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では次に、予想L-４に関して[4n+1]型の２次体Q(√m)の場合を調べていきます。
π/3代入，π/5代入，π/7代入，π/13代入。
まずなにはともあれ、予想L-４を書きます。
さて、冥王星の「その１」～「その３」では、予想Ｌ-４の[4n+2，4n+3]型の２次体Ｑ（√ｍ）の場合を具体的に
検証してきました。そして、すべて成り立っていました。
次に、[4n+1]型の2次体Q(√m)の場合（つまり、mが「4n+2 or 4n+3」の場合）を調べていきましょう。
これも、非明示の場合はすでに天王星の「その１」～「その４」で詳細に検証し、予想L-４の成立を見ています。
よって、その論理的帰結から明示的な場合も、予想L-４が同様に成り立つことは明らかであり、その観点から、
しかし、具体的に書き下しておくというのは大切であり後々にいろいろと役に立つものです。
よってこれ以降、②の明示的な場合に関しても①でやったのと同じqπ/kの値を代入していこうと思います。
この[4n+１]型の２次体Q(√m)の場合は、具体的な検証はまだ一つもしていませんので、非明示の場合で確めた
と同じqπ/k代入を一つ一つ検証していきましょう。
（理論的には、この明示的な場合も、予想L-４が成り立つことは明らかなのですが、それを実際に書き下しておき
たいということです。天王星「その１」～「その４」にほぼ準じていきます。）
ではまずπ/3代入からいきましょう。
②の統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）の結果に、π/3を代入した場合を調べます。
（ここは、天王星「その１」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/3を代入＞の
論理をそのまま利用しています。）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----②
まず②を重回積分-重回微分した結果を書き下していきます。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
0＝cosx + 2^4cos2x + 3^4cos3x + 4^4cos4x + ・・・・
3回微分
0＝sinx + 2^3sin2x + 3^3sin3x + 4^3sin4x + ・・・・
2回微分
0＝-(cosx + 2^2cos2x + 3^2cos3x + 4^2cos4x + ・・・・)
1回微分
0＝- (sinx + 2sin2x + 3sin3x + 4sin4x + ・・・・)
0回積分
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・
１回積分
π/2 - 1/2・x＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・・・
2回積分
π/2・x - 1/2・x^2/2！＝- (cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + ・・・) + ζ(2)
3回積分
π/2・x^2/2！ - 1/2・x^3/3！＝- (sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + ・・・) + ζ(2)・x
4回積分
π/2・x^3/3！- 1/2・x^4/4！＝ (cosx/1^4 + cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + ・・・) - ζ(4) + ζ(2)・x^2/2！
5回積分
π/2・x^4/4！- 1/2・x^5/5！＝ (sinx/1^5 + sin2x/2^5 + sin3x/3^5 + ・・・) - ζ(4)・x + ζ(2)・x^3/3！
6回積分
π/2・x^5/5！- 1/2・x^6/6！
＝ - (cosx/1^6 + cos2x/2^6 + cos3x/3^6 + ・・・) + ζ(6) -ζ(4)・x^2/2！+ ζ(2)・x^4/4！
・
・
と、このように上下に延々と続いていきます。
このxにπ/3を代入して、２回積分と３回積分の場合のみを記すと（予想L-４を確認するにはこれで十分）、
次のようになります。
［π/3代入の結果］
2回積分
-(1-1/2)(1-1/3)ζ(2)/2 + ζ(2)＝π/2・(π/3) - 1/2・(π/3)^2/2！
3回積分
-√3/2・(1+1/2^2)LA(3) + ζ(2)・(π/3)＝π/2・(π/3)^2/2！- 1/2・(π/3)^3/3！
と、このようになり、ζ(s)とLA(s)が飛び出してきました。
LA(s)は
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s + ・・・
です。ζ(s)はもちろんリーマン・ゼータです。
ζ(s)は全てのaに対しχ(a)＝1としたときのディリクレのL関数L(χ,s)です。
LA(s)は、a≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, -1としたときのL(χ,s)に一致します。χ(a)はディリクレ指標。
さて、この結果で冒頭の予想L-４が成り立っているでしょうか？
いまπ/3代入をやったわけですから、q π/kと比較して、もちろんk＝3です。
予想L-４より、導手NがN＝k＝3 で、且つk＝|m|すなわち3＝|m|を満たす虚２次体Q（√-3）に対応するL（χ,s）が
出現するはずだということになります。
上では、LA(s)が出現していますが、これが、はたしてQ（√-3）に対応するL（χ,s）なのでしょうか？
答えはYes.
