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＜ coshでのゼータ母関数一般式 ＞
「池谷・関彗星」での一般式をさらに一般化した。
cosに対するcoshで類似を調べた。cosh(x/n)型、cosh(x/n^2)型、cosh(x/n^3)型を調べ、普遍的な一般式を導出。
coshxでの特異点解消。
この「池谷・関彗星」シリーズで得られた種々のゼータ関数の一般式をさらに普遍化したい。
ディリクレのL関数L(χ,s)は
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
で定義されるゼータである。リーマン・ゼータζ(ｓ)を拡張したものともいえる。
ディリクレ指標χ(ａ)は、ある自然数Ｎについて、次の３条件を満たす。
（１）a≡b mod N ならχ(ａ)＝χ(b)
（２）χ(ab)＝χ(a)χ(b)
（３）aとＮが共通因数を持つときに限り、χ(a)＝0
このL(χ,s)から、種々のχ(ａ)に対応する様々なゼータ関数が無数に生み出されていく。
まず「その１」〜「その６」で得られた種々のゼータの一般式をまとめて並べて書く。
ζ(ｓ)は、次で定義される、よく知られたリーマン・ゼータである。
ζ(ｓ)＝1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s +・・・
ζ(ｓ)もディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種であり、「すべてのaに対してχ(ａ)＝1」としたときのL(χ,s)に一致する。
L(s)は、次で定義される。
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
「a≡0, 1, 2, 3 mod 4に対しそれぞれχ(ａ)＝0, 1, 0, -1」というχ(ａ)をもつ。
L(s)は虚２次体Ｑ（√-1）に対応する。「その３」で得た一般式を書いておく。
LA(s)は、次で定義される。
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + ・・・
「a≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, -1」というχ(ａ)をもつ。
LA(s)は虚２次体Ｑ（√-3）に対応する。「その４」で得た一般式を書く。
L1(s)は、
L1(s)＝(1 - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s ) + (1/9^s - 1/11^s - 1/13^s + 1/15^s ) + ・・・
「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、 それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)をもつ。
L1(s)は実２次体Ｑ（√2）に対応する。「その５」で得た一般式を書く。
L2(s)は、次で定義される。
L2(s)＝(1 + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s ) + (1/9^s + 1/11^s - 1/13^s - 1/15^s ) + ・・・
「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)をもつ。
L2(s)は虚２次体Ｑ（√-2）に対応する。「その６」で得た一般式を書いておく。
これらを眺めると、次のように一挙に抽象的に表現できることがわかる。
じつは、coshでも「その１」〜「その７」までの類似の結果が出せる。
coshx＝(e^x+e^(-x))/2＝1 + ｘ^2/2！+ ｘ^4/4！+ ｘ^6/6！+・・・
である。また、当たり前だがcosxは、
cosx＝1 - ｘ^2/2！+ ｘ^4/4！- ｘ^6/6！+・・・
である。
このcoshxで具体例を見てみよう。
「その１」の＜ζ(ｓ)cos(x/n)型母関数＞の類似を行う。cosに対してcoshを見る。やり方は全く同じなので途中は略す。
F(x)＝cosh(x/1)/1^s + cosh(x/2)/2^s + cosh(x/3)/3^s + cosh(x/4)/4^s + ・・・
のｓ＝1、2、3の各場合を調べると、次のようになる。
s＝1、2、3できれいな規則性が出ている。容易に一般化できて、一般式は次となる。
次に「その１」の＜ζ(ｓ)cos(x/n^2)型母関数＞の類似を行う。cosに対してcoshを見るのである。
やり方は、同じなので途中は略す。
F(x)＝cosh(x/1^2)/1^s + cosh(x/2^2)/2^s + cosh(x/3^2)/3^s + cosh(x/4^2)/4^s + ・・・
のｓ＝1、2、3の各場合を調べると、次のようになる。
上式では、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）coshxにどんどん近づくことがわかる。
