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これまでの結果を利用して、「ζ(ｓ)の無限和＝L(s)の無限和」 の式を導出した。その応用として、
「ζ(2n)の和＝L(n+1)の和」の式をいくつか出した。L(2)＝「ζ(2n)とL(2n+1)の無限和」の式を導出。
「L(2N)とζ(2N-1)の有限和」＝「ζ(2n)とL(2n+1)の無限和」の式を導いた。
せると、「ζ(ｓ)の無限和＝L(s)の無限和」という面白い関係式が出たので、導出過程とともに以下に示す。
まず「百武彗星 その３」の方の式を示すと、次の通りである。条件Cos[ s=s, π/2代入, πテイラー]で出したものだ。
ｎ！などはもちろん階乗の記号であり、例えば、4！＝4×3×2×1である。
一方、「エンケ彗星 その１」の式は次であった。Cos[ s=s, π代入, π/2テイラー]で出した。
この二式を見比べると、面白いことに気づく。左辺が同じ（大きさ）である！
よって、
（1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(s-9)）・ζ(s-8)・π^8 /(8！・2^8)
・・・・・・・・・・・
＝L(s-1)・(π/2)^1 /1！- 2^(2-s)・（1-2^(3-s)）・ζ(s-2)・(π/2)^2 /2！
- L(s-3)・(π/2)^3 /3！+ 2^(4-s)・（1-2^(5-s)）・ζ(s-4)・(π/2)^4 /4！
+ L(s-5)・(π/2)^5 /5！- 2^(6-s)・（1-2^(7-s)）・ζ(s-6)・(π/2)^6 /6！
・・・・・・・・
と、できる。
左辺にζ(ｓ)を、右辺にL(s)を分けると次のようになる。自明だが左辺の（1-1/2^(s-3)）は（1-2^(3-s)）と直した。
（1+2^(2-s)）・（1-2^(3-s)）・ζ(s-2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1+2^(4-s)）・（1-2^(5-s)）・ζ(s-4)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1+2^(6-s)）・（1-2^(7-s)）・ζ(s-6)・π^6 /(6！・2^6)
- （1+2^(8-s)）・（1-2^(9-s)）・ζ(s-8)・π^8 /(8！・2^8)
・・・・・・・・・・・
＝L(s-1)・(π/2)^1 /1！
- L(s-3)・(π/2)^3 /3！
+ L(s-5)・(π/2)^5 /5！
- L(s-7)・(π/2)^7 /7！
・・・・・・・・
このように優雅な式が現れた。
なおL(s)は
L(s)= 1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
である。
まとめておこう。
上で求めた式をすこし具体的に見てみよう。具体的にみると、なかなか面白いのである。
「有限個数の和」を”有限和”と表現した。まず、一つ上で求めた式を再び書いておく。
これに、s＝2，4，6を入れてみよう。
s＝2の場合
s＝2を代入してみよう。すると、ζ(-2)，ζ(-4)，・・やL(-1)，L(-3)・・はすべて0であるから、左辺も右辺も
２項目以降はすべて０になり、よって、次が成り立つ。
(１+2^0)・(１-2^1)・ζ(0)・π^2 /(2！・2^2)＝L(1)・(π/2)^1 /1！ -----①
ここで、ζ(0)＝-1/2、L(1)＝π/4であるから、実際に計算してもきちんと成り立っている。
s＝4の場合
s＝4を代入してみよう。すると、同様にして、次が成り立つ。
(１+2^(-2))・(１-2^(-1))・ζ(2)・π^2 /(2！・2^2) - (１+2^0)・(１-2^1)・ζ(0)・π^4 /(4！・2^4)
＝L(3)・(π/2)^1 /1！ - L(1)・(π/2)^3 /3！ -----②
ここで、ζ（2)＝π^2/6、ζ(0)＝-1/2、L(3)＝π^3/32、L(1)＝π/4であり、計算しても、もちろんきちんと
成り立っている。
s＝6の場合
s＝6を代入してみよう。すると、同様にして、次が成り立つ。
(１+2^(-4))・(１-2^(-3))・ζ(4)・π^2 /(2！・2^2)
- (１+2^(-2))・(１-2^(-1))・ζ(2)・π^4 /(4！・2^4)
+ (１+2^0)・(１-2^1)・ζ(0)・π^6 /(6！・2^6)
＝L(5)・(π/2)^1 /1！ - L(3)・(π/2)^3 /3！ + L(1)・(π/2)^5 /5！ -----③
ここでζ（4)＝π^4/90、ζ（2)＝π^2/6、ζ(0)＝-1/2、L(5)＝5π^5/1536、L(3)＝π^3/32、L(1)＝π/4であり、
実際に計算しても、もちろん成り立っている。