LA(s)は、ディリクレのL関数L（χ,s）の一種ですが、これがQ（√-3）に対応するL（χ,s）であることは、現代数学で
知られています。例えば、「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）のp.74参照。
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s + ・・・
さらに予想L-３の後半部分では「２次体Q(√m)が虚２次体であるならばそれに対応するL(χ,s)の特殊値が
②の奇数回の微分・積分の所に現れ、・・」となっていますが、これも成り立っているでしょうか？
上の［π/3代入の結果］を見てください。
虚２次体Q（√-3）に対応するLA(s)は、ちゃんと奇数回の３回微分・積分のところに現れています！
よって、予想の後半も成り立っている。
以上より、π/３代入では、予想L-４は成立していることがわかりました。
②の統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）の結果に、π/5を代入した場合を調べます。
（ここは、天王星「その１」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/5を代入＞の
論理をそのまま利用しています。）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----②
まず②を重回積分-重回微分した結果（冒頭の「π/3代入」参照）に、π/5を代入した場合を記すと次のように
なります。２回積分と３回積分の場合のみ記しました（予想L-４を確認するにはこれで十分）。
［π/5代入の式］
2回積分
-｛ E・(1 - 1/4^2 - 1/6^2 + 1/9^2 + 1/11^2 - 1/14^2 - 1/16^2 + 1/19^2 +・・・)
+ F・(1/2^2 - 1/3^2 - 1/7^2 + 1/8^2 + 1/12^2 - 1/13^2 - 1/17^2 + 1/18^2 +・・・)
- (1-1/2)ζ(2)/5^2 ｝ + ζ(2)
＝π/2・(π/5) - 1/2・(π/5)^2/2！
3回積分
-[ L・(1 + 1/4^2 - 1/6^2 - 1/9^2 + 1/11^2 + 1/14^2 - 1/16^2 - 1/19^2 +・・・)
+ M・(1/2^2 + 1/3^2 - 1/7^2 - 1/8^2 + 1/12^2 + 1/13^2 - 1/17^2 - 1/18^2 +・・・) ] + ζ(2)・(π/5)
＝π/2・(π/5)^2/2！- 1/2・(π/5)^3/3！
ここで、L＝sin(π/5)、M＝sin(2π/5) またE＝cos(π/5)、F＝cos(2π/5) です。
さて、このπ/5代入の結果が、予想L-４を支持していることを見ましょう。
まず、いまπ/5代入ですから、もちろん、k＝5です。よって、導手ＮがN＝5で且つ5＝|m|である実２次体Q(√5)に
対応するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずだということになります。
いま実２次体Ｑ(√5)が考察の対象になっているわけですから、予想Ｌ-４の後半からQ(√5)に対応するL(χ,s)は
偶数回の微分・積分の所に現れているはずだとなります。
よって、上の［π/5代入の式］の２回積分の箇所だけに注目すればよいわけです（３回積分の方は無視）。
結論を先にいえば、ここでも予想L-４は成り立っているのですが、詳しく説明します。
２回積分の二つの青字の級数はLN(s)の分身（分割ゼータ）とよぶべき級数であったのです。
その前にLN(s)の定義を書きます。次の通りでディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LN(s)＝(1/1^s - 1/2^s - 1/3^s + 1/4^s) + (1/6^s - 1/7^s - 1/8^s + 1/9^s)・・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていきます。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LN(s)は、mod 5に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 4 mod 5-->χ(a)＝1、
a≡2 or 3 mod 5 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝5です。
注意：LN(s)という呼称は私が勝手につけたものですので、ご注意ください。
じつは、LN(s)は実２次体Ｑ（√5）に対応するL（χ,s）となっているのです。
LN(s)は、ディリクレのL関数L（χ,s）の一種ですが、これがQ（√5）に対応するL（χ,s）であることは、現代数学で
