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π/3代入のLA(n)とζ(n)の繰り込み値の不思議の構造を整理整頓した。
π/3代入の場合は、この「ハレー彗星」では示していなかったが、「その４」、「その５」の継続の意味で、
π/3代入の場合もまとめておく。
「火星 その３」の場合、LA(2n)とζ(2n+1)の値の場合（非明示な場合）を見よう。
[A]と[B]を比較する形で見られたい。「火星 その３」の部分を抜きだし［A］としよう。
[A]*****************************************************************************
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
（0 < x < 2π）
では、①を重回積分-重回微分した結果を書き下していきます。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
｛2sin(x/2)・sin(x/2)+4(2+cosx)cos(x/2)｝/(sin(x/2))^5＝2^4sinx + 4^4sin2x + 6^4sin3x + 8^4sin4x + ・・・・
3回微分
(2+cosx)/(sin(x/2))^4＝2^3cosx + 4^3cos2x + 6^3cos3x + 8^3cos4x + ・・・・
2回微分
cos(x/2)/(sin(x/2))^3＝-(2^2sinx + 4^2sin2x + 6^2sin3x + 8^2sin4x + ・・・・）
1回微分
-1/(sin(x/2))^2＝2(2cosx + 4cos2x + 6cos3x + 8cos4x + ・・・・）
0回積分
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・・）
１回積分
log(2sin(x/2))＝-(cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・・)
2回積分
∫log(2sin(x/2))＝-(sinx/1^2 + sin2x/2^2 + sin3x/3^2 + ・・・)
3回積分
∫∫log(2sin(x/2))＝(cosx/1^3 + cos2x/2^3 + cos3x/3^3 + ・・・) - ζ(3)
4回積分
∫∫∫log(2sin(x/2))＝(sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 + ・・・) - ζ(3)・x/1！
5回積分
∫∫∫∫log(2sin(x/2))＝-(cosx/1^5 + cos2x/2^5 + cos3x/3^5 + ・・・) + ζ(5) - ζ(3)・x^2/2！
6回積分
∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝-(sinx/1^6 + sin2x/2^6 + sin3x/3^6 + ・・・) + ζ(5)・x/1！ - ζ(3)・x^3/3！
7回積分
∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(cosx/1^7 + cos2x/2^7 + cos3x/3^7 + ・・・) - ζ(7) + ζ(5) ・x^2/2！ - ζ(3)・x^4/4！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(sinx/1^8 + sin2x/2^8 + sin3x/3^8 + ・・・) - ζ(7)・x/1！ + ζ(5)・x^3/3！ - ζ(3)・x^5/5！
・
・
と、このように上下に延々と続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
上の式の x にπ/3を代入すると、次のようになります。
［π/3代入の式］
・
・
4回微分
LA(-4)＝2/3
3回微分
ζ(-3)＝1/120
2回微分
LA(-2)＝-2/9
1回微分
ζ(-1)＝-1/12
0回積分
LA(0)＝1/3
１回積分
0 ＝ 0
2回積分
-√3/2・(1+1/2)LA(2)＝∫(0～π/3) log(2sin(x/2))
3回積分
(1-1/2^2)(1-1/3^2)ζ(3)/2 -ζ(3)＝∫(0～π/3)∫log(2sin(x/2))
4回積分
√3/2・(1+1/2^3)LA(4) - ζ(3)・(π/3)＝∫(0～π/3)∫∫log(2sin(x/2))
5回積分
- (1-1/2^4)(1-1/3^4)ζ(5)/2 + ζ(5) - ζ(3)・(π/3)^2/2！
＝∫(0～π/3)∫∫∫log(2sin(x/2))
6回積分
-√3/2・(1+1/2^5)LA(6) + ζ(5)・(π/3) - ζ(3)・(π/3)^3/3！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫log(2sin(x/2))
7回積分
(1-1/2^6)(1-1/3^6)ζ(7)/2 - ζ(7) + ζ(5)・(π/3)^2/2！- ζ(3)・(π/3)^4/4！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
