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「百武彗星 その１」で出したζ(3)と、「ゼータ関数のいくつかの点について」で導出したζ(3)の収束性を比較した。
ゼータのフラクタル構造を指摘し、その観点からζ(2)、ζ(4)、ζ(6)、ζ(8)をζ(0)で表現した。
フラクタル構造を利用して、ζ(ｓ)＝・・の右辺を様々に変えた一般式を出した。
「百武彗星 その１」で出したζ(3)は収束がきわめて速いものであった。
テイラーシステムCos[ s=s, π/2代入, πテイラー]の条件で導いたものである。
ところで、３年前にまったく別の方法で（「ゼータ関数のいくつかの点について その７」）導いたζ(3)も非常に速い
収束性をもっていたが、テイラーシステムでのζ(3)とどの程度の差があるものなのか気になったので、ここで少し
比較しておきたい。
まず 「百武彗星 その１」でテイラーシステムを用いて導いたζ(3)は次のものである。
(1-1/2^3)・（1-1/2^2）・ζ(3)
＝π^2・［log2・/8 - (1-1/2^2)・ζ(2)/｛(4・3・2)・2^3｝
- (1-1/2^4)・ζ(4)/｛(6・5・4)・2^5｝ - (1-1/2^6)・ζ(6)/｛(8・7・6)・2^7｝
- (1-1/2^8)・ζ(8)/｛(10・9・8)・2^9｝ - (1-1/2^10)・ζ(10)/｛(12・11・10)・2^11｝ + ・・・・］ ----①
①の形で、右辺をΣの記号で書くと、次となる。
(1-1/2^3)・（1-1/2^2）・ζ(3)
＝π^2・［log2/8 - Σ(1-1/2^(2n))・ζ(2n)/｛2n・(2n+1)・(2n+2)・2^(2n+1)｝ ------②
（n＝1～∞）
さて「ゼータ関数のいくつかの点について その７」で出した４つのζ(3)を記す。
上から収束の速い順番に並べておきます。
ながめるとわかるが、②はこの４つものでは④に本質的に収束速度が等しいとわかる。
④などは、その収束のよさに当時びっくりしていた記憶があるが、テイラーシステムCos[ s=s, π/2代入, πテイラー]
で求まった②（＝①）は、収束がきわめて速い④と同等の収束性をもつとわかったのである。
なお、「エンケ彗星 その２」でテイラーシステムCos[ s=s, π代入, π/2テイラー]で導いたζ(3)は交代級数でも
あり、②のζ(3)より収束性は劣っているはずである。
「百武彗星 その３」でテイラーシステムによって出したζ(ｓ)の一般式は、次のものだが、よく見ると非常に面白い
性質をもっていることに気づく。
これは、ζ(ｓ)を、ζ(ｓ-2)、ζ(ｓ-4)、ζ(ｓ-4)、・・・・で表現した式ですが、よく考えると、このζ(ｓ-2)やζ(ｓ-4)や
ζ(ｓ-6)・・・自身に、同じように①式が成り立っていることに気づくのである。
ζ(ｓ-2)では①でsをs-2に置き換えた式が成り立ち、またζ(ｓ-4)ではsをs-4に置き換えた式が成り立ち、そして
またζ(ｓ-6)ではsをs-6に置き換えた式が成り立ち・・・・とすべてのζ(ｓ-2n)で①が成り立っている。
すなわち、①右辺の各々のζ(ｓ-2n)でまた①が成り立っているという不思議な構造になっているのです。
そして、そうやって、できた孫式？の右辺でもまた同様のことが成り立つ・・・・というように延々と自己相似形が
無限につづいていくのである！
それは、まるで地下へ暗闇に下っていく無限階段のようだ。
同じ形がどこまでも内包されている、それはまさにマンデルブロー集合図のようなフラクタル構造を連想させる。
①は、いろいろと面白い性質がある。次に示す。
フラクタル構造の性質で、私が思い付いた面白い応用を示したい。
①は、ζ(ｓ)をζ(ｓ-2)、ζ(ｓ-4)、ζ(ｓ-6)、ζ(ｓ-8)、・・・というもので表現したものだが、ζ(ｓ-2)を消して
ζ(ｓ)をζ(ｓ-4)、ζ(ｓ-6)、ζ(ｓ-8)、・・・で表現できると気づく。
つまり、①でsをs-2で置き換え、ζ(ｓ-2)＝・・の式をもとめ、それを①に代入すれば、ζ(ｓ-2)が消えてくれる。
つまり、
ζ(ｓ)＝A1・ζ(ｓ-4) + B1・ζ(ｓ-6) + C1・ζ(ｓ-8) ＋ D1・ζ(ｓ-10) + ・・・・ -------②