知られているのです。例えば、「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）のp.74参照。
さて、２回積分の二つの青字の級数たちがLN(s)の分身とよべる存在であることを示します。
［分身であることを示す］
係数E，Fにかかる級数をそれぞれE1，F1と表すと、次のようになる。
E1＝1 - 1/4^2 - 1/6^2 + 1/9^2 + 1/11^2 - 1/14^2 - 1/16^2 + 1/19^2 +・・・
F1＝1/2^2 - 1/3^2 - 1/7^2 + 1/8^2 + 1/12^2 - 1/13^2 - 1/17^2 + 1/18^2 +・・・
さて、E1+ F1を計算すると、
E1+ F1
＝(1 - 1/4^2 - 1/6^2 + 1/9^2 + 1/11^2 - 1/14^2 - 1/16^2 + 1/19^2 +・・・)
+ (1/2^2 - 1/3^2 - 1/7^2 + 1/8^2 + 1/12^2 - 1/13^2 - 1/17^2 + 1/18^2 +・・・)
＝1 + 1/2^2 - 1/3^2 - 1/4^2 - 1/6^2 - 1/7^2 + 1/8^2 + 1/9^2
+ 1/11^2 + 1/12^2 - 1/13^2 - 1/14^2 - 1/16^2 - 1/17^2 + 1/18^2 + 1/19^2 + ・・・
＝1 - 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 + 1/6^2 - 1/7^2 - 1/8^2 + 1/9^2
+ 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2 + 1/14^2 + 1/16^2 - 1/17^2 - 1/18^2 + 1/19^2 + ・・・
+ (2/2^2 - 2/4^2 - 2/6^2 + 2/8^2 + 2/12^2 - 2/14^2 - 2/16^2 + 2/18^2 +・・・)
＝LN(2) + 2/2^2・(1 - 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 + 1/6^2 - 1/7^2 - 1/8^2 + 1/9^2 +・・・)
＝LN(2) + 1/2・LN(2)
＝(1 + 1/2)・LN(2)
となり、上で定義したLN(s)の特殊値LN(2)が出てくるのである！
E1とF1を「E1+ F1」のように組み合わせれば、このようにLN(s)を導出することができた。
これで、E1とF1はLN(s)の分身であることがわかった。
終わり。
予想通り、ちゃんと実２次体Ｑ（√5）に対応するLN(s)が分身の姿（分割ゼータ）で出現していることが
わかりました。
π/5代入でも、予想L-４は成立していました。
②の統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）の結果に、π/7を代入した場合を調べます。
（ここは、天王星「その１」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/7を代入＞の
論理をそのまま利用しています。）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----②
まず②を重回積分-重回微分した結果（冒頭の「π/3代入」参照）に、π/7を代入した場合を記すと次のように
なります。２回積分と３回積分の場合のみ記しました（予想L-４を確認するにはこれで十分）。
［π/7代入の式］
2回積分
-｛ L・(1 - 1/6^2 - 1/8^2 + 1/13^2 + 1/15^2 - 1/20^2 - 1/22^2 + 1/27^2 +・・・)
+ M・(1/2^2 - 1/5^2 - 1/9^2 + 1/12^2 + 1/16^2 - 1/19^2 - 1/23^2 + 1/26^2 +・・・)
+ N・(1/3^2 - 1/4^2 - 1/10^2 + 1/11^2 + 1/17^2 - 1/18^2 - 1/24^2 + 1/25^2 +・・・)
- (1-1/2)ζ(2)/7^2 ｝ + ζ(2)
＝π/2・(π/7) - 1/2・(π/7)^2/2！
3回積分
-｛ A・(1 + 1/6^3 - 1/8^3 - 1/13^3 + 1/15^3 + 1/20^3 - 1/22^3 - 1/27^3 +・・・)
+ B・(1/2^3 + 1/5^3 - 1/9^3 - 1/12^3 + 1/16^3 + 1/19^3 - 1/23^3 - 1/26^3 +・・・)
+ C・(1/3^3 + 1/4^3 - 1/10^3 - 1/11^3 + 1/17^3 + 1/18^3 - 1/24^3 - 1/25^3 +・・・) ｝ + ζ(2)・(π/7)
＝π/2・(π/7)^2/2！- 1/2・(π/7)^3/3！
ここでA＝sin(π/7)、B＝sin(2π/7)、C＝sin(3π/7)、L＝cos(π/7)、M＝cos(2π/7)、N＝cos(3π/7)です。
さて、上のπ/7代入の結果が、冒頭の予想L-４を支持していることを以下見ましょう。
