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＜ ゼータ関数LA(s) ＞
ディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種であるLA(s)の母関数を調べる。LA(s)は虚２次体Ｑ（√-3）に対応する。
cos(x/n)型、cos(x/n^2)型、cos(x/n^3)型LA(s)母関数を考察。LA(s)の普遍的な一般式を出した。
LA(s)は、次で定義されるゼータ関数である。
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + ・・・ ------①
LA(s)も、ディリクレのL関数L(χ,s)の一種のゼータ関数である。
ディリクレのＬ関数L(χ,s)は次のように定義されるが、LA(s)は、a≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, -1と
したときのL(χ,s)に一致する。
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
①をもっと長く書けば、次のようになる。
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s + ・・・ ------②
ディリクレ指標χ(ａ)の定義を再度書いておく。
χ(ａ)は、ある自然数Ｎについて、次の３条件を満たすものである。
（１）a≡b mod N ならχ(ａ)＝χ(b)
（２）χ(ab)＝χ(a)χ(b)
（３）aとＮが共通因数を持つときに限り、χ(a)＝0
①のディリクレ指標「a≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, -1」が、この３条件を満たしていることを確認して
いただきたい。この場合、N＝3であり、よって、LA(s)の導手は3である。最小単位の導手3でもってLA(s)が特徴づけら
れていることが①や②から容易にわかる。
LA(s)は虚２次体Ｑ（√-3）に対応するゼータ関数でもある。
なお、このLA(s)ゼータは「天王星 その１」の＜π/3代入＞でも登場し、私の予想に関連していろいろと調べた。
余談だが、「虚２次体の類数公式」というディリクレが１９世紀に証明した公式がある。
L(χ,1)＝2πh/(w√N) ------③
というものである。 これにより、L(χ,s)のs＝1での値L(χ,1)がわかるというのである。
ここで、hは虚２次体の類数、Nはディリクレ指標χ(ａ)の導手、ｗは虚２次体に含まれる1のべき根の個数である。
1のべき根というのは何乗かすると1になる複素数のことであり、例えば、虚数単位 i は、４乗すると1になるから1の
べき根である。
さて、ゼータ関数LA(s)は虚２次体Ｑ（√-3）に対応する。Ｑ（√-3）のhは1であり、その導手Ｎは3である。そして
Ｑ（√-3）に含まれるべき根の個数ｗは6であることが知られている(*)。よって、これらを③に代入して、
LA(1)＝2π・1/(6√3)＝π/(3√3)
となる。
すなわち、
1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + 1/10 - 1/11 + ・・・＝π/(3√3)
とわかる。
このページでは、LA(s)の母関数を調べる。もちろん、「その１」で発見した手法の類似を行うわけである。
(*)「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）
次の母関数を構成した。
F(x)＝cos(x/1)/1^s - cos(x/2)/2^s + cos(x/4)/4^s - cos(x/5)/5^s + ・・・ ------①
”cos(x/n)型LA(s)母関数”と名づける。まずs＝1とした場合を考えよう。すなわち、
F(x)＝cos(x/1)/1 - cos(x/2)/2 + cos(x/4)/4 - cos(x/5)/5 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝LA(1) - LA(3)・x^2 /2！+ LA(5)・x^4 /4！- LA(7)・x^6 /6！+ LA(9)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次となる。
cos(x/1)/1 - cos(x/2)/2 + cos(x/4)/4 - cos(x/5)/5 + ・・・
＝LA(1) - LA(3)・x^2 /2！+ LA(5)・x^4 /4！- LA(7)・x^6 /6！+ LA(9)・x^8 /8！- ・・・ ------②
F(x)がLA(ｓ)の母関数となっていることがわかる。
すぐ気づくが、
F(0)＝LA(1)
であり、またF(x)を２回微分したF´´(x)のF´´(0)が F´´(0)＝-LA(3) となる。すなわち、
F(0)＝LA(1)
F^(2)(0)＝-LA(3)
F^(4)(0)＝LA(5)
・
・
となっている。F^(n)(x)は、F(x)のn回微分を表す。
F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。②のべき級数を見ると収束半径ＲはＲ＝∞となるからそれがわかる。
（また右辺の項をすこし先にいけば、ほぼLA(n)はほとんど1とイコールとなるので、それ以降はcosxと同じであるともいえ、それによっても-∞<x<∞が
わかる。）
次にs＝2とした場合を考える。すなわち、
F(x)＝cos(x/1)/1^2 - cos(x/2)/2^2 + cos(x/4)/4^2 - cos(x/5)/5^2 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝LA(2) - LA(4)・x^2 /2！+ LA(6)・x^4 /4！- LA(8)・x^6 /6！+ LA(10)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1)/1^2 - cos(x/2)/2^2 + cos(x/4)/4^2 - cos(x/5)/5^2 + ・・・