8回積分
√3/2・(1+1/2^7)LA(8) - ζ(7)・(π/3) + ζ(5)・(π/3) ^3/3！- ζ(3)・(π/3)^5/5！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
・
・
と、このようになり、またζ(2n+1)とLA(2n)が飛び出してきました。
上で右辺の重回積分は一番最後の∫だけが0～π/3の定積分で、その他の∫はすべて0～xの定積分。
LA(s)は
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s + ・・・
であり、またζ(s)はもちろんリーマン・ゼータです。
上でも述べましたが、繰り返しますと、ζ(s)は全てのaに対しχ(a)＝1としたときのディリクレのL関数L(χ,s)です。
LA(s)は、a≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, -1としたときのL(χ,s)に一致します。χ(a)はディリクレ指標。
さて、一方の中心母等式のπ/3の結果がわかりました。
次に、もう一方の式のπ/3代入を調べます。つねに二式の結果をペアで比較するというのが火星シリーズの主題です。
*****************************************************************************
上の［A］の結果はきわめて美しいものですが、その微分側の構造の本質は次の［B］で明らかになった。
[B]*****************************************************************************
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
（0 < x < 2π）
LA(0)＝1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ・・・＝1/3
ζ(-1)＝1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ・・・＝-1/12
LA(-2)＝1^2 - 2^2 + 4^2 - 5^2 + 7^2 - 8^2 + 10^2 - 11^2 + ・・・＝-2/9
ζ(-3)＝1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 +・・・ ＝1/120
LA(-4)＝1^4 - 2^4 + 4^4 - 5^4 + 7^4 - 8^4 + 10^4 - 11^4 + ・・・＝2/3
ζ（-5）＝1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 +・・・ ＝-1/252
・
・
という不思議は、初等的な実数範囲内の議論で①より自然に導出される。以下に示す。
まず右辺から考えよう。sinx，sin2x， sin3x， sin4x・・・各々のx=π/3の周りでのテイラー展開を並べよう。
sinx＝√3/2 + 1/2・(x-π/3)/1！ - √3/2・(x-π/3)^2/2！- 1/2・(x-π/3)^3/3！+ ・・・
sin2x＝√3/2 -2/2・(x-π/3)/1！ - 2^2・√3/2・(x-π/3)^2/2！+ 2^3/2・(x-π/3)^3/3！+ ・・・
sin3x＝-3・(x-π/3)/1！ + 3^3・(x-π/3)^3/3！- 3^5・(x-π/3)^5/5！+ ・・・
sin4x＝-√3/2 - 4/2・(x-π/3)/1！ + 4^2・√3/2・(x-π/3)^2/2！+ 4^3/2・(x-π/3)^3/3！- ・・・
sin5x＝-√3/2 + 5/2・(x-π/3)/1！ + 5^2・√3/2・(x-π/3)^2/2！- 5^3/2・(x-π/3)^3/3！- ・・・
sin6x＝6・(x-π/3)/1！ - 6^3・(x-π/3)^3/3！+ 6^5・(x-π/3)^5/5！- ・・・
・
・
これを縦に足していき、(x-π/3)^nの同じ次数の項をまとめると次のようになる。
sinx + sin2x + sin3x + ・・・
＝√3/2・(1 - 1 + 1 - 1 +・・)
+ 1/2・(1 - 2 - 3×2 - 4 + 5 + 6×2 +・・)(x-π/3)/1！
- √3/2・(1^2 + 2＾2 - 4^2 - 5^2 + 7^2 + 8＾2 - 10^2 - 11^2 +・・)(x-π/3)^2/2！
- 1/2・(1^3 - 2＾3 - 3^3×2 - 4^3 + 5^3 + 6＾3×2 + ・・)(x-π/3)^3/3！
+ √3/2・(1^4 + 2＾4 - 4^4 - 5^4 + 7^4 + 8＾4 - 10^4 - 11^4 +・・)(x-π/3)^4/4！
+ 1/2・(1^5 - 2＾5 - 3^5×2 - 4^5 + 5^5 + 6＾5×2 + ・・)(x-π/3)^5/5！
・
・
＝√3/2・(1+2)・LA(0) + 1/2・(1-2^2)(1-3^2)ζ(-1)(x-π/3)/1！