いまπ/7代入ですから、k＝7です。よって、導手ＮがN＝7で且つ7＝|m|である虚２次体Q(√-7)に対応するＬ(χ,ｓ)
が出現しているはずです。
またいま虚２次体Ｑ(√-7)が考察の対象になっているわけですから、予想Ｌ－４の後半からQ(√-7)に対応する
L(χ,s)は奇数回の微分・積分の所に現れているはずだとなります。
よって、上の［π/7代入の式］の３回積分の箇所だけに注目すればよいのです（２回積分の方は無視）。
結論を先にいえば、ここでも予想L－４は成り立っているのですが、以下詳しく説明します。
３回積分の三つの青字の級数はLP(s)の分身ともよべる級数であったのです。
LP(s)の定義を書きます。次の通りでディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LP(s)＝(1/1^s + 1/2^s - 1/3^s + 1/4^s - 1/5^s - 1/6^s)
+ (1/8^s + 1/9^s - 1/10^s + 1/11^s - 1/12^s - 1/13^s)・・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LP(s)は、mod 7に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 2 or 4 mod 7-->χ(a)＝1、
a≡3 or 5 or 6 mod 7 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝7です。
注意：LP(s)という呼称は私が勝手につけたものですので、ご注意ください。
じつは、LP(s)が、虚２次体Ｑ（√-7）に対応するL（χ,s）となっているのです。
LP(s)は、ディリクレのL関数L（χ,s）の一種ですが、これがQ（√-7）に対応するL（χ,s）であることは、現代数学で
知られているのです。例えば、「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）のp.74参照。
さて、３回積分の三つの青字の級数たちがLP(s)の分身とよべる存在であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，B，Cにかかる級数をそれぞれA1，B1，C1と表すと、次のようになる。
A1＝1 + 1/6^3 - 1/8^3 - 1/13^3 + 1/15^3 + 1/20^3 - 1/22^3 - 1/27^3 +・・・
B1＝1/2^3 + 1/5^3 - 1/9^3 - 1/12^3 + 1/16^3 + 1/19^3 - 1/23^3 - 1/26^3 +・・・
C1＝1/3^3 + 1/4^3 - 1/10^3 - 1/11^3 + 1/17^3 + 1/18^3 - 1/24^3 - 1/25^3 +・・・
さて、A1- B1 -C1を計算すると、
A1- B1 -C1
＝(1 + 1/6^3 - 1/8^3 - 1/13^3 + 1/15^3 + 1/20^3 - 1/22^3 - 1/27^3 +・・・)
- (1/2^3 + 1/5^3 - 1/9^3 - 1/12^3 + 1/16^3 + 1/19^3 - 1/23^3 - 1/26^3 +・・・)
- (1/3^3 + 1/4^3 - 1/10^3 - 1/11^3 + 1/17^3 + 1/18^3 - 1/24^3 - 1/25^3 +・・・)
＝1/1^3 - 1/2^3 - 1/3^3 - 1/4^3 - 1/5^3 + 1/6^3 - 1/8^3 + 1/9^3 + 1/10^3 + 1/11^3 + 1/12^3 - 1/13^3+・・・
＝(1/1^3 + 1/2^3 - 1/3^3 + 1/4^3 - 1/5^3 - 1/6^3 + 1/8^3 + 1/9^3 - 1/10^3 + 1/11^3 - 1/12^3 - 1/13^3+・・・)
+ (-2/2^3 - 2/4^3 + 2/6^3 - 2/8^3 + 2/10^3 + 2/12^3 +・・・)
＝LP(3) - 2/2^3・(1 + 1/2^3 - 1/3^3 + 1/4^3 - 1/5^3 - 1/6^3 + ・・・)
＝LP(3) - 1/2^2・LP(3)
＝(1 - 1/2^2)・LP(3)
となり、上で定義したLP(s)の特殊値LP(3)が出てくるのです！
A1，B1，C1を「A1- B1 -C1」のように組み合わせれば、このようにLP(s)を構成することができるのである。
これで、A1，B1，C1はLP(s)の分身（分割ゼータ）であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんと虚２次体Ｑ（√-7）に対応するLP(s)が分身の姿（分割ゼータ）で出現していることが
わかりました。
以上より、π/7代入でも、予想L-４は成立していることがわかりました。
②の統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）の結果に、π/13を代入した場合を調べます。
