エンケ彗星　その４

　二つの一般式をある観点から考察した。
Cos[ s=s, π代入, π/2テイラー]とCos[ s=s, π/2代入, πテイラー]の一般式より、ζ(3)、ζ(5)、ζ(7)の式を
出し、「有限個の現代数学で不明な値」＝「無限個の自明な値」の形にまとめた。

2006/9/22 　　　　　　　　　　　＜ 最大変数逆転の二種類の一般式を味わう　＞

　「エンケ彗星　その３」で「L(2Ｎ)とζ(2Ｎ-1)の有限和＝ζ(2n)とL(2n+1)の無限和」の式を出していたが、
じつは「エンケ彗星　その２」でも同種の式を出していた。ζ(3)にのみ目をうばわれて、その種の形が出ているのを
うっかりしていた。
　じつは「その２」での式は、「その３」の式とはまた少し違ったものとなっていて面白いのである。

　まず「その２」で示した一般の式を書いておく。私のテイラーシステムによって導かれたものである。

テイラーシステムによって得られたζ(ｓ）の表式　 条件Cos[ s=s， π代入，π/2テイラー］

　-(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)　
　　　＝ - L(s-1)・(π/2)^1 /1！
　　　　　+ 2^(2-s)・（1-2^(3-s)）・ζ(s-2)・(π/2)^2 /2！ + L(s-3)・(π/2)^3 /3！
　　　　　- 2^(4-s)・（1-2^(5-s)）・ζ(s-4)・(π/2)^4 /4！ - L(s-5)・(π/2)^5 /5！　　
　　　　　+ 2^(6-s)・（1-2^(7-s)）・ζ(s-6)・(π/2)^6 /6！ + L(s-7)・(π/2)^7 /7！　　　--------A
　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


　-(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)　
　　　＝ (π/2)^s・［- L(2-s)/｛Γ(s-1)・sin((s-1)π/2)・1！｝ + （2^(s-3)-1）・ζ(3-s)/｛Γ(s-2)・cos((s-2)π/2)・2！｝
　　　　　　　　　　　　+ L(4-s)/｛Γ(s-3)・sin((s-3)π/2)・3！｝ - （2^(s-5)-1）・ζ(5-s)/｛Γ(s-4)・cos((s-4)π/2)・4！｝
　　　　　　　　　　　　- L(6-s)/｛Γ(s-5)・sin((s-5)π/2)・5！｝ + （2^(s-7)-1）・ζ(7-s)/｛Γ(s-6)・cos((s-6)π/2)・6！｝
　　　　　　　　　　　　+ L(8-s)/｛Γ(s-7)・sin((s-7)π/2)・7！｝ - （2^(s-9)-1）・ζ(9-s)/｛Γ(s-8)・cos((s-8)π/2)・8！｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・]　　---B



　「その２」では、Ａでs＝3として次を導いたのであった。

　　-(1-1/2^3)・(1-1/2^2)・ζ(3)　
　　　　　＝ - L(2)・(π/2)^1 /1！ + 2^(-1)・log2 ・(π/2)^2 /2！
　　　　　　　+ L(0)・(π/2)^3 /3！ - 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^4 /4！
　　　　　　　- L(-2)・(π/2)^5 /5！ + 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^6 /6！
　　　　　　　+ L(-4)・(π/2)^7 /7！ - 2^5・（1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^8 /8！　　　　------①
　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　そして、またＢから次も出した。（あるいは、①から関数等式を用いて置換してももちろん次式は出る）

　　(1-1/2^3)・(1-1/2^2)・ζ(3)　
　　　　　＝ L(2)・(π/2)^1 /1！ - log2 ・π^2 /(2^3・2！)　- L(0)・(π/2)^3 /3！
　　　　　　　　+ (π/2)^2・[（1-1/2^2）・ζ(2)・1！/4！ - L(3)・2！/5！
　　　　　　　　　　　　　　　　+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/6！ - L(5)・4！/7！
　　　　　　　　　　　　　　　　+ （1-1/2^6）・ζ(8)・7！/10！ - L(7)・8！/11！　　　　　------②
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・］

