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条件Cos[ s=s, π代入, π/2テイラー］でζ(3)を出した。テイラーシステム成立条件の別表現を提示した。
Cos[ s=s, π代入, π/2テイラー]でのζ(0)、ζ(-1)、ζ(-3)、・・の場合を確かめた。ζ(2)、ζ(4)、ζ(6)を求めた。
さらにζ(1/4)を導出した。
テイラーシステムを用い、ζ（3）を条件Cos[ s=3, π代入, π/2テイラー］で求める。
条件Cos[ s=3, π代入, π/2テイラー]とは、
f(x)=(cosx)/1^3 + (cos2x)/2^3 + (cos3x)/3^3 + (cos4x)/4^3 + ・・・
という母関数をx=π/2周りでテイラー展開したのちπ代入を経由する形でζ(3)を求めるという意味である。
「エンケ彗星 その１」で出した一般のζ(s)の式を利用しよう。まずそれを掲げる。
Aを使い、ζ(3)を求めよう。
［ζ(3)の導出］ Cos[ s=3， π代入， π/2テイラー]
Ａでｓ＝3とすると、次のようになる。
-(1-1/2^3)・(1-1/2^2)・ζ(3)
＝ - L(2)・(π/2)^1 /1！ + 2^(-1)・（1-1/2^0）・ζ(1) ・(π/2)^2 /2！
+ L(0)・(π/2)^3 /3！ - 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^4 /4！
- L(-2)・(π/2)^5 /5！ + 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^6 /6！
+ L(-4)・(π/2)^7 /7！ - 2^5・（1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^8 /8！ -------①
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここで、（1-1/2^0）・ζ(1) ＝log2である。公式では（1-1/2^0）×ζ(1)という不思議なものが出るが、手計算では
ここはうまく回避されて自然にlog2が出る。よって、（1-1/2^0）・ζ(1) をlog2に置き換え、次を得る。
-(1-1/2^3)・(1-1/2^2)・ζ(3)
＝ - L(2)・(π/2)^1 /1！ + 2^(-1)・log2 ・(π/2)^2 /2！
+ L(0)・(π/2)^3 /3！ - 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^4 /4！
- L(-2)・(π/2)^5 /5！ + 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^6 /6！
+ L(-4)・(π/2)^7 /7！ - 2^5・（1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^8 /8！ -------②
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
なおL(s)は
L(s)= 1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + 1/9^s - 1/11^s + 1/13^s - 1/15^s + ・・・
であり、ディリクレのＬ関数L(χ，s)というゼータに関係するゼータ関数である。
ζ(s)はリーマン・ゼータである。
さて、ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
と、次のＬ(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(sπ/2)・L(s)
を利用してL(-2)，ζ(-1)，・・・をすべて現実的なL(3) ，ζ(2)，・・・に直して整理すると、②は次の③になる。
(1-1/2^3)・(1-1/2^2)・ζ(3)
＝ L(2)・(π/2)^1 /1！ - log2 ・π^2 /(2^3・2！) - L(0)・(π/2)^3 /3！
+ (π/2)^2・[（1-1/2^2）・ζ(2)・1！/4！ - L(3)・2！/5！
+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/6！ - L(5)・4！/7！
+ （1-1/2^6）・ζ(8)・7！/10！ - L(7)・8！/11！ -------③
