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統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）が、２次体と関係していることがわかってきました！
＜２次体との関連の発見＞
これまで、様々なqπ/k を代入してきて、「金星」以来懸案となっている大問題
「重回積分-重回微分の結果にqπ/kを代入すると様々なディリクレのＬ関数L（χ，s）の特殊値が雨アラレの
ようにふってわいてくることがわかったが、出てくるL(χ,s)に何らかの規則性があるのではないか？それを見
出せ。」
という問題に対する解決への光が見えてきました。
注意：上で出現するL(χ,s)特殊値は、すべて値が明示的に値が求まらないものばかり、つまり現代数学でも不明と
されているものです。
まず結論から述べますと、次のような規則性があるようなのです。
重回積分-重回微分の結果に q π/k を代入することによって出現するL(χ,s)は、２次体Ｑ（√m）の導手Nと
関係している。
注意： k，q は0 <｜q π/k｜< 2πを満たす整数で、k，q の最大公約数は1（つまりqπ/kとは、π/2、2π/3、
5π/4、π/6・・など。）
ということです。
２次体Ｑ（√ｍ）とは、Ｑ（√m）＝｛a + b√m ； a, b ∈Ｑ｝ で定義される”代数体”の一種です。Ｑは有理数全体を表し、
mはどんな１でない平方数でも割り切れない整数（ただし”１”は除く）をとり、√mは有理数でないものとなります。
m > 0のときＱ（√m）は実２次体であり、m < 0のときＱ（√m）は虚２次体となります。
２次体には導手Ｎという非常に重要なものがあるのですが、それは、
mが4n+1（nは整数）のときはＮ＝|m|となり、mが4n+2 または 4n+3 のときは、Ｎ＝4|m|となります。
（この辺は、雑誌「数学のたのしみ」No.17や「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）の加藤
さんの解説を大いに参考にしています。）
上で述べたことをもっと精密に表現すると、次のようになっているようなのです。予想として提示します。
具体例を調べてみるとこのようになっているようなのです。
これだけを読むと難しそうに見えるかもしれませんが、じつに単純なことを述べているのです。
［具体例］
具体的に説明しますと、例えば、π/6代入の場合は、k＝6です。
さて、予想の主張するように、①の重回積分－重回微分の結果にπ/6を代入すると、導手Nが12の2次体Q(√3)に
対応するL(χ,s)が本当に出現するのでしょうか？
じつは、出現するのです。
「火星」の「その６」で示した通りLB(s)が出現するのですが、これがQ（√3）に対応するディリクレのＬ関数L(χ,s)である
ことは現代数学で知られている。
よって、π/6代入の場合、予想が成り立っていることがわかります。
終わり。
いまπ/6代入の場合だけを見ましたが、これ以外のどんなqπ/kを（k, qは予想中の条件を満たすもの）代入し
ても予想は成り立っている！と主張しているわけですから、なんとも不思議なことではありませんか。
この予想は「mが4n+2 または 4n+3」型の２次体に関する予想であるといえます。
「mが4n+1」型２次体の方は、まだ調べた数が少ないためよくわかりませんが具体例が蓄積されれば予想が出せる
でしょう。
ここに来てはじめて「いくつかの点」シリーズより延々とやってきたことが、現代の数論と細い糸で結びついたといえ
るかもしれません。
以下で多くの具体例をさらに追加していったのち、上記で述べたことを実例を交えながらたしかめていくことに
したいと思いますが、その前に、あと一点ごく最近気付いたことで重要なことを述べる必要があります。次で見ます。
少し前に、突然気付いたことがありました。じつは次の中心母等式の二つは、本質的に同値でした。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----②
すなわち、x＝π-tと変数変換すれば、一方が導出されます。 （ということは、以前の「金星」で見ていた二つの式も同値ということになります。） 結局、①、②を別々に考察する必要はなく、どちらか一つの式だけでよい！ということになります。 本シリーズ｢火星｣の「その１」～「その５」では、つねに①、②両方で調べていたのですが、①を0～xの範囲で積分
したことは、結局、もう一つの式の方では同じ①を π ～ π-x の範囲で積分していただけということもわかりました。
ペアを比較すれば、似たような形になっていたのもこれでうなずける（「火星」の「その１」～「その５」）。
わかればなんだという感じですが、物事はだいぶ単純化されてきました。
よって、今後は①の中心母等式のみを調べていくことにします。
これが、「その６」で片方のみで十分と述べた理由です。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
今後は、この①だけを0 <｜q π/k｜< 2πの範囲で調べればよくなりましたので、かなり気分は楽になったと
いえるでしょう。ただし、k，q は整数で最大公約数は1。
つまり、qπ/kとは、π/3、3π/2、π/4、5π/6・・・のことです。最大公約数が１であることを、(k，q )＝1とも書き
ますので注意ください。