　「エンケ彗星　その３」でやった観点から改めて上式を眺めると、①で（②も同じだが）ζ(3)とL(2)を左辺にもって
くることで、
　　現代数学で不明な値の有限和（左辺）＝自明な値の無限和（右辺）
とできると気づく。
その形にしよう。①でL(2)を左辺にもってくると、次のようになる。

　　 - (1-1/2^3)・(1-1/2^2)・ζ(3)　+ L(2)・(π/2)^1 /1！
　　　　　＝ 2^(-1)・log2 ・(π/2)^2 /2！
　　　　　　　+ L(0)・(π/2)^3 /3！ - 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^4 /4！
　　　　　　　　- L(-2)・(π/2)^5 /5！ + 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^6 /6！
　　　　　　　　　+ L(-4)・(π/2)^7 /7！ - 2^5・（1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^8 /8！　　　　-------③
　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　念のため、②でも同様にしておこう（符号は③のように揃えた）。

　　 - (1-1/2^3)・(1-1/2^2)・ζ(3)　+ L(2)・(π/2)^1 /1！
　　　　　＝ log2 ・π^2 /(2^3・2！)　+ L(0)・(π/2)^3 /3！
　　　　　　　　- (π/2)^2・[（1-1/2^2）・ζ(2)・1！/4！ - L(3)・2！/5！
　　　　　　　　　　　　　　　　　+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/6！ - L(5)・4！/7！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ （1-1/2^6）・ζ(8)・7！/10！ - L(7)・8！/11！　　　　　-------④
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・］

　さて、③（と④）が出たわけであるが、ここでこれを「エンケ彗星　その３」での式と比べたい。

*******************　「その３」で導出した式　*************************

　L(2)・(π/2)^1 /1！
　　＝ L(0)・(π/2)^3 /3！ + （1+2^(-1)）・log2・π^2 /(2！・2^2)
　　　　- L(-2)・(π/2)^5 /5！- （1+2^1）・（1-2^2）・ζ(-1)・π^4 /(4！・2^4)
　　　　　　+ L(-4)・(π/2)^7 /7！+ （1+2^3）・（1-2^4）・ζ(-3)・π^6 /(6！・2^6)
　　　　　　　- L(-6)・(π/2)^9 /9！- （1+2^5）・（1-2^6）・ζ(-5)・π^8 /(8！・2^8)　　-----⑤
　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


　-L(4)・(π/2)^1 /1！+ （1+2^(-3)）・（1-2^(-2)）・ζ(3)・π^2 /(2！・2^2) + L(2)・(π/2)^3 /3！

　　＝ （1+2^(-1)）・log2・π^4 /(4！・2^4) + L(0)・(π/2)^5 /5！
　　　　　- （1+2^1）・（1-2^2）・ζ(-1)・π^6 /(6！・2^6) - L(-2)・(π/2)^7 /7！
　　　　　　　+ （1+2^3）・（1-2^4）・ζ(-3)・π^8 /(8！・2^8) + L(-4)・(π/2)^9 /9！
　　　　　　　　 - （1+2^5）・（1-2^6）・ζ(-5)・π^10 /(10！・2^10) - L(-6)・(π/2)^11 /11！　　-----⑥
　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

**************************************************************

　これらを比較して何か気づかないだろうか？

　すぐわかることだが、じつは③は
ζ(n)、L(n-1)、ζ(n-2)、L(n-3)、・・・という形でゼータが出ている。
ゼータ(s)の最大の変数sは、ζ(ｓ)の方がL(s)より大きくなっている。

　一方、「⑤、⑥」を観察すると、
L(n)、ζ(n-1)、L(n-2)、ζ(n-3)、・・・という形でゼータが出ている。
つまり、最大変数sは、L(ｓ)の方がζ(ｓ)より大きくなっている。