というような式になる。
さて、ζ(ｓ-2)が消えたわけだが、今度はζ(ｓ-4)をも消してみたい。その方法はすぐにわかるであろう。
つまり、①でsをs-4で置き換え、ζ(ｓ-4)＝・・の式をもとめ、それを②に代入すれば、次のようになる。
ζ(ｓ)＝A2・ζ(ｓ-6) + B2・ζ(ｓ-8) + C2・ζ(ｓ-10) ＋ D2・ζ(ｓ-12) + ・・・・
めでたくζ(ｓ-4)も消えた。
この方法を繰り返していくと、いくらでも違った式をアレンジすることができるのであるが、これを奇数ゼータζ(2n+1)や
偶数ゼータζ(2n)に応用していきたい。次で見たい。
まず偶数ゼータの場合をみよう。
①式だが、一つ上で指摘したことを利用して、偶数ゼータζ(2)、ζ(4)、ζ(6)・・・に応用する。
①に関して「百武彗星 その２」で導出した偶数ゼータの結果を再び示すと、次のようになる。
偶数ゼータが「有限個の偶数ゼータの和」で表現できるという面白い結果であった。
さて、一つ上で指摘したことを応用してみる。つまり、①式を用いて、右辺の変数をコントロールして面白い結果
を出したいのである。
結論を先に言っておくと、
ζ(2)＝A・ζ(0)
ζ(4)＝B・ζ(0)
ζ(6)＝C・ζ(0)
ζ(8)＝D・ζ(0)
・
・
というような形にしたいのである。ζ(2n)をζ(0)だけで表現したい！ということである。
早速、その目標に向かって進もう。
①でまずs＝2としてみよう。
(1-1/2^2)・(1-1/2^1)・ζ(2)
＝ （1-1/2^(-1)）・ζ(0)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(-3)）・ζ(-2)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-1/2^(-5)）・ζ(-4)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(-7)）・ζ(-6)・π^8 /(8！・2^8)
・・・・・・・・・・・・・・・・
ここで、ζ(-2)、ζ(-4)、ζ(-6)・・は当然 0 であるから、上は次のようになる。
(1-1/2^2)・(1-1/2^1)・ζ(2)
＝ （1-1/2^(-1)）・ζ(0)・π^2 /(2！・2^2) --------②
当然ながら、②は簡単に出た。
ここからは、複雑になるので、記号を作っておきたい。
(1-1/2^n)＝[n]
π^n /(n！・2^n)＝<n>
とすることにする。例えば、π^6 /(6！・2^6)は<6>であり、(1-1/2^2)は[2]である。
これで②を書き直せば、次のようになる。
[2][1]ζ(2)＝[-1]<2>ζ(0) --------③
なんと簡単になったことか！
次に進む。
①でs＝4とすると、
(1-1/2^4)・(1-1/2^3)・ζ(4)
＝ （1-1/2^1）・ζ(2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(-1)）・ζ(0)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-1/2^(-3)）・ζ(-2)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(-5)）・ζ(-4)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-1/2^(-7)）・ζ(-6)・π^10 /(10！・2^10)
・・・・・・・・・・・・・・・・
となるが、もちろん、ζ(-2)、ζ(-4)、ζ(-6)・・は 0 であるから、上は次のようになる。
(1-1/2^4)・(1-1/2^3)・ζ(4)
＝ （1-1/2^1）・ζ(2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(-1)）・ζ(0)・π^4 /(4！・2^4)
ここでζ(2)を消すために、②（③）のζ(2)＝・・をこれに代入して整理して、記号で書くと、次のようになる。
[4][3][2]ζ(4)＝[-1] (<2><2> - [2]<4>）ζ(0) ------④