なぜ0 <｜q π/k｜< 2πでよいかの理由は、「火星 その１」の＜新しい形の母等式を中心に据える＞で述べてい
るので見てください。
＜具体例で私の予想を確める その１＞
では、冒頭の予想が成り立っているかこれまでの具体例で見てみましょう。
ただし、どのようなL(χ,s)が出るかを見るだけですから、「その１」～「その６」の２回積分と３回積分の部分のみを拾
っていきます。また「その４」までは二つの母等式をペアで見ていましたが、一つ上で述べたように本質的には一つの
式を見れば十分なので、次の①式の結果のみ（「その１」～「その４」での A の場合）を記していきます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
出現するディリクレのL関数L(χ，s)のディリクレ指標χ（a）の導手Nも記していきますが、N＝2kとなっている導手に
のみ興味がありますので、それだけを赤字で書きました。
導手Nを書いたものは、ある２次体Q（√m）に対応するL（χ,s）ばかりです。よって、その導手はもちろん対応する
2次体の導手でもあります。
「その１」～「その６」の結果
このようになります。
２次体に対応するL(χ，s)のχ(a)の導手Nも同時に記しました。
２次体には対応するディリクレ指標χ(a)があります。結局、２次体Q(√m)はそのχ(a)をもつL(χ,s)とも繋がっている
わけです。
例えば、L1(s)は、２次体Q(√2)に対応するL(χ,s)であるといえ、χ(a)をディリクレ指標としたとき、
「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)をもって
います。この場合のχ(a)の導手Nは、mod 8の”8”のことで、N＝8となります。
２次体Q(√m)における導手とは、a≡b mod N ならχ(a)＝χ(b)となる最小のN のことなのです。
さて、予想を調べる前に少し準備をします。
冒頭で述べた通り、２次体Ｑ（√m）＝｛a + b√m ； a, b ∈Ｑ｝ には導手Ｎという非常に重要なものがあり（なおＱは
有理数全体）、それは、mが4n+1（nは整数）のときはＮ＝|m|となり、mが4n+2 または 4n+3 のときは、Ｎ＝4|m|となり
ます。mは平方数ではない整数です。
それぞれの２次体にはあるディリクレのL関数L（χ,s）が対応しており、２次体の導手Nはそれがそのまま対応する
ディリクレ指標χ（a）の導手Nに等しくなります。
4n+1の整数はどんな数でしょうか？それを列挙してみます。
［4n+1の整数]
・・・-27，-23，-19，-15，-11，-7，-3， 1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29， 33， 37，・・・・・
また、4n+2 または 4n+3の数も列挙しておきます。
［4n+2 または 4n+3の整数］
・・・-14，-13，-10，-9，-6，-5，-2，-1， 2， 3， 6， 7， 10， 11， 14， 15， 18， 19，・・・・・
ここで、「mはどんな１でない平方数でも割り切れない整数（ただし”１”は除く）」なのですから、２次体を考える場合は
上の赤字の 1 や 9 や 18 や 25 や -9 や -27 などは除く必要があります。よって、結局、
「mが4n+1」型２次体Q（√m）がとるmは、
・・・-23，-19，-15，-11，-7，-3， 5， 13， 17， 21， 29， 33， ・・・・・
であり、「mが4n+2 または 4n+3」型2次体Q(√m)がとるmは、
・・・-13，-10，-6，-5，-2，-1， 2， 3， 6， 7， 10， 11， 14， ・・・・・
となります。
導手Nに注目すれば、mが4n+1（nは整数）のときはＮ＝|m|となり、mが4n+2 または 4n+3 のときは、Ｎ＝4|m|となり
ますから、次のような表にまとめることができます。
表１
表２
ここまでが前準備です。
さて、冒頭で述べた私の予想を再度かかげます。
上で並べた様々なqπ/k代入の結果で出たL(χ,s)を、対応する導手Nの下の箇所に埋め込んでいきましょう。
表A
正しいものです。
表B
注意：空白部分はこれからです。また”×”はディリクレのL関数L(χ,s)ではない級数となった場合です。またL(χ,s)の
欄に記したのは、出現した中でN＝2kとなっているもののみです。
表Aは、「mが4n+1」型２次体Q（√m）に対応するものであり、表Bは「mが4n+2 または 4n+3」型2次体Q(√m)に対応
するものであります。
そして、もちろん、上の予想は表Bに関するものになっています。
まず表Bの”qπ/k”に注目してください。
上の予想で述べた通り、N＝2k （これはN＝4|m|と同じ）の関係が成り立っていることにお気付きでしょうか？
不思議なことに、qπ/k代入の場合は、必ず 2k の導手NをとるL(χ,s)が出現しています。
もっとも重要な点は、青字のL(χ,s)のように、N(＝2k)という導手をもつ２次体Q(√m)に対応するL(χ,s)が出現している！
ということです（これが予想の主張）。
例えば、π/6代入の場合（k＝6）は、N＝12であり、この導手Nに対応する２次体Ｑ（√m）はQ（√3）のみであることが
わかっています。そして、このQ（√3）に対応するL（χ,s）は、LB(s)となることが知られているのです！
予想が成立していることがわかるでしょう。
また、3π/4や5π/4代入の場合は、これはｋ＝4ですからN＝8です。