すなわち、「⑤、⑥」と③を比べると、最も大きな変数をもつゼータの種類が違っていることに気づく。

　さらに、これを一般式で比べて見てみよう。
冒頭の式の再掲となるが、テイラーシステムを用い条件Cos[ s=s, π代入, π/2テイラー]で求めた式が次であった。

テイラーシステムによって得られたζ(ｓ）の表式　 条件Cos[ s=s， π代入，π/2テイラー］

　-(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)　
　　　＝ - L(s-1)・(π/2)^1 /1！
　　　　　+ 2^(2-s)・（1-2^(3-s)）・ζ(s-2)・(π/2)^2 /2！ + L(s-3)・(π/2)^3 /3！
　　　　　- 2^(4-s)・（1-2^(5-s)）・ζ(s-4)・(π/2)^4 /4！ - L(s-5)・(π/2)^5 /5！　　
　　　　　+ 2^(6-s)・（1-2^(7-s)）・ζ(s-6)・(π/2)^6 /6！ + L(s-7)・(π/2)^7 /7！　　　--------A
　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


　次に、「その３」で出した次式を再掲する。
　これは、テイラーシステムのCos[ s=s, π/2代入, πテイラー]とCos[ s=s, π代入, π/2テイラー]での一般式二つを
組み合わせて導出した式である。

ζ(ｓ)の無限和＝L(s)の無限和

　　　（1+2^(2-s)）・（1-2^(3-s)）・ζ(s-2)・π^2 /(2！・2^2)
　　　　　- （1+2^(4-s)）・（1-2^(5-s)）・ζ(s-4)・π^4 /(4！・2^4)
　　　　　　　+ （1+2^(6-s)）・（1-2^(7-s)）・ζ(s-6)・π^6 /(6！・2^6)
　　　　　　　　- （1+2^(8-s)）・（1-2^(9-s)）・ζ(s-8)・π^8 /(8！・2^8)
　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・
　　　　　　　　＝L(s-1)・(π/2)^1 /1！
　　　　　　　　　　- L(s-3)・(π/2)^3 /3！
　　　　　　　　　　　+ L(s-5)・(π/2)^5 /5！
　　　　　　　　　　　　　- L(s-7)・(π/2)^7 /7！　　　--------Ｃ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・


　ＡとＣを比べてみれば、
Ａでは、ζ(ｓ)、L(s-1)、・・・という形でゼータが出現している。
一方、Ｃでは、L(s-1)、ζ(ｓ-2)、・・・という形で出ている。

つまり、最大変数をもつゼータの種類が違ったもの（逆に）になっているのである。
　ＡとＣの一般式で逆になっているのだから、具体例で逆になったのは当たり前というわけである。

　では、ＡとＣでなぜ最大変数のゼータの種類が逆になったのだろうか？
それはＣの導出の仕方に秘密がある。「その３」でＣを導いたとき、二つの一般式からζ(ｓ)を消去したのだが、
それで最大変数をもつζ(ｓ)がなくなり、L(s)の変数ｓがそれを上回ったためである。
「その３」の＜ [ ζ(ｓ)の無限和＝L(s)の無限和 ]の式の導出　＞で導出過程をもう一度味わっていただきたい。

　ＡとＣは同じように見えて違っている。じつに味わい深い意味があるのである。




2006/9/23 　　　　　＜ 「エンケ彗星　その２」の一般式からζ(5)、ζ(7)の場合を出す　＞

　上からの続きである。
ＡとＣをさらに具体的に比較するため、「エンケ彗星　その２」の一般式から、ζ(5)、ζ(7)も出しておこう。
　「その２」で示した一般式Ａは、一つ上でも見た次である。