ζ(4)の場合の式も出た。もちろん、ζ(0)＝-1/2 である。
同様にして、ζ(6)、ζ(8)の式も出すと次のようになる。
[6][5][4][2]ζ(6)
＝[-1] (<2><2><2> - [4]<4><2> - [2]<2><4> + [4][2]<6>）ζ(0) ------⑤
[8][7][6][4][2]ζ(8)
＝[-1] (<2><2><2><2> - [6]<4><2><2> - [4]<2><4><2> - [2]<2><2><4>
+ [6][4]<6><2> + [6][2]<4><4>+ [4][2]<2><6> - [6][4][2]<8> ）ζ(0) ------⑥
まとめておこう。
この右辺（）内は、機械的に作れる秩序がひそんでいるはずだが、まだ発見できていない。
すなわち、右辺の（）内を機械的に作っていければ、とても素敵なのである。なぜ素敵なのかといえば、
そこにζ(2n)の構造が見出せるからである。それは、ベルヌイ数の構造とも密接に関係することになる。
リーマン・ゼータζ(ｓ)をベルヌイ数で表現した式（よく知られた式）を示しておく。
ζ(m)＝(-1)^(m/2+1)・2^(m-1)・Bm・π^m/m！ ------⑦
m=2，4，6，8，・・・
④～⑥と⑦を見ると、いかにベルヌイ数が、④～⑥右辺の構造と関わっているかがわかるであろう。
奇数ゼータζ(2n+1)への応用を見る前に、フラクタル構造の性質を利用して、ζ(ｓ)＝・・の右辺の変数を
いろいろに変えた場合を示しておく。
一つ上の偶数ゼータζ(2n)では、直接やったことを、まず抽象的に表現しておきたい。
すなわち、
ζ(ｓ)＝A0・ζ(ｓ-2) + B0・ζ(ｓ-4) + C0・ζ(ｓ-6) ＋ D0・ζ(ｓ-8) + ・・・・・・ -----②
ζ(ｓ)＝A1・ζ(ｓ-4) + B1・ζ(ｓ-6) + C1・ζ(ｓ-8) ＋ D1・ζ(ｓ-10) + ・・・・・ -----③
ζ(ｓ)＝A2・ζ(ｓ-6) + B2・ζ(ｓ-8) + C2・ζ(ｓ-10) ＋ D2・ζ(ｓ-12) + ・・・・ -----④
ζ(ｓ)＝A3・ζ(ｓ-8) + B3・ζ(ｓ-10) + C3・ζ(ｓ-12) ＋ D4・ζ(ｓ-14) + ・・・・ ----⑤
というような右辺の変数ｓをコントロールした式を出したいのである。
もちろん、出発点は次式である。
②は①そのものであり、つまり次式となる。
(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)
＝ （1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2)・π^2 /(2！・2^2)
- （1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4)・π^4 /(4！・2^4)
+ （1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)・π^6 /(6！・2^6)
- （1-1/2^(s-9)）・ζ(s-8)・π^8 /(8！・2^8)
+ （1-1/2^(s-11)）・ζ(s-10)・π^10 /(10！・2^10) --------②
・・・・・・・・・・・・・・・・
このあと、やや複雑化していくので、一つ上で導入した記号で②を表現しておきたい。
(1-1/2^n)＝[n]
π^n /(n！・2^n)＝<n>
という記号である。例えば、π^6 /(6！・2^6)は<6>であり、(1-1/2^2)は[2]である。
これを用いて、②を表現すると、次のようになる。
[s][s-1]ζ(s)＝[s-3] ζ(s-2)<2>
- [s-5] ζ(s-4)<4>
+ [s-7] ζ(s-6)<6>
- [s-9] ζ(s-8)<8>
+ [s-11] ζ(s-10)<10>
- [s-13] ζ(s-12)<12> ------②-2
・・・・・・・・・・・・・・
なんとも、すっきりするものである。 もちろん②の形の式である。
次に進もう。②でs＝s-2として出したζ(ｓ-2)＝・・の式を、②-2に代入すると、ζ(ｓ-2)が消せる。
すると、次式が出る。