- √3/2・(1+2^3)・LA(-2)(x-π/3)^2/2！- 1/2・(1-2＾4)(1-3^4)ζ(-3)(x-π/3)^3/3！
+ √3/2・(1+2^5)・LA(-4)(x-π/3)^4/4！+ 1/2・(1-2＾6)(1-3^6)ζ(-5)(x-π/3)^5/5！+・・・
よって、
sinx + sin2x + sin3x + ・・・
＝√3/2・(1+2)・LA(0) + 1/2・(1-2^2)(1-3^2)ζ(-1)(x-π/3)/1！
- √3/2・(1+2^3)・LA(-2)(x-π/3)^2/2！- 1/2・(1-2＾4)(1-3^4)ζ(-3)(x-π/3)^3/3！
+ √3/2・(1+2^5)・LA(-4)(x-π/3)^4/4！+ 1/2・(1-2＾6)(1-3^6)ζ(-5)(x-π/3)^5/5！+・・・ ------②
が得られた。美しい姿をしている。
このように①右辺のテイラー展開の係数にゼータの繰り込み値LA(0)，LA(-2)，・・やζ(-1)，ζ(-3)，・・がのって
くるのである。
次に①の左辺に着目してそのテイラー展開を求める。
①の左辺cos(x/2)/sin(x/2)＝f(x)のx＝π/3の周りでのテイラー展開を実行する。次のようになる。
1/2・cos(x/2)/sin(x/2)
＝f(π/3) + f´(π/3)・(x-π/3)/1！+ f´´(π/3)・(x-π/3)^2/2！
+ f´´´(π/3)・(x-π/3)^3/3！ + f´´´´(π/3)・(x-π/3)^4/4！ + ・・・
＝√3/2 - (x-π/3) + √3・(x-π/3)^2/2！- 5・(x-π/3)^3/3！ + 11√3・(x-π/3)^4/4！+ ・・・ -----③
①、②、③より次が成り立つ。
f(π/3) + f´(π/3)・(x-π/3)/1！+f´´(π/3)・(x-π/3)^2/2！
+ f´´´(π/3)・(x-π/3)^3/3！ + f´´´´(π/3)・(x-π/3)^4/4！ + ・・・
＝√3/2・(1+2)・LA(0) + 1/2・(1-2^2)(1-3^2)ζ(-1)(x-π/3)/1！
- √3/2・(1+2^3)・LA(-2)(x-π/3)^2/2！- 1/2・(1-2＾4)(1-3^4)ζ(-3)(x-π/3)^3/3！
+ √3/2・(1+2^5)・LA(-4)(x-π/3)^4/4！+ 1/2・(1-2＾6)(1-3^6)ζ(-5)(x-π/3)^5/5！+・・・ ------④
①の左辺のcos(x/2)/sin(x/2)＝f(x)をn回微分したf(π/3)， f´(π/3)，f´´(π/3)， f´´´(π/3)，f´´´´(π/3)，・・
が登場していることに着目されたい。また④右辺ではテイラー展開の係数に繰り込み値の特殊値がのっている。
④が重要な意味をもつ。
④の左辺と右辺の同次数の(x-π)^nの項同士をくらべると、0回微分の値f(π/3)，1回微分の値 f´(π/3)，2回微分
の値 f´´(π/3)，3回微分の値f´´´(π/3)，4回微分の値 f´´´´(π/3)，・・はそれぞれLA(0)，ζ(-1)，LA(-2)，ζ(-3)，
LA(-4)，・・・に対応している。
つまり、［A］で「①の両辺を0回微分してx＝π/3を代入するとLA(0)が出た。1回微分してx＝π/3を代入するとζ(-1)
が出た。2回微分してx＝π/3を代入するとLA(-2)が出た。・・・・」となっているのは④をみると当然！となる。
［A］での微分側の結果は、この④式が元になっていたのである。
具体的な特殊値の値では、③と④から、
√3/2・(1+2)・LA(0)＝√3/2 よって、LA(0)＝1/3
1/2・(1-2^2)(1-3^2)ζ(-1)＝-1 よって、ζ(-1)＝-1/12
- √3/2・(1+2^3)・LA(-2)＝√3 よって、LA(-2)＝-2/9
- 1/2・(1-2＾4)(1-3^4)ζ(-3)＝-5 よって、ζ(-3)＝1/120
√3/2・(1+2^5)・L(-4)＝11√3 よって、LA(-2)＝2/3
・
・
などと次々に出てくる。
②式はきれいなので、もう一度、書いておこう。
sinx + sin2x + sin3x + ・・・
＝√3/2・(1+2)・LA(0) + 1/2・(1-2^2)(1-3^2)ζ(-1)(x-π/3)/1！
- √3/2・(1+2^3)・LA(-2)(x-π/3)^2/2！- 1/2・(1-2＾4)(1-3^4)ζ(-3)(x-π/3)^3/3！
+ √3/2・(1+2^5)・LA(-4)(x-π/3)^4/4！+ 1/2・(1-2＾6)(1-3^6)ζ(-5)(x-π/3)^5/5！+・・・
あるいは同じだが、
1/2・cos(x/2)/sin(x/2)
＝√3/2・(1+2)・LA(0) + 1/2・(1-2^2)(1-3^2)ζ(-1)(x-π/3)/1！
- √3/2・(1+2^3)・LA(-2)(x-π/3)^2/2！- 1/2・(1-2＾4)(1-3^4)ζ(-3)(x-π/3)^3/3！
+ √3/2・(1+2^5)・LA(-4)(x-π/3)^4/4！+ 1/2・(1-2＾6)(1-3^6)ζ(-5)(x-π/3)^5/5！+・・・