テイラーシステムによって得られたζ(ｓ）の表式　 条件Cos[ s=s， π代入，π/2テイラー］

　-(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)　
　　　＝ - L(s-1)・(π/2)^1 /1！
　　　　　+ 2^(2-s)・（1-2^(3-s)）・ζ(s-2)・(π/2)^2 /2！ + L(s-3)・(π/2)^3 /3！
　　　　　- 2^(4-s)・（1-2^(5-s)）・ζ(s-4)・(π/2)^4 /4！ - L(s-5)・(π/2)^5 /5！　　
　　　　　+ 2^(6-s)・（1-2^(7-s)）・ζ(s-6)・(π/2)^6 /6！ + L(s-7)・(π/2)^7 /7！　　　--------A
　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


　ζ(3)は、「その２」や一つ上で出したが、念のため記すと、次のようになる。

　　 - (1-1/2^3)・(1-1/2^2)・ζ(3)　+ L(2)・(π/2)^1 /1！
　　　　　＝ 2^(-1)・log2 ・(π/2)^2 /2！
　　　　　　　+ L(0)・(π/2)^3 /3！ - 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^4 /4！
　　　　　　　　- L(-2)・(π/2)^5 /5！ + 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^6 /6！
　　　　　　　　　+ L(-4)・(π/2)^7 /7！ - 2^5・（1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^8 /8！　　　　-------①
　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　さてζ(5)を出してみよう。
Ａでs＝5とすると、

　-(1-1/2^5)・(1-1/2^4)・ζ(5)　
　　　＝ - L(4)・(π/2)^1 /1！
　　　　　　+ 2^(-3)・（1-2^(-2)）・ζ(3)・(π/2)^2 /2！ + L(2)・(π/2)^3 /3！
　　　　　　　- 2^(-1)・（1-2^0）・ζ(1)・(π/2)^4 /4！ - L(0)・(π/2)^5 /5！　　
　　　　　　　　+ 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^6 /6！ + L(-2)・(π/2)^7 /7！
　　　　　　　　　- 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^8 /8！ - L(-4)・(π/2)^9 /9！　　
　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　ζ(5)、ζ(3)、L(4)、L(2)を左辺に移項すると、次となる。

　-(1-1/2^5)・(1-1/2^4)・ζ(5)　+ L(4)・(π/2)^1 /1！
　　　- 2^(-3)・（1-2^(-2)）・ζ(3)・(π/2)^2 /2！ - L(2)・(π/2)^3 /3！
　　　＝ - 2^(-1)・（1-2^0）・ζ(1)・(π/2)^4 /4！ - L(0)・(π/2)^5 /5！　　
　　　　　　+ 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^6 /6！ + L(-2)・(π/2)^7 /7！
　　　　　　　- 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^8 /8！ - L(-4)・(π/2)^9 /9！　　
　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　　（1-2^0）・ζ(1)＝log2より、それに置き換えると、次のようになる。

　-(1-1/2^5)・(1-1/2^4)・ζ(5)　+ L(4)・(π/2)^1 /1！
　　　- 2^(-3)・（1-2^(-2)）・ζ(3)・(π/2)^2 /2！ - L(2)・(π/2)^3 /3！
　　　＝ - 2^(-1)・log2・(π/2)^4 /4！ - L(0)・(π/2)^5 /5！　　
　　　　　　+ 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^6 /6！ + L(-2)・(π/2)^7 /7！
　　　　　　　- 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^8 /8！ - L(-4)・(π/2)^9 /9！
　　　　　　　　+ 2^5・（1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^10 /10！ + L(-6)・(π/2)^11 /11！　　　-------②
　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ζ(5)、ζ(3)、L(4)、L(2)は現代数学で不明とされる値であるから、②で
　「有限個の現代数学で不明な値」＝「無限個の自明な値」
の形にできた。