これらを見ると、面白いことに、「同数のζ(2n)の和＝同数のL(2n+1)の和」となっているのである。
ζ(ｓ)はζ(0)から連続しており、L(s)はL(1)から連続している。
まとめておこう。
一つ上では、ゼータの自明な特殊値を見た。特殊値とはゼータの整数点での値で、自明な特殊値とは現代数学で
よくわかっているものである。
ζ(ｓ)では、ζ(2)、ζ(4)、ζ(6)・・などはよくわかっている。一方、いまだにζ(3)、ζ(5)、ζ(7)、・・などはよくわから
ないといわれている。
またＬ(ｓ)では、L(1)、L(3)、L(5)・・などはよくわかっているが、しかし、いまだにL(2)、L(4)、L(8)、・・などは謎につつ
まれているといわれる。
上のような現代数学で不明な特殊値を、本サイトでは非自明な特殊値と呼んでいる。
付け加えれば、分数点でのゼータ値など（例えば、ζ(1/2)やL(3/2)など）を求めることも非常に難しいものであると
いえる。
当サイトの研究により、これら現代数学で不明とされる値の正体（とその構造）がわかってきたといえるのでは
ないかと自負しているが、ここでは、先の公式をこれら非自明な特殊値に適用しつつL(2)を求めてみたい。
再度、その公式をかかげよう。
上でsに3を代入すれば、L(2)が出てきそうだと見当がつく。
s＝3とすると、次のようになる。
（1+2^(-1)）・（1-2^0）・ζ(1)・π^2 /(2！・2^2)
- （1+2^1）・（1-2^2）・ζ(-1)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1+2^3）・（1-2^4）・ζ(-3)・π^6 /(6！・2^6)
- （1+2^5）・（1-2^6）・ζ(-5)・π^8 /(8！・2^8)
・・・・・・・・・・・
＝L(2)・(π/2)^1 /1！
- L(0)・(π/2)^3 /3！
+ L(-2)・(π/2)^5 /5！
- L(-4)・(π/2)^7 /7！
・・・・・・・・
L(2)の項だけを左辺とすると、次となる。
L(2)・(π/2)^1 /1！
＝ L(0)・(π/2)^3 /3！ + （1+2^(-1)）・（1-2^0）・ζ(1)・π^2 /(2！・2^2)
- L(-2)・(π/2)^5 /5！- （1+2^1）・（1-2^2）・ζ(-1)・π^4 /(4！・2^4)
+ L(-4)・(π/2)^7 /7！+ （1+2^3）・（1-2^4）・ζ(-3)・π^6 /(6！・2^6)
- L(-6)・(π/2)^9 /9！- （1+2^5）・（1-2^6）・ζ(-5)・π^8 /(8！・2^8) ------①
・・・・・・・・・・・
美しい式である。
秩序をくずさないために、(π/2)で割わらなかった。
（1-2^0）・ζ(1)＝0×∞という不思議なものが出たが、これはlog2（底自然対数）に等しい。
すなわち、（1-2^0）・ζ(1)＝log2 である。
これは、公式の上で出現するだけで、実際にテイラーシステムを手計算する場合は、log2が出てきて、
（1-2^0）・ζ(1)は出てこない。よって、（1-2^0）・ζ(1)が出たときは安心してlog2に置き換えればよい。
上で、その置き換えを行うと、次のようになる。
L(2)・(π/2)^1 /1！
＝ L(0)・(π/2)^3 /3！ + （1+2^(-1)）・log2・π^2 /(2！・2^2)
- L(-2)・(π/2)^5 /5！- （1+2^1）・（1-2^2）・ζ(-1)・π^4 /(4！・2^4)
+ L(-4)・(π/2)^7 /7！+ （1+2^3）・（1-2^4）・ζ(-3)・π^6 /(6！・2^6)
- L(-6)・(π/2)^9 /9！- （1+2^5）・（1-2^6）・ζ(-5)・π^8 /(8！・2^8) ------②
・・・・・・・・・・・
さて、ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
と、次のＬ(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(sπ/2)・L(s)
を利用して、ζ(-1)，ζ(-3)・・・をすべて現実的なζ(2) ，ζ(4)，・・・に直し、
またL(-2)，L(-4)・・・をすべて現実的なL(3)，L(5)・・・に直して、整理整頓すると次のようになる。
L(2)＝ L(0)・(π/2)^2 /3！
+ (π/2)｛（1+2^(-1)）・log2 /2！
- （1+2^(-1)）・（1-2^(-2)）・ζ(2) ・1！/4！+ L(3)・2！/5！
- （1+2^(-3)）・（1-2^(-4)）・ζ(4) ・3！/6！+ L(5)・4！/7！
- （1+2^(-5)）・（1-2^(-6)）・ζ(6) ・5！/8！+ L(7)・6！/9！
