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テイラーシステムでCos[ s=s, π代入, π/2テイラー]の場合を調べる。（百武彗星では、Cos[ s=s, π/2代入, πテイラー]を中心に
調べたので。） ζ（1/2）、ζ（5/2）を導出する。一般のζ(s)を出した。
「百武彗星」では、Cos[ s=s, π/2代入, πテイラー]を中心に研究し、面白い結果を得た。
さて、この「エンケ彗星」シリーズでは、また別の条件Cos[ s=ｓ, π代入, π/2テイラー]で、ゼータ特殊値を調べて
いきたい。
ところで、「百武彗星 その１」の＜ζ(1/2）の導出＞では、既にCos[ s=1/2, π代入, π/2テイラー]の場合を行い、
ζ(1/2)を出していた。一つだけだが。
このCos[ s=s, π代入, π/2テイラー]の条件を本シリーズを新たにはじめるにあたり、＜ζ(1/2）の導出＞をきれいに
整理整頓した形で以下再掲しておく。
［ζ(1/2)の導出］ Cos[ s=1/2， π代入， π/2テイラー]
まず
f(x)=(cosx)/1^0.5 + (cos2x)/2^0.5 + (cos3x)/3^0.5 + (cos4x)/4^0.5 + ・・・ -------①
という母関数を考える。
そして、まず上でx=πを代入すると
f(π) = (√2-1)・ζ(1/2) -------②
となる。ζ（1/2）の姿が現れた。
次に、①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝ - 2^(-0.5)・（1-2^0.5）・ζ(1/2) - L(-1/2)・(x-π/2)^1 /1！
+ 2^1.5・（1-2^2.5）・ζ(-3/2)・(x-π/2)^2 /2！ + L(-5/2)・(x-π/2)^3 /3！
- 2^3.5・（1-2^4.5）・ζ(-7/2)・(x-π/2)^4 /4！ - L(-9/2)・(x-π/2)^5 /5！
+ 2^5.5・（1-2^6.5）・ζ(-11/2)・(x-π/2)^6 /6！ + L(-13/2)・(x-π/2)^7 /7！ -------③
・・・・・・・・・・・
無限個の半整数ゼータ値が出てきた。こちらにもζ(1/2)が見える。
L(s)は
L(s)= 1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
である。
L(s)は、巨大な古典的ゼータであるディリクレのＬ関数L(χ，s)というゼータ関数の一種で、L(1)=π/4であることは
よく知られている。ちなみに、リーマン・ゼータζ(s)もL(χ，s)の一種である。
L(χ，s)は無限に多くのゼータを包含している。
さて、③にx=πを代入して次を得る。
f(π)＝-2^(-0.5)・（1/2^0-√2）・ζ(1/2) - L(-1/2)・π/(2・1！)
+ 2^1.5・（1/2^2-√2）・ζ(-3/2)・π^2/2！ + L(-5/2)・π^3/(2^3・3！)
- 2^3.5・（1/2^4-√2）・ζ(-7/2)・π^4/4！ - L(-9/2)・π^5/(2^5・5！)
+ 2^5.5・（1/2^6-√2）・ζ(-11/2)・π^6/6！ + L(-13/2)・π^7/(2^7・7！) -------④
・・・・・・・・・・・
②と④は等しいので、
(√2-1)・ζ(1/2)
= -2^(-0.5)・（1/2^0-√2）・ζ(1/2) - L(-1/2)・π/(2^1・1！)
+ 2^1.5・（1/2^2-√2）・ζ(-3/2)・π^2/2！ + L(-5/2)・π^3/(2^3・3！)
- 2^3.5・（1/2^4-√2）・ζ(-7/2)・π^4/4！ - L(-9/2)・π^5/(2^5・5！)
+ 2^5.5・（1/2^6-√2）・ζ(-11/2)・π^6/6！ + L(-13/2)・π^7/(2^7・7！) -------⑤
・・・・・・・・・・・
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
と、次のＬ(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(sπ/2)・L(s)
を利用してL(-1/2)，ζ(-3/2)，・・・をすべて現実的なL(3/2) ，ζ(5/2)，・・・に直すと、⑤は次のようになる。
(√2-1)・ζ(1/2)
＝（1-1/2^0.5）・0！/｛2^0・(0！)^2｝・ζ(1/2) - 2！/｛2^2・(1！)^2)｝・L(3/2)