*****************************************************************************
上の［A］と［B］を比較することで「火星 その３」で見た不思議、①をn回微分してπ/3代入すると（n＝0, 1, 2,・・）
なぜかLA(-2n)とζ(-(2n+1))の値が求まるその不思議の理由がわかったといえる。
つまり、
①の中心母等式（フーリエ展開式）にテイラー展開という作用を加えると、ゼータ特殊値がべき級数の係数と
して現れるという構造が、私の理論（予想L-4）の裏側に潜んでいたからなのである。
①を2n回微分してπ/3代入すると、LA(-2n))値が生まれてくる。
①を(2n+1)回微分してπ/3代入すると、ζ(-(2n+1))値が生まれてくる。
次に、明示的な場合を示そう。
2005/9/17 ＜ ［π/3代入］ と ［LA(2n+1)とζ(2n)の値］ ＞
ここでは「冥王星 その４」（明示な場合）を考察の対象とする。
「冥王星 その４」の場合、LA(2n+1)とζ(2n)の値の場合を見よう。
[A]と[B]を比較する形で見られたい。「冥王星 その４」の部分を抜きだし［A］としよう。
[A]*****************************************************************************
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----②
（0 < x < 2π）
まず②を重回積分-重回微分した結果を書き下していきます。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
0＝cosx + 2^4cos2x + 3^4cos3x + 4^4cos4x + ・・・・
3回微分
0＝sinx + 2^3sin2x + 3^3sin3x + 4^3sin4x + ・・・・
2回微分
0＝-(cosx + 2^2cos2x + 3^2cos3x + 4^2cos4x + ・・・・)
1回微分
0＝- (sinx + 2sin2x + 3sin3x + 4sin4x + ・・・・)
0回積分
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・
１回積分
π/2 - 1/2・x＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・・・
2回積分
π/2・x - 1/2・x^2/2！＝- (cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + ・・・) + ζ(2)
3回積分
π/2・x^2/2！ - 1/2・x^3/3！＝- (sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + ・・・) + ζ(2)・x
4回積分
π/2・x^3/3！- 1/2・x^4/4！＝ (cosx/1^4 + cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + ・・・) - ζ(4) + ζ(2)・x^2/2！
5回積分
π/2・x^4/4！- 1/2・x^5/5！＝ (sinx/1^5 + sin2x/2^5 + sin3x/3^5 + ・・・) - ζ(4)・x + ζ(2)・x^3/3！
6回積分
π/2・x^5/5！- 1/2・x^6/6！
＝ - (cosx/1^6 + cos2x/2^6 + cos3x/3^6 + ・・・) + ζ(6) -ζ(4)・x^2/2！+ ζ(2)・x^4/4！
・
・
と、このように上下に延々と続いていきます。
このxにπ/3を代入して、２回積分と３回積分の場合のみを記すと（予想L-４を確認するにはこれで十分）、
次のようになります。
［π/3代入の結果］
2回積分
-(1-1/2)(1-1/3)ζ(2)/2 + ζ(2)＝π/2・(π/3) - 1/2・(π/3)^2/2！
3回積分
-√3/2・(1+1/2^2)LA(3) + ζ(2)・(π/3)＝π/2・(π/3)^2/2！- 1/2・(π/3)^3/3！
と、このようになり、ζ(s)とLA(s)が飛び出してきました。
LA(s)は
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s + ・・・
です。ζ(s)はもちろんリーマン・ゼータです。
ζ(s)は全てのaに対しχ(a)＝1としたときのディリクレのL関数L(χ,s)です。
LA(s)は、a≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, -1としたときのL(χ,s)に一致します。χ(a)はディリクレ指標。
さて、この結果で冒頭の予想L-４が成り立っているでしょうか？
いまπ/3代入をやったわけですから、q π/kと比較して、もちろんk＝3です。
予想L-４より、導手NがN＝k＝3 で、且つk＝|m|すなわち3＝|m|を満たす虚２次体Q（√-3）に対応するL（χ,s）が
出現するはずだということになります。
上では、LA(s)が出現していますが、これが、はたしてQ（√-3）に対応するL（χ,s）なのでしょうか？
答えはYes.