　ζ(7)を出してみよう。
Ａでs＝7とすると、

　-(1-1/2^7)・(1-1/2^6))・ζ(7)　
　　　＝ - L(6)・(π/2)^1 /1！
　　　　　+ 2^(-5)・（1-2^(-4)）・ζ(5)・(π/2)^2 /2！ + L(4)・(π/2)^3 /3！
　　　　　- 2^(-3)・（1-2^(-2)）・ζ(3)・(π/2)^4 /4！ - L(2)・(π/2)^5 /5！
　　　　　+ 2^(-1)・（1-2^0）・ζ(1)・(π/2)^6 /6！ + L(0)・(π/2)^7 /7！
　　　　　- 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^8 /8！ - L(-2)・(π/2)^9 /9！
　　　　　+ 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^10 /10！ + L(-4)・(π/2)^11 /11！
　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　ζ(7)、ζ(5)、ζ(3)、L(6)、L(4)、L(2)を左辺に移項すると、次となる。

　　　-(1-1/2^7)・(1-1/2^6))・ζ(7)　+ L(6)・(π/2)^1 /1！
　　　　　- 2^(-5)・（1-2^(-4)）・ζ(5)・(π/2)^2 /2！ - L(4)・(π/2)^3 /3！
　　　　　　　+ 2^(-3)・（1-2^(-2)）・ζ(3)・(π/2)^4 /4！ + L(2)・(π/2)^5 /5！
　　　　　＝ 2^(-1)・（1-2^0）・ζ(1)・(π/2)^6 /6！ + L(0)・(π/2)^7 /7！
　　　　　　　　　- 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^8 /8！ - L(-2)・(π/2)^9 /9！
　　　　　　　　　　　+ 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^10 /10！ + L(-4)・(π/2)^11 /11！
　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　（1-2^0）・ζ(1)＝log2より、それで置き換えると、

　　　　-(1-1/2^7)・(1-1/2^6)・ζ(7)　+ L(6)・(π/2)^1 /1！
　　　　　　- 2^(-5)・（1-2^(-4)）・ζ(5)・(π/2)^2 /2！ - L(4)・(π/2)^3 /3！
　　　　　　　　+ 2^(-3)・（1-2^(-2)）・ζ(3)・(π/2)^4 /4！ + L(2)・(π/2)^5 /5！
　　　　　＝ 2^(-1)・log2・(π/2)^6 /6！ + L(0)・(π/2)^7 /7！
　　　　　　　　- 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^8 /8！ - L(-2)・(π/2)^9 /9！
　　　　　　　　　　+ 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^10 /10！ + L(-4)・(π/2)^11 /11！
　　　　　　　　　　　- 2^5・（1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^12 /12！ - L(-6)・(π/2)^13 /13！　　　-------③
　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　ζ(7)、ζ(5)、ζ(3)、L(6)、L(4)、L(2)は現代数学で不明とされる値であるから、②で
　「有限個の現代数学で不明な値」＝「無限個の自明な値」
の形にできた。

まとめておく。
テイラーシステム Cos[ s=s， π代入，π/2テイラー］一般式から得られた式


　　 - (1-2^(-3))・(1-2^(-2))・ζ(3)　+ L(2)・(π/2)^1 /1！
　　　　　＝ 2^(-1)・log2 ・(π/2)^2 /2！
　　　　　　　+ L(0)・(π/2)^3 /3！ - 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^4 /4！
　　　　　　　　- L(-2)・(π/2)^5 /5！ + 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^6 /6！
　　　　　　　　　+ L(-4)・(π/2)^7 /7！ - 2^5・（1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^8 /8！
　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・



　　-(1-2^(-5))・(1-2^(-4))・ζ(5)　+ L(4)・(π/2)^1 /1！
　　　　- 2^(-3)・（1-2^(-2)）・ζ(3)・(π/2)^2 /2！ - L(2)・(π/2)^3 /3！
　　　＝ - 2^(-1)・log2・(π/2)^4 /4！ - L(0)・(π/2)^5 /5！　　
　　　　　　+ 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^6 /6！ + L(-2)・(π/2)^7 /7！
　　　　　　　- 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^8 /8！ - L(-4)・(π/2)^9 /9！
　　　　　　　　+ 2^5・（1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^10 /10！ + L(-6)・(π/2)^11 /11！
　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・