＝LA(2) - LA(4)・x^2 /2！+ LA(6)・x^4 /4！- LA(8)・x^6 /6！+ LA(10)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、当然ながら次となる。
cos(x/1)/1^3 - cos(x/2)/2^3 + cos(x/4)/4^3 - cos(x/5)/5^3 + ・・・
＝LA(3) - LA(5)・x^2 /2！+ LA(7)・x^4 /4！- LA(9)・x^6 /6！+ LA(11)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1)/1^4 - cos(x/2)/2^4 + cos(x/4)/4^4 - cos(x/5)/5^4 + ・・・
＝LA(4) - LA(6)・x^2 /2！+ LA(8)・x^4 /4！- LA(10)・x^6 /6！+ LA(12)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次が成り立つ。
cos(x/1)/1^n - cos(x/2)/2^n + cos(x/4)/4^n - cos(x/5)/5^n + ・・・
＝LA(n) - LA(n+2)・x^2 /2！+ LA(n+4)・x^4 /4！- LA(n+6)・x^6 /6！+ LA(n+8)・x^8 /8！- ・・・ ----③
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくことがわかる。
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + ・・・
というLA(ｓ)の定義式から、sが大きくなると、LA(ｓ)は1にきわめて近くなる。
よって、
F(x)＝cos(x/1)/1^n - cos(x/2)/2^n + cos(x/4)/4^n - cos(x/5)/5^n + ・・・
とすると、③より、
limF(x)＝cosx
(n->∞)
となるとわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
次に、cos(x/n^2)型LA(s)母関数を調べたい。次である。
F(x)＝cos(x/1^2)/1^s - cos(x/2^2)/2^s + cos(x/4^2)/4^s - cos(x/5^2)/5^s + ・・・ ------①
まずs＝1とした場合を考えよう。すなわち、
F(x)＝cos(x/1^2)/1 - cos(x/2^2)/2 + cos(x/4^2)/4 - cos(x/5^2)/5 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝LA(1) - LA(5)・x^2 /2！+ LA(9)・x^4 /4！- LA(13)・x^6 /6！+ LA(17)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^2)/1 - cos(x/2^2)/2 + cos(x/4^2)/4 - cos(x/5^2)/5 + ・・・
＝LA(1) - LA(5)・x^2 /2！+ LA(9)・x^4 /4！- LA(13)・x^6 /6！+ LA(17)・x^8 /8！- ・・・ ------②
F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。
次にs＝2とした場合を考える。すなわち、
F(x)＝cos(x/1^2)/1^2 - cos(x/2^2)/2^2 + cos(x/4^2)/4^2 - cos(x/5^2)/5^2 + ・・・
を見る。右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝LA(2) - LA(6)・x^2 /2！+ LA(10)・x^4 /4！- LA(14)・x^6 /6！+ LA(18)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^2)/1^2 - cos(x/2^2)/2^2 + cos(x/4^2)/4^2 - cos(x/5^2)/5^2 + ・・・
＝LA(2) - LA(6)・x^2 /2！+ LA(10)・x^4 /4！- LA(14)・x^6 /6！+ LA(18)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、次となる。
cos(x/1^2)/1^3 - cos(x/2^2)/2^3 + cos(x/4^2)/4^3 - cos(x/5^2)/5^3 + ・・・
＝LA(3) - LA(7)・x^2 /2！+ LA(11)・x^4 /4！- LA(15)・x^6 /6！+ LA(19)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^2)/1^4 - cos(x/2^2)/2^4 + cos(x/4^2)/4^4 - cos(x/5^2)/5^4 + ・・・
＝LA(4) - LA(8)・x^2 /2！+ LA(12)・x^4 /4！- LA(16)・x^6 /6！+ LA(20)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次が成り立つ。
cos(x/1^2)/1^n - cos(x/2^2)/2^n + cos(x/4^2)/4^n - cos(x/5^2)/5^n + ・・・
＝LA(n) - LA(n+4)・x^2 /2！+ LA(n+8)・x^4 /4！- LA(n+12)・x^6 /6！+ LA(n+16)・x^8 /8！- ・・・ ----③
この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくことがわかる。
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + ・・・
というLA(ｓ)の定義式から、sが大きくなると、LA(ｓ)は1に極めて近くなる。
よって、
F(x)＝cos(x/1^2)/1^n - cos(x/2^2)/2^n + cos(x/4^2)/4^n - cos(x/5^2)/5^n + ・・・
