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次にπ/3代入の場合を調べます。
まず①の統一的法則性の結果に、π/3を代入した場合を調べます。
（この結果は「金星 その１」の＜cosx/sin(x/2)＝2(sin2x + sin4x +・・にπ/6を代入＞と本質的に同値です。）
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
では、①を重回積分-重回微分した結果を書き下していきます。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
｛2sin(x/2)・sin(x/2)+4(2+cosx)cos(x/2)｝/(sin(x/2))^5＝2^4sinx + 4^4sin2x + 6^4sin3x + 8^4sin4x + ・・・・
3回微分
(2+cosx)/(sin(x/2))^4＝2^3cosx + 4^3cos2x + 6^3cos3x + 8^3cos4x + ・・・・
2回微分
cos(x/2)/(sin(x/2))^3＝-(2^2sinx + 4^2sin2x + 6^2sin3x + 8^2sin4x + ・・・・）
1回微分
-1/(sin(x/2))^2＝2(2cosx + 4cos2x + 6cos3x + 8cos4x + ・・・・）
0回積分
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・・）
１回積分
log(2sin(x/2))＝-(cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・・)
2回積分
∫log(2sin(x/2))＝-(sinx/1^2 + sin2x/2^2 + sin3x/3^2 + ・・・)
3回積分
∫∫log(2sin(x/2))＝(cosx/1^3 + cos2x/2^3 + cos3x/3^3 + ・・・) - ζ(3)
4回積分
∫∫∫log(2sin(x/2))＝(sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 + ・・・) - ζ(3)・x/1！
5回積分
∫∫∫∫log(2sin(x/2))＝-(cosx/1^5 + cos2x/2^5 + cos3x/3^5 + ・・・) + ζ(5) - ζ(3)・x^2/2！
6回積分
∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝-(sinx/1^6 + sin2x/2^6 + sin3x/3^6 + ・・・) + ζ(5)・x/1！ - ζ(3)・x^3/3！
7回積分
∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(cosx/1^7 + cos2x/2^7 + cos3x/3^7 + ・・・) - ζ(7) + ζ(5) ・x^2/2！ - ζ(3)・x^4/4！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(sinx/1^8 + sin2x/2^8 + sin3x/3^8 + ・・・) - ζ(7)・x/1！ + ζ(5)・x^3/3！ - ζ(3)・x^5/5！
・
・
と、このように上下に延々と続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
上の式の x にπ/3を代入すると、次のようになります。
［π/3代入の式］
・
・
4回微分
LA(-4)＝2/3
3回微分
ζ(-3)＝1/120
2回微分
LA(-2)＝-2/9
1回微分
ζ(-1)＝-1/12
0回積分
LA(0)＝1/3
１回積分
0 ＝ 0
2回積分
-√3/2・(1+1/2)LA(2)＝∫(0～π/3) log(2sin(x/2))
3回積分
(1-1/2^2)(1-1/3^2)ζ(3)/2 -ζ(3)＝∫(0～π/3)∫log(2sin(x/2))
4回積分
√3/2・(1+1/2^3)LA(4) - ζ(3)・(π/3)＝∫(0～π/3)∫∫log(2sin(x/2))
5回積分
- (1-1/2^4)(1-1/3^4)ζ(5)/2 + ζ(5) - ζ(3)・(π/3)^2/2！
＝∫(0～π/3)∫∫∫log(2sin(x/2))
6回積分
-√3/2・(1+1/2^5)LA(6) + ζ(5)・(π/3) - ζ(3)・(π/3)^3/3！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫log(2sin(x/2))
7回積分
(1-1/2^6)(1-1/3^6)ζ(7)/2 - ζ(7) + ζ(5)・(π/3)^2/2！- ζ(3)・(π/3)^4/4！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
8回積分
√3/2・(1+1/2^7)LA(8) - ζ(7)・(π/3) + ζ(5)・(π/3) ^3/3！- ζ(3)・(π/3)^5/5！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
・
・
と、このようになり、またζ(2n+1)とLA(2n)が飛び出してきました。
上で右辺の重回積分は一番最後の∫だけが0～π/3の定積分で、その他の∫はすべて0～xの定積分。
LA(s)は
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s + ・・・
であり、またζ(s)はもちろんリーマン・ゼータです。
上でも述べましたが、繰り返しますと、ζ(s)は全てのaに対しχ(a)＝1としたときのディリクレのL関数L(χ,s)です。
