|
「その７」の続きで、[4n+1]型Q(√m)の場合を調べます。
まず予想L-４を書いておきます。
＜その７＞では、[4n+2，4n+3]型を見ましたので、ここでは［4n+1］型2次体Q(√m)の場合を調べます。
調べた結果、[4n+1]型は[4n+2，4n+3]型とは異なった規則性になっていることがわかってきました。
つまり、[4n+1]型Q(√m)では、mのすべての約数の内4n+1タイプの約数だけそれらのQ(√m)に付随する
L(χ，s)が発生し、それ以外（約数の内4n+2 or 4n+3のもの）の場合はそれらのQ(√m)のL(χ，s)は発生しな
いというたいへん不思議な構造になっているのです。
[4n+2，4n+3]型と[4n+1]型とは、双対的ともいえる関係になっているようなのです。
もっと簡単にいうと、
[4n+2，4n+3]型Ｑ（√m）の場合は、mの約数で[4n＋2，4n＋3]型、[4n+1]型どちらの約数が出現して
もそれに対応する２次体のゼータL（χ，s）が出てくる。
一方、[4n+1]型Q（√m）の場合は、mの約数で[4n＋2，4n＋3]型、[4n+1]型の約数のうち、[4n+1]型
のみそれに対応する２次体Ｑ（√m）のゼータL（χ，s）が出てくる。
つまり、［4n+1］型の場合は次のようになっている。
さて、この予想が正しいか、早速具体例で検証していきましょう。
上の[4n+1]型のm約数予想を再度書きましょう。
すなわち、次を調べるわけです。
Q(√-3)，Q(√5)，Q(√-7)，Q(√-11)，Q(√13)，Q(√-15)，Q(√17)，Q(√-19)，Q(√21)
*********************************************
Q(√-3)の場合
[4n+1]型Q(√-3)は[4n+1]型m約数予想を満たしているでしょうか？
いまm＝-3です。この-3の約数を見ます。-3が負の数ですから、負の約数だけをとると、それは-3と-1です。
すなわち-3, -1に着目する。
-3は[4n+1]型ですが(-3=4×(-1)+1より )、-1は[4n+2，4n+3]型である(-1=4×(-1)+3より )ことに着目して
ください。
[4n+1]型Q(√m)のm約数予想から、
Q(√-3)のL(χ,s)は出現し、Q(√-1)のL(χ,s)は出現しないことが予想されますが、ほんとうにそうなっている
でしょうか？
さっそく予想を検証してみましょう。
予想L-４ではk=|m|=|-3|=3となり、よってqπ/3を予想L-4の①，②の重回積分の結果のxに代入すると、
Q（√-3)に対応するゼータL(χ,s)のLA(s)が姿をあらわしたのでした。
奇数回積分の式を参照）
Q(√-3)はこのように出現しましたので、OKです。予想通りです。
Q(√-1)はどうでしょうか？
＜天王星 その１＞の「π/3代入」の偶数回を見ると、Q(√-1)に対応するL(s)は出ていません。
これも予想通りとなっています。
すなわち、-3の負の約数 -3, -1に対応するQ(√-3)，Q(√-1)のうち、[4n+1]型のQ(√-3)に付随するL(χ,s)
は出現し、[4n+2，4n+3]型のQ(√-1)に付随するL(χ,s)は出現しない結果となりました。
よって、[4n+1]型m約数予想は成り立っています。
*********************************************
Q(√5)の場合
[4n+1]型Q(√5)は[4n+1]型m約数予想を満たしているでしょうか？
いまm＝5です。この5の約数を見ます。5が正の数ですから、正の約数だけをとると、それは5と1です。
すなわち5, 1に着目する。
5と1はともに[4n+1]型です(例5=4×1+1より )。
よって、[4n+1]型Q(√m)のm約数予想から、
Q(√5)と仮想Q(√1)のL(χ,s)はとも出現することが予想されますが、ほんとうにそうなっているでしょうか？
さっそく予想を検証してみましょう。
予想L-４ではk=|m|=|5|=5となり、よってqπ/5を予想L-4の①，②の重回積分の結果のxに代入すると、
Q（√5)に対応するゼータL(χ,s)のLN(s)が姿をあらわしたのでした。
偶数回積分の式を参照）
Q(√5)はこのように出現しましたので、OKです。予想通りです。
Q(√1)はどうでしょうか？
＜天王星 その１＞の「π/5代入」の奇数回を見ると、Q(√1)に対応するζ(s)が出ています。
これも予想通りとなっています。
すなわち、5の約数5，1に対応する[4n+1]型Q(√5)，Q(√1)のゼータL（χ，s）はともに出現する結果となり
