(10)・x^4 /4！- L(14)・x^6 /6！+ L(18)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、当然ながら次となる。
cos(x/1^2)/1^3 - cos(x/3^2)/3^3 + cos(x/5^2)/5^3 - cos(x/7^2)/7^3 + ・・・
＝L(3) - L(7)・x^2 /2！+ L(11)・x^4 /4！- L(15)・x^6 /6！+ L(19)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^2)/1^4 - cos(x/3^2)/3^4 + cos(x/5^2)/5^4 - cos(x/7^2)/7^4 + ・・・
＝L(4) - L(8)・x^2 /2！+ L(12)・x^4 /4！- L(16)・x^6 /6！+ L(20)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次となる。
cos(x/1^2)/1^n - cos(x/3^2)/3^n + cos(x/5^2)/5^n - cos(x/7^2)/7^n + ・・・
＝L(n) - L(n+4)・x^2 /2！+ L(n+8)・x^4 /4！- L(n+12)・x^6 /6！+ L(n+16)・x^8 /8！- ・・・
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくことがわかる。
F(x)＝cos(x/1^2)/1^n - cos(x/3^2)/3^n + cos(x/5^2)/5^n - cos(x/7^2)/7^n + ・・・
とすると、
limF(x)＝cosx
(n->∞)
となっている。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
次に、cos(x/n^3)型L(s)母関数を調べる。
F(x)＝cos(x/1^3)/1^s - cos(x/3^3)/3^s + cos(x/5^3)/5^s - cos(x/7^3)/7^s + ・・・ ------①
まずs＝1とした場合を考える。すなわち、
F(x)＝cos(x/1^3)/1 - cos(x/3^3)/3 + cos(x/5^3)/5 - cos(x/7^3)/7 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L(1) - L(7)・x^2 /2！+ L(13)・x^4 /4！- L(19)・x^6 /6！+ L(25)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次となる。
cos(x/1^3)/1 - cos(x/3^3)/3 + cos(x/5^3)/5 - cos(x/7^3)/7 + ・・・
＝L(1) - L(7)・x^2 /2！+ L(13)・x^4 /4！- L(19)・x^6 /6！+ L(25)・x^8 /8！- ・・・
F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。
次に①でs＝2とした場合を考える。すなわち、
F(x)＝cos(x/1^3)/1^2 - cos(x/3^3)/3^2 + cos(x/5^3)/5^2 - cos(x/7^3)/7^2 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L(2) - L(8)・x^2 /2！+ L(14)・x^4 /4！- L(20)・x^6 /6！+ L(26)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次となる。
cos(x/1^3)/1^2 - cos(x/3^3)/3^2 + cos(x/5^3)/5^2 - cos(x/7^3)/7^2 + ・・・
＝L(2) - L(8)・x^2 /2！+ L(14)・x^4 /4！- L(20)・x^6 /6！+ L(26)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、当然ながら次となる。
cos(x/1^3)/1^3 - cos(x/3^3)/3^3 + cos(x/5^3)/5^3 - cos(x/7^3)/7^3 + ・・・
＝L(3) - L(9)・x^2 /2！+ L(15)・x^4 /4！- L(21)・x^6 /6！+ L(27)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^3)/1^4 - cos(x/3^3)/3^4 + cos(x/5^3)/5^4 - cos(x/7^3)/7^4 + ・・・
＝L(4) - L(10)・x^2 /2！+ L(16)・x^4 /4！- L(22)・x^6 /6！+ L(28)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次となる。
cos(x/1^3)/1^n - cos(x/3^3)/3^n + cos(x/5^3)/5^n - cos(x/7^3)/7^n + ・・・
＝L(n) - L(n+6)・x^2 /2！+ L(n+12)・x^4 /4！- L(n+18)・x^6 /6！+ L(n+24)・x^8 /8！- ・・・
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxに急速に近づくことがわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
次に、cos(x/n^4)型L(s)母関数を調べよう。
F(x)＝cos(x/1^4)/1^s - cos(x/3^4)/3^s + cos(x/5^4)/5^s - cos(x/7^4)/7^s + ・・・ ------①
まずs＝1とした場合を考える。