（ここは、天王星「その２」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/13を代入＞の
論理をそのまま利用しています。）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----②
まず②を重回積分-重回微分した結果（冒頭の「π/3代入」参照）に、π/13を代入した場合を記すと次のように
なります。２回積分と３回積分の場合のみ記しました（予想L-４を確認するにはこれで十分）。
［π/13代入の式］
2回積分
- ｛ L・(1/1^2 - 1/12^2 - 1/14^2 + 1/25^2 + 1/27^2 - 1/38^2 - 1/40^2 + 1/51^2 +・・・)
+ M・(1/2^2 - 1/11^2 - 1/15^2 + 1/24^2 + 1/28^2 - 1/37^2 - 1/41^2 + 1/50^2 +・・・)
+ N・(1/3^2 - 1/10^2 - 1/16^2 + 1/23^2 + 1/29^2 - 1/36^2 - 1/42^2 + 1/49^2 +・・・)
+ P・(1/4^2 - 1/9^2 - 1/17^2 + 1/22^2 + 1/30^2 - 1/35^2 - 1/43^2 + 1/48^2 +・・・)
+ Q・(1/5^2 - 1/8^2 - 1/18^2 + 1/21^2 + 1/31^2 - 1/34^2 - 1/44^2 + 1/47^2 +・・・)
+ R・(1/6^2 - 1/7^2 - 1/19^2 + 1/20^2 + 1/32^2 - 1/33^2 - 1/45^2 + 1/46^2 +・・・)
- (1-1/2)ζ(2)/13^2 ｝ + ζ(2)
＝π/2・(π/13) - 1/2・(π/13)^2/2！
3回積分
-｛ A・(1/1^3 + 1/12^3 - 1/14^3 - 1/25^3 + 1/27^3 + 1/38^3 - 1/40^3 - 1/51^3 +・・・)
+ B・(1/2^3 + 1/11^3 - 1/15^3 - 1/24^3 + 1/28^3 + 1/37^3 - 1/41^3 - 1/50^3 +・・・)
+ C・(1/3^3 + 1/10^3 - 1/16^3 - 1/23^3 + 1/29^3 + 1/36^3 - 1/42^3 - 1/49^3 +・・・)
+ D・(1/4^3 + 1/9^3 - 1/17^3 - 1/22^3 + 1/30^3 + 1/35^3 - 1/43^3 - 1/48^3 +・・・)
+ E・(1/5^3 + 1/8^3 - 1/18^3 - 1/21^3 + 1/31^3 + 1/34^3 - 1/44^3 - 1/47^3 +・・・)
+ F・(1/6^3 + 1/7^3 - 1/19^3 - 1/20^3 + 1/32^3 + 1/33^3 - 1/45^3 - 1/46^3 +・・・) ｝
+ ζ(2)・(π/13)
＝π/2・(π/13)^2/2！- 1/2・(π/13)^3/3！
となりました。
ここで、A＝sin(π/13)、B＝sin(2π/13)、C＝sin(3π/13)、D＝sin(4π/13)、E＝sin(5π/13)、F＝sin(6π/13)、
L＝cos(π/13)、M＝cos(2π/13)、N＝cos(3π/13)、P＝cos(4π/13)、Q＝cos(5π/13)、R＝cos(6π/13)。
さて、上のπ/13代入の結果が、この予想Ｌ－４を支持しているか否かを以下見ましょう。
いまπ/13代入ですから、k＝13です。よって、導手ＮがN＝13で且つ13＝|m|である実２次体Q(√13)に対応する
Ｌ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま実２次体Ｑ(√13)が考察の対象になっているわけですから、予想Ｌ-４の後半からQ(√13)に対応する
L(χ,s)は偶数回の微分・積分の所に現れているはずだとなります。
よって、上の［π/13代入の式］の２回積分の箇所だけに注目すればよいのです（３回積分の方は無視）。
結論からいえば、ここでも予想L－４は成り立っているのですが、以下説明します。
２回積分の６つの青字の級数はLR(s)の分身とよぶべき級数（分割ゼータ）であったのです。
LR(s)の定義を書きます。次のものであり、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LR(s)＝(1/1^s-1/2^s+1/3^s+1/4^s-1/5^s-1/6^s-1/7^s-1/8^s+1/9^s+1/10^s-1/11^s+1/12^s ) + ・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LR(s)は、mod 13に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 3 or 9 or 10 or 12 mod 13-->χ(a)＝1、