N＝8の2次体Q（√m）を調べてみると、この導手Nに対応する２次体には、Q（√-2）とQ（√2）の二つがあります。
さてQ(√(-2)）にはL2(s)が、またQ(√(2)）にはL1(s)が対応するL（χ,s）であることが現代数学で知られています。
そして、表Bを見てください。本当に、L2(s)とL1(s)が出現しているではありませんか！
予想が成り立っています。
Q(√(-1))にはL(s)が対応するL（χ,s）であることが知られていますが、表Bのように、予想の通り出現しています。
OKです。
結局、表Bで調べた範囲では、すべて予想が成り立っています。
なお、L(s)、LB(s)、L1(s)、L2(s)、の定義を再度かかげておきますと、次の通りです。
これらはすべてディリクレのL関数L（χ,s）の一種です。
-------------------------------------------------------------------------------
L(s)は、a≡0, 1, 2, 3 mod 4に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, 0, -1としたときのL(χ,s)に一致します。
また、LB(s)は、mod 12に対応したディリクレ指標χ(a)をもち、
「a≡1 or 11 mod 12-->χ(a)＝1、 a≡5 or 7 mod 12 -->χ(a)＝-1、 それ以外のaではχ(a)＝0」という
χ(a)に対応したL(χ,s)となります。
L1(s)は、mod 8に対応したχ(a)をもち、
「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に
対応したL(χ,s)となります。
L2(s)は、mod 8に対応したディリクレ指標χ(a)をもちますが、今度は
「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に
対応したものとなっています。
ここでディリクレのＬ関数L(χ,s)とは次のように定義されるものであって、ディリクレ指標χ(ａ)に対して特徴づけ
られる保型形式のゼータ関数です。
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
-------------------------------------------------------------------------------
面白いのは、qπ/k のkと２次体Q(√m)のmが結びついたという決定的な事実です。
予想の中でも述べた通り、
k=2|m| ----②
という、非常に簡明な関係で結びついたといえる。これは、ほんとうに驚くべきことのように思えます。
「いくつかの点」シリーズ以来延々とやってきたこと（統一的法則性）が、現代数学などとはまったく関係なしに独自に
やってきたことが、ここにきてついに現代の数論と一本の線でつながったといえると思います。
そして、その二つを結ぶ要が、②という超簡明な式だといえるでしょう。
mはもちろん2次体Q（√m）の m であり、ｋは”qπ/k代入”の k です。
（qは？qは、0<｜qπ/k｜<2πさえ満たしていればどんな整数でもよいようです。ただし、(k, q)＝1）
やはり、次式（中心母等式）は神秘をとく鍵をにぎっていたといえるでしょう。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
これは言葉を変えれば、重回積分-重回微分の方法は高校生でもできるまったく初等的な方法ですので、現代の
数論を初等的な見地から見直す道が開けたともいえるかもしれません。
一方、上の表Aに目を移すと、π/3、2π/3代入の場合に、ｋ＝|ｍ|すなわちN＝k の導手をとるL(χ,s)（Ｎ=3のLA(s)）
が出現しますが、不思議なことにπ/5、π/7ではL(χ,s)となる級数が出現しなかったのです。
表Ａにおける「mが4n+1」型２次体Q（√m）の場合は、k＝2|m|ではなく、ｋ＝|m|ではないか？と考えていくのが自然と
思われます。
なぜなら、π/3、2π/3代入のとき、すなわちk＝3のとき、導手ＮがＮ＝3のLA(s)が出ているからです（表Ａ）。
またＮ＝2k＝2×3＝6などという導手をもつ2次体は存在しないからでもありますが。
はじめはk=5、k=7のときも、当然導手ＮがそれぞれＮ＝5、７のL(χ,s)が出てめでたし！となるのかと思っていたら、
そうはならなかった。
まだ調べていませんがπ/11、π/13、・・などもやはり同様にL(χ,s)にはならないのではないかと予想していますが、
どうでしょうか。
ともあれｋ＝|m|として考えていくのは非常に意義のあることだと感じますから、表Aでは、k＝|m|として調べる方針
でいきます。さらに多くの実験を重ねる必要があるのです。
ともあれ、予想（表B）の結果だけでも、まったくうれしいです。
統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）が、現代数論とリンクしたのですから！
この結果はディリクレの類数公式、平方剰余の相互法則はもとより、類体論、岩澤理論などへとつながっていくはず
ですから、その辺に詳しい読者は、この結果をさらに拡張していってほしいと思います。
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