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右院堂
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2004/05/27 11:24:44 |
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下町先生お元気ですか？おひさしぶりです。コラッツの予想で「ループしない」が証明できました。今までと逆方向を考えたらうまくいきました。
全整数は（2a+1）×2＾M だから（外国の数学者によって証明済み）全奇数を初項とする公比2の等比数列です。この数列を1本2本と数えることにして、全整数の集合Zから任意の1本を抜き出して空集合Eへ抜き出します。この初項の奇数は （2a+1）×3+1＝6a＋4の写像を通じて次に抜き出されるべき数列はあらかじめ一意に定まっています。この数列は如何なる場合も(2度目以降のa=0を除いては）必ずもとのZ集合の中にあることが保障されています。なぜならばZ集合とE集合はあわせて全整数の集合だからです。全ての数列はZおよびEのどちらか一方に１個しか存在しないのです。だから任意の数列から始めて、如何なる場合でも抜き出せたということは「いままではE集合の中には存在しなかった」ということなので、（2a+1）×3+1＝6a＋4なる偶数を含む数列つまり次ぎに抜き出されるべき数列も必ずZの中に存在しているということが保障されます。
以前ご紹介頂いたなかの �擬亜，箸いΔ里蓮�2a+1）×2＾M の変形です。
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Y
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2004/06/30 20:32:19 |
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私は言葉を少し間違えてつかってました。
>この連続関数は任意の長さの周期を持つわけですね。
連続関数が周期を持つのではなく、
連続関数のイテレーションが周期を持つ、の書き間違いでした。
>有界なところに収まっているのかな
少なくとも私が知っている関数では、
数直線上いたるところで定義され、連続で、微分可能です。
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しもまっち
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2004/06/30 18:44:12 |
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なるほど。1回だけ２で割るということで次のステップ
へ行くということですか。
関数のコンパクトといったのは、コラッツの関数が、
定義域を仮に[0,1]としたとき、有界なところに収まって
いるのかなと思ったのです。
そうでないと3周期があっても任意の周期を持つことになら
ないのではということです。
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Y
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2004/06/29 09:59:49 |
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>整数全体に拡張したコラッツの予想
コラッツ予想を拡張するというより、
整数全体で考えた方が都合のいいこともあるというだけです。
>(-5)→(-7)→(-10)→(-5)は３周期ですか？
Terras定理を引き合いにだすまでもなく、
２で１回割るところまでを１ステップと考えた方が都合がいいんです。
たとえば、パリティベクターを考えると、
奇数ステップや偶数ステップが無限に続くことがありえないということも、
0と(-1)がコラッツ予想の不動点であることから容易に言えてしまいます。
また、「偶奇の判定」というような手続き的な部分がないので、
連続関数に拡張するのも容易になります。
>コラッツの予想を表す関数のコンパクト性は考えなくていいのですか。
「関数のコンパクト性」というのは完備という意味でしょうか？
ひょっとして、私がドメインを整数に限定して話をしたと
思われているのではありませんか？
実数上の話ですよ。それなら問題ないですよね？
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しもまっち
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2004/06/29 08:59:16 |
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>コラッツ予想は、三角関数を使って簡単に連続関数に拡張できることが知られていますし、
>周期３を持つことも(-5)→(-7)→(-10)→(-5)で容易にわかりま
Yさんこんにちは。整数全体に拡張したコラッツの予想面白いですね。
ところで、、(-5)→(-7)→(-10)→(-5)は３周期ですか？
(-5)→(-14)→(-7)→(-20)→(-10)→(-5)と見れば５周期
(-5)→(-7)→(-5) と見れば２周期と思うのですが・・・
コラッツの予想を表す関数のコンパクト性は考えなくていいのですか。
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Y
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2004/06/26 02:57:04 |
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MathWorldで検索してみました。
>これを見て、私はシャルコフスキー（Sarkovskii）の順序
>を連想していました。
Sharkovsky's Theorem というものがあるんですね。
このほかに、 Period Three Theorem（直訳すると、「周期３の定理」）というのもみつけました。
>xn=f(xn)という実数の連続関数
コラッツ予想は、三角関数を使って簡単に連続関数に拡張できることが知られていますし、
周期３を持つことも(-5)→(-7)→(-10)→(-5)で容易にわかりますから、
この連続関数は任意の長さの周期を持つわけですね。
この事とNo Wandering Domainをうまく組み合わせられないかな？
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しもまっち
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2004/06/13 12:57:38 |
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右院堂さん相変わらずの活躍すごいですね。
だんだんついていけなくなりましたよ。
>全整数は（2a+1）×2＾Mだから
>（外国の数学者によって証明済み）全奇数を初項とする公比2の等比数列です
これを見て、私はシャルコフスキー（Sarkovskii）の順序
を連想していました。
自然数全体に対して
3--5--7--・・・
2*3--2*5--2*7--・・・
2^2*3--2^2*5--2^2*7--・・・
2^3*3--2^3*5--2^3*7--・・・
・・・・・
2^n--2^(n-1)--・・・2^2--2^1--1
という奇妙な順序で、最大数が３で最小数が１です。
この中のある自然数Kに対し、
xn=f(xn)という実数の連続関数が周期Kをもてば、
それより後ろの番号の周期ももつという定理は有名で、
3周期をもてばカオスになるということが示されるという
ものです。
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栗林
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2004/06/11 17:58:20 |
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>（2a+1）×3+1＝6a＋4 において 2a+1をエッジ、
>6a＋4をシンクと呼ぶことにします。
>すると標記の説で言えば最初にZ→E移行した数列に
>含まれるシンクと写像をなすエッジがZ→E移行されてくることがないのか？
>という一点だけを問題にすればよいことになります。
>それならば最初に 6a+3を初項として含む数列を移項したとすれば、
>この数列にはシンクが存在しないので問題は解決します。
9,18,36,…
「シンク」がないということですね。
ここまでだけわかりました。
自分で考えるときにも使わさせていただきます、
「エッジ」・「シンク」。
失礼しました。
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