- （1+2^(-7)）・（1-2^(-8)）・ζ(8) ・7！/10！+ L(9)・8！/11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ ------③
さて、この右辺を眺めていて、L(1)がひそんでいるのではないか？と予想が立つ。
究極の美と調和を好むゼータのことである、そうなっているのではないか？
驚くべきことに、先頭項(1/2)・(π/2)^2 /3！は、じつは次のように変形できるのであった！
L(0)・(π/2)^2 /3！＝(π/2)・L(1)・0！/3！
よって、③は次のようにできる。
L(2)＝ (π/2)｛（1+2^(-1)）・log2 /2！ + L(1)・0！/3！
- （1+2^(-1)）・（1-2^(-2)）・ζ(2) ・1！/4！ + L(3)・2！/5！
- （1+2^(-3)）・（1-2^(-4)）・ζ(4) ・3！/6！ + L(5)・4！/7！
- （1+2^(-5)）・（1-2^(-6)）・ζ(6) ・5！/8！ + L(7)・6！/9！
- （1+2^(-7)）・（1-2^(-8)）・ζ(8) ・7！/10！ + L(9)・8！/11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ ------④
なんとしっくり収まることか！うまいことできているものである。
現代数学で不明とされるL(2)だが、このようにζ(2n)とL(2n+1)の無限和で表現できるのであった。
L(2)は数値的にはもちろんわかっていてL(2)＝0.91596559・・ -----⑤
である。
この収束は電卓でも確かめられる。９項までで0.915091・・となる。交代級数なので、⑤をまたぎながら
⑤に近づいていく。
②と④をまとめておく。
一つ上ではs＝3を見たが、s＝5とすると、また面白い結果が得られる。ここではそれを調べる。
まず冒頭で得た一般の式を再び書いておく。
s＝5とすると、次のようになる。
（1+2^(-3)）・（1-2^(-2)）・ζ(3)・π^2 /(2！・2^2)
- （1+2^(-1)）・（1-2^0）・ζ(1)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1+2^1）・（1-2^2）・ζ(-1)・π^6 /(6！・2^6)
- （1+2^3）・（1-2^4）・ζ(-3)・π^8 /(8！・2^8)
+（1+2^5）・（1-2^6）・ζ(-5)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・
＝L(4)・(π/2)^1 /1！
- L(2)・(π/2)^3 /3！
+ L(0)・(π/2)^5 /5！
- L(-2)・(π/2)^7 /7！
- L(-4)・(π/2)^9 /9！
・・・・・・・・
さて、一つ上でも述べた通り形式的な（1-2^0）・ζ(1)は log2（底自然対数）であるから、それで置き換えると上式は
次のようになる。
（1+2^(-3)）・（1-2^(-2)）・ζ(3)・π^2 /(2！・2^2)
- （1+2^(-1)）・log2・π^4 /(4！・2^4)
+ （1+2^1）・（1-2^2）・ζ(-1)・π^6 /(6！・2^6)
- （1+2^3）・（1-2^4）・ζ(-3)・π^8 /(8！・2^8)
+（1+2^5）・（1-2^6）・ζ(-5)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・
＝L(4)・(π/2)^1 /1！
- L(2)・(π/2)^3 /3！
+ L(0)・(π/2)^5 /5！
- L(-2)・(π/2)^7 /7！
+ L(-4)・(π/2)^9 /9！
・・・・・・・・
この式の中にあるもので、現代数学で不明なものはζ(3)、L(4)、L(2)であり、他のL(0)、ζ(-1)、L(-2)、ζ(-3)、・・
などはよくわかっているものである。
不明なものを左辺に、自明なものを右辺にもっていって整理すると、次のようになる。
-L(4)・(π/2)^1 /1！+ （1+2^(-3)）・（1-2^(-2)）・ζ(3)・π^2 /(2！・2^2) + L(2)・(π/2)^3 /3！
＝ （1+2^(-1)）・log2・π^4 /(4！・2^4) + L(0)・(π/2)^5 /5！
- （1+2^1）・（1-2^2）・ζ(-1)・π^6 /(6！・2^6) - L(-2)・(π/2)^7 /7！
+ （1+2^3）・（1-2^4）・ζ(-3)・π^8 /(8！・2^8) + L(-4)・(π/2)^9 /9！ ------①
- （1+2^5）・（1-2^6）・ζ(-5)・π^10 /(10！・2^10) - L(-6)・(π/2)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
右辺は関数等式を用いて、現実的な値に変換できるが（例えば、ζ(-1)-->ζ(2)）、一つ上でもやっており