なぜなら
coshx＝1 + x^2 /2！+ x^4 /4！+ x^6 /6！+ x^8 /8！+ ・・・
であり、
ζ(2)＝1.6449・・
ζ(3)＝1.2020・・
ζ(4)＝1.0823・・
ζ(5)＝1.0369・・
ζ(6)＝1.0173・・
ζ(7)＝1.0083・・
ζ(8)＝1.0040・・
ζ(9)＝1.0020・・
ζ(10)＝1.0009・・
・
・
であって、ｎが増せばどんどんとζ(n)は1に近づくから、それがわかる。
F(x)＝cosh(x/1^2)/1^s + cosh(x/2^2)/2^s + cosh(x/3^2)/3^s + cosh(x/4^2)/4^s + ・・・
とすると、
limF(x)＝coshx
(n->∞)
となっているわけである。
s＝1、2、3できれいな規則性が出ている。容易に一般化でき、次となる。
次に「その２」の＜ζ(ｓ)cos(x/n^3)型母関数＞の類似を行う。cosに対してcoshを見るのである。
やり方は、同じなので途中は略す。
F(x)＝cosh(x/1^3)/1^s + cosh(x/2^3)/2^s + cosh(x/3^3)/3^s + cosh(x/4^3)/4^s + ・・・
のｓ＝1、2、3の各場合を調べると、次となる。
上式では、nが大きくなるほど、右辺は（つまり左辺は）coshxにどんどん近づくことがわかる。
s＝1、2、3できれいな規則性が出ているので、容易に一般化でき、次となる。
上で得た、r がいろいろな数の場合のcosh(x/n^r)型ζ(ｓ)母関数の一般式を並べる。
cosh(x/1)/1^s + cosh(x/2)/2^s + cosh(x/3)/3^s + cosh(x/4)/4^s + ・・・
＝ζ(s) + ζ(s+2)・x^2 /2！+ ζ(s+4)・x^4 /4！+ ζ(s+6)・x^6 /6！+ ζ(s+8)・x^8 /8！+ ・・・
cosh(x/1^2)/1^s + cosh(x/2^2)/2^s + cosh(x/3^2)/3^s + cosh(x/4^2)/4^s + ・・・
＝ζ(s) + ζ(s+4)・x^2 /2！+ ζ(s+8)・x^4 /4！+ ζ(s+12)・x^6 /6！+ ζ(s+16)・x^8 /8！+ ・・・
cosh(x/1^3)/1^s + cosh(x/2^3)/2^s + cosh(x/3^3)/3^s + cosh(x/4^3)/4^s + ・・・
＝ζ(s) + ζ(s+6)・x^2 /2！+ ζ(s+12)・x^4 /4！+ ζ(s+18)・x^6 /6！+ ζ(s+24)・x^8 /8！+ ・・・
きれいな規則性があるので、これらを一般化して、次の一般式を得ることができる。
cosh(x/1^r)/1^s + cosh(x/2^r)/2^s + cosh(x/3^r)/3^s + cosh(x/4^r)/4^s + ・・・
＝ζ(s) + ζ(s+2r)・x^2 /2！+ ζ(s+4r)・x^4 /4！+ ζ(s+6r)・x^6 /6！+ ・・・
美しい普遍的な式と言えるだろう。
これまでは、ｓ、ｒが整数の場合だけを扱ったが、もちろん、実数へと一般化できる。
まだ詳しく調べていないが、少なくとも、s、rは、s>1，r >0とできる。
右辺のζ(ｓ)の間隔を大きくとりたければ、rを大きな値に設定すればよいとわかる。
例えば、s＝2、r＝50とすれば、ζ(2)、ζ(102)、ζ(202)、・・が右辺に登場してくる。
また例えば、右辺にζ(3/2)を出したければ、s＝3/2とすればよい。
まとめておく。
上方では、極ζ(1)という特異点が発生する数式があった。ζ(1)は、ζ(1)＝+∞で、リーマン・ゼータζ(ｓ)の特異点と
なっている。
「池谷・関彗星 その１」の＜交代形cos(x/n)型ζ(ｓ)母関数＞でやったのと同様の手法を用いれば、ここでも特異点
の発生を抑えることができるのである。具体的な二つの場合だけを記す。
cosh(x/1)/1 - cosh(x/2)/2 + cosh(x/3)/3 - cosh(x/4)/4 + ・・・
＝log2 + (1-1/2^2)ζ(3)x^2 /2！+ (1-1/2^4)ζ(5)x^4 /4！+ (1-1/2^6)ζ(7)x^6 /6！+ ・・・
cosh(x/1^2)/1 - cosh(x/2^2)/2 + cosh(x/3^2)/3 - cosh(x/4^2)/4 + ・・・
＝log2 + (1-1/2^4)ζ(5)x^2 /2！+ (1-1/2^8)ζ(9)x^4 /4！+ (1-1/2^12)ζ(13)x^6 /6！+ ・・・
ゼータの心で見ればlog2＝(1-1/2^0)ζ(1)であり、その視点から上式を見れば、ここでもきれいな秩序が出ている
ことがわかる。
coshxの場合も、「池谷・関彗星」の「その１」〜「その６」でやったcosxの場合と全く同様におしすすめることができ、
この頁トップのように超一般化までもっていくことができるが、やり方は同じなので、略す。
coshxはここで終わる。
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