|
中心母等式 -1/2＝cosx+cos2x+・・からもζ(0)，ζ（-2)，ζ(-4)，・・の繰り込み値が自然に出ることを示す。
繰り込みは、フーリエ展開とテイラー展開の調和の上にたった現象であった。
ζ（0)，ζ（-2)，ζ(-4)，・・の特殊値（繰り込み値）が自然に出ることがわかったので、それを示す。
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -------①
（0 < x < 2π）
なぜ次のようになるのか？この不思議な式たちはなにを意味しているのか？ということ。
ζ(0)＝1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ・・・＝-1/2
ζ(-2)＝1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 +・・・ ＝0
ζ（-4）＝1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 5^4 +・・・ ＝0
ζ（-6）＝1^6 + 2^6 + 3^6 + 4^6 + 5^6 +・・・ ＝0
・
・
これが意味することは、以下のようなことであった。
（s＝-2，-4，-6，・・・はζ(s)の自明な零点である。）
その１と本質的に同様であり、「①の右辺の各々の項cosx, cos2x・・のテイラー展開を足していったテイラー展開
と、左辺の直接的なテイラー展開を比較する」というやり方である。それを示す。
まず①の右辺の各々のcosx, cos2x・・の項のテイラー展開を足して合わせたテイラー展開の方から。
右辺の cosx，cos2x， cos3x， cos4x・・・各々のx=πの周りでのテイラー展開を並べよう。
cosx＝-1 + (x-π)^2/2！- (x-π)^4/4！+ (x-π)^6/6！- ・・・
cos2x＝1 - 2^2・(x-π)^2/2！+ 2^4・(x-π)^4/4！- 2^6・(x-π)^6/6！+ ・・・
cos3x＝-1 + 3^2・(x-π)^2/2！- 3^4・(x-π)^4/4！+ 3^6・(x-π)^6/6！- ・・・
cos4x＝1 - 4^2・(x-π)^2/2！+ 4^4・(x-π)^4/4！- 4^6・(x-π)^6/6！+ ・・・
・
・
これを縦に足していき、(x-π)^nの同じ次数の項をまとめると、次のようになる。
cosx + cos2x + cos3x + ・・・
＝-(1-1+1-1+・・)+ (1-2＾2+3^2-4^2+・・)(x-π)^2/2！
- (1-2＾4+3^4-4^4+・・)(x-π)^4/4！+ (1-2＾6+3^6-4^6+・・)(x-π)^6/6！+・・・
＝-(1-2^1)ζ(0) + (1-2^3)ζ(-2)・(x-π)^2/2！- (1-2^5)ζ(-4)・(x-π)^4/4！+(1-2^7)ζ(-6)・(x-π)^6/6！-・・・
よって、
cosx + cos2x + cos3x + ・・・
＝-(1-2^1)ζ(0) + (1-2^3)ζ(-2)・(x-π)^2/2！
- (1-2^5)ζ(-4)・(x-π)^4/4！+(1-2^7)ζ(-6)・(x-π)^6/6！- ・・・ ------②
次に、①の左辺の-1/2＝f(x)という関数の直接的なテイラー展開をみる。
f(x)＝-1/2のx=πの周りでのテイラー展開は、あっけないが、もちろん
f(x)＝-1/2
である。
すなわち、-1/2＝-1/2 ------③
である。
①、②、③より、次が成り立つ。
-(1-2^1)ζ(0) + (1-2^3)ζ(-2)・(x-π)^2/2！
- (1-2^5)ζ(-4)・(x-π)^4/4！+(1-2^7)ζ(-6)・(x-π)^6/6！- ・・・ ＝-1/2 -----④
これで準備OK。左辺と右辺を比較して、
ζ(0)＝-1/2
ζ(-2)＝0
ζ(-4)＝0
ζ(-6)＝0
・
・
と、教科書で示される値が次々に導かれる。
ζ(0)，ζ(-2)，ζ(-4)，・・の不思議な値に秘められたゼータの真意はこのようなことであった。
ζ(0)を除くと、
結局、自明な零点x＝-2，-4，-6，・・の値、つまり、
ζ(-2)＝1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 +・・・ ＝0
ζ（-4）＝1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 5^4 +・・・ ＝0
ζ（-6）＝1^6 + 2^6 + 3^6 + 4^6 + 5^6 +・・・ ＝0
ζ（-8）＝1^8 + 2^8 + 3^8 + 4^8 + 5^8 +・・・ ＝0
・
・
という不思議は上のようなカラクリで導出されるのであった。
初等的な実数範囲内の議論で、こんなにも自然に自明な零点での値ζ(-2n)が導出されることに注目いただ
きたい。
一つ上を書いた直後、ある決定的な事実に気付いたので、それを述べたい。
それは、予想L-4にも関係する重大な事実であるが。