+ (1-1/2^2.5)・4！/｛2^4・(2！)^2｝・ζ(5/2) - 6！/｛2^6・(3！)^2)｝・L(7/2)
+ (1-1/2^4.5)・8！/｛2^8・(4！)^2｝・ζ(9/2) - 10！/｛2^10・(5！)^2)｝・L(11/2)
+ (1-1/2^6.5)・12！/｛2^12・(6！)^2｝・ζ(13/2) - 14！/｛2^14・(7！)^2)｝・L(15/2)
・・・・・・・・・・・・ -----⑥
ζ（1/2）を左辺にまとめると、次となる。
(1-1/√2)・（√2-1）・ζ(1/2)
＝ - 2！/｛2^2・(1！)^2)｝・L(3/2)
+ (1-1/2^2.5)・4！/｛2^4・(2！)^2｝・ζ(5/2) - 6！/｛2^6・(3！)^2)｝・L(7/2)
+ (1-1/2^4.5)・8！/｛2^8・(4！)^2｝・ζ(9/2) - 10！/｛2^10・(5！)^2)｝・L(11/2)
+ (1-1/2^6.5)・12！/｛2^12・(6！)^2｝・ζ(13/2) - 14！/｛2^14・(7！)^2)｝・L(15/2)
・・・・・・・・・・・・ -----⑦
⑥または⑤が最も美しい。秩序だっている。
⑦において右辺のL(3/2)，ζ(5/2)，L(7/2)，ζ(9/2)，・・・は、現実世界で確固とした値として計算できる（現実的に
収束する）ので、右辺の無限級数を計算すれば収束し、ζ(1/2)=-1.46035・・とわかる。
⑦は+と-が交互に現れる交代級数の形になっている。交代級数であり且つ徐々に項の大きさが小さくなっていく
から、確実に収束する(*)。
（*） ただし収束がたいへん遅く、ExcelのVBAでプログラムを組み計算したが、9億9999万9999項目で-1.460428・・と なり、１０億項目で-1.460280・・
となった。Pentium CPUで13分かかった。（交互に振動しながら、中心線-1.460354・・をまたぎながら それに徐々にちかづいていく） これ以上の
計算はオーバーフローとなり無理であったが、十分であろう。
なお、ζ(34.5)、L(33.5)より大きいゼータ値はすべて1として計算している。
math worldにさらに詳しい値がある。次の通りである。
ζ(1/2)=-1.46035450880・・・
さて、⑦式は数値計算でζ(1/2)が出たので正しい式と考えられるが、念のため、テイラーシステムの成立条件も
確めておこう。＜テイラーシステム成立の条件＞でみたが、このCos[ s=ｓ, π代入, π/2テイラー]はテイラーシステム
の条件を満足しているだろうか。
成立条件とはCos［s=s, p代入,qテイラー］のとき、
| p - q | < R ----⑧
を満たすことであった。いま上で調べたのはCos[ s=1/2, π代入, π/2テイラー]であったから、p=π，q=π/2である。
また、③のベキ級数の収束半径Ｒを計算すると、R=π/2と出た。
よって、| π - π/2 |=π/2であり、⑧は満たさないがしかし| p - q | は収束半径Rと等しくなった。
さて＜テイラーシステム成立の条件＞であるとおり、このような場合は実際の数値計算で確める必要があるが、
上でExcel計算で確めたように、収束は非常に遅いがζ（1/2)は-1.46035・・に徐々に収束していく。
ここはきわどい地点であり、よって別途具体的に⑦の収束を確めたのだが上のように無事収束する。
よって、⑦式は正しいとわかる。
| p - q | が収束半径 R に等しくなる今回のような場合は、収束するかしないかのぎりぎりのところであり、
よって、上のように収束が極端に遅いことになるのであろう。
以上。
⑥と⑤を代表として書いておく。
上ではCos[ s=s, π代入, π/2テイラー]でのs=1/2の場合を見たわけであるが、以下sを変えて他の特殊値も出
していくことにする。
例えば、条件Cos[ s=1/2, π代入, π/2テイラー]とは、
f(x)=(cosx)/1^0.5 + (cos2x)/2^0.5 + (cos3x)/3^0.5 + (cos4x)/4^0.5 + ・・・
という母関数をx=π/2周りでテイラー展開したのちπ代入を経由する形でテイラーシステムを行うという意味である。
ζ（5/2）を条件Cos[ s=s, π代入, π/2テイラー］で求めてみる。
条件Cos[ s=5/2, π代入, π/2テイラー]とは、
f(x)=(cosx)/1^2.5 + (cos2x)/2^2.5 + (cos3x)/3^2.5 + (cos4x)/4^2.5 + ・・・