とすると、③より、
limF(x)＝cosx
(n->∞)
となるとわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
次に、cos(x/n^3)型LA(s)母関数を調べよう。すなわち、次である。
F(x)＝cos(x/1^3)/1^s - cos(x/2^3)/2^s + cos(x/4^3)/4^s - cos(x/5^3)/5^s + ・・・ ------①
まずs＝1とした場合を考える。
F(x)＝cos(x/1^3)/1 - cos(x/2^3)/2 + cos(x/4^3)/4 - cos(x/5^3)/5 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝LA(1) - LA(7)・x^2 /2！+ LA(13)・x^4 /4！- LA(19)・x^6 /6！+ LA(25)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1 - cos(x/2^3)/2 + cos(x/4^3)/4 - cos(x/5^3)/5 + ・・・
＝LA(1) - LA(7)・x^2 /2！+ LA(13)・x^4 /4！- LA(19)・x^6 /6！+ LA(25)・x^8 /8！- ・・・ -----②
F(x)は全ての実数（-∞<x<∞）を定義域にとれる。
次にs＝2とした場合を考える。
F(x)＝cos(x/1^3)/1^2 - cos(x/2^3)/2^2 + cos(x/4^3)/4^2 - cos(x/5^3)/5^2 + ・・・
右辺をx＝0周りでテイラー展開すると、次となる。
F(x)＝LA(2) - LA(8)・x^2 /2！+ LA(14)・x^4 /4！- LA(20)・x^6 /6！+ LA(26)・x^8 /8！- ・・・
すなわち、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1^2 - cos(x/2^3)/2^2 + cos(x/4^3)/4^2 - cos(x/5^3)/5^2 + ・・・
＝LA(2) - LA(8)・x^2 /2！+ LA(14)・x^4 /4！- LA(20)・x^6 /6！+ LA(26)・x^8 /8！- ・・・
同様にして、s＝3と s＝4 では、次となる。
cos(x/1^3)/1^3 - cos(x/2^3)/2^3 + cos(x/4^3)/4^3 - cos(x/5^3)/5^3 + ・・・
＝LA(3) - LA(9)・x^2 /2！+ LA(15)・x^4 /4！- LA(21)・x^6 /6！+ LA(27)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^3)/1^4 - cos(x/2^3)/2^4 + cos(x/4^3)/4^4 - cos(x/5^3)/5^4 + ・・・
＝LA(4) - LA(10)・x^2 /2！+ LA(16)・x^4 /4！- LA(22)・x^6 /6！+ LA(28)・x^8 /8！- ・・・
以上を一般的に書けば、次が成り立つ。
cos(x/1^3)/1^n - cos(x/2^3)/2^n + cos(x/4^3)/4^n - cos(x/5^3)/5^n + ・・・
＝LA(n) - LA(n+6)・x^2 /2！+ LA(n+12)・x^4 /4！- LA(n+18)・x^6 /6！+ LA(n+24)・x^8 /8！- ・・・
これまでと同様、この式から、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）cosxにどんどん近づくことがわかる。
まとめておく。（一般式のnはsで表した）
このページで得たLA(s)母関数の一般式を並べてみる。
cos(x/1)/1^s - cos(x/2)/2^s + cos(x/4)/4^s - cos(x/5)/5^s + ・・・
＝LA(s) - LA(s+2)・x^2 /2！+ LA(s+4)・x^4 /4！- LA(s+6)・x^6 /6！+ LA(s+8)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^2)/1^s - cos(x/2^2)/2^s + cos(x/4^2)/4^s - cos(x/5^2)/5^s + ・・・
＝LA(s) - LA(s+4)・x^2 /2！+ LA(s+8)・x^4 /4！- LA(s+12)・x^6 /6！+ LA(s+16)・x^8 /8！- ・・・
cos(x/1^3)/1^s - cos(x/2^3)/2^s + cos(x/4^3)/4^s - cos(x/5^3)/5^s + ・・・
＝LA(s) - LA(s+6)・x^2 /2！+ LA(s+12)・x^4 /4！- LA(s+18)・x^6 /6！+ LA(s+24)・x^8 /8！- ・・・
きれいな規則性があるので、さらに一般化でき容易に次を得る。
cos(x/1^r)/1^s - cos(x/2^r)/2^s + cos(x/4^r)/4^s - cos(x/5^r)/5^s + ・・・
＝LA(s) - LA(s+2r)・x^2 /2！+ LA(s+4r)・x^4 /4！- LA(s+6r)・x^6 /6！+ LA(s+8r)・x^8 /8！- ・・・
普遍的な式と言える。これまではs、rが整数の場合だけを扱ったが、もちろん実数へと一般化できる。
まだ詳しく調べていないが、少なくともs、rは、s>0，r >＝0とできる。定義域は-∞<x<∞である。
例えば、上から三つ目の式で、s＝1/2とおくと、
cos(x/1^3)/1^0.5 - cos(x/2^3)/2^0.5 + cos(x/4^3)/4^0.5 - cos(x/5^3)/5^0.5 + ・・・
＝LA(0.5) - LA(6.5)・x^2 /2！+ LA(12.5)・x^4 /4！- LA(18.5)・x^6 /6！+ LA(24.5)・x^8 /8！- ・・・
となる。1/2は、0.5で表現した。
一般式をまとめておく。
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