火星 その５
ここでは少し話題を変えて、無理性について見てみましょう。
「その１」～「その４」の表を眺めながら、無理性に関して一寸面白いことに気付きましたのでそのことを指摘します。
ちなみに、無理性とは”無理数性”のことです。
リーマン・ゼータ関数の明示的に値が求まらない場合で、有理数か無理数かわかっているのは、ζ(3)だけであることは
よく知られています（1978年、アペリーによる）。
ζ（5）、ζ(７)、ζ(9)・・・などが有理数か無理数かはいまだにわかっていません。
さらに、L(2n)の値に至っては、すべてがまったくわかっていない。
（またもちろん、LAやL1やL2などの非明示の場合もわかっていないはずです。）
さて、これらが、｢その1｣～｢その４｣の表を眺めることでわかるといいのですが、難攻不落のこの難問がそんな
簡単にわかるはずもありません。
ただ、一寸、ちょっとしたことに気付いたのです。
最近、購入した「無理数と超越数」（塩川宇賢著、森北出版）を見ると、無理数理論というのは全く難しい分野である
とわかります。ちなみに、πは無理数です（オイラー、1744）。ｅも無理数です（ランベルト、1770）。
しかし、上記本によれば、π+ｅ が無理数なのかどうかいまだにわかっていない！ということです。
難解な無理数理論そのものを解説する力はありませんが、以下で”ちょっとしたこと”を記します。
その前に、｢その1｣～｢その４｣の最後の表をここにすべて集めましょう。
π/2代入の場合の比較
１回積分 |
A 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 + ・・・＝log2
B 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 + ・・・＝log2
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| 2回積分 |
A -L(2) ＝∫(0～π/2) log(2sin(x/2))
B L(2) ＝∫(0～π/2) log(2cos(x/2))
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| 3回積分 |
A -(1-1/2^2)/2^3・ζ(3) - ζ(3) ＝∫(0～π/2)∫log(2sin(x/2))
B -(1-1/2^2)/2^3・ζ(3) + (1-1/2^2)ζ(3)＝∫(0～π/2)∫log(2cos(x/2))
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| 4回積分 |
A L(4) -ζ(3)・(π/2)＝∫(0～π/2)∫∫log(2sin(x/2))
B -L(4) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/2)＝∫(0～π/2)∫∫log(2cos(x/2))
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| 5回積分 |
A (1-1/2^4)/2^5・ζ(5) + ζ(5) - ζ(3)・(π/2)^2/2！＝∫(0～π/2)∫∫∫log(2sin(x/2))
B (1-1/2^4)/2^5・ζ(5) - (1-1/2^4)ζ(5) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/2)^2/2！
＝∫(0～π/2)∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 6回積分 |
A -L(6) + ζ(5)・(π/2) - ζ(3)・(π/2)^3/3！＝∫(0～π/2)∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B L(6) - (1-1/2^4)ζ(5)・(π/2) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/2)^3/3！
＝∫(0～π/2)∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 7回積分 |
A -(1-1/2^6)/2^7・ζ(7) - ζ(7) + ζ(5)・(π/2)^2/2！- ζ(3)・(π/2)^4/4！
＝∫(0～π/2)∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B -(1-1/2^6)/2^7・ζ(7) + (1-1/2^6)・ζ(7)
- (1-1/2^4)ζ(5)・(π/2)^2/2！+ (1-1/2^2)ζ(3)・(π/2)^4/4！
＝∫(0～π/2)∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 8回積分 |
A L(8) -ζ(7)・(π/2) + ζ(5)・(π/2)^3/3！- ζ(3)・(π/2)^5/5！
＝∫(0～π/2)∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B -L(8) + (1-1/2^6)ζ(7)・(π/2) - (1-1/2^4)ζ(5)・(π/2)^3/3！
+ (1-1/2^2)ζ(3)・(π/2)^5/5！
＝∫(0～π/2)∫∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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2π/3代入の場合の比較