LA(s)は、a≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, -1としたときのL(χ,s)に一致します。χ(a)はディリクレ指標。
さて、一方の中心母等式のπ/3の結果がわかりました。
次に、もう一方の式のπ/3代入を調べます。つねに二式の結果をペアで比較するというのが火星シリーズの主題です。
では次に、もう一つの中心母等式（次式）におけるπ/3代入を調べます。
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----①
①を重回積分-重回微分した結果をまず書き下します。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
｛8sin(x/2)+4(sin(x/2))^3｝/(cos(x/2))^5＝2^4sinx - 4^4sin2x + 6^4sin3x - 8^4sin4x + ・・・・
3回微分
(cosx-2)/(cos(x/2))^4＝2^3cosx - 4^3cos2x + 6^3cos3x - 8^3cos4x + ・・・・
2回微分
-sin(x/2)/(cos(x/2))^3＝2^2sinx - 4^2sin2x + 6^2sin3x - 8^2sin4x + ・・・・
1回微分
1/(cos(x/2))^2＝2(2cosx - 4cos2x + 6cos3x - 8cos4x + ・・・・）
0回積分
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・)
１回積分
log(2cos(x/2))＝cosx/1 - cos2x/2 + cos3x/3 - cos4x/4 +・・・
2回積分
∫log(2cos(x/2))＝sinx/1^2 - sin2x/2^2 + sin3x/3^2 - sin4x/4^2 +・・・
3回積分
∫∫log(2cos(x/2))＝(-cosx/1^3 + cos2x/2^3 - cos3x/3^3 + cos4x/4^3 -・・・) + (1-1/2^2)・ζ(3)
4回積分
∫∫∫log(2cos(x/2))＝(-sinx/1^4 + sin2x/2^4 - sin3x/3^4 + sin4x/4^4 - ・・・) + (1-1/2^2)ζ(3)・x/1！
5回積分
∫∫∫∫log(2cos(x/2))＝(cosx/1^5 - cos2x/2^5 + cos3x/3^5 - cos4x/4^5 + ・・・)
+ (1-1/2^2)ζ(3)・x^2/2！- (1-1/2^4)ζ(5)
6回積分
∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
＝(sinx/1^6 - sin2x/2^6 + sin3x/3^6 - sin4x/4^6 +・・・)
+ (1-1/2^2)ζ(3)・x^3/3！- (1-1/2^4)ζ(5) ・x/1！
7回積分
∫∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
＝(-cosx/1^7 + cos2x/2^7 - cos3x/3^7 + cos4x/4^7 - ・・・)
+ (1-1/2^2)ζ(3)・x^4/4！- (1-1/2^4)ζ(5) ・x^2/2！+ (1-1/2^6)ζ(7)
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
＝(-sinx/1^8 + sin2x/2^8 - sin3x/3^8 + sin4x/4^8 - ・・・)
+ (1-1/2^2)ζ(3)・x^5/5！- (1-1/2^4)ζ(5) ・x^3/3！+ (1-1/2^6)ζ(7) ・x/1！
・
・
と、このように上下に続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
上の式の x にπ/3を代入すると、次のようになります。
［π/3代入の式］
・
・
4回微分
LA(-4)＝2/3
3回微分
ζ(-3)＝1/120
2回微分
LA(-2)＝-2/9
1回微分
ζ(-1)＝-1/12
0回積分
LA(0)＝1/3
１回積分
1 + 1/2 - 2/3 + 1/4 + 1/5 - 2/6 + 1/7 + 1/8 - 2/9 + ・・・＝log3
2回積分
√3/2・LA(2)＝∫(0～π/3) log(2cos(x/2))
3回積分
-(1-1/3^2)ζ(3)/2 + (1-1/2^2)ζ(3)＝∫(0～π/3)∫log(2cos(x/2))
4回積分
-√3/2・LA(4) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)＝∫(0～π/3)∫∫log(2cos(x/2))
5回積分
(1-1/3^4)ζ(5)/2 - (1-1/2^4)ζ(5) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)^2/2！
＝∫(0～π/3)∫∫∫log(2cos(x/2))
6回積分
√3/2・LA(6) - (1-1/2^4)ζ(5)・(π/3) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)^3/3！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫log(2cos(x/2))
7回積分
-(1-1/3^6)ζ(7)/2 + (1-1/2^6)ζ(7) - (1-1/2^4)ζ(5)・(π/3)^2/2！
+ (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)^4/4！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
8回積分
