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ζ(s)の繰り込みの意味を、解析接続とは別の初等的観点から明らかにする。
ζ(-1)＝-1/12，ζ(-3)＝1/120，ζ（-5）＝-1/252，・・・などは、現代数学では複素関数論における解析接続
で意味付けされるとしているが、初等的・具体的イメージとしてはまるではっきりしない。
また、これらの値を最初に導いたのはオイラーだが、その初等的？な導き方も、黒川信重氏（東工大教授）あたり
の著作でしきりに紹介されるが、いまひとつすっきりしない。
これまで「いくつかの点」から「ゼータ惑星」のシリーズにかけて延々と研究してきた私も、気にはなっていた。
もちろん「いくつかの点」で発見し「ゼータ惑星」で発展させた私独自の重回積分-重回微分の理論（統一的法
則性）で美しい形でそれらの値を導出できることがわかったのだが、生命体ゼータの真の意図をくみとるまでに
はいたらなかった。
しかし、今回ある式を考察している最中に、そのゼータの心を読みとることができたのである。
なぜ次のようになるのか？この不思議な式たちはなにを意味しているのか？
ζ(-1)＝1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ・・・＝-1/12
ζ(-3)＝1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 +・・・ ＝1/120
ζ（-5）＝1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 +・・・ ＝-1/252
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ある考察から、この不思議さの意味がわかってきたのであるが、一言でいえば、
フーリエ展開式（中心母等式）をテイラー展開の面からも支持したいというゼータの強烈な欲求から、負の奇数
点での値が確定されているのであった。
それも、まったく初等的に説明できる。次で示したい。
まず次の２式に注目していただきたい。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
（0 < x < 2π）
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----②
（-π < x < π）
①がよく出てきた。②はじつは①と同値なのである。①でx＝π-tと変数変換すると②になる。
よって、あまり突っ込んだ考察をくわえていなかった。
（①と②の初等的証明は「地球 その３」参照。）
今回、ある必要性からこの②をいろいろと実験中に、ひょっんなことから、まったく自然に、ζ(-1)＝-1/12，
ζ(-3)＝1/120，ζ（-5）＝-1/252，・・・が出てくることがわかったのでそれを以下示したい。
再度、②の両辺を2で割った形で書く。
1/2・sin(x/2)/cos(x/2)＝sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・ -----②
（-π < x < π）
右辺の sinx，-sin2x， sin3x， -sin4x・・・各々のテイラー展開を並べよう。
sinx＝x - x^3/3！+ x^5/5！- x^7/7！+ ・・・
-sin2x＝-｛2x - (2x)^3/3！+ (2x)^5/5！- (2x)^7/7！+ ・・・｝
sin3x＝3x - (3x)^3/3！+ (3x)^5/5！- (3x)^7/7！+ ・・・
-sin4x＝-｛4x - (4x)^3/3！+ (4x)^5/5！- (4x)^7/7！+ ・・・｝
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・
これを縦に足していって、同じxの次数の項をまとめると、次のようになる。
sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・
＝(1-2+3-4+・・)x - (1-2＾3+3^3-4^3+・・)x^3/3！
+ (1-2＾5+3^5-4^5+・・)x^5/5！- (1-2＾7+3^7-4^7+・・)x^7/7！+ ・・・
＝(1-2^2)ζ(-1)x - (1-2^4)ζ(-3)x^3/3！ + (1-2^6)ζ(-5)x^5/5！- (1-2^8)ζ(-7)x^7/7！+・・・
このように係数にきれいにζ(-1)，ζ(-3)，ζ（-5），・・・がならぶ。
上で、(1-2＾3+3^3-4^3+・・)がなぜ(1-2^4)ζ(-3)などとなるかと言えば、次のよう変形できるからである。
1-2＾3+3^3-4^3+・・
＝(1+2＾3+3^3+4^3+・・)-2(2＾3+4^3+・・)
＝ζ(-3)-2・2＾3(1+2^3+・・)
＝ζ(-3)-2＾4ζ(-3)
＝(1-2^4)ζ(-3)
この変形はゼータの数学のあちこちででてくるので覚えておいていただきたい。
結局、
sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・
＝(1-2^2)ζ(-1)x - (1-2^4)ζ(-3)x^3/3！ + (1-2^6)ζ(-5)x^5/5！- (1-2^8)ζ(-7)x^7/7！+・・・ -----③
とできた。
いまは②の右辺に注目した変形で③が出たが、今度は②の左辺に着目してそのテイラー展開を求めてみる。
これは普通にテイラー展開の公式にあてはめて計算すると、x＝0の周りの1/2・sin(x/2)/cos(x/2)のテイラー
展開は
1/2・sin(x/2)/cos(x/2)＝1/4・x + 1/8・x^3/3！ + 1/4・x^5/5！ + ・・・ -----④