という母関数をx=π/2周りでテイラー展開したのちπ代入を経由する形でテイラーシステムを行うという意味である。
［ζ(5/2)の導出］ Cos[ s=5/2， π代入， π/2テイラー]
まず
f(x)=(cosx)/1^2.5 + (cos2x)/2^2.5 + (cos3x)/3^2.5 + (cos4x)/4^2.5 + ・・・ -------①
という母関数を考える。
そして、まず上でx=πを代入すると
f(π) = -(1-1/2^1.5)・ζ(5/2) -------②
となる。ζ（5/2）の姿が現れた。
次に、①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝ - 2^(-2.5)・（1-1/2^1.5）・ζ(5/2) - L(3/2)・(x-π/2)^1 /1！
+ 2^(-0.5)・（1-2^0.5）・ζ(1/2)・(x-π/2)^2 /2！ + L(-1/2)・(x-π/2)^3 /3！
- 2^1.5・（1-2^2.5）・ζ(-3/2)・(x-π/2)^4 /4！ - L(-5/2)・(x-π/2)^5 /5！
+ 2^3.5・（1-2^4.5）・ζ(-7/2)・(x-π/2)^6 /6！ + L(-9/2)・(x-π/2)^7 /7！ -------③
・・・・・・・・・・・
無限個の半整数ゼータ値が出てきた。こちらにもζ(5/2)が見える。
L(s)は
L(s)= 1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + 1/9^s - 1/11^s + 1/13^s - 1/15^s + ・・・
で、古典的ゼータであるディリクレのＬ関数L(χ，s)というゼータ関数の一種である。
さて、③にx=πを代入して次を得る。
f(π)＝ - 2^(-2.5)・（1-1/2^1.5）・ζ(5/2) - L(3/2)・(π/2)^1 /1！
+ 2^(-0.5)・（1-2^0.5）・ζ(1/2)・(π/2)^2 /2！ + L(-1/2)・(π/2)^3 /3！
- 2^1.5・（1-2^2.5）・ζ(-3/2)・(π/2)^4 /4！ - L(-5/2)・(π/2)^5 /5！
+ 2^3.5・（1-2^4.5）・ζ(-7/2)・(π/2)^6 /6！ + L(-9/2)・(π/2)^7 /7！ -------④
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
②と④は等しいので、
-(1-1/2^1.5)・ζ(5/2)
＝ - 2^(-2.5)・（1-1/2^1.5）・ζ(5/2) ・(π/2)^0 /0！- L(3/2)・(π/2)^1 /1！
+ 2^(-0.5)・（1-2^0.5）・ζ(1/2)・(π/2)^2 /2！ + L(-1/2)・(π/2)^3 /3！
- 2^1.5・（1-2^2.5）・ζ(-3/2)・(π/2)^4 /4！ - L(-5/2)・(π/2)^5 /5！
+ 2^3.5・（1-2^4.5）・ζ(-7/2)・(π/2)^6 /6！ + L(-9/2)・(π/2)^7 /7！ -------⑤
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
と、次のＬ(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(sπ/2)・L(s)
を利用してL(-1/2)，ζ(-3/2)，・・・をすべて現実的なL(3/2) ，ζ(5/2)，・・・に直すと、⑤は次の⑥になる。
-(1-1/2^1.5)・ζ(5/2)
＝ - 2^(-2.5)・（1-1/2^1.5）・ζ(5/2) - L(3/2)・(π/2)
+ π^2・［2^(-0.5)・（1-2^0.5）・ζ(1/2)・0！/(2^2・2！・0！) + L(3/2)・2！/(2^4・3！・1！)
+ 2^1.5・（1-2^2.5）・ζ(5/2)・4！/(2^10・4！・2！) + L(7/2)・6！/(2^8・5！・3！)
+ 2^3.5・（1-2^4.5）・ζ(9/2)・8！/(2^18・6！・4！) + L(11/2)・10！/(2^12・7！・5！) ----⑥
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
ζ（5/2）を左辺にまとめると、次となる。
-(1-1/2^2.5)・（1-1/2^1.5）・ζ(5/2)
＝ - L(3/2)・(π/2)