[s][s-1][s-2]ζ(s)
＝[s-5] ζ(s-4)(<2><2> - [s-2]<4>)
- [s-7] ζ(s-6)(<2><4> - [s-2]<6>)
+ [s-9] ζ(s-8)(<2><6> - [s-2]<8>)
- [s-11] ζ(s-10)(<2><8> - [s-2]<10>)
+ [s-13] ζ(s-12)(<2><10> - [s-2]<12>)
- [s-15] ζ(s-14)(<2><12> - [s-2]<14>) ------③-2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
③の形の式が出た。きれいなものである。（）内の規則性を味わって頂きたい。
さらに②でs＝s-4として出したζ(ｓ-4)＝・・の式を、③-2に代入すると、ζ(ｓ-4)が消せる。
すると、次式が出る。
[s][s-1][s-2][s-4]ζ(s)
＝[s-7] ζ(s-6)(<2><2><2> - [s-2]<4><2>- [s-4]<2><4> + [s-2][s-4]<6>)
- [s-9] ζ(s-8)(<2><2><4> - [s-2]<4><4>- [s-4]<2><6> + [s-2][s-4]<8>)
+ [s-11] ζ(s-10)(<2><2><6> - [s-2]<4><6>- [s-4]<2><8> + [s-2][s-4]<10>)
- [s-13] ζ(s-12)(<2><2><8> - [s-2]<4><8>- [s-4]<2><10> + [s-2][s-4]<12>) ----④-2
+ [s-15] ζ(s-14)(<2><2><10> - [s-2]<4><10>- [s-4]<2><12> + [s-2][s-4]<14>)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
④の形の式が出た。
さらに②でs＝s-6として出したζ(ｓ-6)＝・・の式を、④-2に代入すると、ζ(ｓ-6)が消せる。
すると、次式が出る。
[s][s-1][s-2][s-4][s-6]ζ(s)
＝[s-9] ζ(s-8)(<2><2><2><2> - [s-2]<4><2><2>- [s-4]<2><4><2> - [s-6]<2><2><4>
+ [s-2][s-4]<6><2> + [s-2][s-6]<4><4> + [s-4][s-6]<2><6> - [s-2][s-4][s-6]<8>)
- [s-11] ζ(s-10)(<2><2><2><4> - [s-2]<4><2><4>- [s-4]<2><4><4> - [s-6]<2><2><6>
+ [s-2][s-4]<6><4> + [s-2][s-6]<4><6> + [s-4][s-6]<2><8> - [s-2][s-4][s-6]<10>)
+ [s-13] ζ(s-12)(<2><2><2><6> - [s-2]<4><2><6>- [s-4]<2><4><6> - [s-6]<2><2><8>
+ [s-2][s-4]<6><6> + [s-2][s-6]<4><8> + [s-4][s-6]<2><10> - [s-2][s-4][s-6]<12>)
- [s-15] ζ(s-14)(<2><2><2><8> - [s-2]<4><2><8>- [s-4]<2><4><8> - [s-6]<2><2><10>
+ [s-2][s-4]<6><8> + [s-2][s-6]<4><10> + [s-4][s-6]<2><12> - [s-2][s-4][s-6]<14>) ----⑤-2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
見やすくするため、空白行をつけた。 ⑤の形の式が出た。
この⑤-2でも上から下へと眺めると、（）内に明確な規則性が現れているのであるが、お気づきであろうか。
これで目標の②～⑤の形の式が出せた。まとめておこう。
右辺を様々に変えた形のζ(ｓ)一般式
これをζ(ｓ)の奇数ゼータに応用してみたい。頁を変えて「その６」で行う。
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