LA(s)は、ディリクレのL関数L（χ,s）の一種ですが、これがQ（√-3）に対応するL（χ,s）であることは、現代数学で
知られています。例えば、「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）のp.74参照。
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s + ・・・
さらに予想L-３の後半部分では「２次体Q(√m)が虚２次体であるならばそれに対応するL(χ,s)の特殊値が
②の奇数回の微分・積分の所に現れ、・・」となっていますが、これも成り立っているでしょうか？
上の［π/3代入の結果］を見てください。
虚２次体Q（√-3）に対応するLA(s)は、ちゃんと奇数回の３回微分・積分のところに現れています！
よって、予想の後半も成り立っている。
以上より、π/３代入では、予想L-４は成立していることがわかりました。
********************************************************************************
上では、予想L-４を確める目的が主であったので、［π/3代入の結果］では二つしか（積分側のみ）見てい
ない。この［A］の微分側（具体的な計算はないが）の構造の本質は次の［B］で明らかになった。
[B]*****************************************************************************
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----②
（0 < x < 2π）
ζ(0)＝1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ・・・＝-1/2
LA(-1)＝1^1 - 2^1 + 4^1 - 5^1 + 7^1 - 8^1 + 10^1 - 11^1 + ・・・＝0
ζ(-2)＝1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 +・・・ ＝0
LA(-3)＝1^3 - 2^3 + 4^3 - 5^3 + 7^3 - 8^3 + 10^3 - 11^3 + ・・・＝0
ζ（-4）＝1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 5^4 +・・・ ＝0
LA(-5)＝1^5 - 2^5 + 4^5 - 5^5 + 7^5 - 8^5 + 10^5 - 11^5 + ・・・＝0
・
・
という不思議は、初等的な実数範囲内の議論で①より自然に導出される。以下に示す。
まず右辺から考えよう。cosx，cos2x， cos3x， cos4x・・・各々のx=π/3の周りでのテイラー展開を並べよう。
cosx＝1/2 - √3/2・(x-π/3)/1！ - 1/2・(x-π/3)^2/2！+ √3/2・(x-π/3)^3/3！+ ・・・
cos2x＝-1/2 -2・√3/2・(x-π/3)/1！ + 2^2・1/2・(x-π/3)^2/2！+ 2^3・√3/2・(x-π/3)^3/3！- ・・・
cos3x＝-1 + 3^2・(x-π/3)^2/2！ - 3^4・(x-π/3)^4/4！+ 3^6・(x-π/3)^6/6！- ・・・
cos4x＝-1/2 + 4・√3/2・(x-π/3)/1！ + 4^2・1/2・(x-π/3)^2/2！- 4^3・√3/2・(x-π/3)^3/3！- ・・・
cos5x＝1/2 + 5・√3/2・(x-π/3)/1！ - 5^2・1/2・(x-π/3)^2/2！- 5^3・√3/2・(x-π/3)^3/3！+ ・・・
cos6x＝1 - 6^2・(x-π/3)^2/2！ + 6^4・(x-π/3)^4/4！- 6^6・(x-π/3)^6/6！+ ・・・
・
・
これを縦に足していき、(x-π/3)^nの同じ次数の項をまとめると次のようになる。
cosx + cos2x + cos3x + ・・・
＝1/2・(1 - 1 - 1×2 - 1 + 1 + 1×2 + ・・)
- √3/2・(1 + 2 - 4 - 5 + 7 + 8 - 10 - 11 +・・)(x-π/3)/1！
- 1/2・(1^2 - 2＾2 - 3^2×2 - 4^2 + 5^2 + 6＾2×2 + ・・)(x-π/3)^2/2！
+ √3/2・(1^3 + 2＾3 - 4^3 - 5^3 + 7^3 + 8＾3 - 10^3 - 11^3 +・・)(x-π/3)^3/3！