+ π^2・［-（1-1/2^0.5）・ζ(1/2)・0！/(2^2・2！・0！) + L(3/2)・2！/(2^4・3！・1！)
-（1-1/2^2.5）・ζ(5/2)・4！/(2^6・4！・2！) + L(7/2)・6！/(2^8・5！・3！)
-（1-1/2^4.5）・ζ(9/2)・8！/(2^10・6！・4！) + L(11/2)・10！/(2^12・7！・5！) ----⑦
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
美しい姿である。
ζ(5/2)は、ζ(5/2)=1.3414872571・・ ----⑧
である。
さて⑦のL(3/2)，ζ(5/2)，L(7/2)，ζ(9/2)，・・・は現実世界で確固とした値と、ζ（1/2)の値（解析接続された値）
を用いて計算すれば右辺は収束する。ζ(5/2)=1.3414872・・と⑧の正しい値に収束することを確認した。
⑦は交代級数であり且つ徐々に項の大きさが小さくなっていくから、確実に収束する(*)。
（*） 収束は冒頭のζ（1/2)よりはかなり速く、ExcelのVBAでプログラムを組み計算したが、999項目で1.341487298・・と なり、１千項目で
1.341487216・・ となった。（交互に振動しながら、中心線⑧をまたぎながら それに徐々に近づいていく） ζ(34.5)、L(33.5)より大きいゼータ
値はすべて1として計算している。
収束半径を調べてみよう。③ベキ級数の収束半径Rはlim(An/An+1)(n->∞)で出すと、R=π/2と出た。
条件の[π代入, π/2テイラー］は冒頭のζ（1/2）と同じである。
| p - q | =| π - π/2 |=π/2なので、＜テイラーシステム成立の条件＞での| p - q |は 収束半径Rと等しい場合
に相当していることがわかる。ここはきわどい地点のはずであり、よって別途具体的に⑦の収束を確めたのだが上で
見たように、⑦右辺は正しく収束する。
以上。
⑥と⑤を代表として書いておく。
上ではζ(1/2)やζ(5/2)の具体的な特殊値を出した。ここでは一般的なζ(s)の形で出しておきたい。
条件はCos[ s=s， π代入，π/2テイラー］である。
「百武彗星 その３」の＜ζ(s)の導出＞で出したζ(s)と比較すると面白い。
やり方は、このページの上二つと同様にする。
［ζ(s)を導出する］ Cos［s=s, π代入、π/2テイラー］
まず
f(x)=(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s + (cos4x)/4^s + ・・・ -------①
という母関数を考えます。
まず①で x=πを代入します。すると
f(π) = -(1-1/2^(s-1))・ζ(s) -------②
となり、ζ（s）が現れる。
次に①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、次のようになる。
f(x)＝ - 1/2^s・（1-1/2^(s-1)）・ζ(s)・(x-π/2)^0 /0！ - L(s-1)・(x-π/2)^1 /1！
+ 1/2^(s-2)・（1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2)・(x-π/2)^2 /2！ + L(s-3)・(x-π/2)^3 /3！
- 1/2^(s-4)・（1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4)・(x-π/2)^4 /4！ - L(s-5)・(x-π/2)^5 /5！
+ 1/2^(s-6)・（1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)・(x-π/2)^6 /6！ + L(s-7)・(x-π/2)^7 /7！ -------③
・・・・・・・・・・・
無限個のゼータζ(s)、L(s)が出てきた。
さて、③にx=πを代入して次を得る。
f(π)＝ - 1/2^s・（1-1/2^(s-1)）・ζ(s)・(π/2)^0 /0！ - L(s-1)・(π/2)^1 /1！
+ 1/2^(s-2)・（1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2)・(π/2)^2 /2！ + L(s-3)・(π/2)^3 /3！
- 1/2^(s-4)・（1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4)・(π/2)^4 /4！ - L(s-5)・(π/2)^5 /5！