１回積分 |
A 1 + 1/2 - 2/3 + 1/4 + 1/5 - 2/6 + 1/7 + 1/8 - 2/9 + ・・・＝log3
B 0＝0 |
| 2回積分 |
A -√3/2・LA(2)＝∫(0～2π/3) log(2sin(x/2))
B √3/2・(1+1/2)LA(2)＝∫(0～2π/3)log(2cos(x/2))
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| 3回積分 |
A -1/2・(3-1/3^2)ζ(3)＝∫(0～2π/3)∫log(2sin(x/2))
B (3-1/3^2)(1-1/2^2)ζ(3)/2＝∫(0～2π/3)∫log(2cos(x/2))
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| 4回積分 |
A √3/2・LA(4) - ζ(3)・(2π/3)＝∫(0～2π/3)∫∫log(2sin(x/2))
B -√3/2・(1+1/2^3)LA(4) + (1-1/2^2)ζ(3)(2π/3)/1！＝∫(0～2π/3)∫∫log(2cos(x/2))
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| 5回積分 |
A 1/2・(3-1/3^4)ζ(5) - ζ(3)・(2π/3)^2/2！＝∫(0～2π/3)∫∫∫log(2sin(x/2))
B -(3-1/3^4) (1-1/2^4)ζ(5)/2 + (1-1/2^2)ζ(3)(2π/3)^2/2！
＝∫(0～2π/3)∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 6回積分 |
A -√3/2・LA(6) + ζ(5)・(2π/3) - ζ(3)・(2π/3)^3/3！＝∫(0～2π/3)∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B √3/2・(1+1/2^5)LA(6) - (1-1/2^4)ζ(5)(2π/3)/1！+ (1-1/2^2)ζ(3)(2π/3)^3/3！
＝∫(0～2π/3)∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 7回積分 |
A -1/2・(3-1/3^6)ζ(7) + ζ(5)・(2π/3)^2/2！- ζ(3)・(2π/3)^4/4！
＝∫(0～2π/3)∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B (3-1/3^6) (1-1/2^6)ζ(7)/2 - (1-1/2^4)ζ(5)(2π/3)^2/2！+ (1-1/2^2)ζ(3)(2π/3)^4/4！
＝∫(0～2π/3)∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 8回積分 |
A √3/2・LA(8) - ζ(7)・(2π/3) + ζ(5)・(2π/3) ^3/3！- ζ(3)・(2π/3)^5/5！
＝∫(0～2π/3)∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B -√3/2・(1+1/2^7)LA(8) + (1-1/2^6)ζ(7)(2π/3)/1！- (1-1/2^4)ζ(5)(2π/3)^3/3！
+ (1-1/2^2)ζ(3)(2π/3)^5/5！
＝∫(0～2π/3)∫∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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π/3代入の場合の比較
１回積分 |
A 0 ＝ 0
B 1 + 1/2 - 2/3 + 1/4 + 1/5 - 2/6 + 1/7 + 1/8 - 2/9 + ・・・＝log3
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| 2回積分 |
A -√3/2・(1+1/2)LA(2)＝∫(0～π/3) log(2sin(x/2))
B √3/2・LA(2)＝∫(0～π/3) log(2cos(x/2))
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| 3回積分 |
A (1-1/2^2)(1-1/3^2)ζ(3)/2 -ζ(3)＝∫(0～π/3)∫log(2sin(x/2))
B -(1-1/3^2)ζ(3)/2 + (1-1/2^2)ζ(3)＝∫(0～π/3)∫log(2cos(x/2))
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| 4回積分 |
A √3/2・(1+1/2^3)LA(4) - ζ(3)・(π/3)＝∫(0～π/3)∫∫log(2sin(x/2))
B -√3/2・LA(4) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)＝∫(0～π/3)∫∫log(2cos(x/2))
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| 5回積分 |
A -(1-1/2^4)(1-1/3^4)ζ(5)/2 + ζ(5) - ζ(3)・(π/3)^2/2！