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・］
③で、L(0)=1/2、L(3)，ζ(2)，L(5)，ζ(4)，・・・の実際的な値を用いて計算すると、右辺は左辺の値に収束する
とわかった。またL(2)＝0.91596559・・を使った。手計算で確めたものを以下に示す。
まず
ζ(3)は、ζ(3)=1.2020569・・ ----④
である。
③左辺を16倍した値は (4-1/2)・(4-1)・ζ(3)＝12.621597・・ ----⑤
となる。
右辺を16倍した値を見ていくと、
３項までの和＝11.011924・・
７項までの和＝12.550285・・
１１項までの和＝12.604619・・
と⑤に収束することがわかる。
収束半径を調べてみよう。ここでは公式を用いたので、ベキ級数を経由しなかったが、別途ベキ級数を出してそれから
収束半径Rをlim(An/An+1)(n->∞)で計算すると、R=π/2と出た。
条件の[π代入, π/2テイラー］はその１のζ（1/2）、ζ（5/2）と同じである。
| p - q | =| π - π/2 |=π/2なので、＜テイラーシステム成立の条件＞での| p - q |は 収束半径Rと等しい場合に
相当していることがわかる。ここはきわどい地点でありよって別途具体的に③の収束を確めたのだが、上で見たよう
に③右辺は正しく左辺の値に収束していく。
以上。
②と③を書いておく。
「百武彗星 その６」の＜テイラーシステム成立の条件＞で、テイラーシステムが成立する場合の条件を提示した。
次である。
上では、”＝R”の場合を特別に「実際の計算で確かめる」などというという複雑さをもったものであったが、いろいろと
実験で確かめた結果、上の条件は次のようにすっきりさせることもできる（つまり別表現）ことに気づいた。
この[Ⅱ]はどういうことかというと、例えば、p-q＝Rであったとしよう。そして、ＡやＢの右辺の収束半径を計算した
場合、R+εでRとなるのか、あるいはR-εでRとなるかで決定的な違いが発生する！という意味である。
ただし、こんなややこしいことが問題になるのは、| p - q | = Rというやっかいな状況の場合だけである。
そして、このエンケ彗星でやっていることがまさに、このややこしい状況なのであるが、だから、冒頭のζ(3)の場合も
次のように
**************************
右辺を16倍した値を見ていくと、
３項までの和＝11.011924・・
７項までの和＝12.550285・・
１１項までの和＝12.604619・・
と⑤に収束することがわかる。
収束半径を調べてみよう。ここでは公式を用いたので、ベキ級数を経由しなかったが、別途ベキ級数を出してそれから
収束半径Rをlim(An/An+1)(n->∞)で計算すると、R=π/2と出た。
条件の[π代入, π/2テイラー］はその１のζ（1/2）、ζ（5/2）と同じである。
| p - q | =| π - π/2 |=π/2なので、＜テイラーシステム成立の条件＞での| p - q |は 収束半径Rと等しい場合に
相当していることがわかる。ここはきわどい地点でありよって別途具体的に③の収束を確めたのだが、上で見たよう
に③右辺は正しく左辺の値に収束していく。
*************************
などとして、別途計算で実際に収束することを確かめたのであった。
上の条件（別表現）では、実際の計算で収束をたしかめなくとも、R が R+ε か R-ε かで、テイラーシステムが
使えるか否かがわかるということを主張する。
「エンケ彗星 その１」のζ（1/2）を再度、この条件の観点から見てみよう。
そこでは、テイラーシステムを用いてζ（1/2）を条件Cos[ s=1/2, π代入, π/2テイラー］で求めたのであった。
繰り返すと、条件Cos[ s=1/2, π代入, π/2テイラー]とは、
f(x)=(cosx)/1^0.5 + (cos2x)/2^0.5 + (cos3x)/3^0.5 + (cos4x)/4^0.5 + ・・・ -------①
という母関数をx=π/2周りでテイラー展開したのちπ代入を経由する形でζ(1/2)を求めるという意味である。
いまｐ＝π，ｑ＝π/2であるから、p - q＝π/2 ----②
である。
次に①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝ - 2^(-0.5)・（1-2^0.5）・ζ(1/2) - L(-1/2)・(x-π/2)^1 /1！