+ 1/2^(s-6)・（1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)・(π/2)^6 /6！ + L(s-7)・(π/2)^7 /7！ ------④
・・・・・・・・・・・
②と④は等しいので、
-(1-1/2^(s-1))・ζ(s)
＝ - 2^(-s)・（1-2^(1-s)）・ζ(s)・(π/2)^0 /0！ - L(s-1)・(π/2)^1 /1！
+ 2^(2-s)・（1-2^(3-s)）・ζ(s-2)・(π/2)^2 /2！ + L(s-3)・(π/2)^3 /3！
- 2^(4-s)・（1-2^(5-s)）・ζ(s-4)・(π/2)^4 /4！ - L(s-5)・(π/2)^5 /5！
+ 2^(6-s)・（1-2^(7-s)）・ζ(s-6)・(π/2)^6 /6！ + L(s-7)・(π/2)^7 /7！ ------⑤
・・・・・・・・・・・
④から⑤への変形では例えば1/2^(s-3) を 2^(3-s) などと書き換えている。優雅な式である。
ζ(s)を左辺にまとめて、次を得る。
-(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)
＝ - L(s-1)・(π/2)^1 /1！+ 2^(2-s)・（1-2^(3-s)）・ζ(s-2)・(π/2)^2 /2！
+ L(s-3)・(π/2)^3 /3！- 2^(4-s)・（1-2^(5-s)）・ζ(s-4)・(π/2)^4 /4！
- L(s-5)・(π/2)^5 /5！+ 2^(6-s)・（1-2^(7-s)）・ζ(s-6)・(π/2)^6 /6！
+ L(s-7)・(π/2)^7 /7！- 2^(8-s)・（1-2^(9-s)）・ζ(s-8)・(π/2)^8 /8！ ------⑥
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
さて、ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s) ------⑦
と、次のＬ(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(sπ/2)・L(s)
を用いて、⑥をガンマ関数Γ(x)が出る形に書き直すと、
-(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)
＝ (π/2)^s・［- L(2-s)/｛Γ(s-1)・sin((s-1)π/2)・1！｝ + （2^(s-3)-1）・ζ(3-s)/｛Γ(s-2)・cos((s-2)π/2)・2！｝
+ L(4-s)/｛Γ(s-3)・sin((s-3)π/2)・3！｝ - （2^(s-5)-1）・ζ(5-s)/｛Γ(s-4)・cos((s-4)π/2)・4！｝
- L(6-s)/｛Γ(s-5)・sin((s-5)π/2)・5！｝ + （2^(s-7)-1）・ζ(7-s)/｛Γ(s-6)・cos((s-6)π/2)・6！｝
+ L(8-s)/｛Γ(s-7)・sin((s-7)π/2)・7！｝ - （2^(s-9)-1）・ζ(9-s)/｛Γ(s-8)・cos((s-8)π/2)・8！｝
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] -----⑧
この式もまた美しい。
以上。
⑥．⑧より、ζ（s）が無限個のζ(s)、L(s)で表現できたわけである。
⑧はガンマ関数Γ(x)が現れている点が興味深い。しかし、⑧は⑥の関数等式の性質をひきずっており、それは
とりもなおさず⑦ではζ(3)，ζ（5），・・がわからないという⑦の欠点をひきずっていることを意味する。
例えば、⑧でs＝3，5，・・を代入していただきたい。だめですね。
ところが⑥ではそんなs＝3，5，・・でもOKなのであるから、きわめて一般的な式であるといえる。
（注意：ζ（1）が出ると思われるかもしれないが、それに関しては「百武彗星 その３」＜ ζ(s)式を具体的に見る ＞で示した通り、
（1-1/2^0）・ζ(1)＝log2 であり、実際の計算ではζ（1）など出ず、log2が出てうまくいく。）
⑥、⑧を再度書いておく。
整理整頓の意味で、「百武彗星 その３」の＜ζ(s)の導出＞でCos[ s=ｓ, π/2代入, πテイラー]で出したζ(s)も
下に示しておく。上と条件が違うことに注意。比較しつつ、味わっていただきたい。
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