＝∫(0～π/3)∫∫∫log(2sin(x/2))
B (1-1/3^4)ζ(5)/2 - (1-1/2^4)ζ(5) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)^2/2！
＝∫(0～π/3)∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 6回積分 |
A -√3/2・(1+1/2^5)LA(6) + ζ(5)・(π/3) - ζ(3)・(π/3)^3/3！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B √3/2・LA(6) - (1-1/2^4)ζ(5)・(π/3) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)^3/3！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 7回積分 |
A (1-1/2^6)(1-1/3^6)ζ(7)/2 - ζ(7) + ζ(5)・(π/3)^2/2！- ζ(3)・(π/3)^4/4！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B -(1-1/3^6)ζ(7)/2 + (1-1/2^6)ζ(7) - (1-1/2^4)ζ(5)・(π/3)^2/2！
+ (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)^4/4！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 8回積分 |
A √3/2・(1+1/2^7)LA(8) - ζ(7)・(π/3) + ζ(5)・(π/3) ^3/3！- ζ(3)・(π/3)^5/5！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B -√3/2・LA(8) + (1-1/2^6)ζ(7)・(π/3) - (1-1/2^4)ζ(5)・(π/3) ^3/3！
+ (1-1/2^2)ζ(3)・(π/3)^5/5！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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3π/4代入の場合の比較
１回積分 |
A L1（1）/√2 + 1/4・log2＝log｛2sin(3π/8)｝
B -L1（1）/√2 + 1/4・log2＝log｛2cos(3π/8)｝
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| 2回積分 |
A -L2（2）/√2 + L(2)/2^2＝∫(0～3π/4) log(2sin(x/2))
B L2（2）/√2 + L(2)/2^2＝∫(0～3π/4) log(2cos(x/2))
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| 3回積分 |
A -L1（3）/√2 - (1-1/2^2)ζ(3)/4^3- ζ(3) ＝∫(0～3π/4)∫log(2sin(x/2))
B L1（3）/√2 - (1-1/2^2)ζ(3)/4^3 + (1-1/2^2)ζ(3) ＝∫(0～3π/4)∫log(2cos(x/2))
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| 4回積分 |
A L2（4）/√2 - L(4)/2^4- ζ(3)・(3π/4)＝∫(0～3π/4)∫∫log(2sin(x/2))
B -L2（4）/√2 - L(4)/2^4 + (1-1/2^2)ζ(3)・(3π/4)＝∫(0～3π/4)∫∫log(2cos(x/2))
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| 5回積分 |
A L1（5）/√2 + (1-1/2^4)ζ(5)/4^5 + ζ(5) - ζ(3)・(3π/4)^2/2！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫log(2sin(x/2))
B -L1（5）/√2 + (1-1/2^4)ζ(5)/4^5 - (1-1/2^4)ζ(5) + ζ(3)・(3π/4)^2/2！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 6回積分 |
A -L2（6）/√2 + L(6)/2^6 + ζ(5)・(3π/4) - ζ(3)・(3π/4)^3/3！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B L2（6）/√2 + L(6)/2^6 - (1-1/2^4)ζ(5)・(3π/4) - (1-1/2^2)ζ(3)・(3π/4)^3/3！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 7回積分 |
A -L1（7）/√2 - (1-1/2^6)ζ(7)/4^7 - ζ(7)
+ ζ(5)・(3π/4)^2/2！ - ζ(3)・(3π/4)^4/4！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B L1（7）/√2 - (1-1/2^6)ζ(7)/4^7 + (1-1/2^6)ζ(7)