+ 2^1.5・（1-2^2.5）・ζ(-3/2)・(x-π/2)^2 /2！ + L(-5/2)・(x-π/2)^3 /3！
- 2^3.5・（1-2^4.5）・ζ(-7/2)・(x-π/2)^4 /4！ - L(-9/2)・(x-π/2)^5 /5！
+ 2^5.5・（1-2^6.5）・ζ(-11/2)・(x-π/2)^6 /6！ + L(-13/2)・(x-π/2)^7 /7！ -------③
・・・・・・・・・・・
この③が導かれたのであったが、はたしてこの式は収束するのか？ということである。ζ(ｓ)とL(s)の関数等式を
使って③右辺の収束半径を計算すると、
lim(An/An+1)(n->∞)で収束半径Rを計算すると、
R＝lim(n->∞) π/2・｛(n+1)/(n+0.5)｝＝π/2+ε ------④
となる。（εは無限小の正の値）
上の条件（別表現）の観点から、②、④をみると、ぎりぎりではあるが| p - q | < R が成り立っているから、③ｆ(x)の
べき級数はR上で収束することになり、π代入でもテイラーシステムはうまく働くのである。
そして「エンケ彗星 その１」のζ（1/2）で次式を最終的に得たのであった。
また条件（別表現）は、「エンケ彗星」で求めたζ(5/2)やζ(3)でももちろん成り立っているが、省略する。
（改2006/10/23）
「百武彗星 その３」の＜ζ(s)式を具体的に見る＞では、Cos[ s=s, π/2代入, πテイラー]の条件で、ζ(-1)、ζ(-3)を
求め、また同条件で「百武彗星 その５」ではζ(-5)、ζ(-7)を出した。この場合は、なんの問題もなく求まった。
さて、ではCos[ s=s, π代入, π/2テイラー]は、どうなのだろうか？
この条件でも、問題なくζ(-1)、ζ(-3)・・・は求まるのだろうか？じつは、この場合は、求まらないのである。
というのは、この条件Cos[ s=s, π代入, π/2テイラー]が一つ上で見た通りぎりぎりの条件であることに関係している
からであるが、実際に、この条件でζ(-1)、ζ(-3)、・・・を求めても、その式は破綻した式となる。
例えば、ζ(-3)を見てみてみよう。まず一つ上での条件（別表現）の観点で、調べると、
条件Cos[ s=s, π代入, π/2テイラー]であるから、まず
| p - q | = π/2 ------①
である。
さて、ζ(-3)をテイラーシステムを機能させ、途中のべき級数展開式の収束半径Rを計算すると、それはじつは
R＝lim(n->∞) π/2・｛(n+1)/(n+4)｝＝π/2-ε ------②
となる。
条件（別表現）の観点から、①、②をみると、ぎりぎりで| p - q | < R が成り立っていないから、②ｆ(x)のべき級数は
R上では収束しないことになり、π代入では正しい結果が得られないのである。
実際に次のＡ（冒頭の式）からs＝-3として、ζ(-3)を出しても右辺が（解析接続でも）どんどんと発散していく式となり
だめである。
-(1-1/2^s)(1-1/2^(s-1))・ζ(s)
＝ - L(s-1)・(π/2)^1 /1！
+ 2^(2-s)・（1-2^(3-s)）・ζ(s-2)・(π/2)^2 /2！ + L(s-3)・(π/2)^3 /3！
- 2^(4-s)・（1-2^(5-s)）・ζ(s-4)・(π/2)^4 /4！ - L(s-5)・(π/2)^5 /5！
+ 2^(6-s)・（1-2^(7-s)）・ζ(s-6)・(π/2)^6 /6！ + L(s-7)・(π/2)^7 /7！ --------A
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
では、ζ(0)はどうなのだろうか？
Cos[ s=s, π代入, π/2テイラー]で無事求まるのであろうか？
じつは、求まる。Ａの式で、左辺で -(1-1/2^0)(1-1/2^(0-1))・ζ(0)などとなり、また右辺は0であり、0＝0となって、
式は成立しているのに、うまく求まらない。
これは途中の経路を省略して公式の形であるため求まらないのか？普通にテイラーシステムを実行したら求まるの
だろうか、念のため、見てみよう。
［ζ(0)の導出］ Cos[ s=0、 π代入， π/2テイラー]
まず
f(x)＝(cosx)/1^0 + (cos2x)/2^0 + (cos3x)/3^0 + (cos4x)/4^0 + ・・・
＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・
という母関数を考える。
そして、まず上でx=πを代入すると
f(π)＝= -1 + 1 - 1 + 1 - 1 +・・・