　　-(1-2^(-7))・(1-2^(-6))・ζ(7)　+ L(6)・(π/2)^1 /1！
　　　　- 2^(-5)・（1-2^(-4)）・ζ(5)・(π/2)^2 /2！ - L(4)・(π/2)^3 /3！
　　　　　　+ 2^(-3)・（1-2^(-2)）・ζ(3)・(π/2)^4 /4！ + L(2)・(π/2)^5 /5！
　　　　＝ 2^(-1)・log2・(π/2)^6 /6！ + L(0)・(π/2)^7 /7！
　　　　　　　- 2^1・（1-2^2）・ζ(-1)・(π/2)^8 /8！ - L(-2)・(π/2)^9 /9！
　　　　　　　　　+ 2^3・（1-2^4）・ζ(-3)・(π/2)^10 /10！ + L(-4)・(π/2)^11 /11！
　　　　　　　　　　- 2^5・（1-2^6）・ζ(-5)・(π/2)^12 /12！ - L(-6)・(π/2)^13 /13！
　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・



　Ａから導かれたこれらの式では、最大の変数ｓはζ(ｓ)の方がとっている。
一方、「エンケ彗星　その３」の式では、最大変数はL(s)がとっていた。この違いを味わいたい。

なお、
ζ(-1)＝-1/12、 ζ(-3)＝1/120、 ζ(-5)＝-1/252、ζ(-7)＝1/240、・・・
であり、
L(0)＝1/2、 L(-2)＝-1/2、 L(-4)＝5/2、 L(-6)＝-61/2、・・・ -----④
である。
ついでに、L(1)＝π/4、 L(3)＝π^3/32、 L(5)＝5π^5/1536、 L(7)＝61π^7/184320、・・
であるが、これは関数等式と介して④と通じている。
　これらは現代数学でよくわかっているものである。

　また、現代数学で不明とされる次の特殊値でも、数値的には当然わかっていて次となる。
ζ(3)＝1.2020569032・・・
ζ(5)＝1.0369277551・・・
ζ(7)＝1.0083492774・・・
ζ(9)＝1.0020083928・・・
　であり、
L(2)＝0.9159655941・・・
L(4)＝0.9889445517・・・
L(6)＝0.9986852222・・・
L(8)＝0.9999831640・・・
　である。これらζ(ｓ)値はmath worldにある。L(s)の方は以前 佐藤郁郎氏にご教示いただいた。

これらの値を使って、電卓を叩いて収束を確かめられるが、右辺１０項もしないうちに収束がはっきりと
確認できる。



2006/9/23 　　　　　　 ＜ 「百武彗星　その３」 ζ(3)、ζ(5)の式を再整理　＞

　上方からの流れから、「百武彗星　その１」の結果も、

　　「有限個の現代数学で不明な値」＝「無限個の自明な値」　　　------①
の形に整理しなおしておきたい。

さて、「百武彗星　その３」は、ζ(3)、ζ(5)を出したが、①の形に直しておく。
できるだけ、秩序だった形にしておきたいということである。

　まず「百武彗星　その３」で導出したCos[ s=s, π/2代入, πテイラー]で求めた一般式を書いておく。
テイラーシステムによって得られたζ(ｓ）の表式　 Cos[ s=s， π/2代入，πテイラー］


　(1-1/2^s)・(1-1/2^(s-1))・ζ(s)　
　　＝ （1-1/2^(s-3)）・ζ(s-2)・π^2 /(2！・2^2)
　　　　- （1-1/2^(s-5)）・ζ(s-4)・π^4 /(4！・2^4)
　　　　　+ （1-1/2^(s-7)）・ζ(s-6)・π^6 /(6！・2^6)
　　　　　　- （1-1/2^(s-9)）・ζ(s-8)・π^8 /(8！・2^8)
　　　　　　　+ （1-1/2^(s-11)）・ζ(s-10)・π^10 /(10！・2^10)
　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・