ました。よって、[4n+1]型m約数予想は成り立っています。
*********************************************
Q(√-7)の場合
[4n+1]型Q(√-7)は[4n+1]型m約数予想を満たしているでしょうか？
いまm＝-7です。この-7の約数を見ます。-7が負の数ですから、負の約数だけをとると、それは-7と-1です。
すなわち-7, -1に着目する。
-7は[4n+1]型ですが(-7=4×(-2)+1より )、-1は[4n+2，4n+3]型である(-1=4×(-1)+3より )ことに着目して
ください。
[4n+1]型Q(√m)のm約数予想から、
Q(√-7)のL(χ,s)は出現し、Q(√-1)のL(χ,s)は出現しないことが予想されますが、ほんとうにそうなっている
でしょうか？
さっそく予想を検証してみましょう。
予想L-４ではk=|m|=|-7|=7となり、よってqπ/7を予想L-4の①，②の重回積分の結果のxに代入すると、
Q（√-7)に対応するゼータL(χ,s)のLP(s)が姿をあらわしたのでした。
奇数回積分の式を参照）
Q(√-7)はこのように出現しましたので、OKです。予想通りです。
Q(√-1)はどうでしょうか？
＜天王星 その１＞の「π/7代入」の偶数回を見ると、Q(√-1)に対応するL(s)は出ていません。
これも予想通りとなっています。
すなわち、-7の負の約数 -7, -1に対応するQ(√-7)，Q(√-1)のうち、[4n+1]型のQ(√-7)に付随するL(χ,s)
は出現し、[4n+2，4n+3]型のQ(√-1)に付随するL(χ,s)は出現しない結果となりました。
よって、[4n+1]型m約数予想は成り立っています。
*********************************************
Q(√13)の場合
[4n+1]型Q(√13)は[4n+1]型m約数予想を満たしているでしょうか？
いまm＝13です。この13の約数を見ます。13が正の数ですから、正の約数だけをとると、それは13と1です。
すなわち13, 1に着目する。
13と1はともに[4n+1]型です(例13=4×3+1より )。
よって、[4n+1]型Q(√m)のm約数予想から、
Q(√13)とQ(√1)のL(χ,s)はとも出現することが予想されますが、ほんとうにそうなっているでしょうか？
さっそく予想を検証してみましょう。
予想L-４ではk=|m|=|13|=13となり、よってqπ/13を予想L-4の①，②の重回積分の結果のxに代入すると、
Q（√13)に対応するゼータL(χ,s)のLR(s)が姿をあらわしたのでした。
偶数回積分の式を参照）
Q(√13)はこのように出現しましたので、OKです。予想通りです。
Q(√1)はどうでしょうか？
＜天王星 その２＞の「π/13代入」の奇数回を見ると、Q(√1)に対応するζ(s)が出ています。
これも予想通りとなっています。
すなわち、13の約数13，1に対応する[4n+1]型Q(√13)，Q(√1)のゼータL（χ，s）はともに出現する結果となり
ました。よって、[4n+1]型m約数予想は成り立っています。
*********************************************
Q(√-15)の場合
[4n+1]型Q(√-15)は[4n+1]型m約数予想を満たしているでしょうか？
いまm＝-15です。この-15の約数を見ます。
-15が負の数ですから、負の約数だけをとると、それは-15，-5，-3，-1です。
すなわち-15，-5，-3，-1に着目する。
-15と-3は[4n+1]型ですが(-15=4×(-2)+1より )、-5と-1は[4n+2，4n+3]型である(-1=4×(-1)+3より )こと
に着目してください。
[4n+1]型Q(√m)のm約数予想から、
Q(√-15)，Q(√-3)のL(χ,s)は出現し、Q(√-5)，Q(√-1)のL(χ,s)は出現しないことが予想されますが、ほんとう
にそうなっているでしょうか？
さっそく予想を検証してみましょう。
予想L-４ではk=|m|=|-15|=15となり、よってqπ/15を予想L-4の①，②の重回積分の結果のxに代入すると、
Q（√-15)に対応するゼータL(χ,s)のLS(s)が姿をあらわしたのでした。
奇数回積分の式を参照）
Q(√-15)はこのように出現しましたので、OKです。予想通りです。
Q(√-5)はどうでしょうか？
＜天王星 その３＞の「π/15代入」の偶数回を見ると、Q(√-5)に対応するLC(s)は出ていません。また分割