＝-( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ・・・)
＝-｛( 1 + 1 + 1 + 1+・・・) - 2(1 + 1 + 1 + 1 + ・・)｝
＝-｛ζ(0) - 2・ζ(0)｝
＝ζ(0)
となる。
次に、①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝ - （1-2^1）・ζ(0) - L(-1)・(x-π/2)^1 /1！
+ 2^2・（1-2^3）・ζ(-2)・(x-π/2)^2 /2！ + L(-3)・(x-π/2)^3 /3！
- 2^4・（1-2^5）・ζ(-4)・(x-π/2)^4 /4！ - L(-5)・(x-π/2)^5 /5！
+ 2^6・（1-2^7）・ζ(-6)・(x-π/2)^6 /6！ + L(-7)・(x-π/2)^7 /7！ -------③
・・・・・・・・・・・
さて、ζ(-2)、ζ(-4)・・やL(-1)、L(-3)・・・はすべて0であるから、結局③の右辺は - （1-2^1）・ζ(0) となる。
もちろん、π代入のf(π)でも同じであり、
f(π)＝ - （1-2^1）・ζ(0)＝ζ(0) -------④
となる。
②、④より、 ζ(0)＝ζ(0)
となって、成立はしているが、やはり求まらない。
以上。
このようにζ(0)の値も、テイラーシステム自体からは求まらない。
次に、条件Cos[ s=s, π代入, π/2テイラー]で、ζ(2)、ζ(4)、ζ(6)を求めておこう。
冒頭の公式Aを再度書く。
ζ(2)の場合
Aでs＝2を代入して、
-(1-1/2^2)・(1-1/2^1)・ζ(2)
＝ - L(1)・(π/2)^1 /1！
+ 2^0・（1-2^(3-2)）・ζ(0)・(π/2)^2 /2！ + L(-1)・(π/2)^3 /3！
- 2^2・（1-2^(5-2)）・ζ(-2)・(π/2)^4 /4！ - L(-3)・(π/2)^5 /5！
+ 2^4・（1-2^(7-s)）・ζ(-4)・(π/2)^6 /6！ + L(-5)・(π/2)^7 /7！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
さて、ζ(-2)、ζ(-4)・・やL(-1)、L(-3)・・・はすべて0であるから、結局
-(1-1/2^2)・(1-1/2)・ζ(2)
＝ - L(1)・(π/2)^1 /1！+ 2^0・（1-2^1）・ζ(0)・(π/2)^2 /2！ ------①
となる。
ここで、ζ(2)＝π^2/6、L(1)＝π/4、ζ(0)＝-1/2であり、実際に計算しても①は成り立っている。
ζ(4)の場合
Aでs＝4を代入して、上と同様にして、
-(1-1/2^4)・(1-1/2^3)・ζ(4)
＝ - L(3)・(π/2)^1 /1！+ 2^(-2)・（1-2^(-1)）・ζ(2)・(π/2)^2 /2！
+ L(1)・(π/2)^3 /3！- 2^0・（1-2^1）・ζ(0)・(π/2)^4 /4！ ------②
が成り立つ。
ここでζ(4)＝π^4/90、ζ(2)＝π^2/6、ζ(0)＝-1/2、L(1)＝π/4、L(3)＝π^3/32であり、実際に計算しても
当然②は成り立っている。
ζ(6)の場合
Aでs＝6を代入して、上と同様にして、
-(1-1/2^6)・(1-1/2^5)・ζ(6)
＝ - L(5)・(π/2)^1 /1！ + 2^(-4)・（1-2^(-3)）・ζ(4)・(π/2)^2 /2！
+ L(3)・(π/2)^3 /3！ - 2^(-2)・（1-2^(-1)）・ζ(2)・(π/2)^4 /4！
- L(1)・(π/2)^5 /5！ + 2^0・（1-2^1）・ζ(0)・(π/2)^6 /6！ ------③
ここでζ(6)＝π^6/945、ζ(4)＝π^4/90、ζ(2)＝π^2/6、ζ(0)＝-1/2、L(1)＝π/4、L(3)＝π^3/32、
L(5)＝5π^5/1536であり、実際に計算しても当然③は成り立っている。
以上。
ζ(8)以降も全く同様にして求められるのはいうまでもない。 まとめておこう。
こんなにも興味深い式がいとも簡単に求まった。テイラーシステムの威力！をいまさらながら思い知る。
念のため、「百武彗星 その２」＜ζ(6)とζ（8）の導出＞で求めた式も比較のため次に再掲しておく。
ここでは、ζ(1/4)をCos[ s=s, π代入, π/2テイラー]で導出した。
［ζ(1/4)の導出］ Cos[ s=1/4， π代入， π/2テイラー]
まず