F(x)＝cos(x/1^4)/1 - cos(x/3^4)/3 + cos(x/5^4)/5 - cos(x/7^4)/7 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L(1) - L(9)・x^2 /2！+ L(17)・x^4 /4！- L(25)・x^6 /6！+ L(33)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^4)/1 - cos(x/3^4)/3 + cos(x/5^4)/5 - cos(x/7^4)/7 + ・・・
＝L(1) - L(9)・x^2 /2！+ L(17)・x^4 /4！- L(25)・x^6 /6！+ L(33)・x^8 /8！- ・・・
F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。
次に①でs＝2とした場合を考える。
F(x)＝cos(x/1^4)/1^2 - cos(x/3^4)/3^2 + cos(x/5^4)/5^2 - cos(x/7^4)/7^2 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝L(2) - L(10)・x^2 /2！+ L(18)・x^4 /4！- L(26)・x^6 /6！+ L(34)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次となる。
cos(x/1^4)/1^2 - cos(x/3^4)/3^2 + cos(x/5^4)/5^2 - cos(x/7^4)/7^2 + ・・・
＝L(2) - L(10)・x^2 /2！+ L(18)・x^4 /4！- L(26)・x^6 /6！+ L(34)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、当然ながら次が成り立つ。
cos(x/1^4)/1^3 - cos(x/3^4)/3^3 + cos(x/5^4)/5^3 - cos(x/7^4)/7^3 + ・・・
＝L(3) - L(11)・x^2 /2！+ L(19)・x^4 /4！- L(27)・x^6 /6！+ L(35)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^4)/1^4 - cos(x/3^4)/3^4 + cos(x/5^4)/5^4 - cos(x/7^4)/7^4 + ・・・
＝L(4) - L(12)・x^2 /2！+ L(20)・x^4 /4！- L(28)・x^6 /6！+ L(36)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次となる。
cos(x/1^4)/1^n - cos(x/3^4)/3^n + cos(x/5^4)/5^n - cos(x/7^4)/7^n + ・・・
＝L(n) - L(n+8)・x^2 /2！+ L(n+16)・x^4 /4！- L(n+24)・x^6 /6！+ L(n+32)・x^8 /8！- ・・・
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにきわめて急速に近づくことがわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
このページで得たL(s)母関数の一般式を並べてみる。
cos(x/1)/1^s - cos(x/3)/3^s + cos(x/5)/5^s - cos(x/7)/7^s + ・・・
＝L(s) - L(s+2)・x^2 /2！+ L(s+4)・x^4 /4！- L(s+6)・x^6 /6！+ L(s+8)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^2)/1^s - cos(x/3^2)/3^s + cos(x/5^2)/5^s - cos(x/7^2)/7^s + ・・・
＝L(s) - L(s+4)・x^2 /2！+ L(s+8)・x^4 /4！- L(s+12)・x^6 /6！+ L(s+16)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^3)/1^s - cos(x/3^3)/3^s + cos(x/5^3)/5^s - cos(x/7^3)/7^s + ・・・
＝L(s) - L(s+6)・x^2 /2！+ L(s+12)・x^4 /4！- L(s+18)・x^6 /6！+ L(s+24)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^4)/1^s - cos(x/3^4)/3^s + cos(x/5^4)/5^s - cos(x/7^4)/7^s + ・・・
＝L(s) - L(s+8)・x^2 /2！+ L(s+16)・x^4 /4！- L(s+24)・x^6 /6！+ L(s+32)・x^8 /8！- ・・・
きれいな規則性があるので、さらに一般化でき、容易に次を得る。
cos(x/1^r)/1^s - cos(x/3^r)/3^s + cos(x/5^r)/5^s - cos(x/7^r)/7^s + ・・・
＝L(s) - L(s+2r)・x^2 /2！+ L(s+4r)・x^4 /4！- L(s+6r)・x^6 /6！+ - ・・・
普遍的な式と言えるだろう。これまではｓ、ｒが整数の場合だけを扱ったが、もちろん実数へと一般化できる。
まだ詳しく調べていないが、少なくともs、rは、s>0，r >＝0とできる。定義域は-∞<x<∞である。
右辺のL(s)の間隔を大きくとりたければ、rを大きな値に設定すればよいとわかる。
例えば、s＝2、r＝50とすれば、L(2)、L(102)、L(202)、・・が右辺に登場してくる。
またL(3/4)を出したければ、s＝3/4とすればよい。
まとめておく。
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