ゼータを使ってもどうしても出すことができません。もし出せるのならば、[4n+2，4n+3]型ｍ約数予想での
Ｑ（√10）やQ（√-10）などの類推から＜天王星 その３＞の「π/15代入」の偶数回の係数CとFあたりの外
分割ゼータの組み合わせで出せるはずですが出ないのです。
（ここは万が一計算を見落としている可能性もないではないですが、LC(s)出現はどうも無理なようです）
よって、これも予想通りです。
Q(√-3)はどうでしょうか？
＜天王星 その３＞の「π/15代入」の偶数回のE係数の外分割ゼータに注目する見ると、Q(√-3)に対応
するLA(s)が出ているのです。
E・(1/5^2 + 1/10^2 - 1/20^2 - 1/25^2 + 1/35^2 + 1/40^2 - 1/50^2 - 1/55^2 +・・・)
=E・1/5^2・(1 + 1/2^2 - 1/4^2 - 1/5^2 + 1/7^2 + 1/8^2 - 1/10^2 - 1/11^2 +・・・)
という（）内の級数に着目して、
1 + 1/2^2 - 1/4^2 - 1/5^2 + 1/7^2 + 1/8^2- 1/10^2 - 1/11^2+ ・・・
＝1 - 1/2^2 + 1/4^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - 1/8^2 + 1/10^2 - 1/11^2+ ・・・ + (2/2^2 - 2/4^2 + 2/8^2 - 2/10^2 + 2/14^2 - 2/16^2 + ・・・) ＝LA(2) + 2/2^2(1 - 1/2^2 + 1/4^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - 1/8^2 + ・・・) ＝LA(2) + 1/2LA(2) ＝(1 + 1/2)LA(2)
となり自然にQ（√-3）に付随するLA(s)が出現してくるのです！
よって、これも予想通りとなっています。
Q(√-1)はどうでしょうか？
＜天王星 その３＞の「π/15代入」の偶数回を見ると、Q(√-1)に対応するL(s)は出ていません。
これも予想通りです。
すなわち、-15の負の約数 -15, -5，-3，-1に対応するQ(√-15)，Q(√-5)，Q(√-3)，Q(√-1)のうち、
[4n+1]型のQ(√-15)，Q(√-3)に付随するL(χ,s)は出現し、[4n+2，4n+3]型のQ(√-5)，Q(√-1)に付随する
L(χ,s)は出現しない結果となりました。
よって、[4n+1]型m約数予想は成り立っています。
*********************************************
Q(√17)の場合
[4n+1]型Q(√17)は[4n+1]型m約数予想を満たしているでしょうか？
いまm＝17です。この17の約数を見ます。17が正の数ですから、正の約数だけをとると、それは17と1です。
すなわち17, 1に着目する。
17と1はともに[4n+1]型です(例 17=4×4+1より )。
よって、[4n+1]型Q(√m)のm約数予想から、
Q(√17)とQ(√1)のL(χ,s)はとも出現することが予想されますが、ほんとうにそうなっているでしょうか？
さっそく予想を検証してみましょう。
予想L-４ではk=|m|=|17|=17となり、よってqπ/17を予想L-4の①，②の重回積分の結果のxに代入すると、
Q（√17)に対応するゼータL(χ,s)のLT(s)が姿をあらわしたのでした。
偶数回積分の式を参照）
Q(√17)はこのように出現しましたので、OKです。予想通りです。
Q(√1)はどうでしょうか？
＜天王星 その３＞の「π/17代入」の奇数回を見ると、Q(√1)に対応するζ(s)が出ています。
これも予想通りとなっています。
すなわち、17の約数17，1に対応する[4n+1]型Q(√17)，Q(√1)のゼータL（χ，s）はともに出現する結果となり
ました。よって、[4n+1]型m約数予想は成り立っています。
*********************************************
Q(√-19)の場合
[4n+1]型Q(√-19)は[4n+1]型m約数予想を満たしているでしょうか？
いまm＝-19です。この-19の約数を見ます。-19が負の数ですから、負の約数だけをとると、それは-19と-1です。
すなわち-19, -1に着目する。
-19は[4n+1]型ですが(-19=4×(-5)+1より )、-1は[4n+2，4n+3]型である(-1=4×(-1)+3より )ことに着目して