a≡2 or 5 or 6 or 7 or 8 or 11 mod 13 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝13です。
じつはLR(s)はＱ（√13）に対応するL（χ,s）となっているのです。
LR(s)がQ（√13）に対応するL（χ,s）であることは平方剰余の相互法則と補充則を用い、x^2≡13 mod p （pは素数）
という合同方程式を解くことを経由して確認することができます。私は手計算で確認しました。
さて、２回積分の６つの青字の級数たちがLR(s)の分身であることを示します。
［分身であることを示す］
係数L，M，N，P，Q，Rにかかる級数をそれぞれL1，M1，N1，P1，Q1，R1と表すと、次のようになる。
L1＝1/1^2 - 1/12^2 - 1/14^2 + 1/25^2 + 1/27^2 - 1/38^2 - 1/40^2 + 1/51^2 +・・・
M1＝1/2^2 - 1/11^2 - 1/15^2 + 1/24^2 + 1/28^2 - 1/37^2 - 1/41^2 + 1/50^2 +・・・
N1＝1/3^2 - 1/10^2 - 1/16^2 + 1/23^2 + 1/29^2 - 1/36^2 - 1/42^2 + 1/49^2 +・・・
P1＝1/4^2 - 1/9^2 - 1/17^2 + 1/22^2 + 1/30^2 - 1/35^2 - 1/43^2 + 1/48^2 +・・・
Q1＝1/5^2 - 1/8^2 - 1/18^2 + 1/21^2 + 1/31^2 - 1/34^2 - 1/44^2 + 1/47^2 +・・・
R1＝1/6^2 - 1/7^2 - 1/19^2 + 1/20^2 + 1/32^2 - 1/33^2 - 1/45^2 + 1/46^2 +・・・
さて、L1+ M1 + N1- P1 - Q1 + R1を計算すると、
L1+ M1 + N1- P1 - Q1 + R1
＝(1/1^2 - 1/12^2 - 1/14^2 + 1/25^2 + 1/27^2 - 1/38^2 - 1/40^2 + 1/51^2 +・・・)
+ (1/2^2 - 1/11^2 - 1/15^2 + 1/24^2 + 1/28^2 - 1/37^2 - 1/41^2 + 1/50^2 +・・・)
+ (1/3^2 - 1/10^2 - 1/16^2 + 1/23^2 + 1/29^2 - 1/36^2 - 1/42^2 + 1/49^2 +・・・)
+ (1/4^2 - 1/9^2 - 1/17^2 + 1/22^2 + 1/30^2 - 1/35^2 - 1/43^2 + 1/48^2 +・・・)
+ (1/5^2 - 1/8^2 - 1/18^2 + 1/21^2 + 1/31^2 - 1/34^2 - 1/44^2 + 1/47^2 +・・・)
+ (1/6^2 - 1/7^2 - 1/19^2 + 1/20^2 + 1/32^2 - 1/33^2 - 1/45^2 + 1/46^2 +・・・)
＝1/1^2+1/2^2+1/3^2-1/4^2-1/5^2+1/6^2-1/7^2+1/8^2+1/9^2-1/10^2-1/11^2-1/12^2
-1/14^2-1/15^2-1/16^2+1/17^2+1/18^2-1/19^2+1/20^2-1/21^2-1/22^2+1/23^2+1/24^2+1/25^2 +・・・
＝1/1^2-1/2^2+1/3^2+1/4^2-1/5^2-1/6^2-1/7^2-1/8^2+1/9^2+1/10^2-1/11^2+1/12^2
+ 1/14^2-1/15^2+1/16^2+1/17^2-1/18^2-1/19^2-1/20^2-1/21^2+1/22^2+1/23^2-1/24^2+1/25^2 +・・・
+ (2/2^2-2/4^2+2/6^2+2/8^2-2/10^2-2/12^2-2/14^2-2/16^2+2/18^3+2/20^2-2/22^2+2/24^2+・・)
＝LR(2) + 2/2^2・(1/1^2-1/2^2+1/3^2+1/4^2-1/5^2-1/6^2-1/7^2-1/8^2+1/9^2+1/10^2-1/11^2+1/12^2+ ・・)
＝LR(2) + 1/2・LR(2)
＝(1+1/2)・LR(2)
となり、上で定義したLR(s)の特殊値LR(2)が出てくるのである！
L1，M1，N1，P1，Q1，R1を「L1+ M1 + N1- P1 - Q1 + R1」のように組み合わせると、このようにLR(s)を構成する
ことができるのである。
これで、L1，M1，N1，P1，Q1，R1はLR(s)の分身であることがわかった。
終わり。
予想通り、ちゃんと実２次体Ｑ（√13）に対応するLR(s)が分身の姿（分割ゼータ）で出現していることがわか
りました。
以上より、π/13代入でも予想L-４は成立していることがわかりました。
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