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L(2)を有理数係数のL(2n)で表す式を見出したので、お伝えします。それは次のようなものです。
L(2)＝(1/4)｛3(2/3)^2・L(4) + 5(2/3)^4・L(6) + 7(2/3)^6・L(8) + 9(2/3)^8・L(10) + ・・・｝
また次の式も出ました。
log3＝4｛(2/3)^2・L(2)/2 + (2/3)^4・L(4)/4 + (2/3)^6・L(6)/6 + ・・・｝
L(4)＝(1/240)｛(2/3)^2・(5!/2!)L(6) + (2/3)^4・(7!/4!)L(8) + (2/3)^6・(9!/6!)L(10) + ・・・｝
これまで L(2)＝∑（有理数係数）ζ(2n+1) は出ていましたが、L(2)＝∑（有理数）L(2n) をついに今回導出できたと
いうことです。
L(s)とは、もちろん
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s + 1/7^s - ・・・・
であり、これがζ(ｓ)の兄弟分の関係にあるゼータであることはこれまで何度も見てきたとおりです。
偶数Ｌを［奇数Ｌの無限和］で表す式も、「ロニオス彗星 その４」で出しましたが、
L(2)/3＝L(0)・(π/3)^2 /2!+ (π/2)^1｛(2!/4!)(2/3)^4・L(3) + (4!/6!)(2/3)^6・L(5)
+ (6!/8!)(2/3)^8・L(7) + (8!/10!)(2/3)^10・L(9) + ・・・ ｝
+ (1-1/2^7)（6!/5!）ζ(7)/2^6 + (1-1/2^9)（8!/7!）ζ(9)/2^8
+ (1-1/2^11)（10!/9!）ζ(11)/2^10 + (1-1/2^13)（12!/11!）ζ(13)/2^12 + ・・・
この式は右辺の係数がすべて有理数で優れており、この類似を追求する意味で、私はL(2)＝∑（有理数）L(2n)も出る
はずだ！と長い間模索していました。トライしては特異点（数列の発散）にぶちあたる失敗をくり返していたのですが、今回
すこし人工的な手術を加え、なんとか特異点を避ける道を発見し冒頭のL(2)式に行き着くことができました。
では、導出過程を見ましょう。
L(2)＝(1/4)｛3(2/3)^2・L(4) + 5(2/3)^4・L(6) + 7(2/3)^6・L(8) + 9(2/3)^8・L(10) + ・・・｝ ----①
の導出過程を示します。同時にL(4)、log3の式も出しておきました。
∑（有理数係数）ζ(2n+1)を導出したやり方と本質的に同じです。
［導出過程］
まず
ｆ(x)＝(cosx)/1^s - (cos3x)/3^s + (cos5x)/5^s - (cos7x)/7^s +・・・ ----②
というCos級数を考える。このx＝π周りのテイラー展開を行った式のxに2π/3を代入すると、次のようになる。
-(1+3^(1-s))L(s)/2＝-L(s) + A2・L(s-2) - A4・L(s-4) + A6・L(s-6) - ・・・ ----③
ここで、記号Anは An＝(π/3)^n /n! を意味する。例えば、A2はA2＝(π/3)^2 /2!である。
③の両辺を微分すると、次となる。
-(-3^(1-s)・log3)L(s)/2 -(1+3^(1-s))L´(s)/2＝-L´(s) + A2・L´(s-2) - A4・L´(s-4) + A6・L´(s-6) - ・・・ ----④
ここでL(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
を利用したい。この式の両辺を微分すると、
-L ´(1-s)＝(-logπ・π^(-s))・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
+ π^(-s)・(2^s・log2)・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
+ π^(-s)・2^s・Γ´(s)・sin(πs/2)・L(s)