自明なことなので、今回はこの形でおいておくが、右辺はすなわちζ(2n)とL(2n+1)の無限和なのである。
現代数学で不明とされるL(4)とL(2)とζ(3)を足したものが、無限個の自明なζ(2n)、L(2n+1)で表され
るのである！
①は電卓計算のレベルでも（数項を計算するだけで）その正しさを容易に検証できる。
左辺＝0.2895133・・ ------②
である。
右辺の５項までの和＝0.2892508・・
右辺の６項までの和＝0.2896519・・
となって、交代級数ゆえに②をまたぎながら②に急速に近づいていく。なおL(０)＝1/2である。
もう一度、一般の式をかかげる。
今回s＝5として①を導いたが、ｓ＝7、9、11、13・・・としても同様に興味深い式がどんどんと出てくるのはもはや
明らかであろう。
結局まとめると、s＝5、7、9、11、13・・・とした場合は、次のようにできるのである。
L(2N)とζ(2N-1)の有限和＝ζ(2n)とL(2n+1)の無限和
「有限個数の和」を”有限和”と表現した。
すなわち、
「有限個の現代数学で不明な値」＝「無限個の自明な値」
となっている。
①を再度書いておく。
ついででもあるので、s＝7 の場合も、調べておこう。まず冒頭で得た一般の式を再び書く。
上式でs＝7とすると、次のようになる。
（1+2^(-5)）・（1-2^(-4)）・ζ(5)・π^2 /(2！・2^2)
- （1+2^(-3)）・（1-2^(-2)）・ζ(3)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1+2^(-1)）・（1-2^0）・ζ(1)・π^6 /(6！・2^6)
- （1+2^1）・（1-2^2）・ζ(-1)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1+2^3)）・（1-2^4）・ζ(-3)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・
＝L(6)・(π/2)^1 /1！
- L(4)・(π/2)^3 /3！
+ L(2)・(π/2)^5 /5！
- L(0)・(π/2)^7 /7！
+ L(-2)・(π/2)^9 /9！
- L(-4)・(π/2)^11 /11！
・・・・・・・・
非自明な特殊値を左辺へ、自明な特殊値を右辺へとわけると次となる。
-L(6)・(π/2)^1 /1！ + （1+2^(-5)）・（1-2^(-4)）・ζ(5)・π^2 /(2！・2^2)
+ L(4)・(π/2)^3 /3！- （1+2^(-3)）・（1-2^(-2)）・ζ(3)・π^4 /(4！・2^4)
- L(2)・(π/2)^5 /5！
＝ - （1+2^(-1)）・（1-2^0）・ζ(1)・π^6 /(6！・2^6) - L(0)・(π/2)^7 /7！
+ （1+2^1）・（1-2^2）・ζ(-1)・π^8 /(8！・2^8) + L(-2)・(π/2)^9 /9！
- （1+2^3)）・（1-2^4）・ζ(-3)・π^10 /(10！・2^10) - L(-4)・(π/2)^11 /11！
+ （1+2^5）・（1-2^6）・ζ(-5)・π^12 /(12！・2^12) + L(-6)・(π/2)^13 /13！
・・・・・・・・・・・・・・・・・
これまで述べてきた通り、（1-2^0）・ζ(1)は log2（底自然対数）と置き換えることができ、置き換えると上式は
次のようになる。
-L(6)・(π/2)^1 /1！ + （1+2^(-5)）・（1-2^(-4)）・ζ(5)・π^2 /(2！・2^2)
+ L(4)・(π/2)^3 /3！- （1+2^(-3)）・（1-2^(-2)）・ζ(3)・π^4 /(4！・2^4)
- L(2)・(π/2)^5 /5！
＝ - （1+2^(-1)）・log2・π^6 /(6！・2^6) - L(0)・(π/2)^7 /7！
+ （1+2^1）・（1-2^2）・ζ(-1)・π^8 /(8！・2^8) + L(-2)・(π/2)^9 /9！
- （1+2^3)）・（1-2^4）・ζ(-3)・π^10 /(10！・2^10) - L(-4)・(π/2)^11 /11！
+ （1+2^5）・（1-2^6）・ζ(-5)・π^12 /(12！・2^12) + L(-6)・(π/2)^13 /13！
・・・・・・・・・・・・・・・・・
左辺に現代数学で不明とされる値L(6)、L(4)、L(2)、ζ(5)、ζ(3)ばかり集まった。
右辺は関数等式を用いて、現実的な値に変換できるが（例えば、ζ(-1)-->ζ(2)）、自明なことなので、この形で
おいておく。すなわち、右辺はζ(2n)とL(2n+1)の無限和なのである。
上方で得た結果とあわせて載せておく。
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