「ハレー彗星」でのこれまでの議論をふりかえると、本質的には次の２式で尽きていることがわかる。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
（0 < x < 2π）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -------②
（0 < x < 2π）
つまり、
ζ(-1)＝1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ・・・＝-1/12
ζ(-3)＝1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 +・・・ ＝1/120
ζ（-5）＝1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 +・・・ ＝-1/252
・
・
という不思議は、初等的な実数範囲内の議論で①より自然に導出される。
詳しくは、＜cos(x/2)/sin(x/2)＝・・式からも、繰り込み値が自然に出る＞を参照されたい。
一方、
ζ(0)＝1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ・・・＝-1/2
ζ(-2)＝1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 +・・・ ＝0
ζ（-4）＝1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 5^4 +・・・ ＝0
ζ（-6）＝1^6 + 2^6 + 3^6 + 4^6 + 5^6 +・・・ ＝0
・
・
という神秘は、初等的な実数範囲内の議論で②より自然に導出される。
詳しくは、一つ上の＜-1/2＝cosx+cos2x+・・とζ(0)，ζ（-2)，ζ(-4)，・・の繰り込み＞を参照されたい。
さて、この①と②を冷静にふりかえろう。
例えば、①での＜cos(x/2)/sin(x/2)＝・・式からも、繰り込み値が自然に出る＞を復習すれば、
そこでは、f(x)＝1/2・cos(x/2)/sin(x/2)という関数のx＝πの周りでテイラー展開を実行している。
すなわち、少し厳密に書けば、次のように計算していた。
1/2・cos(x/2)/sin(x/2)
＝f´(π)・(x-π) + f´´´(π)・(x-π)^3/3！ + f´´´´´(π)・(x-π)^5/5！ + ・・・
＝-1/4・(x-π) - 1/48・(x-π)^3 - 1/480・(x-π)^5 - ・・・
本質的には次のようにしていたわけである。
f´(π)・(x-π) + f´´´(π)・(x-π)^3/3！ + f´´´´´(π)・(x-π)^5/5！ + ・・・
＝-(1-2^2)・ζ(-1)・(x-π) + (1-2^4)・ζ(-3)・(x-π)^3/3！- (1-2^6)・ζ(-5)・(x-π)^5/5！+・・・
さて、①の左辺のcos(x/2)/sin(x/2)を、(2n-1)回微分したf´(π)， f´´´(π)，f´´´´´(π)，・・が登場している
ことに着目しよう。いま1回微分の値f´(π)，3回微分の値 f´´´(π)，5回微分の値f´´´´´(π)，・・が、それぞれ
ζ(-1)，ζ(-3)，ζ（-5），・・・に対応しているという重大な点に注目されたい。
これで、「いくつかの点」シリーズ以来、重回積分-重回微分の理論を用いて、cos(x/2)/sin(x/2)の(2n-1)回微分
を見よ）、そのゼータの不思議のカラクリがここではじめてわかったのである！
つまり、
①という中心母等式（フーリエ展開式）にテイラー展開という作用を加えることにより、不思議な特殊値がべき級数の
係数として現れるという構造が、私の重回積分-重回微分の理論（予想L-4）に裏側に潜んでいたということである。
そしてそれは当然一つ上の②の＜-1/2＝cosx+cos2x+・・とζ(0)，ζ（-2)，ζ(-4)，・・の繰り込み＞にも全く同様に
適用される。
ゼータ世界は、フーリエとテイラーという２世界の調和の上に成り立っているのであった。
ゼータの不思議は、①、②というフーリエ展開式に、テイラー展開という作用を与えることでひき起こされ
る。
ここまでくれば、予想L-4でπ/nを代入することにより、様々なL(χ,s)特殊値がとび出してくる不思議な現象も、
統一的に理解できる道が見えてきた。
それも「ゼータ惑星」で見た予想L-4周辺でのある秩序に則って出現してくるという構造になっている。
一つ具体的にいえば、①や②にπ/2を代入することにより、L(χ,s)の一種のゼータ関数L(s)の特殊値がどん
その不思議も、もはや①、②の中心母等式（フーリエ展開式）を、π/2の周りでテイラー展開することで出てきて
いたのだと容易に理解されるのである。
L(s)の不思議な特殊値も、ζ(s)特殊値と同様この「ハレー彗星」の「その１」～「その３」と同様の方法で、
出現してくるに違いない。
ほんとうに出現してくるかどうか。実験してみることにしよう。「その４」以降で示したい。
|