　「百武彗星　その３」の＜ζ(s)式を具体的に見る＞　で上式にs＝3、s＝5として次のζ(3)、ζ(5)式を出した。

　(1-1/2^3)・(1-1/2^2)・ζ(3)　
　　＝ log2・π^2 /(2！・2^2)
　　　　- （1-1/2^(-2)）・ζ(-1)・π^4 /(4！・2^4) + （1-1/2^(-4)）・ζ(-3)・π^6 /(6！・2^6)
　　　　　　- （1-1/2^(-6)）・ζ(-5)・π^8 /(8！・2^8) + （1-1/2^(-8)）・ζ(-7)・π^10 /(10！・2^10)　　　------②
　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　(1-1/2^5)・(1-1/2^4)・ζ(5)　
　　＝ （1-1/2^2）・ζ(3)・π^2 /(2！・2^2) - log2・π^4 /(4！・2^4)
　　　　+ （1-1/2^(-2)）・ζ(-1)・π^6 /(6！・2^6) - （1-1/2^(-4)）・ζ(-3)・π^8 /(8！・2^8)
　　　　　　+ （1-1/2^(-6)）・ζ(-5)・π^10 /(10！・2^10) - （1-1/2^(-8)）・ζ(-7)・π^12 /(12！・2^12)　　　-----③
　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・

　さて、①の形にしよう。
②はもちろんそのままでよいが、③で右辺のζ(3)を左辺に移項して、

　(1-1/2^5)・(1-1/2^4)・ζ(5)　- （1-1/2^2）・ζ(3)・π^2 /(2！・2^2)
　　＝ - log2・π^4 /(4！・2^4)
　　　　+ （1-1/2^(-2)）・ζ(-1)・π^6 /(6！・2^6) - （1-1/2^(-4)）・ζ(-3)・π^8 /(8！・2^8)
　　　　　　+ （1-1/2^(-6)）・ζ(-5)・π^10 /(10！・2^10) - （1-1/2^(-8)）・ζ(-7)・π^12 /(12！・2^12)　　　-----④
　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・

となる。②、④をさらにきれいに整えると、次のようになる。

　(1-2^(-3))・(1-2^(-2))・ζ(3)　
　　＝ log2・π^2 /(2！・2^2)
　　　　- （1-2^2）・ζ(-1)・π^4 /(4！・2^4)
　　　　　　+ （1-2^4）・ζ(-3)・π^6 /(6！・2^6)
　　　　　　　　- （1-2^6）・ζ(-5)・π^8 /(8！・2^8)
　　　　　　　　　　+ （1-2^8）・ζ(-7)・π^10 /(10！・2^10)　　　------②
　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　(1-2^(-5))・(1-2^(-4))・ζ(5)　- （1-2^(-2)）・ζ(3)・π^2 /(2！・2^2)
　　＝ - log2・π^4 /(4！・2^4)
　　　　+ （1-2^2）・ζ(-1)・π^6 /(6！・2^6)
　　　　　- （1-2^4）・ζ(-3)・π^8 /(8！・2^8)
　　　　　　　+ （1-2^6）・ζ(-5)・π^10 /(10！・2^10)
　　　　　　　　　- （1-2^8）・ζ(-7)・π^12 /(12！・2^12)　　　-----④
　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・

　ああ、なんと美しいことか！
もちろん、左辺＝右辺は
　「有限個の現代数学で不明な値」＝「無限個の自明な値」
という形になっている。
　ついでに、s＝7として、ζ(7)の場合も求めておこう。一般式から、次が出る。

　(1-1/2^7)・(1-1/2^6)・ζ(7)
　　＝ （1-1/2^4）・ζ(5)・π^2 /(2！・2^2)
　　　　- （1-1/2^2）・ζ(3)・π^4 /(4！・2^4)
　　　　　+ （1-1/2^0）・ζ(1)・π^6 /(6！・2^6)
　　　　　　- （1-1/2^(-2)）・ζ(-1)・π^8 /(8！・2^8)
　　　　　　　+ （1-1/2^(-4)）・ζ(-3)・π^10 /(10！・2^10)
　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・