+ π^(-s)・2^s・Γ(s)・(π/2)cos(πs/2)・L(s)
+ π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L ´(s) -----⑤
⑤式より、
s＝2とすると、 -L ´(-1)＝-(2/π)・1!・L(2)
s＝4とすると、 -L ´(-3)＝(2/π)^3・3!・L(4)
s＝6とすると、 -L ´(-5)＝-(2/π)^5・5!・L(6) ------⑥
s＝8とすると、 -L ´(-7)＝(2/π)^7・7!・L(8)
s＝10とすると、 -L ´(-9)＝-(2/π)^9・9!・L(10)
・
・
となる（⑤のsin項が全て消えた！）。④でs＝-1とした式に、これらを代入して整理すると目的の次式が得られる。
L(2)＝(1/4)｛3(2/3)^2・L(4) + 5(2/3)^4・L(6) + 7(2/3)^6・L(8) + 9(2/3)^8・L(10) + ・・・｝
また④でs＝-3とした式に、⑥を代入して整理すると次式が得られる。
L(4)＝(1/240)｛(2/3)^2・(5!/2!)L(6) + (2/3)^4・(7!/4!)L(8) + (2/3)^6・(9!/6!)L(10) + ・・・｝
また④でs＝1とした式に、⑥を代入して整理すると次式が得られる。
log3＝4｛(2/3)^2・L(2)/2 + (2/3)^4・L(4)/4 + (2/3)^6・L(6)/6 + ・・・｝
全部の式に階乗n!を用いるとさらに規則性がはっきりします。
log3＝4｛(2/3)^2・(1!/2!)L(2) + (2/3)^4・(3!/4!)L(4) + (2/3)^6・(5!/6!)L(6) + ・・・｝
L(2)＝(1/4)｛(2/3)^2・(3!/2!)L(4) + (2/3)^4・(5!/4!)L(6) + (2/3)^6・(7!/6!)L(8) + ・・・｝
L(4)＝(1/240)｛(2/3)^2・(5!/2!)L(6) + (2/3)^4・(7!/4!)L(8) + (2/3)^6・(9!/6!)L(10) + ・・・｝
このように非常に秩序だった形となっているのです。
［導出終わり］
めでたく目的の式が出ましたが、②という母関数を設定したことが一つのポイントであり、さらにこのπ周りテイラー展開式
のｘに2π/3を代入した点がさらなる工夫と言えます。
④でs＝-5や-7とすると、L(6)＝・・やL(8)＝・・の式が同様に出ることはいうまでもありません。
右辺の係数が（有理数）だけからなる式は単に美しいだけではなく、L(s)の無理性を示すことができる可能性も秘めている
ので大事です。しかしこれまで導出した式ではまだまだ収束が鈍い。もし収束が抜群にはやく且つ∑（有理数係数）L(2n)の
式が見つかればL(2n)の無理性が示せることでしょう。それはζ(2n+1)でも同様にいえます。
log3の導出では、ぎりぎり特異点が回避されています。それは本当にぎりぎりで一瞬特異点が出てだめだなと思うので
すが、両辺で打ち消しあってくれて前へ進めています。
では④でs＝3やs＝5・・とするとどうでしょうか？
この場合は特異点にぶちあたりこれ以上進めない事態となります。
log3式、L(2)式、L(4)式ともに数値的に検証しましたが、もちろん正しい式になっています。
例えば、L(4)式を次の形で見ると、
240・L(4)＝(2/3)^2・(5!/2!)L(6) + (2/3)^4・(7!/4!)L(8) + (2/3)^6・(9!/6!)L(10) + ・・・
まず左辺＝237.346・・・
次に右辺の初項からの和を計算すると、
右辺の２項まで＝68.10・・・
右辺の４項まで＝150.97・・・
右辺の６項まで＝201.77・・・
右辺の８項まで＝224.60・・・
右辺の１０項まで＝236.08・・・
となって、どんどんと左辺に近づいていきます。
「ウェスト彗星 その３」でζ(2n+1)＝∑（有理数係数）ζ(2n+1)の式も一緒に並べておきましょう。
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