+ 1/2・(1^4 - 2＾4 - 3^4×2 - 4^4 + 5^4 + 6＾4×2 + ・・)(x-π/3)^4/4！
- √3/2・(1^5 + 2＾5 - 4^5 - 5^5 + 7^5 + 8＾5 - 10^5 - 11^5 +・・)(x-π/3)^5/5！
・
・
＝1/2・(1-2)(1-3)ζ(0) - √3/2・(1+2^2)・LA(-1)(x-π/3)/1！
- 1/2・(1-2＾3)(1-3^3)ζ(-2)(x-π/3)^2/2！+ √3/2・(1+2^4)・LA(-3)(x-π/3)^3/3！
+ 1/2・(1-2＾5)(1-3^5)ζ(-4)(x-π/3)^4/4！- √3/2・(1+2^6)・LA(-5)(x-π/3)^5/5！+・・・
よって、
cosx + cos2x + cos3x + ・・・
＝1/2・(1-2)(1-3)ζ(0) - √3/2・(1+2^2)・LA(-1)(x-π/3)/1！
- 1/2・(1-2＾3)(1-3^3)ζ(-2)(x-π/3)^2/2！+ √3/2・(1+2^4)・LA(-3)(x-π/3)^3/3！
+ 1/2・(1-2＾5)(1-3^5)ζ(-4)(x-π/3)^4/4！- √3/2・(1+2^6)・LA(-5)(x-π/3)^5/5！+・・・
が得られた。美しい式である。
このように①右辺のテイラー展開の係数にゼータの繰り込み値LA(-1)，LA(-3)，・・やζ(0)，ζ(-2)，・・がのって
くるのである。
次に、①の左辺の-1/2＝f(x)という関数の直接的なテイラー展開をみる。
f(x)＝-1/2のx=π/2の周りでのテイラー展開は、あっけないが、もちろん
f(x)＝-1/2
である。
すなわち、-1/2＝-1/2 ------③
である。
①、②、③より次が成り立つ。
-1/2＝1/2・(1-2)(1-3)ζ(0) - √3/2・(1+2^2)・LA(-1)(x-π/3)/1！
- 1/2・(1-2＾3)(1-3^3)ζ(-2)(x-π/3)^2/2！+ √3/2・(1+2^4)・LA(-3)(x-π/3)^3/3！
+ 1/2・(1-2＾5)(1-3^5)ζ(-4)(x-π/3)^4/4！- √3/2・(1+2^6)・LA(-5)(x-π/3)^5/5！+・・・ ----④
これで準備OKである。④が恒等的になりたつから、左辺と右辺を比較して、
ζ(0)＝1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ・・・＝-1/2
LA(-1)＝1^1 - 2^1 + 4^1 - 5^1 + 7^1 - 8^1 + 10^1 - 11^1 + ・・・＝0
ζ(-2)＝1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 +・・・ ＝0
LA(-3)＝1^3 - 2^3 + 4^3 - 5^3 + 7^3 - 8^3 + 10^3 - 11^3 + ・・・＝0
ζ（-4）＝1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 5^4 +・・・ ＝0
LA(-5)＝1^5 - 2^5 + 4^5 - 5^5 + 7^5 - 8^5 + 10^5 - 11^5 + ・・・＝0
・
と、次々に導かれる。
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上の［A］と［B］を比較することで「冥王星 その４」で見た不思議、①をn回微分してπ/3代入すると（n＝0, 1, 2,・・）
なぜかLA(-(2n+1))とζ(-2n))の値が求まるその不思議の理由がわかったといえる。
つまり、
①の中心母等式（フーリエ展開式）にテイラー展開という作用を加えると、ゼータ特殊値がべき級数の係数と
して現れるという構造が、私の理論（予想L-4）の裏側に潜んでいたからなのである。
①を(2n+1)回微分してπ/3代入すると、LA(-(2n+1))値が生まれてくる。
①を2n回微分してπ/3代入すると、ζ(-2n)値が生まれてくる。
以上、「その５」～「その７」で、π，π/2，π/3の代入の場合をまとめてみた。
「ゼータ惑星」では他に様々なqπ/kを代入して色々なL(χ,s)を見たが、｢ゼータ惑星｣とこの「ハレー彗星」での
関係は、このπ，π/2，π/3の代入で終わりとしよう。結局、他のqπ/kでもまったく同様であるから、読者は他の
場合も容易に類推できるであろう。
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