ζ(5)、ζ(3)項を左辺に移項し、また（1-2^0）・ζ(1)＝log2よりそれに置き換えて、さらに整理整頓すると、
次のようになる。

　　(1-2^(-7))・(1-2^(-6))・ζ(7) - （1-2^(-4)）・ζ(5)・π^2 /(2！・2^2)
　　　　　　　+ （1-2^(-2)）・ζ(3)・π^4 /(4！・2^4)
　　　＝ log2・π^6 /(6！・2^6)
　　　　　　- （1-2^2）・ζ(-1)・π^8 /(8！・2^8)
　　　　　　　+ （1-2^4）・ζ(-3)・π^10 /(10！・2^10)
　　　　　　　　- （1-2^6）・ζ(-5)・π^12 /(12！・2^12)
　　　　　　　　　+ （1-2^8）・ζ(-7)・π^14 /(14！・2^14)
　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・


テイラーシステム Cos[ s=s， π/2代入，πテイラー］一般式から得られた式


　(1-2^(-3))・(1-2^(-2))・ζ(3)　
　　＝ log2・π^2 /(2！・2^2)
　　　　- （1-2^2）・ζ(-1)・π^4 /(4！・2^4)
　　　　　　+ （1-2^4）・ζ(-3)・π^6 /(6！・2^6)
　　　　　　　　- （1-2^6）・ζ(-5)・π^8 /(8！・2^8)
　　　　　　　　　　+ （1-2^8）・ζ(-7)・π^10 /(10！・2^10)
　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・



　(1-2^(-5))・(1-2^(-4))・ζ(5)　- （1-2^(-2)）・ζ(3)・π^2 /(2！・2^2)
　　＝ - log2・π^4 /(4！・2^4)
　　　　+ （1-2^2）・ζ(-1)・π^6 /(6！・2^6)
　　　　　- （1-2^4）・ζ(-3)・π^8 /(8！・2^8)
　　　　　　　+ （1-2^6）・ζ(-5)・π^10 /(10！・2^10)
　　　　　　　　　- （1-2^8）・ζ(-7)・π^12 /(12！・2^12)
　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・



　　(1-2^(-7))・(1-2^(-6))・ζ(7) - （1-2^(-4)）・ζ(5)・π^2 /(2！・2^2)
　　　　　　　+ （1-2^(-2)）・ζ(3)・π^4 /(4！・2^4)
　　　＝ log2・π^6 /(6！・2^6)
　　　　　　- （1-2^2）・ζ(-1)・π^8 /(8！・2^8)
　　　　　　　+ （1-2^4）・ζ(-3)・π^10 /(10！・2^10)
　　　　　　　　- （1-2^6）・ζ(-5)・π^12 /(12！・2^12)
　　　　　　　　　+ （1-2^8）・ζ(-7)・π^14 /(14！・2^14)
　　　　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・


　これらの式は、「百武彗星　その１」で出したζ(3)、ζ(5)、ζ(7)の式ともちろん同値である。
ここでは、「有限個の現代数学で不明な値」＝「無限個の自明な値」の形にまとめたのである。


　上の式の収束の速さは尋常ではなく、たちまちに収束していく（「百武彗星　その１」でも確認したとおりであるが）
たとえば、最後のζ(7)の式など、
左辺は＝0.014228372・・
となるが、
右辺はたったの３項を計算しただけで、
[３項までの和]＝0.014228497・・
と異常な速さで収束していくのである。


　読者も、興味あれば次の値を使って確認してください。
************************************************************
ζ(-1)＝-1/12、 ζ(-3)＝1/120、 ζ(-5)＝-1/252、ζ(-7)＝1/240、・・・
ζ(3)＝1.2020569032・・・
ζ(5)＝1.0369277551・・・
ζ(7)＝1.0083492774・・・
ζ(9)＝1.0020083928・・・
************************************************************





その１
その２
その３
その５
その６


ゼータ系の彗星群


数学の研究