-√3/2・LA(8) + (1-1/2^6)ζ(7)・(π/3) - (1-1/2^4)ζ(5)・(π/3) ^3/3！
+ (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)^5/5！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
・
・
と、このようにまたζ(2n+1)とLA(2n)が飛び出してきました。
上で右辺の重回積分は一番最後の∫だけが0～π/3の定積分で、その他の∫はすべて0～xの定積分。
LA(s)は
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s + ・・・
です。
一つ上の結果と比べてみましょう。
例えば、ここでは
√3/2・LA(2)＝∫(0～π/3) log(2cos(x/2))
ですが、一つ上では、
-√3/2・(1+1/2)LA(2)＝∫(0～π/3) log(2sin(x/2))
となっています。
また、さらに、こちらでは、
-√3/2・LA(4) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)＝∫(0～π/3)∫∫log(2cos(x/2))
ですが、一つ上では、
√3/2・(1+1/2^3)LA(4) - ζ(3)・(π/3)＝∫(0～π/3)∫∫log(2sin(x/2))
となっている。
もう一つ見ましょう。
-(1-1/3^2)ζ(3)/2 + (1-1/2^2)ζ(3)＝∫(0～π/3)∫log(2cos(x/2))
ですが一つ上では、
(1-1/2^2)(1-1/3^2)ζ(3)/2 -ζ(3)＝∫(0～π/3)∫log(2sin(x/2))
となっています。
これらを眺めると、やはり両者は面白い対比をなしていることがわかるでしょう。
(1-1/2^n) または(1+1/2^n)の係数を取り除けば、両者は同じような形になっていますが、ここでも”1/2”のズレ
の現象が生じているように見えます。
上で見たπ/3代入の二つの場合の比較を、表の形でまとめておきます（上ではいくつか拾っただけの粗い比較でした）。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----②
このページでの＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/3を代入＞の結果と
＜sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/3を代入＞の結果を、比較すると以下の
ようになります。
Aは①に対応する結果、Bは②に対応する結果です。
π/3代入の場合の比較
A、Bの(1-1/2^n)または(1+1/2^n)の係数をとり除けば両者の左辺は同じ形になってしまうのです(左辺全体に”-1”が
掛かる違いのみ)。「その２」とまったく同じ現象（「その１」とは類似）が生じているのがわかるでしょう。
あるいは、「その１」～「その３」全てに共通する視点でいえば、
A、Bで(1-1/2^n)または(1+1/2^n)の係数をとり除けば、各項の符号（+,-）を除いて両者の左辺は同じものになってしまう
といえるのです。
次の「その４」では、3π/4代入を調べますが、そこでもこの驚くべき性質が現れることになります。
また、今回のπ/3代入の結果は、その２（2π/3）と比較してもまた別の側面での面白い結果となっている。
例えば、４回積分をとると、その２（2π/3）では、
A √3/2・LA(4) - ζ(3)・(2π/3)＝∫(0～2π/3)∫∫log(2sin(x/2))B -√3/2・(1+1/2^3)LA(4) + (1-1/2^2)ζ(3)(2π/3)/1！＝∫(0～2π/3)∫∫log(2cos(x/2))
ですが、こちら（π/3）では、
A √3/2・(1+1/2^3)LA(4) - ζ(3)・(π/3)＝∫(0～π/3)∫∫log(2sin(x/2))B -√3/2・LA(4) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)＝∫(0～π/3)∫∫log(2cos(x/2))
となっている。
この二組を比べてください。まったく面白いではありませんか！
これらを眺めていると、ゼータ関数を貫く究極の秩序が出てきているのではないかと思ってしまいます。
さて、これまでπ/2（その１）、2π/3（その２）、π/3（その３）の場合を調べてきました。
まださらに、3π/4やπ/4などもどうなるのか、調べたいところです。
これらはどうなっていくのでしょうか？
金星では、出現する級数がディリクレのＬ関数にならないという破綻が現れる場合がありましたが、はたして、この
火星（次の①、②を中心母等式に据えた場合）でも同じように破綻がどこかで生じるのでしょうか？
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----②
私は、どこかで破綻は生じる可能性が高いと思っているのですが、しかし、破綻が生じたとしても、こちら（①、②を
中心に据えた場合）の方が、予想が「成立する場合」と「破綻する場合」の構造的な分類が金星の場合よりもっと容易
に行えるのはないかと考えています。
予想とは「金星 その１」で述べた私の予想１のことです。
そして、いま述べた構造的な分類は、「金星 その４」の「金星のまとめ」で述べた最後の問題をさしています。
予想１の破綻が、また別の本質的な問題を発生させたというわけです。
いまは、この分類の問題を解くことが、ゼータ関数を考える上で最も重要と考えています。
この問題が解けた暁には、ゼータの巨大な秩序が眼前に現れることになると期待されます。
解かんがための果敢な挑戦の過程なのです。
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