となる。
よって、②、③、④より次が成り立つ。
(1-2^2)ζ(-1)x - (1-2^4)ζ(-3)x^3/3！ + (1-2^6)ζ(-5)x^5/5！- (1-2^8)ζ(-7)x^7/7！+・・・ -----⑤
＝1/4・x + 1/8・x^3/3！ + 1/4・x^5/5！ + ・・・
これで準備はOKである。⑤の左辺と右辺を比較して、
(1-2^2)ζ(-1)＝1/4 -----⑥
- (1-2^4)ζ(-3)x＝1/8 -----⑦
(1-2^6)ζ(-5)＝1/4 -----⑧
・
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となる。
⑥より、ζ(-1)＝-1/12
⑦より、ζ(-3)＝1/120
⑧より、ζ(-5)＝-1/252
このように教科書に示されるリーマン・ゼータの負の奇数点での特殊値（繰り込み値）が自然に出てきてし
まうのである！
これは予想L－4での出方よりも、もっと明確な意味合いをもって出てきたと言える。
②の「直接的なテイラー展開式」と「sinx，sin2x・・・の個々のテイラー展開を経由した式」の一致という意味
合いを含んでいる。
つまり、これはテイラー展開とフーリエ展開の二つ世界を橋渡ししようとゼータが意図している現象の現れ
と言える。面白いではないか。
上は②を考察したが、じつは①からも、まったく同様の論理を用いることにより、ζ(-1)，ζ(-3)，ζ（-5），・・・の
繰り込み値が出ることがわかったので、それを示す。
①を2で割った形で書くと、次のようになる。
1/2・cos(x/2)/sin(x/2)＝sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・ -----①
（0 < x < 2π）
これは私の予想L-４の中心母等式の一つであることはいうまでもない。
右辺の sinx，sin2x， sin3x， sin4x・・・各々のx=πの周りでのテイラー展開を並べよう。
sinx＝-(x-π) +(x-π)^3/3！- (x-π)^5/5！+ ・・・
sin2x＝2(x-π) - 2^3・(x-π)^3/3！+ 2^5・(x-π)^5/5！- ・・・
sin3x＝-3(x-π) + 3^3・(x-π)^3/3！- 3^5・(x-π)^5/5！+ ・・・
・
・
これを縦に足していき、(x-π)^nの同じ次数の項をまとめると、次のようになる。
sinx + sin2x + sin3x + ・・・
＝-(1-2+3-4+・・)(x-π) + (1-2＾3+3^3-4^3+・・)(x-π)^3/3！
- (1-2＾5+3^5-4^5+・・)(x-π)^5/5！+ ・・・
＝-(1-2^2)・ζ(-1)・(x-π) + (1-2^4)・ζ(-3)・(x-π)^3/3！- (1-2^6)・ζ(-5)・(x-π)^5/5！+・・・
よって、
sinx + sin2x + sin3x + ・・・
＝-(1-2^2)・ζ(-1)・(x-π) + (1-2^4)・ζ(-3)・(x-π)^3/3！- (1-2^6)・ζ(-5)・(x-π)^5/5！+・・・ -----②
が得られた。
いまは①の右辺に注目した変形で②が出たが、今度は①の左辺に着目してそのテイラー展開を求めてみる。
1/2・cos(x/2)/sin(x/2)に普通にテイラー展開の公式を適用して計算すると、x＝πの周りのそのテイラー展開は
1/2・cos(x/2)/sin(x/2)＝-1/4・(x-π) - 1/48・(x-π)^3 - 1/480・(x-π)^5 - ・・・ -----③
となる。
よって①、②、③より、次式が成り立つ。
-(1-2^2)・ζ(-1)・(x-π) + (1-2^4)・ζ(-3)・(x-π)^3/3！- (1-2^6)・ζ(-5)・(x-π)^5/5！+・・・
＝-1/4・(x-π) - 1/48・(x-π)^3 - 1/480・(x-π)^5 - ・・・
これで準備OK。左辺と右辺を比較して、
-(1-2^2)・ζ(-1)＝-1/4
(1-2^4)・ζ(-3)/3！＝- 1/48
- (1-2^6)・ζ(-5)/5！＝ - 1/480
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となる。上より、
ζ(-1)＝-1/12
ζ(-3)＝1/120
ζ(-5)＝-1/252
・
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このように予想L-４の中心母等式の一つ①からも、自然にζ(s)の負の奇数点での値（繰り込み値）が自然に
出てくるのである。
正しいフーリエ級数の①式をテイラー展開という側面からも支持できるようにζ(-1)，ζ(-3)，ζ（-5），・・・の
繰り込み値が決まっていたのである。なるほど！
それにしても、初等的な実数範囲の議論で、こんなにも自然に導出されるふしぎ・・
ζ(s)の繰り込みの仕組みはこのようになっていたのであった。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
（0 < x < 2π）
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----②
（-π < x < π）
この２式が（これらは同値）、ゼータにおいていかに本質的かをいまさらながら思い知る。
ゼータは、この式を中心にうごいているのであった。
上の議論は奇抜なところなどなにもない。自然そのものである。「いくつかの点」シリーズ以来延々とやってきて
感じることは、
ゼータは自然さを好む
ということである。
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