f(x)=(cosx)/1^0.25 + (cos2x)/2^0.25 + (cos3x)/3^0.25 + (cos4x)/4^0.25 + ・・・ -------①
という母関数を考える。
そして、まず上でx=πを代入すると
f(π) = -(1-2^(3/4))・ζ(1/4) -------②
となる。ζ（1/4）の姿が現れた。
次に、①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝ - 2^(-0.25)・（1-2^0.75）・ζ(1/4) - L(-3/4)・(x-π/2)^1 /1！
+ 2^1.75・（1-2^2.75）・ζ(-7/4)・(x-π/2)^2 /2！ + L(-11/4)・(x-π/2)^3 /3！
- 2^3.75・（1-2^4.75）・ζ(-15/4)・(x-π/2)^4 /4！ - L(-19/4)・(x-π/2)^5 /5！
+ 2^5.75・（1-2^6.75）・ζ(-23/4)・(x-π/2)^6 /6！ + L(-27/4)・(x-π/2)^7 /7！ -------③
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
こちらにもζ(1/4)が出てきた。
L(s)は
L(s)= 1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
である。
ζ(ｓ)はもちろんリーマン・ゼータである。
さて、③にx=πを代入した式と②より、次となる。
-(1-2^(-1/4))・ (1-2^(3/4))・ζ(1/4)
= M・Γ(7/4)・[-(2/π)^(7/4)・L(7/4) ・（1/1！）・(π/2)^1
+ ｛(2/π)^(11/4)-π^(-11/4)｝ζ(11/4)・(7/(2！・4^1))・(π/2)^2
-(2/π)^(15/4)・L(15/4) ・（11・7/(3！・4^2)）・(π/2)^3
+ ｛(2/π)^(19/4)-π^(-19/4)｝ζ(19/4)・(15・11・7/(4！・4^3))・(π/2)^4
-(2/π)^(23/4)・L(23/4) ・（19・15・11・7/(5！・4^4)）・(π/2)^5
+ ｛(2/π)^(27/4)-π^(-27/4)｝ζ(27/4)・(23・19・15・11・7/(6！・4^5))・(π/2)^6
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・]
整理して、次のようになる。
-(1-2^(-1/4))・ (1-2^(3/4))・ζ(1/4)
= M・Γ(7/4)・π^(-3/4)・[-2^(3/4)・L(7/4) ・（1/1！）
+ ｛2^(3/4)-1/2^2)｝ζ(11/4)・(7/(2！・4^1))
-2^(3/4)・L(15/4) ・（11・7/(3！・4^2)）
+ ｛2^(3/4)-1/2^4)｝ζ(19/4)・(15・11・7/(4！・4^3))
-2^(3/4)・L(23/4) ・（19・15・11・7/(5！・4^4)）
+ ｛2^(3/4)-1/2^6)｝ζ(27/4)・(23・19・15・11・7/(6！・4^5))
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] ------④
ここで、M＝sin(π/8)＝(√(2-√2))/2、またΓ(7/4)はガンマ関数Γ(s)の値である。
途中で、ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
と、次のＬ(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(sπ/2)・L(s)
を利用した。ガンマ関数Γ(s)の公式
Γ(s)＝(s-1)Γ(s-1) （s > 1）
を利用した。
④は、+と-が繰り返される交代級数であり、且つ各項の大きさが徐々に小さくなっているから、収束することがわかる。
③について、この頁上方で見た条件（別表現）を調べよう。im(An/An+1)(n->∞)で収束半径Rを計算した結果、
R＝lim(n->∞) π/2・｛(n+1)/(n+0.75)｝＝π/2+ε ------⑤
となる。（εは無限小の正の値）
ｐ＝π，ｑ＝π/2であり、そして⑤から、ぎりぎりではあるが| p - q | < R が成り立っているから、③ｆ(x)のべき級数
はR上で収束することになり、π代入でもテイラーシステムはうまく働くのである。
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