- (1-1/2^4)ζ(5)・(3π/4)^2/2！ + (1-1/2^2)ζ(3)・(3π/4)^4/4！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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| 8回積分 |
A L2（8）/√2 - L(8)/2^8 - ζ(7)・(3π/4)
+ ζ(5)・(3π/4)^3/3！ - ζ(3)・(3π/4)^5/5！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
B -L2（8）/√2 - L(8)/2^8 + (1-1/2^6)ζ(7)・(3π/4)
- (1-1/2^4)ζ(5)・(3π/4)^3/3！ + (1-1/2^2)ζ(3)・(3π/4)^5/5！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
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（注意：例えば、∫(0～3π/4)∫∫∫log(2sin(x/2))などは最後の∫だけが0～3π/4の定積分で、他の∫はすべて0～x
の定積分です。）
それでは、気付いたことを指摘します。
上を見ていて私がまず思ったのは「はたして右辺の∫・・・∫log(2sin(x/2))は無理数なのだろうか？」ということです。
ζ(2n+1)やＬ(2ｎ)やまたＬ1(2ｎ+1)やＬ2(2ｎ)などは無理数かどうかさっぱりわからないのですから、手がかりはない
ようにも見えます。
ただζ(3)だけは「無理数である」とわかっているおかげで、上の表の中から、いくつかの∫・・・∫log(2sin(x/2))が
無理数であるとわかるのです！
まず π/2代入の表より、
A -(1-1/2^2)/2^3・ζ(3) - ζ(3) ＝∫(0～π/2)∫log(2sin(x/2))
B -(1-1/2^2)/2^3・ζ(3) + (1-1/2^2)ζ(3)＝∫(0～π/2)∫log(2cos(x/2))
となっていますが、これより、
∫(0～π/2)∫log(2sin(x/2))は無理数である。 ---①
∫(0～π/2)∫log(2cos(x/2))は無理数である。 ---②
とわかります。
「ζ(3)が無理数である」ことと「無理数とはm/nの形で表しえないもの（m,nは整数）」ということとから、これはすぐ
わかりますね。
ちなみに、log(2sin(x/2))＝log2 + log(sin(x/2))
ですから、上は
π^2/8・log2+∫(0～π/2)∫log(sin(x/2)) は無理数である。
π^2/8・log2+∫(0～π/2)∫log(cos(x/2)) は無理数である。
と表現してももちろんかまいません。以下では、①、②の表現を用います。
次々といきましょう。
2π/3代入の表から、
A -1/2・(3-1/3^2)ζ(3)＝∫(0～2π/3)∫log(2sin(x/2))
B (3-1/3^2)(1-1/2^2)ζ(3)/2＝∫(0～2π/3)∫log(2cos(x/2))
と出ていますので、これより、
∫(0～2π/3)∫log(2sin(x/2))は無理数である。
∫(0～2π/3)∫log(2cos(x/2))は無理数である。
とわかります。
またπ/3代入からは、
A (1-1/2^2)(1-1/3^2)ζ(3)/2 -ζ(3)＝∫(0～π/3)∫log(2sin(x/2))
B -(1-1/3^2)ζ(3)/2 + (1-1/2^2)ζ(3)＝∫(0～π/3)∫log(2cos(x/2))
とありますので、
∫(0～π/3)∫log(2sin(x/2))は無理数である。
∫(0～π/3)∫log(2cos(x/2))は無理数である。
とわかります。
もっと他の∫・・・∫log(2sin(x/2))もわかればいいのですが、いまのところ、これだけがわかったのみです。
また、他のものを拾ってみると、例えば次のようなものをいくら眺めても、左辺のL(2)、LA(2)が不明なのですから
右辺の無理性についてはなにもわかりません。
L(2) ＝∫(0～π/2) log(2cos(x/2))
√3/2・LA(2)＝∫(0～π/3) log(2cos(x/2))
はたして、他の∫・・∫log(2sin(x/2))もすべて無理数なのでしょうか？
私にはとても興味のある問題です。
そして、そのことがわかれば、（上表より）明示的に値が求まらない場合のゼータ特殊値についてさらによくわかる
ようになると考えられます。
また少し変則的かもしれませんが、次のようなこともいえるでしょう。
π/2代入の表より、
A L(4) -ζ(3)・(π/2)＝∫(0～π/2)∫∫log(2sin(x/2))
B -L(4) + (1-1/2^2)ζ(3)・(π/2)＝∫(0～π/2)∫∫log(2cos(x/2))
という式がありますが、これを変形して、次のようにします。
A ζ(3)＝(2/π)・｛L(4) - ∫(0～π/2)∫∫log(2sin(x/2))｝
B ζ(3)＝(2/π)・｛L(4) + ∫(0～π/2)∫∫log(2cos(x/2))｝/(1-1/2^2)
ζ（3）は無理数ですから、右辺も無理数ということがわかります。
他でもいろいと同様のことがいえますが、あまり本質的なことでもないかもしれませんのでこの辺にしておきます。
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