ください。
[4n+1]型Q(√m)のm約数予想から、
Q(√-19)のL(χ,s)は出現し、Q(√-1)のL(χ,s)は出現しないことが予想されますが、ほんとうにそうなっている
でしょうか？
さっそく予想を検証してみましょう。
予想L-４ではk=|m|=|-19|=19となり、よってqπ/19を予想L-4の①，②の重回積分の結果のxに代入すると、
Q（√-19)に対応するゼータL(χ,s)のLU(s)が姿をあらわしたのでした。
奇数回積分の式を参照）
Q(√-19)はこのように出現しましたので、OKです。予想通りです。
Q(√-1)はどうでしょうか？
＜天王星 その４＞の「π/19代入」の偶数回を見ると、Q(√-1)に対応するL(s)は出ていません。
これも予想通りとなっています。
すなわち、-19の負の約数 -19, -1に対応するQ(√-19)，Q(√-1)のうち、[4n+1]型のQ(√-19)に付随する
L(χ,s)は出現し、[4n+2，4n+3]型のQ(√-1)に付随するL(χ,s)は出現しない結果となりました。
よって、[4n+1]型m約数予想は成り立っています。
*********************************************
Q(√21)の場合
[4n+1]型Q(√21)は[4n+1]型m約数予想を満たしているでしょうか？
いまm＝21です。この21の約数を見ます。
21が負の数ですから、負の約数だけをとると、それは21，7，3，1です。
すなわち21，7，3，1に着目する。
21と1は[4n+1]型ですが(21=4×5+1より )、7と3は[4n+2，4n+3]型である(7=4×1+3より )ことに着目して
ください。
[4n+1]型Q(√m)のm約数予想から、
Q(√21)，Q(√1)のL(χ,s)は出現し、Q(√7)，Q(√3)のL(χ,s)は出現しないことが予想されますが、ほんとう
にそうなっているでしょうか？
さっそく予想を検証してみましょう。
予想L-４ではk=|m|=|21|=21となり、よってqπ/21を予想L-4の①，②の重回積分の結果のxに代入すると、
Q（√21)に対応するゼータL(χ,s)のLV(s)が姿をあらわしたのでした。
偶数回積分の式を参照）
Q(√21)はこのように出現しましたので、OKです。予想通りです。
Q(√7)はどうでしょうか？
＜天王星 その４＞の「π/21代入」の奇数回を見ると、Q(√7)に対応するLJ(s)は出ていません。また分割
ゼータを使ってもどうしても出すことができません。LJ(s)は出現していないようです。
予想通りです。
Q(√3)はどうでしょうか？
＜天王星 その４＞の「π/21代入」の奇数回を見ると、Q(√3)に対応するLB(s)は出ていませんし、また分割
ゼータを使ってもどうしても出すことができません。LB(s)は出現していないようです。
予想通りです。
Q(√1)はどうでしょうか？
＜天王星 その４＞の「π/21代入」の奇数回を見ると、Q(√1)に対応するζ(s)は出ています。
予想通りです。
すなわち、21の負の約数 21, 7，3，1に対応するQ(√21)，Q(√7)，Q(√3)，Q(√1)のうち、
[4n+1]型のQ(√21)，Q(√1)に付随するL(χ,s)は出現し、[4n+2，4n+3]型のQ(√7)，Q(√3)に付随する
L(χ,s)は出現しない結果となりました。
よって、[4n+1]型m約数予想は成り立っています。
*********************************************
以上、このようにたいへん美しい形で、[4n+1]型m約数予想は成り立っているのでした。
もちろん、まだ上の場合だけの検証ですので、すべての２次体Ｑ（√m）でどうか証明しなければ
m約数予想の真偽は定かではありませんが、これまでの予想L-４を基調とするゼータの美と調和を
考えれば、m約数予想は正しいであろうと思います。
再度、「その７」と「その８」をまとめる形で、[4n+2，4n+3]型m約数予想と[4n+1]型m約数予想をそれぞれ
載せておきます。
この二予想の見事な対象性を味わってください。
この対称性とは、凹と凸のそれに似ており、つまり鍵穴のような関係です。
[4n+2，4n+3]型の方は全てを包含してしまう豊かな世界であり、一方[4n+1]型の方は[4n+1]型のみしか許容
しないやや狭い世界です。
[4n+2,4n+3]型はすべてが生い茂る夏の季節であり、[4n+1]型は少しさびしい冬の季節を連想させる。
ゼータ世界は精妙にして不思議なものであふれています。
|